第15講 構(gòu)建概率模型,判斷游戲公平性

第15講構(gòu)建概率模型，判斷游戲的公平性二、方法剖析與提煉例1．（2016威海）一個(gè)盒子里有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的六個(gè)小球，這些小球除標(biāo)號(hào)數(shù)字外都相同．（1）從盒中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，求摸到標(biāo)號(hào)數(shù)字為奇數(shù)的小球的概率；（2）甲、乙兩人用著六個(gè)小球玩摸球游戲，規(guī)則是：甲從盒中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下標(biāo)號(hào)數(shù)字后放回盒里，充分搖勻后，乙再?gòu)暮兄须S機(jī)摸出一個(gè)小球，并記下標(biāo)號(hào)數(shù)字．若兩次摸到小球的標(biāo)號(hào)數(shù)字同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，則判甲贏；若兩次摸到小球的標(biāo)號(hào)數(shù)字為一奇一偶，則判乙贏．請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法說明這個(gè)游戲?qū)住⒁覂扇耸欠窆剑窘馕觥浚?）共有1，2，3，4，5，6六個(gè)小球，其中奇數(shù)3個(gè)，根據(jù)概率公式即可得到。（2）畫出樹狀圖或者表格，就可以找到所有等可能的情況，找到兩次摸到小球的標(biāo)號(hào)數(shù)字同為奇數(shù)或同為偶數(shù)的個(gè)數(shù)及摸到小球的標(biāo)號(hào)數(shù)字為一奇一偶的結(jié)果的個(gè)數(shù)，再利用概率公式分別計(jì)算甲、乙兩人的概率，做比較即可知道是否公平?！窘獯稹浚?）(2)(2)解法】找到游戲公平性與概率模型的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵。解釋】（1）第一題可以根據(jù)概率公式直接得出答案；2）第二題利用列表或者樹狀圖，得出所有可能的情況數(shù)，找出所有同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)的情況共有18種，再找出一奇一偶的情況，比較兩個(gè)概率大小，即可得出游戲是否公平。此處涉及到的情況有36種，雖為有限基于情況較多，基礎(chǔ)薄弱的容易出錯(cuò)；在基礎(chǔ)較為扎實(shí)的學(xué)生中，其實(shí)應(yīng)該明顯能夠看到

從1,2,3,4,5,6中，非奇即偶，那么每個(gè)數(shù)都是一半同奇（或同偶），一半一奇一偶，答案其實(shí)顯而易見的。（3）此類題是在等可能性的基礎(chǔ)上產(chǎn)生，游戲公平與否只與概率是否相等有關(guān)，難度系數(shù)較小。例2．（2013杭州）某班有50位學(xué)生，每位學(xué)生都有一個(gè)序號(hào)，將50張編有學(xué)生序號(hào)（從1號(hào)到50號(hào)）的卡片（除序號(hào)不同外其它均相同打亂順序重新排列，從中任．意．抽．取．1．張．卡片（1）在序號(hào)中，是20的倍數(shù)的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，20只計(jì)一次），求取到的卡片上序號(hào)是20的倍數(shù)或能整除20的概率（2）若規(guī)定：取到的卡片上序號(hào)是k（k是滿足1WkW50的整數(shù)），則序號(hào)是k的倍數(shù)或能整除k（不重復(fù)計(jì)數(shù)）的學(xué)生能參加某項(xiàng)活動(dòng)，這一規(guī)定是否公平？請(qǐng)說明理由；（3）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)規(guī)定，能公平地選出10位學(xué)生參加某項(xiàng)活動(dòng)，并說明你的規(guī)定是符合要求的。【解析】（1）先找到在序號(hào)中，是20的倍數(shù)和能整除20，而總可能數(shù)是50，利用概率公式計(jì)算即可；（2）特殊值代入，找到任意兩個(gè)學(xué)號(hào)的可能性不相等，就可以說明不公平；（3）設(shè)計(jì)的游戲?yàn)楸ＷC每個(gè)數(shù)字每次被抽到的概率都相等.【解答】（1）2)2)3）不唯一，如先抽出一張，記下數(shù)字，然后放回．若下一次抽到的數(shù)字與之前抽到過的重復(fù)，則不記數(shù)，放回，重新抽取.不斷重復(fù)，直至抽滿10個(gè)”°與之前抽到過的重復(fù)，則不記數(shù)，放回，重新抽取.不斷重復(fù)，直至抽滿10個(gè)”°O不同的數(shù)字為止．為保證每個(gè)數(shù)字每次被抽到的概率相等哦【解法】無(wú)論是判斷游戲公平性還是設(shè)計(jì)游戲，等可能性是關(guān)鍵?！窘忉尅浚?）本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．2）第一題根據(jù)題目要求就可以作答。第二題中，因?yàn)樯婕?0個(gè)數(shù)據(jù)，如果是真命題，要么要對(duì)50個(gè)學(xué)號(hào)進(jìn)行驗(yàn)證，比較困難，對(duì)學(xué)生的思維要求比較高。但是顯然，它只是一個(gè)假命題，那么只要舉出反例即可，不只是學(xué)號(hào)為1的學(xué)生，可以舉的反例其實(shí)是很多的。但是往往學(xué)生對(duì)游戲的公平性理解不夠，導(dǎo)致認(rèn)為它是真命題，就無(wú)法解決此題。3）第三題是考察設(shè)計(jì)一個(gè)公平的游戲，“等可能性”與游戲公平的原則是緊密相關(guān)的，如果能上學(xué)生認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，問題就能迎刃而解。例3．某市準(zhǔn)備為青少年舉行一次網(wǎng)球知識(shí)講座，小明和妹妹都是網(wǎng)球球迷，要求爸爸去買門票，但爸爸只買回一張門票，那么誰(shuí)去就成了問題，小明想到一個(gè)辦法：他拿出一個(gè)裝有質(zhì)地、大小相同的2x個(gè)紅球與3x個(gè)白球的袋子，讓爸爸從中摸出一個(gè)球，如果摸出的是紅球．妹妹去聽講座，如果摸出的是白球，小明去聽講座．1）爸爸說這個(gè)辦法不公平，請(qǐng)你用概率的知識(shí)解釋原因．2）若爸爸從袋中取出3個(gè)白球，再用小明提出的辦法來確定誰(shuí)去聽講座，問摸球的結(jié)果是對(duì)小明有利還是對(duì)妹妹有利．說明理由．解析】（1）此題含有代數(shù)式，需要用代數(shù)式的比較方法；（2）此時(shí)：妹妹去聽講座的概率為：一匚2x+3x—3小明去聽講座的概率為：2x—3,2x+3x—3對(duì)于這兩個(gè)分母相同，分子不同的分式比較，需要采用分類討論法，是本題的一個(gè)難點(diǎn)。解答】（1）QQ（2）此時(shí)：妹妹去聽講座的概率為：一匚2x+3x—3小明去聽講座的概率為：2x—3,2x+3x—3???當(dāng)2x=3x-3，即卩x=3時(shí)，他們的機(jī)會(huì)均等；當(dāng)2x>3x-3，即xV3時(shí)，對(duì)妹妹有利；當(dāng)2xV3x-3，即x>3時(shí)，對(duì)小明有利.【解法】分式比較大小的方法有很多，在分母相同的情況下可以比較分子大小，也可以進(jìn)而引申作差法、作商法等方法。【解釋】（1）此題涉及概率、游戲公平問題、不等式、分類討論等知識(shí)點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的綜合運(yùn)用能力要求較高；（2）讀懂題目，第一題找到構(gòu)建概率模型，直接利用概率公式比較兩者的概率大??；（3）第二題涉及分類討論，對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的要求較高，不少學(xué)生可能會(huì)想到不去分類討論比較分子而匆忙下結(jié)論，是本題的難點(diǎn)。三、能力訓(xùn)練與拓展（2011大慶）某商場(chǎng)為促銷開展抽獎(jiǎng)活動(dòng)，讓顧客轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，只有指針指向陰影區(qū)域時(shí)，顧客才能獲得獎(jiǎng)品，下列有四個(gè)大小相同的轉(zhuǎn)盤可供選擇，使顧客獲得獎(jiǎng)品可能性最大的是（）A.4BA.4B.iC.i936D.1p\\3/Ltv（第3題）（2015浙江湖州）一個(gè)布袋內(nèi)只裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球除顏色外其余都相同，隨機(jī)摸出一個(gè)球后放回?cái)噭?，再隨機(jī)摸出一個(gè)球，則兩次摸出的球都是黑球的概率是（）（2015蘇州）如圖，轉(zhuǎn)盤中8個(gè)扇形的面積都相等.任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤1次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向大于6的數(shù)的概率為.

4．“石頭、剪刀、布”是廣為流傳的游戲，游戲時(shí)，甲、乙雙方每次出“石頭”“剪刀”布”三種手勢(shì)中的一種，規(guī)定“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”，同種手勢(shì)不分勝負(fù)．假定甲、乙兩人每次都是等可能地出這三種手勢(shì)，用畫樹形圖和列表的方法分別求一次游戲中兩人出同種手勢(shì)的概率和甲獲勝的概率，并判斷游戲是否公平.（提示：為書寫方便，解答時(shí)可以用S表示“石頭”，用J表示“剪刀”，用月表示“布”）5.在“六?一”兒童節(jié)來臨之際，某婦女兒童用品商場(chǎng)為吸引顧客，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤（如圖25-68所示，轉(zhuǎn)盤被平均分成20份），并規(guī)定：顧客每購(gòu)物滿100元，就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì).如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對(duì)準(zhǔn)紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得80元、50元、20元的購(gòu)物券，憑購(gòu)物券可以在該商場(chǎng)?如果顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，那么可以直接獲得15元的購(gòu)物券.轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購(gòu)物券，你認(rèn)為哪種方式對(duì)顧客更合算？請(qǐng)說明理由.6.（2。16懷化）甲、乙兩人都握有分別標(biāo)記為A、B、C的三：張牌，兩人做游戲，游戲規(guī)則是：若兩人出的牌不同，則A勝B,B勝C,C勝A；若兩人出的牌相同，則為平局.1）用樹狀圖或列表等方法，列出甲、乙兩人一次游戲的所有可能的結(jié)果；2）求出現(xiàn)平局的概率．7．某廠為新型號(hào)電視機(jī)上市舉辦促銷活動(dòng)，顧客每購(gòu)買一臺(tái)該型號(hào)電視機(jī)，可獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，該廠擬按10％設(shè)大獎(jiǎng)，其余90％為小獎(jiǎng).廠家設(shè)計(jì)的抽獎(jiǎng)方案是：在一個(gè)不透明的盒子中，放入10個(gè)黃球和90個(gè)白球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，摸到黃球的顧客獲得大獎(jiǎng)，摸到白球的顧客獲得小獎(jiǎng).

（1）廠家請(qǐng)教了一位數(shù)學(xué)教師，他設(shè)計(jì)的抽獎(jiǎng)方案是：在一個(gè)不透明的盒子中，放入2個(gè)黃球和3個(gè)白球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出2個(gè)球，摸到的2個(gè)球都是黃球的顧客獲得大獎(jiǎng)，其余的顧客獲得小獎(jiǎng)．該抽獎(jiǎng)方案符合廠家的設(shè)獎(jiǎng)要求嗎？請(qǐng)說明理由．（2）如圖25-69所示的是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，請(qǐng)你將轉(zhuǎn)盤分為2個(gè)扇形區(qū)域，分別涂上黃、白兩種顏色，并設(shè)計(jì)抽獎(jiǎng)方案，使其符合廠家的設(shè)獎(jiǎng)要求.（友情提醒：（1）在轉(zhuǎn)盤上用文字注明顏色和扇形的圓心角的度數(shù).（2）結(jié)合轉(zhuǎn)盤簡(jiǎn)述獲獎(jiǎng)方式，不需說明理由）8.（2011杭州）四條線段a，b，c，d如圖