人教B版（2023）必修第二冊《6.3 平面向量線性運算的應(yīng)用》同步練習（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.（5分）已知是的外心，，，若，且，則的面積為

A.B.C.D.

2.（5分）在中，角，，的對邊分別為，，，若，，點是的重心，且，則

A.或B.C.或D.

3.（5分）在直角三角形中，，，為斜邊的中點，則的值為

A.B.C.D.

4.（5分）在中，，，，為線段上的動點，且，則的最小值為

A.B.C.D.

5.（5分）如圖所示，已知兩座燈塔和與海洋觀察站的距離都等于米，燈塔在觀察站的北偏東，燈塔在觀察站的南偏東，則燈塔與燈塔的距離為

A.米B.米C.米D.米

6.（5分）如圖，、、是直線上的不同的三點，且有，則實數(shù)的取值范圍是

A.B.C.D.

7.（5分）平面上有三點，，，設(shè)，，若，的長度恰好相等，則

A.，，三點必在同一直線上B.必為等腰三角形且為頂角

C.必為直角三角形且D.必為等腰直角三角形

8.（5分）在中，設(shè)，則動點的軌跡必通過的

A.垂心B.內(nèi)心C.重心D.外心

二、多選題（本大題共5小題，共25分）

9.（5分）已知是邊長為的正三角形，該三角形重心為點，點為所在平面內(nèi)任一點，下列等式一定成立的是

A.B.

C.D.

10.（5分）中，，邊上的中線，則下列說法正確的有

A.為定值B.

C.D.的最大值為

11.（5分）已知，，，，下述四個結(jié)論中正確的是

A.B.四邊形為平行四邊形

C.D.

12.（5分）判斷下列物理量哪些是向量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨動量．其中是向量的有

A.速度，位移B.力，加速度C.動量，質(zhì)量D.路程，密度，功

13.（5分）在水流速度的自西向東的河中，如果要使船以的速度從河的南岸垂直到達北岸，則船出發(fā)時行駛速度的方向和大小為

A.北偏西B.北偏西C.D.

三、填空題（本大題共5小題，共25分）

14.（5分）在平面內(nèi)，已知，且，，若，則的取值范圍是______．

15.（5分）已知半徑為的球內(nèi)切于正四面體，線段是球的一條動直徑是直徑的兩端點，點是正四面體的表面上的一個動點，則的取值范圍是______．

16.（5分）已知平面上不重合的四點，，，滿足且，那么實數(shù)的值為______．

17.（5分）如圖，邊長為的菱形中，交于點，，，分別為對角線，上的點，滿足，則______．

18.（5分）如圖，在正方形中，為邊中點，若，則______．

四、解答題（本大題共5小題，共60分）

19.（12分）是邊長為的等邊三角形，，過點作交邊于點，交的延長線于點

當時，設(shè)，，用向量，表示；

當為何值時，取得最大值，并求出最大值．

20.（12分）在中，，，與邊相交于點，的中線與相交于點，設(shè)，，試用，表示．

21.（12分）一輛汽車從出發(fā)向西行駛了到達點，然后改變方向向西偏北走了到達點，又改變方向，向東行駛了到達點．

作出向量，，；

求

22.（12分）如圖，直角三角形的斜邊，，點是以點為圓心為半徑的圓上的動點．

Ⅰ當點在三角形外，且時，求；

Ⅱ求的取值范圍．

23.（12分）設(shè)是邊長為的正三角形，點，，，四等分線段如圖所示

為邊上一動點，求的取值范圍？

為線段上一點，若，求實數(shù)的值．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：取的中點，則，

如圖所示，

，

，

，

，

，

當時，

，

，

當時，則，

，

，

點，，共線，

即點為的中點，

三角形以為直角的直角三角形，

，

故選：

取中點為，則，把寫為，然后用兩種方法寫出，由數(shù)量積相等結(jié)合，需要分類討論，當求得，進一步得到其正弦值，代入三角形的面積公式求得三角形的面積，當時，得到三角形為直角三角形，求出面積，問題得以解決

本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查了三角形面積公式的應(yīng)用，是中檔題．

2.【答案】C;

【解析】

此題主要考查二倍角公式，誘導(dǎo)公式，兩角和差公式的運用，向量的幾何運用，向量的數(shù)量積運算，余弦定理解三角形的實際應(yīng)用考查分析和運用能力，屬于中檔題.

根據(jù)即可得到或再根據(jù)點是的重心，得到，即，即可得到，再根據(jù)正弦定理即可求解．

解：，

，

整理得，

解得或舍去，即或

又點是的重心，，

，，

，

整理得

當時，，得，

此時，解得；

當時，，得，

此時，解得

故選

3.【答案】D;

【解析】解：如圖，由向量的運算法則可得，

為斜邊的中點，，

故選D

由平面向量基本定理和向量的運算法則，用向量，表示所求向量，再由數(shù)量積的運算可得．

該題考查平面向量數(shù)量積的運算，以及平面向量基本定理，用向量，表示所求向量是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．

4.【答案】B;

【解析】

此題主要考查向量的數(shù)量積，三角形面積公式，考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查利用基本不等式求最值，屬于難題.

依題意，求得，，，得出，可得，，根據(jù)基本不等式求最值即可.

解：由題意，設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，

由，得，

又，得，

可得，

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得，，

由，根據(jù)正弦定理得，

又，

解得，，

所以，

因為，

所以，

又，，三點共線，且為線段上的動點，

所以，，

所以

，

當且僅當，即時，等號成立，

所以的最小值為，

故選

5.【答案】B;

【解析】

此題主要考查了解三角形中余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)條件作出方位圖，根據(jù)題意，結(jié)合余弦定理可得結(jié)果.

解：由圖可知，，由余弦定理得，

所以米

故選

6.【答案】A;

【解析】解：由題意可得，再由，，

故選：

由題意可得，再由，由此求得的取值范圍．

本題主要考查定比分點分有向線段成的比的定義，把它轉(zhuǎn)化為線段的長度比的相反數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得實數(shù)的取值范圍．

7.【答案】C;

【解析】

此題主要考查平面向量的數(shù)量積，以及向量在幾何中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

先根據(jù)題意得到，再平方即可順利得解.

解：，

，

，

，

，

故選

8.【答案】D;

【解析】【分析】

本題主要考查向量的幾何應(yīng)用，熟練掌握向量的運算法則、數(shù)量積與垂直的關(guān)系、三角形的外心定義是解題的關(guān)鍵屬于中檔題.

用向量的運算法則、數(shù)量積與垂直的關(guān)系判斷出，根據(jù)三角形的外心定義即可得出.

【解答】

解：如圖所示：

設(shè)線段的中點為，則

，

，

，即

，且平分

因此動點的軌跡必通過的外心．

故選

9.【答案】BC;

【解析】此題主要考查向量的簡單運算，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，是中檔題.

根據(jù)題意，作出圖象，由模的計算方法可得，，向量數(shù)量積可判斷根據(jù)三角形法則和平行四邊形法則判斷，解：如圖，為正三角形重心，則為中點.

則，，，

選項，故錯誤.

選項，，故正確.

選項，

，故正確.

選項，，

，故錯誤.

故選

10.【答案】ABC;

【解析】此題主要考查了向量數(shù)量積的運算，正弦定理，考查了計算能力，屬于中檔題．

可畫出圖形，根據(jù)題意可得出，，兩邊平方聯(lián)立即可判斷，兩個選項，由數(shù)量積公式判斷選項，由正弦定理即可判斷出選項.解：如圖，是邊上的中線，

，且，

，①

且

，②

①②得，，即，故正確.

①②得，，故正確.

由得出，則，

當且僅當時等號成立，

則，

所以故正確；

在中，由正弦定理得：，

所以，

故的最大值為，故錯誤.

故選

11.【答案】BD;

【解析】

此題主要考查平面向量垂直的判斷、幾何應(yīng)用、概念和模，屬于基礎(chǔ)題.

由數(shù)量積與垂直的關(guān)系可判斷，由向量的幾何應(yīng)用可判斷，由平面向量的概念可判斷，由模長公式可判斷

解：由題意，得，

則，故與不垂直，故錯誤

故，且，

故四邊形為平行四邊形，故正確

因為向量不能比較大小，故錯誤

因為，故正確，

故選

12.【答案】AB;

【解析】

此題主要考查向量的概念，屬于基礎(chǔ)題.

確定一個量是不是向量，就是看它是否同時具備大小與方向兩個要素，逐個判斷即可.

解：由物理知識可知，速度、位移、力、加速度，動量都是由大小和方向確定的，所以是向量，

而質(zhì)量、路程、密度、功，只有大小而沒有方向，不是向量.

故選

13.【答案】AC;

【解析】

此題主要考查了向量在速度，位移的合成中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

利用向量合成畫出圖可以根據(jù)直角三角形的幾何性質(zhì)，求出速度，方向，進而得到正確答案.

解：如圖：

船從點出發(fā)，沿方向行駛，才能垂直到達河的對岸，

，則

，所以

即船以的速度，向北偏西方向行駛，才能垂直到達對岸.

故選

14.【答案】[2，];

【解析】解：由，，

可得四邊形為矩形，

在矩形中，有

則

又，

所以，即，

故答案為：

根據(jù)條件有四邊形為矩形，根據(jù)矩形中的一個特殊性質(zhì)，平面內(nèi)任一點，有可得答案．

該題考查向量的幾何性質(zhì)，向量運算，屬于難題．

15.【答案】[0，8];

【解析】解：由題意，是直徑的兩端點，可得，，

則

，

即求正四面體表面上的動點到的距離的范圍．

當位于切點時，取得最小值；

當位于處時，即為正四面體外接球半徑最大即為．

設(shè)正四面體的邊長為，由為正四面體的中心，

可得直角三角形中，，，，，

綜上可得的最小值為，最大值為．

則的取值范圍是．

故答案為：．

運用向量的加減運算和數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，討論位于切點和頂點時分別取得最值，即可得到所求取值范圍．

此題主要考查向量在幾何中的運用，考查向量的加減運算和數(shù)量積的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．

16.【答案】;

【解析】解：由題意，根據(jù)向量的減法有：，，

，

；

，

，

，

．

故答案為

利用向量基本定理結(jié)合向量的減法，代入化簡，即可得到結(jié)論．

本題考查平面向量的基本定理及其意義、向量數(shù)乘的運算及其幾何意義等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題．

17.【答案】;

【解析】解：邊長為的菱形中，，

，，

故答案為：

先利用邊長為的菱形中，，可得，，，再利用向量的加法與數(shù)量積運算，即可得到結(jié)論．

該題考查向量的加法與數(shù)量積運算，考查學生的計算能力，正確表示向量是關(guān)鍵，屬于中檔題．

18.【答案】;

【解析】

該題考查了正方形的性質(zhì)、向量三角形法則、平面向量基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

利用正方形的性質(zhì)、向量三角形法則、平面向量基本定理即可得出．

解：，

，

，，

則，

故答案為：．

19.【答案】解：由題意可知：，且，

，故，

由題意，，

，

，

當時，

有最大值;

【解析】

，，通過向量的線性運算，用向量，表示；

用表示與的模，然后求解數(shù)量積，利用二次函數(shù)的最值求解即可．

本題考查平面向量基本定理，向量共線定理，向量的數(shù)量積，二次函數(shù)最值等知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．

20.【答案】解：如圖，△ABC中，

∵=，DE∥BC，且與邊AC相交于點E，

△ABC的中線AM與DE相交于點N，

∴=，==

∵=，=，

∴=-，

∴=（-）．;

【解析】

由平行線等分線段定理及中線的定義知，，由此能求出結(jié)果．

該題考查平面向量的加法法則的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要注意平行線等分線段定理的靈活運用．

21.【答案】解：向量，，，如圖所示．

由題意，易知與方向相反，

故與共線．

又，

所以在四邊形中，，

所以四邊形為平行四邊形，

所以;

【解析】【解析】

本題屬于向量的物理運算，主要要求掌握向量的基本知識，屬于基礎(chǔ)題.

在平面直角坐標系中畫出向量；

利用共線向量和平行四邊形進行計算.

22.【答案】解：當點在三角形外，且時，，

又，，．

在中，由正弦定理得，即，

解得．

以點為原點，以，為坐標軸建立平面直角系如圖：

則，，設(shè)，

則，，

．

，

．;

【解析】

在中，使用余弦定理求出，再使用正弦定理計算；

以點為原點，以，為坐標軸建立平面直角系，設(shè)，求出，的坐標，代入數(shù)量積的坐標運算求出的取值范圍．

此題主要考查了正余弦定理，向量在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．

23.【答案】解：（1）以BC所在直線為x軸，AP2所在直線為y軸，

P2為坐標原點，建立直角坐標系，

則A（0，2），B（-2，0），C（2，0），P1（-1，0），

設(shè)P（t，0）（-2≤t≤2），則=（-t，2），=（2-t，0），

可得=-t（2-t）+20=-2t=（t-1）2-1，（-2≤t≤2），

t=1時，取得最小值-1；t=-2時，取得最大值8．

則的取值范圍為[-1，8]