人教B版（2023）必修第三冊《8.1.1 向量數(shù)量積的概念》同步練習（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.（5分）若向量，滿足：，，，則，的夾角為

A.B.C.D.

2.（5分）若，，若，則等于

A.B.C.D.

3.（5分）如圖，在中，為邊上的高，，，，，則的值為

A.B.C.D.

4.（5分）若向量，，則向量與的夾角等于

A.B.C.D.

5.（5分）對于向量、、和實數(shù)，下列正確的是

A.若，則或

B.若，則或

C.若，則或

D.若，則

6.（5分），是兩個向量，，，且，則與的夾角為

A.B.C.D.

7.（5分）若，是任意兩個單位向量，則下列結(jié)論中正確的是

A.B.C.D.

8.（5分）若非零向量滿足，且，則為

A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形

C.底邊與腰不相等的等腰三角形D.等邊三角形

二、多選題（本大題共5小題，共25分）

9.（5分）下列命題中，正確的是

A.對于任意向量，有；

B.若，則；

C.對于任意向量，有

D.若共線，則

10.（5分）已知是邊長為的等邊三角形，為所在平面內(nèi)一點，則的值可能為

A.B.C.D.

11.（5分）邊長為的菱形中，，已知向量滿足，則下列結(jié)論中正確的有

A.為單位向量B.

C.D.

12.（5分）已知向量，，且，則的值是

A.B.C.D.

13.（5分）已知中角、、對應的邊分別為、、，為所在平面上一點，則下列說法正確的是

A.若，則為銳角

B.若，則為鈍角三角形

C.若中，則

D.若為中點，則

三、填空題（本大題共5小題，共25分）

14.（5分）已知，，則______．

15.（5分）已知向量與的夾角為，且，，則______.

16.（5分）在梯形中，，，，，，若，則的值為______．

17.（5分）已知單位向量，的夾角為，與垂直，則______．

18.（5分）如圖在平行四邊形中，已知，，，，則的值是______．

四、解答題（本大題共5小題，共60分）

19.（12分）平面內(nèi)給定三個向量，，．

Ⅰ求的值；

Ⅱ當實數(shù)為何值時，垂直？

20.（12分）如圖所示，，，，，

若為中點，求；

是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

21.（12分）已知，，．

若，，三點共線，求實數(shù)的值；

證明：對任意實數(shù)，恒有成立．

22.（12分）已知，，是同一平面內(nèi)的三個向量，其中．

Ⅰ若，且，求的坐標；

Ⅱ若，且，求與的夾角的余弦值．

23.（12分）在中，，，

求的面積；

求的值．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：由條件得：，

，故，的夾角為，

故選：．

利用兩組訓練的數(shù)量積為，轉(zhuǎn)化求解向量的夾角即可．

此題主要考查平面向量的數(shù)量積的應用，考查計算能力．

2.【答案】C;

【解析】解：，，

可得，，

，

若，

則，

即有，

即為，

解得．

故選：．

求得向量，的模和數(shù)量積，由向量垂直的條件：數(shù)量積為，結(jié)合向量的平方即為模的平方，解方程即可得到所求值．

該題考查向量垂直的條件：數(shù)量積為，考查向量的數(shù)量積的坐標表示和模的求法及性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．

3.【答案】A;

【解析】解：，

又，，，

故由余弦定理可得，

又，

，

，

．

故選：．

由余弦定理可得，由面積可求得，進而求得答案．

該題考查解三角形，涉及了數(shù)量積的運算，余弦定理以及三角形面積公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．

4.【答案】D;

【解析】

設向量與的夾角等于，求出以及這兩個向量的模，代入運算求得的值，再由的范圍求出的值．

此題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量夾角公式的應用，屬于中檔題．

解：設向量與的夾角等于，，，，

再由可得，

故選

5.【答案】B;

【解析】解：對于，若時，也成立；故A錯誤；

對于，，得到，什么長度相等，但是方向不確定；故C錯誤；

對于，，得到，得到或者或者；故D錯誤；

故選：．

利用平面向量的幾個常見的基本概念，對選項分別分析選擇．

該題考查了平面向量的數(shù)量積以及數(shù)乘、模的關系等；屬于基礎題．

6.【答案】C;

【解析】解：設，的夾角為，，則由題意可得，

即，解得，，

故選C．

設，的夾角為，，則由題意可得，解得，可得的值．

這道題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎題．

7.【答案】D;

【解析】解：根據(jù)單位向量的定義，

其方向不一定相同，故選項、錯誤，

其模一定為，故錯誤，正確；

故選：

由單位向量的定義直接判斷即可．

此題主要考查了單位向量的定義，注意單位向量強調(diào)的是模為，是基礎題．

8.【答案】D;

【解析】解：設，則平分線段，

，即，

，

垂直平分，

四邊形為菱形，即，

又，

，，

為等邊三角形．

故選：

設，易知垂直平分，于是四邊形為菱形，再由，推出，得解．

此題主要考查平面向量在幾何中的應用，熟練掌握平面向量的加法、數(shù)量積的運算法則是解答該題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．

9.【答案】ACD;

【解析】

此題主要考查向量的模，向量的數(shù)量積，屬于基礎題.

根據(jù)向量的模，向量的數(shù)量積，結(jié)合選項依次分析判斷即可.

解：對于，對任意向量，，有，當且僅當與共線時取等號，故正確；

對于，若，則或或，故錯誤；

對于，對任意向量，，因為，當且僅當、同向共線時取等號，故正確；

對于，若向量，共線，則與的夾角為或，有，故正確.

故選

10.【答案】BCD;

【解析】解：以中點為坐標原點，建立如圖所示的坐標系，

則，，，

設，則，，，

所以

，當，時，取得最小值為，

故選：

建立平面直角坐標系，利用坐標表示出、、，求出的取值范圍即可

此題主要考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查了運算能力、轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．

11.【答案】ABD;

【解析】解：根據(jù)題意，如圖：菱形中，，其邊長為，與交于點，

依次分析選項：

對于，且，則為等邊三角形，故，則，為單位向量，正確；

對于，，故有，正確；

對于，，而，不成立．錯誤；

對于，，則，即，正確；

故選：

根據(jù)題意，依次分析選項，綜合可得答案．

本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及向量的加法減法的運算，屬于基礎題．

12.【答案】AC;

【解析】

此題主要考查向量數(shù)量積的應用，根據(jù)向量坐標公式以及向量垂直的坐標公式是解決本題的關鍵．

根據(jù)向量垂直的等價條件建立方程關系進行求解即可．

解：向量，，

，

，

，

則，

即得

，

得或，

故選：

13.【答案】BCD;

【解析】解：對于，當時，為所在平面上的點，所以、也可能同向，則選項錯誤；

對于，時，為鈍角，所以為鈍角三角形，選項正確；

對于，中，，由正弦定理得，所以，其中為外接圓的半徑，所以正確；

對于，為中點，所以，，

所以，選項正確．

故選：

中，時，應考慮、同向情況；

中，時，三角形中為鈍角；

中，由正弦定理得出；

中，利用中線的向量表示和余弦定理，即可得出

此題主要考查了平面向量的應用問題，也考查了解三角形的應用問題，是中檔題．

14.【答案】-1;

【解析】解：，，則

．

故答案為：．

直接利用向量的坐標運算以及向量的數(shù)量積求解即可．

該題考查向量的數(shù)量積的運算，基本知識的考查．

15.【答案】;

【解析】

求出，再利用給定等式及向量夾角，結(jié)合數(shù)量積運算律列式計算作答．

此題主要考查了數(shù)量積的性質(zhì)和運算，屬于基礎題．

解：依題意，，則有，

由兩邊平方得：，

即，解得：，

所以

故答案為：

16.【答案】7;

【解析】解：，，，，

，，

，

，

即，．

又，

．

故答案為：．

用表示出各向量，根據(jù)計算，再計算的值．

該題考查了平面向量的基本定理，數(shù)量積運算，屬于中檔題．

17.【答案】;

【解析】

該題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查向量垂直與數(shù)量積的關系，是基礎題．

由已知求得，再由與垂直可得，展開即可求得值．

解：向量，為單位向量，且，的夾角為，

，

又與垂直，

，

即，則．

故答案為．

18.【答案】;

【解析】

該題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量加法、減法的三角形法則，是中檔題．由已知把、用表示，代入，展開多項式乘多項式得答案．

解：如圖，

由，得，

，

即．

，

解得：．

故答案為．

19.【答案】解：（Ⅰ）由題意可得，

（Ⅱ）∵，∴=3x+4=0，∴．;

【解析】

Ⅰ由題意利用兩個向量坐標形式的運算，求出的值．

Ⅱ由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，求出的值．

這道題主要考查兩個向量坐標形式的運算，兩個向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎題．

20.【答案】解：以A為坐標原點，以CA方向為x軸正方向，以AB方向為y軸正方向建立坐標系．

∵CA=1，CB=3，CA⊥AB，∴AB=2，

則A（0，0），，C（-1，0）．

（1）∵D為AB中點，∴E為CB中點．

∴，，

∴，，

∴．

（2），

，

若，則，

∴λ=0或者，

即存在λ=0或者，．;

【解析】

建立坐標系如圖，通過為中點及條件得到為中點，分別表示出此時，的坐標，利用向量數(shù)量積運算法則計算即可；

分別表示出，，通過，則，解出即可．

此題主要考查平面向量數(shù)量積的運算法則，涉及向量坐標運算性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想等，屬于中檔題．

21.【答案】解：

，

，，三點共線，

向量是共線向量，得，

解之得：分

由，得，

即對任意實數(shù)，恒有成立．;

【解析】

由平面向量的坐標運算，得到向量、的坐標，根據(jù)向量共線的充要條件列式，解之即可得到實數(shù)的值；

由平面向量數(shù)量積的坐標運算公式，得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可證出對任意實數(shù)恒成立．

本題給出含有字母的向量坐標形式，在已知三點共線的情況下求參數(shù)的值，并且證明不等式恒成立．著重考查了平面向量數(shù)量積的運算公式和向量共線等知識，屬于基礎題．

22.【答案】解：（Ⅰ）∵=（1，2），若||=3，且∥，設的坐標為（x，2x），

則+（2x）2=，求得x=±3，故設的坐標為（3，6），或（-3，-6）．

（Ⅱ）若||=2，且（+）⊥（-2），

則（+）（-2）=-2-=5-2×4-=0，

∴=-3，即2cosθ=-3，故cosθ=-．;

【解析】

Ⅰ由題意利用兩個向量平行的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，求出的坐標．

Ⅱ由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，求出與的夾角的余弦值．

這道題主要考查兩個向量平行垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式及定義，屬于基礎題．

23.【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可知：

cosC===-，

解得：BC=2或B