中國礦業(yè)大工程力學(xué)C十 彎曲內(nèi)力

第十章彎曲內(nèi)力主講教師：喻梅2023年9月26日Internalforcesofbendingshafts§10.1平面彎曲一、工程實(shí)例1、受力特點(diǎn)

橫向外力作用在與桿件的縱向?qū)ΨQ面（形心主慣性平面）重合或平行的平面內(nèi)。2、變形特點(diǎn)

桿件的軸線在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎曲成一條平面曲線。二、基本概念對稱軸軸線縱向?qū)ΨQ面以彎曲為主要變形形式的桿件稱為梁。

變形后的梁軸線與力的作用線在同一平面內(nèi)，故這類彎曲叫平面彎曲。上述梁的幾何、物理性質(zhì)，梁的受力和變形均關(guān)于縱向?qū)ΨQ面對稱，因此又稱為對稱彎曲。二、基本概念(1)截面有對稱軸（梁有縱向?qū)ΨQ面）；(2)外載荷作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)。二、基本概念對稱彎曲和平面彎曲的關(guān)系？對稱彎曲是平面彎曲的一種特殊情況。試問各梁是否產(chǎn)生平面彎曲？梁發(fā)生對稱彎曲的條件？1、固定鉸支座三、支座分類限制沿支承面水平和垂直方向的移動(dòng)。2、活動(dòng)鉸支座限制桿件沿垂直于支承面方向的移動(dòng)?；顒?dòng)鉸支座FxFyFA3、固定端

限制桿件沿支承面水平和垂直方向的移動(dòng)和繞固定端點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。三、支座分類MAFxFy四、載荷分類1、集中載荷——載荷的作用范圍遠(yuǎn)小于桿件軸向尺寸。2、分布載荷——沿軸向連續(xù)分布在桿件上的載荷，常用q表示單位長度上的載荷,稱為載荷集度.如風(fēng)力,水力,重力.3、集中力偶——M（N·m）,一般直接給出或由力系簡化可得。特例：均布載荷，線性分布載荷，如水對壩的壓力軸線：桿件橫截面形心的連線。用軸線代替實(shí)際桿件FF五、梁的計(jì)算簡圖

靜定平衡梁的支座約束力數(shù)目與平衡方程式的數(shù)目相同則為靜定梁.1、簡支梁

一端為固定鉸支座一端為活動(dòng)鉸支座。六、靜定梁的基本形式Pq2、外伸梁

一端或兩端向外伸出的簡支梁。PP

靜定平衡梁的支座約束力數(shù)目與平衡方程式的數(shù)目相同則為靜定梁.六、靜定梁的基本形式3、懸臂梁

一端固定支座一端自由。P

靜定平衡梁的支座約束力數(shù)目與平衡方程式的數(shù)目相同則為靜定梁.六、靜定梁的基本形式組合梁，由上述三種簡單靜定梁彼此鉸接而成。六、靜定梁的基本形式注:彎矩和扭矩的比較共同點(diǎn):內(nèi)力偶矩不同點(diǎn):作用面和所繞的軸不同;作用不同,抵抗扭轉(zhuǎn)還是彎曲.一、梁的內(nèi)力的引入F例：懸臂梁截面內(nèi)的內(nèi)力FFs

(x)

剪力Fs(x):

抵抗剪切作用的內(nèi)力,是與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力.

彎矩M(x):

抵抗彎曲作用的矩,是與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩.M(x)§10.2剪力和彎矩mmF1F2F3ABa梁截面上的兩內(nèi)力，由截面法求解步驟：（1）先求約束力FAy、FB；（2）由截面法求橫截面上的內(nèi)力；FAyFByx（如：求m—m

截面的內(nèi)力）xyF1Am

mxFAyaxF2F3m

mFBm

mx二、梁的內(nèi)力計(jì)算Fs

MFs

M剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)定——

按截面處的梁微段的變形規(guī)定F1Am

mF2F3m

mF1F2F3ABam

mx++1.剪力：2.彎矩：左上右下為正左順右逆(上凹下凸)為正++——

按截面處的梁微段的變形規(guī)定剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)定1.剪力

繞梁微段順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的剪力FS為正，反之為負(fù)。左側(cè)梁截面：向下的FS為正，反之為負(fù)；右側(cè)梁截面：向上的FS

為正，反之為負(fù)。2.彎矩

使梁微段發(fā)生上凹下凸變形的彎矩M為正，反之為負(fù)。左側(cè)梁截面：逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的彎矩M為正順時(shí)針轉(zhuǎn)向的彎矩M為負(fù)右側(cè)梁截面：順時(shí)針轉(zhuǎn)向的彎矩M為正逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的彎矩M為負(fù)mmF1AFAy(左側(cè)梁)xF2F3m

mFB(右側(cè)梁)++Fs

MFs

M剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)定解：FAFBFAFFAFm1m2m1m2FB（1）先求約束力（2）求指定截面Fs和M2—2截面：取左段梁取右段梁1—1截面：例：圖示簡支梁，已知：試求指定截面的剪力FS和彎矩M。Bm11122x2aFm2Ax1aaa1—1截面：取左段梁取右段梁2—2截面：FAFBFAFFAFm1m2m1m2FBBm11122x2aFm2Ax1aaaFBFD11223344例：圖示外伸梁，試求指定截面的內(nèi)力。解：（1）先求約束力（2）求剪力（3）求彎矩m=3qa2ADBCaaaFBFD11223344例：圖示外伸梁，試求指定截面的內(nèi)力。（2）求剪力（3）求彎矩m=3qa2ADBCaaa解：（1）先求約束力§10.3

剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖一、剪力方程與彎矩方程x——

表示梁橫截面的位置。二、剪力圖與彎矩圖

以縱坐標(biāo)表示剪力(FS)與彎矩(M)，橫坐標(biāo)x表示梁橫截面的位置，得到的剪力和彎矩的變化曲線，稱為剪力和彎矩圖?！袅Ψ匠獭獜澗胤匠?/p>

表示剪力和彎矩沿梁軸線變化規(guī)律的代數(shù)方程。

要將剪力圖和彎矩圖畫在梁受力圖的正下方，而不要畫在其它地方。這樣就可以很方便地了解梁中內(nèi)力的變化規(guī)律，以及得到梁中任意截面上的剪力和彎矩值。

有集中載荷（力和力偶）或外力不連續(xù)處，則要分段。作圖時(shí)請注意：xy例1

已知:P

、l求：梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.剪力方程和彎矩方程：FS(x)為一常量2.繪出剪力圖和彎矩圖——

水平直線——

斜直線－－xy例2解：1.先求約束力：

已知:q

、l求：梁的FS圖和M圖。2.列剪力方程和彎矩方程：3.畫剪力、彎矩圖斜直線二次拋物線－+求彎矩的極值點(diǎn)（拋物線頂點(diǎn)）：l/2+xy－+斜直線二次拋物線3.畫剪力、彎矩圖xy例3畫出圖示梁的FS

圖和M圖。解：1.列剪力方程和彎矩方程：2.畫剪力、彎矩圖——斜直線——二次拋物線－－xy例4解：（1）先求出約束力：（2）剪力方程和彎矩方程：CB段：畫出圖示梁的FS

圖和M圖。AC段：xy－++（3）畫剪力圖和彎矩圖例4畫出圖示梁的FS

圖和M圖。（2）剪力方程和彎矩方程：CB段：AC段：例5解：畫出圖示梁的FS

圖和M圖。（1）先求出約束力：（2）剪力方程和彎矩方程：AC段：CB段：－++（3）畫出剪力、彎矩圖例5畫出圖示梁的FS

圖和M圖。（2）剪力方程和彎矩方程：AC段：CB段：小結(jié)：l/2小結(jié)：結(jié)論：②凡是集中力（包括約束力）作用處，剪力圖有突變，突變值即為該處集中力的大小；③在集中力偶作用處，彎矩圖有突變，突變值即為該處集中力偶矩的大??；①剪力圖為0次曲線時(shí)，彎矩圖為1次曲線；剪力圖為1次時(shí)，彎矩圖為2次曲線；小結(jié)：§10.4載荷集度、剪力和彎矩的關(guān)系0圖示簡支梁，建立如圖坐標(biāo)系。約定：分布力q向上為正，向下為負(fù)。由梁的微段平衡，一、微分關(guān)系的導(dǎo)出（1）FS圖上各點(diǎn)的斜率等于梁上對應(yīng)位置處的分布載荷集度（2）M圖上各點(diǎn)的斜率等于梁上對應(yīng)截面上的剪力（3）由q的正負(fù)判斷M圖的凹凸性。二、各微分方程的物理意義約定：分布力q向上為正，向下為負(fù)。1、當(dāng)q=0時(shí)FS=常量FS

為水平線；M為斜直線FS

>0時(shí)，M圖FS

<0時(shí)，M圖FS

=0時(shí)，M圖2、當(dāng)q=常量（均布載荷）當(dāng)q>0（向上）M圖M圖FS

圖當(dāng)q<0（向下）FS

圖FS為斜直線；M為二次曲線三、推論（即載荷集度、剪力和彎矩的關(guān)系）記憶：彎矩圖的開口方向與q(x)指向一致。三、推論（即載荷集度、剪力和彎矩的關(guān)系）此處M取極值3、若梁的某一截面上即：彎矩的極值發(fā)生在剪力為零的截面上。4.集中力P作用處FS

圖突變，突變值等于F值M圖斜率突變，形成一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)F向下，F(xiàn)S圖向下突變。F

向上，F(xiàn)S

圖向上突變；從左向右畫：三、推論（即載荷集度、剪力和彎矩的關(guān)系）三、推論（即載荷集度、剪力和彎矩的關(guān)系）5.集中力偶m作用處，F(xiàn)S

無變化；M有突變，突變值為m。從左向右畫：m順時(shí)針，M圖向上突變；m逆時(shí)針，M圖向下突變。三、推論（即載荷集度、剪力和彎矩的關(guān)系）三、推論（即載荷集度、剪力和彎矩的關(guān)系）口訣：零平斜斜從零出發(fā)回到零三、推論（即載荷集度、剪力和彎矩的關(guān)系）例：畫出圖示外伸梁的FS

、M

圖。解：（1）先求約束力；FAFB（2）從左到右作剪力圖；AC段：水平直線FS

右=3.5kNCB段：下斜直線8.5kNBD段：斜直線6kNA點(diǎn)FS圖向上突變ABCD3kN/m3kN·m2m4m2m3.5kNB點(diǎn)FS

右=FSB左+FB=6kNFS

圖向上突變++－FAFB斜直線8.5kN6kNABCD3kN/m3kN·m2m4m2m3.5kN（3）從左到右作彎矩圖；AC段：7kN·mC點(diǎn)mM圖向下突變CB段：下凹拋物線6kN·m4kN·m++－例：畫出圖示外伸梁的FS

、M

圖。FAFB8.5kN6kNABCD3kN/m3kN·m2m4m2m3.5kN7kN·mCB段：下凹拋物線4kN·m由FS

圖確定FS

=0的截面位置：BD段：下凹拋物線D點(diǎn)為頂點(diǎn)6kN·m6.04kN·m（3）從左到右作彎矩圖；－+++－例：畫出圖示外伸梁的FS

、M

圖。均布載荷，F(xiàn)S為斜直線；ABCDaaaqm解：1.先求約束力：FAFB2.從左到右作剪力圖；CA段：AD段：無橫向載荷，F(xiàn)S為水平直線，A截面FS有向上突變，突變值為FA；DB段：無橫向載荷，F(xiàn)S為水平直線，－+例：畫出圖示外伸梁的FS

、M

圖。q

=20kN/m，m

=20kN·m，a=1mABCDaaaqmFAFB3.從左到右作彎矩圖CA段：向下均布載荷，M為凹向下的拋物線，中間無極值點(diǎn)；AD段：無橫向載荷，M為向上的斜直線DB段：M為向上的斜直線。D截面有逆時(shí)針轉(zhuǎn)向集中力偶m

，M有向下突變，突變值為m；－+－－+例：畫出圖示外伸梁的FS

、M

圖。q

=20kN/m，m

=20kN·m，a=1m例：圖示簡支梁，受分布力和一集中力偶作用，其剪力、彎矩圖如圖。試用q，F(xiàn)S

，M間微分關(guān)系改正錯(cuò)誤。例：圖示簡支梁，受分布力和一集中力偶作用，其剪力、彎矩圖如圖。試用q，F(xiàn)S

，M間微分關(guān)系改正錯(cuò)誤。解：求約束力；作剪力、彎矩圖；F1F2－++試作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。例解：求約束力；作剪力、彎矩圖；ABCll/2qFAFB－+－一、載荷集度、剪力和彎矩的微分關(guān)系1、當(dāng)q=0時(shí)2、當(dāng)q=常量（均布載荷）記憶：彎矩圖的開口方向與q(x)指向一致。3、彎矩的極值發(fā)生在剪力為零的截面上。4.集中力P作用處5.集中力偶m作用處，二、載荷集度、剪力和彎矩的積分關(guān)系試作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。例FAFBABCl/2ql/2解：求約束力；作剪力、彎矩圖；－++試作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。例ABCDaaaqF=qaqFAFB解：求約束力；作剪力、彎矩圖；－++－+試作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。例FAFB解：求約束力；作剪力、彎矩圖；ABCDa2aaF=2qaqM=2qa2－+－+圖示組合梁。試作剪力圖和彎矩圖。例解：1.求約束力；2.繪制剪力圖3.繪制彎矩圖mmFSxxMmFSxm/axMmm圖示組合梁,已知梁長為2a。試作剪力圖和彎矩圖。例第十章結(jié)束了??！內(nèi)容回顧1、受力特點(diǎn)2、變形特點(diǎn)對稱軸軸線縱向?qū)ΨQ面以彎曲為主要變形形式的桿件稱為梁。

變形后的梁軸線與力的作用線在同一平面內(nèi)，故這類彎曲叫平面彎曲。上述梁的幾何、物理性質(zhì)，梁的受力和變形均關(guān)于縱向?qū)ΨQ面對稱，因此又稱為對稱彎曲。⑴剪力：⑵彎矩：左上右下(繞梁微段順時(shí)針)為正上凹下凸(左順右逆)為正剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)定++——

按截面處的梁微段的變形規(guī)定3、梁的內(nèi)力FFFS(x)M(x)mm剪力和彎矩兩種內(nèi)力分量內(nèi)容回顧3、梁的內(nèi)力⑴剪力

繞梁微段順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的剪力FS為正，反之為負(fù)。⑵彎矩

使梁微段發(fā)生上凹下凸變形的彎矩M為正，反之為負(fù)。mmF1AFAy(左側(cè)梁)xF2F3m

mFB(右側(cè)梁)Fs

MFs

MF1F2F3ABam

m內(nèi)容回顧xyABCPq3m1m圖示外伸梁。q=2kN/m，P=3kN。試列出剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。解：（1）求約束力；FAFB（2）列剪力和彎矩方程；xAB段：BC段：x例6xyABCPq3m1mFAFBxx1m（3）作剪力和彎矩圖；——極值點(diǎn)圖示外伸梁。q=2kN/m，P=3kN。試列出剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。解：（1）求約束力；（2）列剪力和彎矩方程；AB段：BC段：例6－+++－1、當(dāng)q=0

時(shí)FS=常量FS

為水平線；M為斜直線2、當(dāng)q=常量（均布載荷）當(dāng)q>0（向上）M圖M圖FS

圖當(dāng)q<0（向下）FS

圖FS為斜直線；M為二次曲線回顧：記憶：彎矩圖的開口方向與q(x)指向一致。此處M取極值3、若梁的某一截面上