人教A版高中數(shù)學(xué)選修一《1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示》新版課件(共2課時(shí))

第一章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示(共2課時(shí)102頁(yè))人教A版高二數(shù)學(xué)選修一精品課件第一章空間向量與立體幾何1.3.1空間直角坐標(biāo)系人教A版高二數(shù)學(xué)選修一精品課件在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，j，k}，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较颍运鼈兊拈L(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：____________，它們都叫坐標(biāo)軸，這時(shí)就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz，O叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做________，通過(guò)每?jī)蓷l坐標(biāo)軸的平面叫做________，分別稱(chēng)為_(kāi)_______平面，________平面，________平面，它們把空間分成________．x軸、y軸、z軸

空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)向量

坐標(biāo)平面

Oxy

Oyz

Ozx

八個(gè)部分

【預(yù)習(xí)自測(cè)】分別與x軸、y軸、z軸共線的向量i，j，k的坐標(biāo)各有什么特點(diǎn)？【答案】提示：i＝(x,0,0)，j＝(0，y,0)，k＝(0,0，z)．若向量a，b，c為空間向量的正交基底，則向量a，b，c的位置關(guān)系是什么？【答案】提示：由正交基底的定義知，當(dāng)向量a，b，c兩兩垂直時(shí)，向量a，b，c才能成為空間向量的正交基底，故向量a，b，c為空間向量的正交基底，則向量a，b，c的位置關(guān)系是兩兩垂直．(x，y，z)

空間向量的坐標(biāo)表示xi＋yj＋zk

橫坐標(biāo)

縱坐標(biāo)豎坐標(biāo)(x，y，z)

(x，y，z)

1．在空間中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y，z)滿足z＝0，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是

(

)A．平面B．直線C．不是平面，也不是直線D．以上都不對(duì)【答案】A【預(yù)習(xí)自測(cè)】【解析】如圖，在空間中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y，z)滿足z＝0，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是坐標(biāo)平面Oxy面．【答案】B【解析】由點(diǎn)的坐標(biāo)定義可知，點(diǎn)P(1,2,3)到平面Ozx的距離是2.故選B．4．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1，－1,1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】(－1,1，－1)【解析】點(diǎn)A(1，－1,1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1,1，－1)．|課堂互動(dòng)|如圖，點(diǎn)A(0,0，a)，在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)，求點(diǎn)D，C，E，F(xiàn)的坐標(biāo)．素養(yǎng)點(diǎn)睛：考查直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．題型1空間中點(diǎn)的坐標(biāo)表示求某點(diǎn)P的坐標(biāo)的方法先找到點(diǎn)P在Oxy平面上的射影M，過(guò)點(diǎn)M向x軸作垂線，確定垂足N.其中|ON|，|NM|，|MP|即為點(diǎn)P坐標(biāo)的絕對(duì)值，再按O→N→M→P確定相應(yīng)坐標(biāo)的符號(hào)(與坐標(biāo)軸同向?yàn)檎?，反向?yàn)樨?fù))，即可得到相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．提醒：求某點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，一般先找出這一點(diǎn)在某一坐標(biāo)平面上的射影，確定其兩個(gè)坐標(biāo)，再找出它在另一軸上的射影(或者通過(guò)它到這個(gè)坐標(biāo)平面的距離加上正負(fù)號(hào))，確定第三個(gè)坐標(biāo)．1．(變式練)如圖，在底面是菱形的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面的邊長(zhǎng)為a，且∠A1B1C1＝120°，側(cè)棱長(zhǎng)為2a，在空間直角坐標(biāo)系中確定點(diǎn)A1，D，C的坐標(biāo)．2．(拓展練)如圖，在矩形ABCD中，|AD|＝3，|AB|＝4，將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使得平面BCD⊥平面ABD．現(xiàn)以D為原點(diǎn)，DB作為y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，此時(shí)點(diǎn)A恰好在Dxy坐標(biāo)平面內(nèi)．試求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．解：如圖，由于平面BCD⊥平面ABD，從面BCD引棱DB的垂線CF，即為平面ABD的垂線．同理可作AE，即為平面BCD的垂線．因?yàn)榫匦蜛BCD中，|AD|＝3，|AB|＝4，所以BD＝5.在直角三角形DAB與直角三角形DCB中，由射影定理知DA2＝DE×BD，素養(yǎng)點(diǎn)睛：考查直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A和點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)都互為相反數(shù)，所以點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．探究2求關(guān)于坐標(biāo)軸平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)

點(diǎn)(2,3,2)關(guān)于平面xOy的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 (

)A．(2,3，－2) B．(－2，－3，－2)C．(－2，－3,2) D．(2，－3，－2)

素養(yǎng)點(diǎn)睛：考查直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．【答案】A【解析】因?yàn)殛P(guān)于平面Oxy的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)不變，而豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以點(diǎn)(2,3,2)關(guān)于平面Oxy的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3，－2)．素養(yǎng)點(diǎn)睛：考查直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．【答案】A【解析】由線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，則A(3，－2，4)關(guān)于點(diǎn)(0,1，－3)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是(0×2－3,1×2＋2，－3×2－4)＝(－3,4，－10)．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x，y，z)關(guān)于坐標(biāo)軸和坐標(biāo)平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)如下：關(guān)于Oxy平面對(duì)稱(chēng)關(guān)于Oyz平面對(duì)稱(chēng)關(guān)于Ozx平面對(duì)稱(chēng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于z軸對(duì)稱(chēng)(x，y，－z)(－x，y，z)(x，－y，z)(－x，－y，－z)(x，－y，－z)(－x，y，－z)(－x，－y，z)其中的記憶方法為“關(guān)于誰(shuí)誰(shuí)不變，其余的相反”．如關(guān)于橫軸(x軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)；關(guān)于Oxy坐標(biāo)平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)．3．已知點(diǎn)P(2,3，－1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1，點(diǎn)P1關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2，點(diǎn)P2關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P3，則點(diǎn)P3的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】(2，－3,1)【解析】點(diǎn)P(2,3，－1)關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(2,3,1)，點(diǎn)P1關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(－2,3,1)，點(diǎn)P2關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P3的坐標(biāo)是(2，－3,1)．4．如圖，正方體AOCD－A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為2，則圖中的點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】(－1，－2，－1)【解析】因?yàn)镈(2，－2,0)，C′(0，－2,2)，所以線段DC′的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，－2,1)，所以點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，－2，－1)．素養(yǎng)點(diǎn)睛：考查直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．求向量的坐標(biāo)時(shí)，首先要建立空間直角坐標(biāo)系、確定單位正交基底，然后根據(jù)向量的運(yùn)算將向量用單位正交基底表示，進(jìn)而可得所求向量的坐標(biāo)，這是將向量問(wèn)題數(shù)量化的基礎(chǔ)．解：∵PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴以DA，AB，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，如圖所示．

四棱錐V－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為4且∠ABC＝60°的菱形，頂點(diǎn)V在底面的射影是底面對(duì)角線的交點(diǎn)O，VO＝3，建立正確的坐標(biāo)系求各點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，下列建系方式正確的是

(

)A．(2)(3)B．(2)(4)C．(1)(4)D．(1)(2)(4)易錯(cuò)警示求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的建系問(wèn)題錯(cuò)解：選D．在空間直角坐標(biāo)系中，三個(gè)坐標(biāo)軸的位置關(guān)系是兩兩垂直．由于菱形的對(duì)角線互相垂直，且VO垂直于底面，則VO，AO，BO和VO，BO，CO兩兩互相垂直；(3)中的x軸和y軸不垂直，(1)(3)(4)中三個(gè)坐標(biāo)軸兩兩互相垂直．錯(cuò)解分析：錯(cuò)誤的根本原因是忽略了坐標(biāo)軸應(yīng)兩兩互相垂直而錯(cuò)選．正解：選B．在空間直角坐標(biāo)系中，三個(gè)坐標(biāo)軸的位置關(guān)系是兩兩垂直．由于菱形的對(duì)角線互相垂直，且VO垂直于底面，則VO，AO，BO和VO，BO，CO兩兩互相垂直；(1)中的x軸和y軸不垂直，(3)中三個(gè)坐標(biāo)軸都不垂直，(2)(4)中三個(gè)坐標(biāo)軸兩兩互相垂直．防范措施：1．準(zhǔn)確把握建系原則空間直角坐標(biāo)系是右手直角坐標(biāo)系，故三個(gè)坐標(biāo)軸應(yīng)兩兩互相垂直，如本題(1)(3)中x軸和y軸不垂直，故不能構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系．2．正確使用幾何圖形的性質(zhì)建立合理的空間直角坐標(biāo)系要尋找互相垂直的坐標(biāo)軸，垂直關(guān)系往往用到平面和立體圖形的性質(zhì)，尋找垂直關(guān)系的關(guān)鍵是正確使用幾何圖形的性質(zhì)．如本題(2)(4)利用了菱形的對(duì)角線互相垂直這一性質(zhì)，從而確定出x軸與y軸互相垂直.|素養(yǎng)達(dá)成|1．空間直角坐標(biāo)系的作圖要求(1)將空間直角坐標(biāo)系Oxyz畫(huà)在紙上時(shí)，x軸與y軸，x軸與z軸均畫(huà)成135°，而z軸垂直于y軸．(2)y軸和z軸的單位長(zhǎng)度相同，x軸的單位長(zhǎng)度為y軸(或z軸)單位長(zhǎng)度的一半．(3)每?jī)蓷l坐標(biāo)軸確定的平面兩兩垂直．2．空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)的關(guān)系在空間直角坐標(biāo)系中，空間任意一點(diǎn)A與有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)之間是一種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．①過(guò)點(diǎn)A作三個(gè)平面分別垂直于x軸、y軸、z軸，它們與x軸、y軸、z軸分別交于P，Q，R，點(diǎn)P，Q，R在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次是x，y，z，這樣對(duì)于空間任意一點(diǎn)A，就定義了一個(gè)有序數(shù)組(x，y，z)．②反之，對(duì)任意一個(gè)有序數(shù)組(x，y，z)，按照上述作圖的相反順序，在坐標(biāo)軸上分別作出點(diǎn)P，Q，R，使它們?cè)趚軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)分別是x，y，z，再分別過(guò)這些點(diǎn)作垂直于各自所在的坐標(biāo)軸的平面，這三個(gè)平面的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)A．3．空間中特殊點(diǎn)的坐標(biāo)(1)原點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0,0)；x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0,0)，y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y,0)，z軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0，z)，其中x，y，z為任意實(shí)數(shù)．(2)Oxy平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y,0)，Oyz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y，z)，Ozx平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0，z)．其中x，y，z為任意實(shí)數(shù)．4．對(duì)空間向量的坐標(biāo)的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)空間向量坐標(biāo)的本質(zhì)a＝(x，y，z)的本質(zhì)是a＝xi＋yj＋zk，其中{i，j，k}是單位正交基底．(2)空間向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的聯(lián)系①起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量，坐標(biāo)與終點(diǎn)坐標(biāo)相同；②起點(diǎn)不在原點(diǎn)的向量，坐標(biāo)是終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)．1．點(diǎn)P(3,0,4)，Q(0,0，－3)在空間直角坐標(biāo)系中的位置分別是在

(

)A．y軸上、x軸上B．Ozx平面上、y軸上C．Ozx平面上、z軸上D．Oxy平面上、Oyz平面上【答案】C【解析】因?yàn)镻(3,0,4)的縱坐標(biāo)為0，故P點(diǎn)在Ozx平面上．又因?yàn)镼(0,0，－3)的橫、縱坐標(biāo)均為0，故Q點(diǎn)在z軸上．2．點(diǎn)P(1,4，－3)與點(diǎn)Q(3，－2,5)的中點(diǎn)坐標(biāo)是 (

)A．(4,2,2) B．(2，－1,2)C．(2,1,1) D．(4，－1,2)【答案】C3．點(diǎn)P(1,2，－3)關(guān)于Ozx平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 (

)A．(1,2,3) B．(1，－2，－3)C．(－1,2，－3) D．(－1，－2,3)【答案】B【解析】點(diǎn)P(1,2，－3)關(guān)于Ozx平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，即x，z不變，y變?yōu)橄喾磾?shù)．故選B．4．點(diǎn)M(2,0,0)所在的位置是________．【答案】x軸的正半軸上【解析】由于點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)與豎坐標(biāo)均為0，因此點(diǎn)M位于x軸的正半軸上．5．如圖，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面為正方形的直棱柱)中，AA1＝2AB＝4，點(diǎn)E在CC1上且C1E＝3EC．試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)B，C，E，A1的坐標(biāo)．解：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.依題設(shè)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．1.從課后習(xí)題中選??；2.完成練習(xí)冊(cè)本課時(shí)的習(xí)題.課后作業(yè)第一章空間向量與立體幾何1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示人教A版高二數(shù)學(xué)選修一精品課件|自學(xué)導(dǎo)引|設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋b__________________減法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λa__________________數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)

(λa1，λa2，λa3)

已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－1,0,1)，則a＋2b＝ (

)A．(－1,2,5)

B．(－1,4,5)C．(1,2,5)

D．(1,4,5)【答案】A【解析】a＋2b＝(1,2,3)＋2(－1,0,1)＝(1,2,3)＋(－2，0,2)＝(－1,2,5)．故選A．【預(yù)習(xí)自測(cè)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算有什么聯(lián)系與區(qū)別？【答案】提示：平面向量與空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算均有加減運(yùn)算，數(shù)乘運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算，其算法是相同的．但空間向量要比平面向量多一豎坐標(biāo)，豎坐標(biāo)的處理方式與橫、縱坐標(biāo)是一樣的．1．空間向量平行和垂直的條件：(1)平行：a∥b(b≠0)?a＝λb?_______________________；(2)垂直：a⊥b?a·b＝0?__________________.2．空間向量的模及夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式：(1)模：|a|＝__________，|b|＝____________；(2)cos〈a，b〉＝_______________________.a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb

空間向量的平行、垂直及模、夾角a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

【預(yù)習(xí)自測(cè)】已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，且b1b2b3≠0，類(lèi)比平面向量平行的坐標(biāo)表示，可得到什么結(jié)論？向量的坐標(biāo)及兩點(diǎn)間的距離公式【預(yù)習(xí)自測(cè)】1．思維辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)空間兩點(diǎn)間的距離公式是平面上兩點(diǎn)間的距離公式的推廣．

(

)(2)平面上兩點(diǎn)間的距離公式是空間兩點(diǎn)間距離公式的特例．

(

)(3)將距離公式中兩點(diǎn)的坐標(biāo)順序互換，結(jié)果不變． (

)【答案】(1)√

(2)√

(3)√【預(yù)習(xí)自測(cè)】【解析】(1)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)比平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，多了豎坐標(biāo)，此說(shuō)法正確．(2)平面中點(diǎn)的坐標(biāo)比空間內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，少了豎坐標(biāo)，此說(shuō)法正確．(3)由距離公式的特征可知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)順序互換，結(jié)果不變．【答案】B|課堂互動(dòng)|已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，2a·(－b)，(a＋b)·(a－b)．素養(yǎng)點(diǎn)睛：考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．【答案】解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2，－2,2)，2a·(－b)＝2(2，－1，－2)·(0,1，－4)＝14，又a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2,0，－6)，∴(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝－8.題型1空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算關(guān)于空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的兩類(lèi)問(wèn)題(1)直接計(jì)算問(wèn)題首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，然后準(zhǔn)確運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算．(2)由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)首先把向量用坐標(biāo)形式設(shè)出來(lái)，然后通過(guò)建立方程組，解方程求出其坐標(biāo)．題型2利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決空間中的平行、垂直問(wèn)題2．(1)已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分別是直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2，求x，y；(2)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，求k的值．方向2向量法求距離

如圖，以棱長(zhǎng)為1的正方體的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段DC上．(1)當(dāng)PB＝2AP，且點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)M時(shí)，求|PM|的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)點(diǎn)P是面對(duì)角線AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在面對(duì)角線DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究|PQ|的最小值．

素養(yǎng)點(diǎn)睛：考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．1．向量夾角的計(jì)算步驟(1)建系：結(jié)合圖形建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，建系原則是讓盡可能多的點(diǎn)落到坐標(biāo)軸上．(2)求方向向量：依據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出方向向量的坐標(biāo)．(3)代入公式：利用兩向量的夾角公式將方向向量的坐標(biāo)代入求出夾角．2．求空間兩點(diǎn)間的距離的關(guān)鍵及步驟(1)求空間兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題就是把點(diǎn)的坐標(biāo)代入距離公式進(jìn)行計(jì)算，其中確定點(diǎn)的坐標(biāo)或合理設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．(2)若所給題目中未建立坐標(biāo)系，需結(jié)合已知條件建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，再利用空間兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算．一般按如下的步驟：3．已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c.(1)求向量a，b，c；(2)求向量a＋c與b＋c所成角的余弦值．易錯(cuò)警示由向量的夾角求參數(shù)的取值范圍錯(cuò)解分析：錯(cuò)誤的根本原因是忽視了a·b<0包含〈a，b〉＝180°的情況．實(shí)際上a與b夾角為鈍角?a·b<0且〈a，b〉≠180°.正解：選B．因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，所以a·b<0且〈a，b〉≠180°.由a·b<0得(3，－2，－3)·(－1，x－1,1)＝3×(－1)＋(－2)·(x－1)＋(－3)×1<0，解得x>－2.若a與b的夾角為180°，則存在λ<0，使b＝λa，即(－1，x－1,1)＝λ(3，－2，－3)，防范措施：1．明確兩個(gè)充要條件(1)向量a與b的夾角為銳角?a·b>0且〈a，b〉≠0°.(2)向量a與b的夾角為鈍角?a·b<0且〈a，b〉≠180°.2．注意向量共線情況的計(jì)算先利用a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，求出參數(shù)，再根據(jù)“λ>0，a與b同向，λ<0，a與b反向”確定滿足題意的參數(shù)的值.|素養(yǎng)達(dá)成|1．對(duì)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)類(lèi)比平面向量坐標(biāo)運(yùn)算：空間向量的加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積與平面向量類(lèi)似，學(xué)習(xí)中可以類(lèi)比推廣．推廣時(shí)注意利用向量的坐標(biāo)表示，即向量在平面上是用唯一確定的有序?qū)崝?shù)對(duì)表示，即a＝(x，y)．而在空間中則表示為a＝(