正余弦定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及題型分析

正弦定理和余弦定理a b c 2R,〔一〕正弦定理：sinA sinB sinC 其中R是三角形外接圓半徑.a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCa2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2

a2b22abcosCcosA

b2c2a2

,cosB

a2c2b2

,cosC

a2b2c2.由此可得：

2ab 2ac 2ab注：a2b2

c2A是鈍角；a2b2

c2A是直角；a2b2

c2A是銳角；S 1absinC1bcsinA1acsinB.1〕

ABC 2 2 2題型一：正余弦定理的根本應(yīng)用〔12〕已經(jīng)兩邊及一邊對(duì)角用正弦定理；〔3〕兩邊及兩邊的夾角用余弦定理4〕三邊用余弦定理 ABC a20,A30C 45 B,b, 例1、在 中， 求2．以下各三角形中的兩邊及一角，推斷三角形是否有解，并作出解答a2 3,b6,A30 a2,b 2,A45〔1〕 〔2〕a5,b3,A120〔3〕

a3,b4,A60〔4〕例3〔1〕在ABC中，b2c2a2bc，則A= ；10〔2〕假設(shè)△ABC20，面積是

3A60BC=x x〔32、3、，則的取值范圍是=〔4〕在△ABCa2b2c2bc，則A=題型二：推斷三角形的外形 例4〔1〕在 中，假設(shè) 試推斷 的外形。 ABC acosA b 〔2〕在 中，假設(shè) 試推斷 的外形。51ABCb2c2a2bc

sinBsinC34，推斷三角形的外形； ABC (abc)(bca)3bc sinA 2sinBcos 〔2〕在 中， 且 ，推斷其外形；x例、關(guān)于

Cx2xcosAcosB2sin22

0

ABC

肯定是〔 〕B〕鈍角三角形〔C〕等腰三角形〔D〕等邊三角形.題型三：三角形的面積的問題例6〔1〕 中， ， ,求 、 、 及外接圓的半徑。〔2ABC2sinBcosAsin(AC．ABC2ABC的面積是3AB．題型四、正余弦定理的綜合應(yīng)用

a,b,c,B

4,b33

ABC

A,B,C

的對(duì)邊分別為

3， 5 .k.sinC〔Ⅰ〕求 的值；ABC〔Ⅱ〕求 的面積△ABC2、設(shè) 對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且acosB=3，bsinA=4．a(chǎn)；△ABC S 10 △ABC l〔Ⅱ〕假設(shè) 的面積 ，求 的周長(zhǎng)．高考題一、求解斜三角形中的根本元素是指兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個(gè)元素問題，進(jìn)而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長(zhǎng)等根本問題．

A，BC＝3

ABC

的周長(zhǎng)為〔〕3． A 4 3sinB3．

4 3sinB3 6sinB3663 C． 663 C．

D 6sinB36． 6． 4 62(2005年全國(guó)高考湖北卷)在ΔABCAB4 6

3 cosB 6 ，ACBD=

5sinA的值．5二、推斷三角形的外形：給出三角形中的三角關(guān)系式，推斷此三角形的外形．3(2005年北京春季高考題)在ABC2sinAcosBsinC，則ABC肯定是〔〕A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 形三、解決與面積有關(guān)問題主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來解題．例4(2005年全國(guó)高考上海卷)在ABC中，假設(shè)A120，AB5，BC7，則ABC的面積S＝ 四、求值問題5(2005年全國(guó)高考天津卷)在ABCA、B、Ca、b、c，c 13設(shè)a、b、c滿足條件b2c2bca2b23

，求A和tanB的值．6〔06I〕ABCABCabcabcc2acosB221 3224

4

4

3五、正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用，例析如下：〔一.〕測(cè)量問題71所示，為了測(cè)河的寬度，在一岸邊選定A、B兩ADBADB求河的寬度。11。解：∵，∴由正弦定理∴，， 。，1.bcb＋c3＋b＋c而得到結(jié)果．，3 b c

bc

bc

sin3

sinB sinC sinBsinC

Bsin(2B)32 3

6sin(B)

6sinB3b＋c＝

[sinB＋sin(3

－B)]＝

6 ．故三角形的周長(zhǎng)為：3＋b＋c＝

，D66DE1AB2 62.EBCDEDE//AB，且

2 3 BE＝x在ΔBDEBD2BE2ED22BEEDcosBED，5x2822 6 6x

x73 3

，解得

3〔舍去〕28 2 21 30故BC=2，從而A2A2B2ABcoB3，即AC

又sinB，6，2 212 3 sinA 70故sinA 30， 1463.12sinAcosBsinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0A＝B．應(yīng)選(B)．sinC c

a2c2b2解法2：由題意，得cosB＝2sinA 2a，再由余弦定理，得cosB＝

2ac ．a(chǎn)2c2b2 c∴ 2ac ＝2aa2＝b2a＝b，應(yīng)選(B)．(1)，⑵統(tǒng)一化為邊，再推斷(2)．14.ACS＝2AB?ACsinA即可解決．AB2AC2BC2

25AC249

1

2ABAC 10AC 2AC＝3．15 3115 3∴S＝2AB?ACsinA＝

1 13 2．∴2AB?AC?sinA＝2AC?hh＝AB?sinA＝23 2

，應(yīng)選(A)．5.分析：此題給出一些條件式的求值問題，關(guān)鍵還是運(yùn)用正、余弦定理．

b2c2a21

A60解：由余弦定理

2bc 2，因此，在△ 1由條件，應(yīng)用正弦定理

c sinC3 3

sin(120B)2 b sinB sinBsin120cosBcos120sinB

cotB1, cotB2, tanB1.3解得 sinB 2 2 23解得 中1C1， cosAcosB 2sin2

1cosC2【答案】由題意可知：∠

2 2 2

，從而C2cosAcosB1cos(AB)1cosAcosBsinAsinB=1cosAcosBsinAsinB1，cos(AB)1又由于ABAB0ABC一－CA2例6解：ABC中，a、b、c成等比數(shù)列，且c2a，則b= a，2∠cosB

a2c2b2 a24a22a23=1－∠B.

2ac =

4a2

4B.7.分析：求河的寬度，就是