2023屆高考數(shù)學二輪復習專題10解三角形經(jīng)典必刷小題100題教師版

本資料分享自高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854專注收集同步資源期待你的加入與分享專題10解三角形經(jīng)典必刷小題100題任務一:善良模式(基礎(chǔ))1-40題一、單選題1．在中，已知，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理得，再由內(nèi)角和可得角.【詳解】由正弦定理及，可得，因為，所以，又，所以，所以，所以.故選：B．2．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則角B的大小為（）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】利用余弦定理邊化角，進而利用同角三角函數(shù)的關(guān)系得到的值，即得角B的值.【詳解】，即，∴，又∵，∴或.故選：B.3．在中，已知，則的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【分析】先通過“邊化角”，再通過輔助角公式，即可求出答案.【詳解】解：由正弦定理得，整理得：即，又因為,所以,所以，移項得：,所以三角形一定為直角三角形.故選：B4．已知三邊??上的高分別為??，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)面積為，分別將三角形的邊用表示，利用余弦定理得出．【詳解】設(shè)面積為，，，，則，故選：C.5．滿足條件a=4，b=5，A=45°的△ABC的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．無數(shù)個 D．不存在【答案】D【分析】由正弦定理求出角B值的個數(shù).從而得出結(jié)論【詳解】由正弦定理知無解，即不存在這樣的三角形【點睛】由正弦定理求出角B值的個數(shù).很多時候還需要結(jié)合“大邊對大角”特點.屬于中檔題6．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合已知條件和正弦定理可得，即，，再根據(jù)和兩角和的正切公式，以及三角形內(nèi)角之間的關(guān)系，即可求出，再根據(jù)同角關(guān)系即可求出.【詳解】由，利用正弦定理得，即，所以，.代入，解得，又，，同號，所以，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，同時考查了三角恒等變換以及同角的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7．在四邊形中，，且，，，則邊的長（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角的余弦公式求出，然后利用余弦定理可求得邊的長.【詳解】，，由余弦定理得，因此，.故選：D.【點睛】本題考查利用余弦定理求三角形的邊長，同時也考查了二倍角余弦公式的應用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．已知中內(nèi)角所對應的邊依次為，若，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理可得，結(jié)合可得a，b，再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理，得，由，解得，所以，.故選：A.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.9．在中，，BC邊上的高為AD，D為垂足，且BD＝2CD，則cos∠BAC＝（）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接利用三角函數(shù)的定義和余弦定理求出結(jié)果．【詳解】依題意設(shè)，則．因為，所以．因為BC邊上的高為AD，如圖所示所以，即．所以．根據(jù)余弦定理得．故選：A．【點睛】本題考查了解三角形的問題，關(guān)鍵是掌握余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．10．中，已知，設(shè)D是邊的中點，且的面積為，則等于()A．2 B．4 C．-4 D．-2【答案】A【分析】根據(jù)正、余弦定理求出；根據(jù)三角形面積公式求出；再根據(jù)D是邊的中點，將，用和表示，再根據(jù)數(shù)量積的定義，即可求出結(jié)果．【詳解】∵，∴，∴，即，∴，又角是的內(nèi)角，∴，又，即，∴；又D是邊的中點∴.故選：A．【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應用，同時考查了平面向量基本定理和數(shù)量積運算，屬中檔題．11．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，則是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】A【分析】利用倍角公式化簡邊角關(guān)系式，再利用正弦定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式，化簡后可得，從而可得正確選項．【詳解】因為，故即，由正弦定理可得，故，整理得到.因為，故，從而，而，故.故為直角三角形.故選：A．【點睛】在解三角形中，如果題設(shè)條件是邊角的混合關(guān)系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式或角的關(guān)系式.化簡中注意三角變換公式的合理使用．12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，若acosB﹣bcosA＝c，則A＝（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進行化簡即可求解A.【詳解】∵acosB﹣bcosA＝c，由正弦定理可得，sinAcosB﹣sinBcosA＝sinC，所以sinAcosB﹣sinBcosA＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA，所以sinBcosA＝0，因為sinB≠0，所以cosA＝0，即A，故選:B【點睛】本題主要考查正弦定理、兩角和的正弦公式及邊化角的技巧，屬于基礎(chǔ)題.13．已知中，BC邊上的中線，，，則的周長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】在和中，由余弦定理，化簡可得；在中，由余弦定理可知，由此可得，由此即可求出的周長.【詳解】在和中，由余弦定理，可知，，∴，在中，由余弦定理可知，，∴，∴，所以的周長為.故選：A.【點睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應用，屬于中等題.14．在中，角的對邊分別為，若，，且滿足，則的值為（）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理將邊化為角，即可求出角，結(jié)合向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】根據(jù)正弦定理得：即：,又，故選：D.【點睛】本題主要考查正弦定理、兩角和的正弦公式及平面向量的數(shù)量積，考查邊化角的技巧，屬于基礎(chǔ)題.15．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，則b=（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由解出,即可求出,由正弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】解:，且為三角形的內(nèi)角，，，又，.故選:D.【點睛】在解有關(guān)三角形的題目時,要有意識地考慮用哪個定理更合適,或是兩個定理都要用,要抓住能夠利用某個定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時,要考慮用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時,則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時,則要考慮兩個定理都有可能用到.16．在中，，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦定理可求得,由可知,即可得出.【詳解】由正弦定理得，，或，因為,所以,所以.故選：C.【點睛】點睛(1)本題主要考查正弦定理解三角形,意在考查學生對該基礎(chǔ)知識的掌握水平;(2)解三角形如果出現(xiàn)多解,要利用三角形內(nèi)角和定理或三角形邊角不等關(guān)系來檢驗.17．已知在中，角的對邊分別為，若，且，則的面積是（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由三角形內(nèi)角和與兩角和與差的正弦公式求得，再由同角三角函數(shù)關(guān)系求得，進而由余弦定理求得a，最后由三角形面積公式求得答案.【詳解】因為，即，即，則，所以，故.因為，所以，所以角為銳角，故，由余弦定理可知，，解得或.當時，的面積；當時，的面積.故選：C【點睛】本題考查由余弦定理解三角形，并利用任意三角形面積公式求面積，屬于簡單題.18．△中，對應的邊分別為，，，三角形的面積為，則邊的長為（）A． B． C．7 D．49【答案】C【分析】首先利用三角形的面積公式，求出，再利用余弦定理即可求解.【詳解】由，，則，解得，在△中，由余弦定理可得：，解得.故選：C【點睛】本題考查了三角形的面積公式、余弦定理，需熟記公式與定理，屬于基礎(chǔ)題.19．在中，若，則的形狀是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．無法判斷【答案】A【分析】，利用正弦定理可得，再利用余弦定理即可判斷三角形形狀.【詳解】由，得，由正弦定理，得，所以，故為鈍角，所以是鈍角三角形.故選：A.【點睛】本題考查利用正余弦定理判斷三角形形狀，考查學生對定理的靈活運用，是一道容易題.20．在中，角所對的邊分別是，如果有兩組解，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造關(guān)于的余弦定理由此得到關(guān)于的方程組，根據(jù)三角形解的個數(shù)判斷方程組解的個數(shù)，由此得到關(guān)于的不等式組，從而可求的取值范圍.【詳解】法一：設(shè)，則由余弦定理，，，∵三角形有兩組解，∴方程有2個不同的正數(shù)根，設(shè)為，，即；法二：有兩組解，，所以，所以.故選：D.【點睛】本題考查解三角形問題中根據(jù)三角形解的個數(shù)求解參數(shù)范圍，難度一般.此類問題常見解答方法：（1）作圖法；（2）利用正弦定理分析求解；（3）構(gòu)造一元二次方程，根據(jù)方程根的分布進行分析.二、多選題21．不解三角形，則下列對三角形解的個數(shù)的判斷中正確的是（）A．，有一解 B．，有兩解C．，有兩解 D．，無解【答案】AD【分析】應用正弦定理結(jié)合各選項的條件求，由三角形內(nèi)角的性質(zhì)即可判斷各選項的正誤.【詳解】A：由正弦定理，又，故只有一個解，正確；B：由正弦定理，又，顯然只有一個解，錯誤；C：由正弦定理，顯然無解，錯誤；D：由正弦定理，顯然無解，正確；故選：AD22．在中，角，，的對邊分別為，，，，，，為中點，為上的點，且為的平分線，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】AD【分析】利用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，結(jié)合角平分線的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】解析：由正弦定理可知：又，，，在中，得．A．；B．；C．由角平分線性質(zhì)可知：．．D．在中，．故選：AD23．在中，下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AC【分析】利用大邊對大角定理結(jié)合正弦定理可判斷A選項的正誤；利用A選項中的結(jié)論結(jié)合二倍角的余弦公式可判斷B選項的正誤；利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項的正誤；利用特殊值法可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，若，則，由正弦定理可得，A對；對于B選項，若，且、，則，則，B錯；對于C選項，因為，且余弦函數(shù)在上為減函數(shù)，故，C對；對于D選項，取，，則，，此時，，D錯.故選：AC.24．對于△ABC，有如下判斷，其中正確的判斷是（）A．若cosA＝cosB，則△ABC為等腰三角形B．若△ABC為銳角三角形，有，則sinA＞cosBC．若a＝8，c＝10，B＝60°，則符合條件的△ABC有兩個D．若sin2A+sin2B＜sin2C，則△ABC是鈍角三角形【答案】ABD【分析】對于A，利用余弦定理判斷即可，對于B，利用誘導公式判斷即可，對于C，利用余弦定理求解判斷即可，對于D，利用正弦定理和余弦定理判斷即可【詳解】對于A：若cosA＝cosB，則，整理得：a＝b，故△ABC為等腰三角形，故A正確；對于B：若△ABC為銳角三角形，有，整理得，故，則sinA＞cosB，故B正確；對于C：由于a＝8，c＝10，B＝60°，利用余弦定理求出，故△ABC唯一，故C錯誤；對于D：sin2A+sin2B＜sin2C，利用正弦定理：a2+b2＜c2，故，故，故△ABC是鈍角三角形，故D正確.故選：ABD.25．在中各角所對得邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的有（）A．則為等邊三角形；B．已知，則；C．已知，，，則最小內(nèi)角的度數(shù)為；D．在，，，解三角形有兩解.【答案】ABC【分析】對選項A，根據(jù)正弦定理得到，從而得到，即可判斷A正確.對選項B，利用余弦定理即可判斷B正確；對選項C，利用余弦定理即可判斷C正確，對選項D，由正弦定理即可判斷D錯誤.【詳解】對選項A，因為，所以.又因為，所以，即為等邊三角形，故A正確.對選項B，因為，所以，所以.又因為，所以，故C正確.對選項C，因為，所以為最小角，，又因為，所以，故C正確.對選項D，因為，所以，故不存在，D錯誤.故選：ABC26．在中，三個內(nèi)角分別為A，B，C，下列結(jié)論正確的是（）A．恒成立B．若，則一定是銳角三角形C．若，則D．若，則三角形必是等腰直角三角形【答案】AC【分析】對于A，利用誘導公式判斷即可，對于B，利用余弦定理判斷，對于C，利用正弦定理結(jié)合大邊對大角判斷即可，對于D，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊變形判斷【詳解】對于A，因為中，，所以，所以A正確，對于B，因為，所以，所以角為銳角，而不一定是銳角三角形，所以B錯誤，對于C，因為，所以由正弦定理得，所以，所以C正確，對于D，因為，所以由余弦定理得，整理得，所以，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，所以D錯誤，故選：AC27．在中，，，為三個內(nèi)角，，的對邊，若，則角（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由余弦定理化邊為角即得.【詳解】由題得根據(jù)余弦定理可知，∴或．故選：BD.28．在中，，，分別為，，的對邊，下列敘述正確的是（）A．若，則為等腰三角形B．若為銳角三角形，則C．若，則為鈍角三角形D．若，則【答案】BCD【分析】由正弦定理得到，求得或，可判定A不正確；由銳角三角形，得到，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可判定B正確；由，得到中一定有一個小于0成立，可判定C正確；由正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡得到，可判定D正確.【詳解】對于A中，由，可得，即，因為，可得或，即或，所以為等腰或直角三角形，所以A不正確；對于B中，由為銳角三角形，可得，則，因為，可得，又因為函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以B正確；對于C中，因為，由，可得中一定有一個小于0成立，不妨設(shè)，可得，所以為鈍角三角形，所以C正確；對于D中，因為，由正弦定理可得，因為，可得，所以，可得，因為，可得，所以，即，所以，所以D正確.故選：BCD.29．下列結(jié)論正確的是（）A．在中，若，則B．在銳角三角形中，不等式恒成立C．在中，若，，則為等腰直角三角形D．在中，若，，三角形面積，則三角形外接圓半徑為【答案】ABC【分析】運用三角形的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理、余弦定理、三角形面積公式逐一判斷即可.【詳解】解：對于選項：在中，若，根據(jù)大邊對大角，所以，利用正弦定理，所以，則，故選項正確．對于選項：在銳角三角形中，，即，故不等式恒成立，故選項正確．對于選項：在中，，由余弦定理可知：，因此有，即，因為，所以，因此，所以或，即，或（舍去），，所以，故C正確．對于選項：在中，若，，三角形面積所以，解得，所以，由正弦定理，故選項錯誤．故選：．30．在中，有如下四個命題正確的有（）A．若，則為銳角三角形B．若，則的形狀為直角三角形C．內(nèi)一點G滿足，則G是的重心D．若，則點P必為的外心【答案】BC【分析】對于A，由可得角為銳角，從而可判斷，對于B，對兩邊平方化簡，再結(jié)合余弦定理可得結(jié)論，對于C，由向量加法和共線及三角形重心概念判斷，對于D，由向量運算性質(zhì)和三角形垂心概念可判斷【詳解】解：對于A，由，得，所以，所以角為銳角，但不能判斷三角形為銳角三角形，所以A錯誤，對于B，因為，所以，即，所以,得，因為，所以，所以三角形為直角三角形，所以B正確，對于C，因為，所以，所以（為的中點），所以三點共線，所以點在邊的中線上，同理，可得點在其它兩邊的中線上，所以G是的重心，所以C正確，對于D，因為，所以，,所以，所以點在邊的高上，同理可得點也在其它兩邊的高上，所以點為的垂心，所以D錯誤，故選：BC第II卷（非選擇題）三、填空題31．在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，，，若，則的面積為___________.【答案】【分析】由三角形中的射影定理,結(jié)合已知條件求得的值，進而得到的值，然后利用余弦定理求得的值，進而利用面積公式求得.【詳解】由三角形中的射影定理,結(jié)合已知條件，可得,又∵，∴，由，可得，解得(負值舍去)，∴三角形的面積為，故答案為：.32．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，C＝，c＝2，D為BC中點，cosB＝，求AD的長度為______________．【答案】【分析】利用兩角和的正弦公式求得的值，利用正弦定理求得邊的值，進而由余弦定理求得.【詳解】解：因為cosB＝，所以sinB＝，sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB＝，由正弦定理得，所以a＝2，因為D為BC的中點，BD＝，△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB?BDcosB＝26，所以AD＝．故答案為：．33．若，，為的三邊，且，，成等差數(shù)列，則的最小值是___________.【答案】【分析】將等差中項代入余弦定理，利用不等式放縮可得的最小值．【詳解】，則的最小值是故答案為：34．已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，角，，成等差數(shù)列，且，若，分別為邊，的中點，且為的重心，則面積的最大值為______.【答案】【分析】利用正弦定理，余弦定理求得，可得面積的最大值，再根據(jù)題意及平面幾何知識可得，從而得到面積的最大值．【詳解】角，，成等差數(shù)列，且，則由余弦定理可知，，即分別為邊的中點，且為的重心，由平面幾何知識可知，．面積的最大值為．故答案為：35．設(shè)分別是的內(nèi)角所對的邊，已知，則角的大小為______．【答案】【分析】利用正弦定理和三角形內(nèi)角和為，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡，得出角的大小．【詳解】由正弦定理可得，，即化簡得，又，則，即角的大小為故答案為：36．在中，角，，的對邊分別為，，.若；且，則周長的范圍為__________.【答案】【分析】先求角，再用余弦定理找到邊的關(guān)系，再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解：所以三角形周長故答案為：【點睛】考查正余弦定理、基本不等式的應用以及三條線段構(gòu)成三角形的條件；基礎(chǔ)題.37．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，，則的取值范圍是_____．【答案】【分析】計算出角的取值范圍，結(jié)合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】，則，所以，，由正弦定理，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正弦定理，正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．38．在中內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，面積為，且，則的值為________.【答案】【分析】根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理建立方程進行求解即可.【詳解】根據(jù)題意得，，由余弦定理可得，，，，，可得.，.故答案為：.【點睛】本題主要考查余弦定理，三角形面積公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的綜合應用，屬于基礎(chǔ)題.39．在中，，，分別是角，，所對的邊，且，則的最大值為_________．【答案】【分析】利用正弦定理邊化角化簡可求得,則有,則借助正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)即可求出.【詳解】因為，所以，所以．所以，因為，所以當時，取得最小值．故答案為:.【點睛】本題考查正弦定理,三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),屬于常考題.40．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，，，則角______.【答案】或【分析】利用輔助角公式得出，結(jié)合角的取值范圍可求出的值，再利用正弦定理可求出角的值.【詳解】由可得，所以，，，則，.由正弦定理得，又因為，所以，所以或.故答案為：或.【點睛】本題考查利用正弦定理求角，在利用正弦定理求角時，可能會存在兩解，要注意大邊對大角定理的應用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.任務二:中立模式(中檔)1-40題一、單選題1．在銳角中，角所對的邊分別為，且滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，根據(jù)正弦定理邊化角，在消去，可得，利用三角形是銳角三角形，可得，進而求出，對化簡，可求出結(jié)果．【詳解】因為，由正弦定理可知，，又，所以所以，所以即，又是銳角所以，即，所以，解得，所以，所以.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是通過正弦定理和銳角三角形的特點求得，和.2．銳角中，角、、所對的邊分別為、、，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理、正弦定理邊角互化思想、兩角差的正弦公式，并結(jié)合條件得出，根據(jù)為銳角三角形得出角的取值范圍，可得出的取值范圍.【詳解】，即，化簡得.由正弦定理邊角互化思想得，即，所以，，，，，，，，是銳角三角形，且，所以，解得，則，所以，，因此，的取值范圍是，故選D.【點睛】本題考查余弦定理、正弦定理邊角互化思想的應用，同時也考查了二倍角公式的應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.3．已知中，角，，所對的邊分別是，，．若，且，則（）A． B． C．或 D．不存在【答案】A【分析】由題意，利用余弦定理和正弦定理，化簡求得，再利用降冪公式與和差化積，以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，求得的值．【詳解】中，，；，，，，即；，又，，，化簡得，解得或∵，∴．故選：A．【點睛】本題考查了三角恒等變換應用問題，也考查了正弦、余弦定理的應用問題，是中檔題．4．在中，角、、對邊分別為、、，若，，且，則的周長是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知條件求出角的值，利用余弦定理求出、的值，由此可計算出的周長.【詳解】，，，，則，，，，由余弦定理得，即，，，因此，的周長是.故選：D.【點睛】本題考查三角形周長的計算，涉及余弦定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.5．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝1，a（2sinB﹣cosC）＝ccosA，點D是邊BC的中點，且AD＝，則△ABC的面積為（）A． B． C．或2 D．或【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理先求出A的大小，結(jié)合中線的向量公式以及向量數(shù)量積的公式進行轉(zhuǎn)化求出c的值進行求解即可．【詳解】∵a（2sinB﹣cosC）＝ccosA，∴2sinAsinB﹣sinAcosC＝sinCcosA，即2sinAsinB＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，∵sinB≠0，∴2sinA＝，即sinA＝，即A＝或∵點D是邊BC的中點，∴，平方得，即＝(b2+c2+2bccosA)，即13＝1+c2+2ccosA，若A＝，則c2+c﹣12＝0得c＝3或c＝﹣4（舍），此時三角形的面積S＝bcsinA＝若A＝，則c2﹣c﹣12＝0得c＝4或c＝﹣3（舍），此時三角形的面積S＝bcsinA＝，綜上三角形的面積為或，故選：D．【點睛】本題主要考查三角形的面積的計算，結(jié)合正弦定理了以及向量的中點公式以及向量數(shù)量積的應用是解決本題的關(guān)鍵．6．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則A的取值范圍是A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理化簡即得解.【詳解】由正弦定理可得．，．故選C．【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.7．如圖，在離地面高的熱氣球上，觀測到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，已知，則山的高度為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】可知為等腰直角三角形，可計算出的長度，在中，利用正弦定理求出的長度，然后在中，利用銳角三角函數(shù)求出，即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，可得在中，，，所以，，因為在中，，，由正弦定理，得，在中，，故選C.【點睛】本題考查解三角形的實際應用問題，著重考查三角函數(shù)的定義、利用正弦定理解三角形等知識，在解題時，要結(jié)合三角形已知元素類型合理選擇正弦定理和余弦定理解三角形，考查運算求解能力，屬于中等題.8．在△ABC中，若，則（）A．C的最大值為 B．C的最大值為C．C的最小值為 D．C的最小值為【答案】A【分析】由商數(shù)關(guān)系，可得，結(jié)合輔助角公式，化簡整理為，于是，由均值不等式可知，，由余弦定理知，，將所得結(jié)論代入進行運算可得，結(jié)合三角形內(nèi)角關(guān)系，即可求解．【詳解】由題可知，，所以，由正弦定理知，，所以，由均值不等式可知，，由余弦定理知，，因為，所以，即的最大值為．故選：A．【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理的綜合運用，采用了角化邊的思維，還用到了同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系、輔助角公式和均值不等式等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析能力和運算能力，屬于中檔題．9．在鈍角中，角所對的邊分別為，且，已知，，，則的面積為（）A．4 B．8 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，由正弦定理角化邊，得到，由，利用余弦的二倍角公式求得，時推出矛盾，得到，進而結(jié)合余弦定理求得,進而利用三角形的面積公式計算可得.【詳解】已知，，由正弦定理得,，∴，當時，由余弦定理得：，即：,∴,與聯(lián)立解得不滿足，舍去.∴，∴.由余弦定理得：，即：,∴,與聯(lián)立解得滿足，的面積為,故選：C.【點睛】本題考查正余弦定理在解三角形計算中的綜合應用，考查三角形的面積公式，涉及分類討論思想，屬中檔題.10．已知的面積為1，角的對邊分別為，若，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意結(jié)合正弦定理得，由余弦定理得即，再由可得，根據(jù)正弦定理得，，則即可得解.【詳解】由得，則，由可得，由得，由正弦定理知，即，，∴，所以.故選：D.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理與三角形面積公式的綜合應用，考查了運算能力與轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.11．已知的外心為，且，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)的中點為，根據(jù)，得到，從而有，，三點共線，得到是等腰三角形，再根據(jù)求解.【詳解】設(shè)的中點為，根據(jù)題意可得，∴，，三點共線，如圖所示：∴，且，，在中，，所以，在中，，∴，由余弦定理得.故選：A.【點睛】本題主要考查余弦定理在平面幾何中的應用以及三角形的外接圓問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.12．已知三內(nèi)角的對邊分別為，且，若角平分線段于點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知，易得，再利用得到，即，再利用“1”的替換即可得到答案.【詳解】由及正弦定理，得，因，，所以，即，又，所以.如圖，，所以，所以，即.∴，當且僅當，，即時，等號成立所以的最小值為9.故選：B【點睛】本題考查正弦定理在解三角形中的應用，涉及到基本不等式求最值，考查學生的數(shù)學運算求解能力，是一道中檔題.13．中，角、、的對邊分別為，，，且，若，，則的值為（）A．6 B．2 C．5 D．【答案】A【分析】由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式可得，結(jié)合，可求得，結(jié)合范圍，可求，從而根據(jù)余弦定理，解方程可求的值．【詳解】解：∵，∴由正弦定理可得：，∵，∴可得，∵，∴，∵，，∴由余弦定理，可得，可得，∴解得，（負值舍去）．故選：A．【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理的綜合應用，其中著重考查了正弦定理的邊角互化、余弦定理的解三角形，難度一般.利用邊角互化求解角度值時，注意三角形內(nèi)角對應的角度范圍.14．在中，、、分別為內(nèi)角、、所對的邊，且滿足，，若點是外一點，，，，則平面四邊形面積的最大值是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理邊角互化思想化簡得出，進而可得出是等邊三角形，利用余弦定理求得，然后利用三角形的面積公式可得出四邊形的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】，由正弦定理得，即，即，由正弦定理得，又，所以，為等邊三角形，則，，，，當時，即當時，四邊形的面積取最大值.故選：B.【點睛】四邊形的面積往往轉(zhuǎn)化為兩個三角形面積之和，從而所求問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的有界性問題，結(jié)合條件易得結(jié)果.15．已知外接圓的半徑，且.則周長的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由及倍角公式可得，，再由余弦定理可得，再利用基本不等式及三角形兩邊之和大于第三邊求出的取值范圍即可得到答案.【詳解】由題意，，即，可化為，即，因為，所以，即，，設(shè)的內(nèi)角，，，的對邊分別為，，，由余弦定理得，，因為（當且僅當時取“=”），所以，即，又因為，所以，故，則，又因為，所以，即.故周長的取值范圍為.故選：C【點睛】本題考查利用余弦定理求三角形周長的取值范圍，涉及到輔助角公式、基本不等式求最值，考查學生的運算求解能力，是一道中檔題.16．已知橢圓的離心率為，左，右焦點分別為，，過左焦點作直線與橢圓在第一象限交點為P，若為等腰三角形，則直線的斜率為A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點在第一象限，得，根據(jù)離心率為得，再按照和兩種情況討論，利用余弦定理和同角公式可求出直線的斜率.【詳解】因為點在第一象限，所以，因為，所以，當時，滿足，，所以，所以，所以直線的斜率為，當時，，不符合題意.綜上所以直線的斜率為.故選：A【點睛】本題考查了分類討論思想，考查了橢圓的定義，考查了余弦定理、同角公式，斜率的定義，屬于中檔題.17．設(shè)向量，，滿足，，則的最大值等于A．4 B．2 C． D．1【答案】A【分析】首先利用向量的數(shù)量積可得向量與的夾角為，令，，，利用向量的減法可得，，從而可得四邊形有外接圓，的最大值為四邊形的外接圓直徑，再利用正弦定理即可求解.【詳解】因為，，所以向量與的夾角為，如圖，令，，，則，，,由，得,所以，所以四邊形有外接圓，，所以的最大值即為四邊形的外接圓直徑，因為，，所以由余弦定理得，設(shè)四邊形的外接圓半徑為，由正弦定理可得，所以的最大值為.故選：A【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積求夾角、向量的減法、正弦定理求外接圓半徑，屬于中檔題.18．已知在中，角的對邊分別是，點在內(nèi)部，且滿足，若，則（）A．3 B．6 C．7 D．【答案】D【分析】由已知利用正弦定理及逆用和角公式可求得,設(shè),可證得由對應邊成比例可得,在中,利用余弦定理得:,可解得,即可求得結(jié)果.【詳解】,,即,,,由.得.設(shè),則，，在中,利用余弦定理得:,解得,則,.故選:D.【點睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應用,考查學生的邏輯推理能力和計算能力,難度一般.19．在中，，，則的最大值為A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理和三角恒等變換思想將表示為角為自變量的正弦型函數(shù)，利用正弦函數(shù)的有界性可得出的最大值.【詳解】設(shè)的外接圓半徑為，，，則，所以，其中，，所以的最大值為.故選：B.【點睛】本題考查三角形中的最值問題，一般利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換將代數(shù)式變形為以某角為自變量的三角函數(shù)來求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于中等題.20．如圖，在中，，點D在線段BC上，且，，則的面積的最大值為（）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，根據(jù)三角形的面積公式求出AC，AB，然后由，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最大值．【詳解】解：設(shè)，則．，，，，，同理，其中，，當時，，．故選：C．【點睛】本題考查了余弦定理和三角恒等變換，以及三角形的面積公式，考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．二、多選題21．已知的外接圓半徑，，則下列說法正確的是（）A．的最小值為 B．的最小值為C．的周長的最小值為 D．的面積的最大值為【答案】ABD【分析】利用正弦定理，求出范圍，從而求出的范圍，結(jié)合余弦定理，三角形面積公式,即可求解.【詳解】在中，設(shè)角所對的邊分別記作，∴,∴,又的外接圓半徑，由正弦定理得：,∴,又∵B、C不會同為鈍角，故,又∵,∴,故B選項對.由上得:，由余弦定理得：，∴，∴∴的最小值為，故A選項對，C選項錯.由上得：，又,的面積的最大值為,故D選項對，故選：ABD.【點睛】本題綜合考查了正、余弦定理及三角形面積公式，屬于中檔題.22．在中，角，，所對的邊分別為，，.若，角的角平分線交于點，，，以下結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．的面積為【答案】ACD【分析】首先根據(jù)余弦定理，并結(jié)合條件判斷，并根據(jù)二倍角公式得到，依次計算的值，根據(jù)面積比值，判斷C和D.【詳解】解析：在中，根據(jù)余弦定理得，，即，所以.由倍角公式得，解得.在中，，故選項A正確在中，，解得.故選項B錯誤；，解得，故選項C正確；在中，由得，，所以，故選項D正確故選：ACD【點睛】本題考查判斷命題的真假，重點考查正余弦定理解三角形，三角形面積公式的應用，數(shù)形結(jié)合分析問題的能力，屬于中檔題型.23．在中各角所對得邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的有（）A．則為等邊三角形；B．已知，則；C．已知，，，則最小內(nèi)角的度數(shù)為；D．在，，，解三角形有兩解．【答案】ABC【分析】利用正弦定理、余弦定理一一計算可得；【詳解】解：對于A：若，則，即，即，即是等邊三角形，故A正確；對于B：由，可得，余弦定理：．，，故B正確．對于C：因為，，，所以，所以，所以，，，故C正確；對于D：因為，，，所以，即解得，因為，所以，所以三角形只有1解；故選：ABC24．己知△ABC中，角A，B．C所對的邊分別是a，b，c，B=，2=，AP=則下列說法正確的是（）A．=+ B．a(chǎn)+3c的最大值為C．△ABC面積的最大值為 D．a(chǎn)+c的最大值為2【答案】AD【分析】利用平面向量基底表示向量可判斷A；利用正弦定理、余弦定理、面積定理借助三角恒等變換可計算判斷B，C，D.【詳解】對于A，在△ABC中，因2=，則，A正確；在△ABP中，由余弦定理得：，當且僅當時取“=”，于是得當時，，，C不正確；在△ABP中，令，則，，由正弦定理得：，則，，其中銳角由確定，而，則當時，，取最大值，D正確；而，則的最大值應大于的最大值，又，即a+3c的最大值為是不正確的，B不正確.故選：AD25．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．是鈍角三角形C．的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍 D．若，則外接圓半徑為【答案】ACD【分析】不妨設(shè)，，，解得，，，對四個選項一一驗證：由正弦定理可判斷A；由為最大邊，結(jié)合余弦定理可判斷B；由余弦定理和二倍角公式驗證可判斷C；由正弦定理可判斷D.【詳解】不妨設(shè)，，，解得，，，根據(jù)正弦定理可知，選項A描述準確；由為最大邊，故為最大角，，即為銳角，選項B描述不準確；由題意，為最小角，為最大角，，由，，可得，選項C描述準確；若，可得，外接圓半徑為，選項D描述準確.故選：ACD.26．已知，，分別是三個內(nèi)角，，的對邊，下列四個命題中正確的是（）A．若，則是銳角三角形B．若，則是等腰三角形C．若，則是等腰三角形D．若，則是等邊三角形【答案】ACD【分析】由兩角和的正切公式結(jié)合誘導公式以及，，為的內(nèi)角可判斷A；由正弦定理化邊為角結(jié)合正弦的二倍角公式可判斷B；由正弦定理化邊為角，逆用兩角和的正弦公式可判斷C；利用正弦定理化邊為角結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A，因為，所以，所以，因為，，為的內(nèi)角，所以，，都是銳角，所以是銳角三角形，故選項A正確；對于B：由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故選項B錯；對于C：由及正弦定理化邊為角，可知，即，因為，為的內(nèi)角，所以，所以是等腰三角形，故選項C正確；對于D：由和正弦定理化邊為角，易知，所以，因為，，為的內(nèi)角，所以，所以是等邊三角形，故選項D正確；故選：ACD.27．如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，且，是外一點，，，則下列說法正確的是（）A．是等邊三角形B．若，則，，，四點共圓C．四邊形面積最大值為D．四邊形面積最小值為【答案】ABC【分析】根據(jù)正弦定理，求得，求得，結(jié)合，可判定正確；由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得到，結(jié)合余弦定理，可判定正確；設(shè)，利用余弦定理求得，得出，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判定正確，錯誤.【詳解】因為，所以，即，由，可得，所以或，又因為，可得．所以，故正確；若四點，，，共圓，則四邊形對角互補，由正確，可得，在中，因為，，所以，故正確；等邊中，設(shè)，，在中，由余弦定理得，由于，，可得，所以，因為，，，所以，所以四邊形面積的最大值為，無最小值，故正確，錯誤.故選：．28．若的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A．角一定為銳角 B．C． D．的最小值為【答案】BC【分析】結(jié)合降次公式、三角形內(nèi)角和定理、余弦定理、正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡已知條件，然后對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】依題意，，，為鈍角，A選項錯誤.，，B選項正確.，由正弦定理得，，，由于，為鈍角，為銳角，所以兩邊除以得，.C選項正確.，，整理得，由于為鈍角，，所以，當且僅當時等號成立.所以，D選項錯誤.故選：BC29．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊長a，b，c成等比數(shù)列，，延長BA至則下面結(jié)論正確的是（）A． B．C．若，則

周長的最大值為 D．若，則面積的最大值為【答案】BD【分析】先利用已知等式，利用兩角差的余弦公式化簡，并與將三邊成等比數(shù)列，利用正弦定理轉(zhuǎn)化后的結(jié)果結(jié)合，消去A，C得到關(guān)于cosB的方程，求出，進而再次利用兩角差的余弦公式得到，確定，進而確定為正三角形，可以判定A、B選項的正誤；在中利用余弦定理得到，的關(guān)系式，利用基本不等式放縮得到關(guān)于的不等式，解得其范圍，進而得到周長的最大值，從而判定C選項的正誤；利用三角形的面積公式，利用配方法，即得的面積最大值，從而判定D選項的正誤．【詳解】化簡得①，又a，b，c成等比數(shù)列，則有②，由①②得：所以，，解得或舍去所以，代入②得：，，所以，又，所以為正三角形，如圖所示，故選項A不對，選項B對；對于C選項，在中，根據(jù)余弦定理有整理得，根據(jù)基本不等式有，解得，當且僅當?shù)忍柍闪?，所以周長的最大值為，故C錯；對于選項D，設(shè)AC長度為b，則，在中，所以當時，，故選項D對．故選：BD．30．已知的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，則下列條件能推導出一定是銳角三角形的是（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理，余弦定理逐項判斷即可求解.【詳解】解：對于，若，由余弦定理可知，即角為銳角，不能推出其他角均為銳角，故錯誤；對于，因為，可得，可得，設(shè)，，，，可得為最大邊，為三角形最大角，根據(jù)余弦定理得，可得為銳角，可得一定是銳角三角形，故正確；對于，因為，可得，整理可得，由正弦定理可得，可得為直角，故錯誤；對于，因為由于，整理得，故，由于，故，故，，均為銳角，為銳角三角形，故正確．故選：BD．第II卷（非選擇題）三、填空題31．在中，角、、的對邊分別是、、，已知，則角的值為___________．【答案】【分析】由題意，結(jié)合正弦定理和，可化簡原式得，即，利用的范圍即得解【詳解】由，得，根據(jù)正弦定理可得：，又，又，，，即，，，，.故答案為：32．已知，，分別為的三個內(nèi)角，，的對邊，，且，為的重心，則________【答案】【分析】根據(jù)已知等式，利用余弦定理角化邊，結(jié)合已知條件可以求得的值，進而求得的值，然后根據(jù),利用向量的數(shù)量積運算可求得的長度.【詳解】由余弦定理得,∴,∵，，將代入得：,所以，設(shè)以為鄰邊的平行四邊形的另一個頂點為,則,,故答案為：【點睛】本題考查余弦定理在解三角形中的應用，要熟練使用上弦定理角化邊，并結(jié)合向量的數(shù)量積運算可更快的求解.33．在中，，．邊上的中線，則_____．【答案】【分析】，中，分別用余弦定理表示，，再利用解邊長，再根據(jù)余弦定理求角，最后根據(jù)三角形面積公式求解.【詳解】設(shè)，中，，中，，,，解得：，，中，,,.故答案為：【點睛】本題考查解三角形，重點考查數(shù)形結(jié)合分析問題，計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.34．在中，點在邊上，且滿足，，則的取值范圍為_______．【答案】【分析】作出圖形，由得出，利用正弦定理和三角恒等變換思想得出，然后利用不等式的性質(zhì)和基本不等式可求得的取值范圍.【詳解】如下圖所示：，，，，，且為銳角，在中，，另一方面，當且僅當時，等號成立，因此，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查三角形中邊長比值的取值范圍的計算，考查了正弦定理、兩角和與差的正弦公式以及基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中等題.35．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則的面積為______________.【答案】或【分析】由可得，或，分，，與，，兩種情況討論即可.【詳解】因為，所以或，，所以或.當時，，由正弦定理可得，又，所以；當時，，，由正弦定理可得，此時.綜上，的面積為或.故答案為：或【點睛】本題考查正弦定理在解三角形中的應用，涉及到三角形面積公式，考查學生分類討論的思想，數(shù)學運算能力，是一道中檔題.36．在三角形中，，且角、、滿足，三角形的面積的最大值為，則______．【答案】【分析】由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式可得，可求得，利用余弦定理，基本不等式可求的最大值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】，即，因為，即，解得，，所以，設(shè)、、分別為角、、的對邊，由余弦定理得，即．又因為，即，當且僅當時等號成立．所以三角形的面積．故答案為：.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．37．在中，已知,，BC邊上的中線，則________．【答案】【分析】根據(jù)圖形，由中線長定理可得：，再利用余弦定理可得：解得的值，再次利用余弦定理求解出，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系解得．【詳解】解：如圖所示，由中線長定理可得：，由余弦定理得到：，即．聯(lián)立成方程組，解得：，故由可得，．故答案為：【點睛】本題考查了余弦定理的知識，方程思想是解決本題的關(guān)鍵.38．如圖，在中，，，點在線段上，且，，則的面積為______.【答案】【分析】在和利用正弦定理建立等式，結(jié)合條件可求得的值，在中分別利用正弦定理和余弦定理求解、，進而可求得的面積.【詳解】在中，由正弦定理得，即，①在中，由正弦定理得，②又，③，聯(lián)立①②③得，，在中，由正弦定理得，可得，由余弦定理得，即，，解得，因此，的面積為.故答案為：.【點睛】本題考查三角形面積的計算，涉及正弦定理、余弦定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.39．若的面積為，且為鈍角，則的取值范圍是______.【答案】【分析】利用三角形的面積公式和余弦定理可求得，進而得出，由為鈍角得出，再利用正弦定理邊角互化思想得出，進而可求得的取值范圍.【詳解】由三角形的面積公式和余弦定理得，化簡得，則，，，為鈍角，則，解得，所以，所以，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】考查三角形中邊長比值取值范圍的計算，涉及三角形的面積公式、余弦定理以及正弦定理的應用，將問題轉(zhuǎn)化為以角為自變量的三角函數(shù)的值域問題求解是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.40．已知是銳角的外心，．若，則實數(shù)______．【答案】【分析】設(shè)外接圓的半徑為，對原式進行化簡可得，再根據(jù)角的關(guān)系可得，，再利用三角恒等變化，即可求解．【詳解】解：設(shè)外接圓的半徑為，∵，∴，∵，，∴，即，即，故，故，故，故答案為：．【點睛】本題考查了正弦定理的應用，平面向量運算的應用以及三角恒等變換的應用，屬于中檔題．任務三:邪惡模式(困難)1-20題一、單選題1．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等變換及正弦定理將進行化簡，可求出的值，再利用邊化角將化成角，然后利用輔助角公式及角的范圍即可得到答案.【詳解】由題知，即由正弦定理化簡得即故選：.【點睛】方法點睛：邊角互化的方法（1）邊化角：利用正弦定理（為外接圓半徑）得，，；（2）角化邊：①利用正弦定理：，，②利用余弦定理：2．如圖所示，已知△，是的中點，沿直線將△翻折成△，所成二面角的平面角為，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過作垂足為，過作垂足為，將平移到處，連接、，易知為二面角的平面角，，設(shè)，，，進而求、、，在中應用余弦定理并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)判斷與的大小關(guān)系.【詳解】過作垂足為，過作垂足為，將平移到處，連接、，則為二面角的平面角，即，又，即，故，易知，則，設(shè)，，，則，在△中，，在中，，，在中，，，∵平面，則平面，則，，，在中：，∴（當且僅當時等號成立），∴.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：應用二面角的定義，通過作輔助線確定二面角的平面角，再根據(jù)目標角、相關(guān)線段所在三角形求、、，進而在中應用余弦定理并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)判斷角大小關(guān)系.3．在三棱錐中，，則這個三棱錐的外接球的半徑為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】若為的中點，由題意推出面且，即可知三棱錐外接球的球心必在平面內(nèi)，且△為等腰三角形，過作于，過作于，由正余弦定理求AH，由為棱錐外接球半徑，結(jié)合勾股定理求出R即可.【詳解】由，有，即△為等腰直角三角形且，若為的中點，為三棱錐外接球的球心，連接，又，∴，又，即知：面且，∴三棱錐外接球的球心必在平面內(nèi)，又由上知：，故，即，過作于，過作于，由，得，，若三棱錐外接球半徑為R，，∴，，又，∴，故.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：首先由線面垂直且棱被平面平分，可確定球心的位置，再由正余弦定理求線段長，根據(jù)所得線段與外接球半徑及其它線段的幾何關(guān)系，求半徑即可.4．在中，的平分線交于點，則的面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，則，結(jié)合正弦定理表示得，由余弦定理可得與的關(guān)系式，聯(lián)立前式由同角三角函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)化簡即可求解【詳解】如圖，設(shè)設(shè)，，則由正弦定理可得①，②，又，所以，①②式聯(lián)立可得，則，則，對，由余弦定理可得，則，當時，有最大值，，所以，故選：C【點睛】本題考查由三角形的邊角關(guān)系求解面積最值，正弦定理、余弦定理解三角形，屬于難題，本題中的角平分線性質(zhì)可當結(jié)論進行識記：為的角平分線，則5．銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由余弦定理，求得，再結(jié)合基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意，因為，所以，又由，得，則所以，令，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查了余弦定理的應用，以及基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性的應用，其中解答中熟記應用運算定理得到的表達式，結(jié)合基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力6．在中，角所對的邊分別為，已知，．當變化時，若存在最大值，則正數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，，所以根據(jù)正弦定理可得，所以，，所以，其中，，因為存在最大值，所以由，可得，所以，所以，解得，所以正數(shù)的取值范圍為，故選C．7．已知的內(nèi)角的對邊分別是且，若為最大邊，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，化簡得到的值，根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因為為三角形的最大角，所以，又由余弦定理，當且僅當時，等號成立，所以，即，又由，所以的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡，余弦定理，以及基本不等式的綜合應用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了推理與運算能力.8．在銳角中，角的對邊分別為，的面積為，若，則的最小值為（）A． B．2 C．1 D．【答案】A【分析】結(jié)合面積公式，可得出，由余弦定理得出，再用正弦定理化邊為角，得出，把所求式子用角表示，并求出角范圍，最后用基本不等式求最值.【詳解】因為，即，所以，因為，所以，由余弦定理，可得，再由正弦定理得，因為，所以，所以或，得或（舍去）.因為是銳角三角形，所以，得，即，所以，當且僅當，取等號.故選:A【點睛】本題考查考查用正弦定理、余弦定理、面積公式解三角形，考查基本不等式求最值，屬于較難題.9．在中，內(nèi)角的對邊分別是，且邊上的高為，若，則當取最小值時，內(nèi)角的大小為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，由正弦定理得到，根據(jù)邊上的高為，結(jié)合正弦定理有，再由余弦定理可得，即，由，再根據(jù)取最小值時求解.【詳解】因為，所以，因為邊上的高為，所以，即，由余弦定理得：，所以，即，，即，解得，所以的最小值為，此時，又，，所以.故選：【點睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于較難題.10．已知△ABC的三邊分別為a，b，c，若滿足a2+b2+2c2＝8，則△ABC面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)a2+b2+2c2＝8，得到，由余弦定理得到，由正弦定理得到，兩式平方相加得，而，兩式結(jié)合有，再用基本不等式求解.【詳解】因為a2+b2+2c2＝8，所以，由余弦定理得，即①由正弦定理得，即②由①，②平方相加得，所以，即，所以，當且僅當且即時，取等號.故選：B【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理及基本不等式的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.二、多選題11．在中，設(shè)，，，則下列命題正確的是（）A．若，則為鈍角三角形B．C．若，則D．若，則【答案】BCD【分析】對于A直接化簡表達式即可，知三角形一個角為銳角，所以無法判斷三角形形狀；對于B通過逆推法化簡不等式，得出一個恒成立的式子，可知原不等式一定成立；對于C運用余弦定理角化邊即可得出不等式；對于D先化簡所給條件，再通過三角形中線向量公式與其聯(lián)系起來，在兩個三角形中分別運用余弦定理即可.【詳解】對于A，因為，所以，所以，所以,為銳角，無法判斷是鈍角三角形，故A錯誤；對于B，若，則，即，在中，由余弦定理得，代入上式化簡得顯然成立，以上過程均可逆，故成立，故B正確；對于C，因為，所以，即，在中，由余弦定理得，代入化簡得，故，故C正確；對于D，如下圖所示，取中點，中點，根據(jù)三角形中線向量公式得，因為，所以,即,所以.在中，由余弦定理得；在中，由余弦定理得,化簡得，故，故D正確.故選:BCD12．已知是所在平面內(nèi)一點，以下說法正確的是（）A．若動點滿足，則點的軌跡一定通過的重心．B．若點滿足，則點是的垂心．C．若為的外心，且，則是的內(nèi)心．D．若，則點為的外心【答案】AD【分析】由正弦定理結(jié)合共線向量可判斷A；將題設(shè)轉(zhuǎn)化可得出點的位置，從而可判斷B；依題意結(jié)合共線向量可得出點的位置，進而可判斷C；由數(shù)量積的運算可得，由此可判斷D.【詳解】對于選項A：由正弦定理得（為外接圓半徑），設(shè)的中點為，則由條件可得，所以與共線，因為是中線，所以點的軌跡一定通過的重心.故A正確；對于選項B：由得，則是的角平分線；同理，由得是的角平分線，所以點是的內(nèi)心.故B錯誤；對于選項C：設(shè)的中點為點，由得，所以，由是外心可得，所以，所以；同理，，所以點是的垂心.故C錯誤；對于選項D：由得，則，即，同理，由得，故點是的外心.故D正確.故選：AD.13．在銳角中，角所對的邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的有（）A． B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】AD【分析】先利用正弦定理從條件中求出，得到選項A正確.選項B利用為銳角三角形求解；選項C先用二倍角公式化簡，再結(jié)合角的范圍求解；選項D先對式子化簡，再換元利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求范圍.【詳解】在中，由正弦定理可將式子化為，把代入整理得，，解得或，即或(舍去).所以.選項A正確.選項B：因為為銳角三角形，，所以.由解得，故選項B錯誤.選項C：，因為，所以，，即的取值范圍