基本不等式及其應用

§74基本不等式及其應用基礎(chǔ)知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學習1基本不等式成立的條件： 2等號成立的條件：當且僅當時取等號知識梳理a>0，b>0a＝b2幾個重要的不等式1a2＋b2≥a，b∈R2ab23ab≤a，b∈R以上不等式等號成立的條件均為a＝b設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)4利用基本不等式求最值問題已知>0，y>0，則1如果積y是定值p，那么當且僅當時，＋y有最值簡記：積定和最?。統(tǒng)小2如果和＋y是定值p，那么當且僅當時，y有最值簡記：和定積最大＝y(tǒng)大不等式的恒成立、能成立、恰成立問題1恒成立問題：若f在區(qū)間D上存在最小值，則不等式f>A在區(qū)間D上恒成立? ；若f在區(qū)間D上存在最大值，則不等式f<B在區(qū)間D上恒成立? 2能成立問題：若f在區(qū)間D上存在最大值，則在區(qū)間D上存在實數(shù)使不等式f>A成立? ；若f在區(qū)間D上存在最小值，則在區(qū)間D上存在實數(shù)使不等式f<B成立? 知識拓展fmin>A∈Dfma<B∈Dfma>A∈Dfmin<B∈D3恰成立問題：不等式f>A恰在區(qū)間D上成立?f>A的解集為D；不等式f<B恰在區(qū)間D上成立?f<B的解集為D判斷下列結(jié)論是否正確請在括號中打“√”或“×”思考辨析×××××√

1教材改編設(shè)>0，y>0，且＋y＝18，則y的最大值為A80B77C81D82考點自測答案解析∵x>0，y>0，當且僅當x＝y(tǒng)＝9時，(xy)max＝81.

答案解析

>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是答案解析a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，選項D成立.，y滿足y＝1，則2＋2y2的最小值為______答案解析5教材改編若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是________m2答案解析25設(shè)矩形的一邊為xm，則另一邊為

×(20－2x)＝(10－x)m，當且僅當x＝10－x，即x＝5時，ymax＝25.題型分類深度剖析題型一利用基本不等式求最值命題點1通過配湊法利用基本不等式答案解析當且僅當3x＝4－3x，即x＝

時，取等號.1答案解析因為x<，所以5－4x>0，答案解析例2已知a>0，b>0，a＋b＝1，則的最小值為___命題點2通過常數(shù)代換法利用基本不等式答案解析4∵a>0，b>0，a＋b＝1，引申探究解答當且僅當a＝b＝

時，取等號.解答解答∵a＋2b＝3，思維升華1應用基本不等式解題一定要注意應用的前提：“一正”“二定”“三相等”所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件2在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式3條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值跟蹤訓練11若正數(shù)，y滿足＋3y＝5y，則3＋4y的最小值是________答案解析5∴3＋4y的最小值是5當且僅當y＝時等號成立，∴3＋4ymin＝52已知，y∈0，＋∞，2－3＝y(tǒng)，若 m>0的最小值為3，則m＝____答案解析4由2－3＝y(tǒng)得＋y＝3，解得m＝4題型二基本不等式的實際應用例3某廠家擬在2016年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量即該廠的年產(chǎn)量萬件與年促銷費用mm≥0萬元滿足＝3－為常數(shù)如果不搞促銷活動，那么該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件已知2016年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的15倍產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金1將2016年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；解答由題意知，當m＝0時，＝1萬件，∴1＝3－?＝2，∴＝3－，2該廠家2016年的促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？∴y≤－8＋29＝21，解答故該廠家2016年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為21萬元思維升華1設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)2根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值3在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域使實際問題有意義的自變量的取值范圍內(nèi)求解跟蹤訓練21某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產(chǎn)產(chǎn)品_______件答案解析80設(shè)每件產(chǎn)品的平均費用為y元，由題意得2某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y單位：萬元與機器運轉(zhuǎn)時間單位：年的關(guān)系為y＝－2＋18－25∈N*，則每臺機器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤的最大值是___萬元8答案解析當且僅當x＝

，即x＝5時，取等號.

題型三基本不等式的綜合應用命題點1基本不等式與其他知識交匯的最值問題例412016·菏澤一模已知直線a＋by＋c－1＝0b，c>0經(jīng)過圓2＋y2－2y－5＝0的圓心，則的最小值是A9B8C4D2答案解析圓2＋y2－2y－5＝0化成標準方程，得2＋y－12＝6，所以圓心為C0,1因為直線a＋by＋c－1＝0經(jīng)過圓心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1因為b，c>0，22016·山西忻州一中等第一次聯(lián)考設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d，其前n項和是Sn，若a1＝d＝1，則的最小值是________答案解析當且僅當n＝4時取等號.

命題點2求參數(shù)值或取值范圍答案解析∴m≤12，∴m的最大值為12答案解析設(shè)g＝＋，∈N*，則g2＝6，g3＝對任意∈N*，f≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－＋＋3思維升華1應用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式或式子變形，然后利用基本不等式求解2條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解3求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍

跟蹤訓練312016·福建四地六校聯(lián)考已知函數(shù)f＝＋＋2的值域為－∞，0]∪[4，＋∞，則a的值是答案解析由題意可得a>0，幾何畫板展示

答案解析由各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1舍去因為＝4a1，所以qm＋n－2＝16，所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6又m＋n＝6，解得m＝2，n＝4，符合題意利用基本不等式求最值現(xiàn)場糾錯系列9利用基本不等式求最值時要注意條件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要驗證等號成立的條件錯解展示現(xiàn)場糾錯糾錯心得返回解析1∵>0，y>0，返回課時作業(yè)，b∈R，且ab≠0，則下列結(jié)論恒成立的是√1234567891011121314答案解析A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件√答案解析1234567891011121314因為a，b∈R時，都有a2＋b2－2ab＝a－b2≥0，1234567891011121314√答案解析√答案解析1234567891011121314因為lg2＋lg8y＝lg2，所以＋3y＝1，1234567891011121314＋2y＝1，則＋y的取值范圍是AC答案解析√1234567891011121314>0，y>0，且4y－－2y＝4，則y的最小值為√答案解析答案解析√12345678910111213141234567891011121314當且僅當a－5c＝0，ab＝1，aa－b＝1時，等號成立，123456789101112131482016·唐山一模已知，y∈R且滿足2＋2y＋4y2＝6，則＝2＋4y2的取值范圍為________答案解析∴x2＋4y2≥4(當且僅當x＝2y時取等號).又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12(當且僅當x＝－2y時取等號).綜上可知4≤x2＋4y2≤12.92016·濰坊模擬已知a，b為正實數(shù)，直線＋y＋a＝0與圓－b2＋y－12＝2相切，則的取值范圍是_________答案解析0，＋∞12345678910111213141234567891011121314∵＋y＋a＝0與圓－b2＋y－12＝2相切，∴a＋b＋1＝2，即a＋b＝1，又∵a，b為正實數(shù)，12345678910111213144答案解析由題意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，∴a＋b＝1，∵a>0，b>0，*112017·東莞調(diào)研函數(shù)y＝loga＋3－1a>0，且a≠1的圖象恒過定點A，若點A在直線m＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，則 的最小值為_____答案解析8y＝loga(x＋3)－1恒過定點A(－2，－1)，由A在直線mx＋ny＋1＝0上.則－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.1234567891011121314>0，y>0，且2＋5y＝201求u＝lg＋lgy的最大值；解答1234567891011121314∵x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，當且僅當2x＝5y時，等號成立.1234567891011121314此時y有最大值10∴u＝lg＋lgy＝lgy≤lg10＝1∴