有限元-第2講-有限元法基本理論

第2章有限元法基本理論張洪偉彈性力學(xué)問題基本描述彈性問題參量原理12內(nèi)容提要3有限元分析基本步驟4有限元解的誤差分析工程問題的復(fù)雜性是諸多方面因素組成的。如果不分主次考慮所有因素，則問題的復(fù)雜，數(shù)學(xué)推導(dǎo)的困難，將使得問題無法求解。根據(jù)問題性質(zhì)，忽略部分暫時不必考慮的因素，提出一些基本假設(shè)。使問題的研究限定在一個可行的范圍?；炯僭O(shè)是學(xué)科的研究基礎(chǔ)。超出基本假設(shè)的研究領(lǐng)域是固體力學(xué)其它學(xué)科的研究?；炯僭O(shè)的必要性彈性力學(xué)問題的基本描述彈性力學(xué)的基本假設(shè)1.連續(xù)性假設(shè)

——假設(shè)所研究的整個彈性體內(nèi)部完全由組成物體的介質(zhì)所充滿，各個質(zhì)點(diǎn)之間不存在任何空隙?！冃魏笕匀槐３诌B續(xù)性。根據(jù)這一假設(shè)，物體所有物理量，例如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等均為物體空間的連續(xù)函數(shù)。微觀上這個假設(shè)不成立——宏觀假設(shè)。彈性力學(xué)的基本假設(shè)2.

均勻性假設(shè)

——

假設(shè)彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的。因此物體各個部分的物理性質(zhì)都是相同的，不隨坐標(biāo)位置的變化而改變。——

物體的彈性性質(zhì)處處都是相同的。工程材料，例如混凝土顆粒遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體的的幾何形狀，并且在物體內(nèi)部均勻分布，從宏觀意義上講，也可以視為均勻材料。對于環(huán)氧樹脂基碳纖維復(fù)合材料，不能處理為均勻材料。彈性力學(xué)的基本假設(shè)3.各向同性假設(shè)

——假定物體在各個不同的方向上具有相同的物理性質(zhì)，這就是說物體的彈性常數(shù)將不隨坐標(biāo)方向的改變而變化?！暧^假設(shè)，材料性能是顯示各向同性。當(dāng)然，像木材，竹子以及纖維增強(qiáng)材料等，屬于各向異性材料。——這些材料的研究屬于復(fù)合材料力學(xué)研究的對象。彈性力學(xué)的基本假設(shè)4.完全彈性假設(shè)

——對應(yīng)一定的溫度，如果應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，而且這個關(guān)系和時間無關(guān)，也和變形歷史無關(guān)，稱為完全彈性材料。完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力學(xué)研究限于線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系。研究對象的材料彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的變化而改變。彈性力學(xué)的基本假設(shè)5.小變形假設(shè)

——假設(shè)在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響下，物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階小量。——在彈性體的平衡等問題討論時，可以不考慮因變形所引起的尺寸變化?！雎晕灰?、應(yīng)變和應(yīng)力等分量的高階小量，使基本方程成為線性的偏微分方程組。彈性力學(xué)的基本假設(shè)——假設(shè)物體處于自然狀態(tài)，即在外界因素作用之前，物體內(nèi)部沒有應(yīng)力。彈性力學(xué)求解的應(yīng)力僅僅是外部作用（外力或溫度改變）產(chǎn)生的。6.無初始應(yīng)力假設(shè)

彈性力學(xué)的基本假設(shè)，主要包括彈性體的連續(xù)性、均勻性、各向同性、完全彈性和小變形假設(shè)等。這些假設(shè)都是關(guān)于材料變形的宏觀假設(shè)。彈性力學(xué)問題的討論中，如果沒有特別的提示，均采用基本假設(shè)。這些基本假設(shè)被廣泛的實(shí)驗(yàn)和工程實(shí)踐證實(shí)是可行的。彈性力學(xué)的基本假設(shè)物體外力——分為兩類體力

分布在物體整個體積內(nèi)的外力如重力，慣性力，電磁力等面力

分布在物體表面上的外力，如液體壓力、風(fēng)力和接觸力等彈性力學(xué)基本概念一外力彈性力學(xué)基本概念二內(nèi)力內(nèi)力：物體在外界因素作用下，例如外力，溫度變化等，物體內(nèi)部各個部分之間將產(chǎn)生相互作用，這種物體一部分與相鄰部分之間的作用力。內(nèi)力的計(jì)算可以采用截面法，即利用假想平面將物體截為兩部分，將希望計(jì)算內(nèi)力的截面暴露出來，通過平衡關(guān)系計(jì)算截面內(nèi)力F。

彈性力學(xué)基本概念

物體承受外力作用，物體內(nèi)部各截面之間產(chǎn)生附加內(nèi)力，為了顯示出這些內(nèi)力，我們用一截面截開物體，并取出其中一部分：三應(yīng)力的概念彈性力學(xué)基本概念

其中一部分對另一部分的作用，表現(xiàn)為內(nèi)力，它們是分布在截面上分布力的合力。取截面的一部分，它的面積為ΔA，為物體在該截面上ΔA點(diǎn)的應(yīng)力。ΔQΔA平均集度為ΔQ/ΔA，其極限作用于其上的內(nèi)力為ΔQ，三應(yīng)力的概念彈性力學(xué)基本概念通常將應(yīng)力沿垂直于截面和平行于截面兩個方向分解為Sστ正應(yīng)力σ切應(yīng)力τ三應(yīng)力的概念應(yīng)力分量xyzo應(yīng)力不僅和點(diǎn)的位置有關(guān)，和截面的方位也有關(guān)。描述應(yīng)力，通常用一點(diǎn)平行于坐標(biāo)平面的單元體，各面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)軸的分量來表稱為應(yīng)力分量。物體內(nèi)各點(diǎn)的內(nèi)力平衡，因此相對平面上的應(yīng)力分量大小相等，方向相反。彈性力學(xué)基本概念三應(yīng)力的概念

平行于單元體面的應(yīng)力稱為切應(yīng)力，用τyx

、τyz表示，其第一下標(biāo)y表示所在的平面法線方向，第二下標(biāo)x、y分別表示力的方向。如圖示的τyx、τyz。σyτyxτyzxyzo符號規(guī)定：圖示單元體面的法線為y,稱為y面，應(yīng)力分量垂直于單元體面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力。正應(yīng)力記為,沿y軸的正向?yàn)檎?其下標(biāo)表示所沿坐標(biāo)軸的方向。三應(yīng)力的概念

平行于單元體面的應(yīng)力如圖示的τyx、τyz，沿x軸、z軸的負(fù)向?yàn)檎?。圖示單元體面的法線為y的負(fù)向，正應(yīng)力記為

,沿y軸負(fù)向?yàn)檎?。符號?guī)定三應(yīng)力的概念彈性力學(xué)材料力學(xué)注意彈性力學(xué)切應(yīng)力符號和材料力學(xué)是有區(qū)別的，圖示中，彈性力學(xué)里，切應(yīng)力都為正，而材料力學(xué)中相鄰兩面的的符號是不同的。在畫應(yīng)力圓時，應(yīng)按材料力學(xué)的符號規(guī)定。符號規(guī)定三應(yīng)力的概念其它x、z正面上的應(yīng)力分量的表示如圖所示。凡正面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)正向?yàn)檎?，逆坐?biāo)正向?yàn)樨?fù)。獨(dú)立應(yīng)力分量：三應(yīng)力的概念外力作用下，物體各點(diǎn)發(fā)生位移，但是某點(diǎn)位移的大小并不能確定該處應(yīng)力的大小，它與物體的整體約束有關(guān)。應(yīng)變反映局部各點(diǎn)相對位置的變化，與應(yīng)力直接相關(guān)，變形體力學(xué)中彈性力學(xué)對這種關(guān)系作了最為簡化的假設(shè)，在各向同性線彈性的條件下，彈性常數(shù)只有兩個。四應(yīng)變的概念1、線應(yīng)變2、切應(yīng)變1）切應(yīng)力為零的微分面稱為主微分平面，簡稱主平面。2）主平面的法線稱為應(yīng)力主軸或者稱為應(yīng)力主方向。3）主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。根據(jù)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的定義，可以建立其求解方程。五主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力

彈性體內(nèi)部各點(diǎn)位置的變化，稱為位移位移形式剛體位移：物體內(nèi)部各點(diǎn)位置變化，但仍保持初始狀態(tài)相對位置不變。變形位移：位移不僅使得位置改變，而且改變了物體內(nèi)部各個點(diǎn)的相對位置。位移u，v，w是單值連續(xù)函數(shù)五位移的概念彈性力學(xué)基本方程平衡微分方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程物理方程平衡物體整體平衡，內(nèi)部任何部分也是平衡的。對于彈性體，必須討論一點(diǎn)的平衡。一平衡微分方程一平衡微分方程正應(yīng)變示意圖二幾何方程由幾何方程可知，u,v,w函數(shù)已知，則該點(diǎn)應(yīng)變分量確定。但是，應(yīng)變分量確定，無法求出位移分量?？臻g幾何方程二幾何方程變形協(xié)調(diào)方程也稱變形連續(xù)方程，或相容方程。描述六個應(yīng)變分量之間所存在的關(guān)系式。同一平面內(nèi)的正應(yīng)變與剪應(yīng)變之間的關(guān)系

三變形協(xié)調(diào)方程不同平面內(nèi)的正應(yīng)變與剪應(yīng)變之間的關(guān)系：

三變形協(xié)調(diào)方程桿受拉沿受力方向引起伸長，同時垂直于力方向則引起縮短，實(shí)驗(yàn)證明，在彈性范圍內(nèi)有

泊松比，也稱橫向變形系數(shù)。應(yīng)變和應(yīng)力關(guān)系取一個單元體，在各正應(yīng)力作用下，沿Ｘ軸方向的正應(yīng)變：四物理方程廣義虎克定律

剪應(yīng)變：應(yīng)變和應(yīng)力關(guān)系四物理方程寫成矩陣形式：簡記為其中，[Ｄ]為彈性矩陣，它完全取決于彈性系數(shù)Ｅ和μ。應(yīng)變和應(yīng)力關(guān)系四物理方程2.4邊界條件彈性力學(xué)的基本未知量：位移分量，應(yīng)力分量和應(yīng)變分量。基本方程：平衡微分方程，幾何方程和物理方程。要使基本方程有確定的解，還要有對應(yīng)的面力或位移邊界條件。

邊界條件一般分為：靜力（面力）邊界條件、位移邊界條件和混合邊界條件。

彈性力學(xué)的任務(wù)：就是在給定的邊界條件下，就十五個未知量求解十五個基本方程。邊界條件靜力邊界條件：結(jié)構(gòu)在邊界上各點(diǎn)所受的面力為坐標(biāo)的已知函數(shù)，建立起面力分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系。由于物體表面受到表面力，如壓力和接觸力等的作用，設(shè)單位面積上的面力分量為Fsx、Fsy和Fsz

，物體外表面法線n的方向余弦為l，m，n。參考應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系，可得

一靜力（面力）邊界條件位移邊界條件：結(jié)構(gòu)在邊界上位移為位置坐標(biāo)的已知函數(shù)。

混合邊界條件：結(jié)構(gòu)在一部分邊界上位移為位置坐標(biāo)的已知函數(shù)，其它邊界上所受的面力為已知函數(shù)，或者結(jié)構(gòu)在邊界上部分面力分量和位移分量為位置坐標(biāo)的已知函數(shù)。二位移邊界條件勢能—系統(tǒng)在某一位置所具有的對外作功的能力，稱為系統(tǒng)在這一位置的勢能。

勢能零點(diǎn)—人為選定的勢能為零的位置，稱為零勢位置，又稱為勢能零點(diǎn)。保守力—如果力在有限路程上所做之功只與其起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)而與路徑無關(guān)，這種力稱為保守力。保守力做功與勢能增量的關(guān)系：

V=–W彈性問題的能量原理彈性勢能—彈性體變形后，產(chǎn)生彈性內(nèi)力，這種力也具有對外作功的能力，稱為彈性勢能，或彈性應(yīng)變能。單位體積的應(yīng)變能（應(yīng)變比能）：包括正應(yīng)變和剪應(yīng)變變形能微元變形能（正應(yīng)變）ΔuF單位體積力面力外力包括作用在物體上的面力和體力外力功II＝U-WU－彈性勢能或變形(應(yīng)變)能W－外力功對于保守力場作用下的彈性體系統(tǒng)總勢能：虛位移：假定的、在約束條件允許范圍內(nèi)，彈性體可能發(fā)生的、任意的、微小的位移，只說明位移產(chǎn)生的可能性，必須滿足變形協(xié)調(diào)條件和幾何邊界條件。變形勢能：彈性體受力變形后，彈性體內(nèi)部應(yīng)力在其應(yīng)變上所做的功。虛位移原理：若彈性體在已知的面力和體力的作用下處于平衡狀態(tài)，那么使彈性體產(chǎn)生虛位移時，所有作用在彈性體上的外力在虛位移上所做得虛功等于彈性體所具有的虛變形勢能。虛位移原理（虛功原理）虛功原理—虛位移原理外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，產(chǎn)生約束許可的微小虛位移（并同時在彈性體內(nèi)產(chǎn)生虛應(yīng)變），外力在虛位移上所作的虛功等于彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力在相應(yīng)的虛應(yīng)變上所作的虛功。彈性體平衡

We=Wi

Wi=

We=

We=Wi彈性問題中等價于最小勢能原理！變分原理設(shè)u是未知函數(shù)，F(xiàn)和E是u及其偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，V是求解域，S是V的邊界，則如下積分形式∏稱為未知函數(shù)u的泛函，∏隨函數(shù)u的變化而變化，即它是未知函數(shù)的函數(shù)。變分法所研究的是如何求得使泛函∏取駐值的函數(shù)u，以及駐值點(diǎn)的性質(zhì)（極大值、極小值或駐值）。泛函∏取駐值的條件是，對于函數(shù)u的微小變化δu，泛函的變分（即變化量）δ∏等于零，即許多物理問題可以表達(dá)為泛函的極值問題，采用變分法求解，這種求解方法稱為變分原理。連續(xù)介質(zhì)問題中經(jīng)常存在著和微分方程及邊界條件不同的卻等價的表達(dá)形式，變分原理是另一種表達(dá)連續(xù)介質(zhì)問題的積分表達(dá)形式。泛函變分提法彈性問題的勢能就是一種泛函，可以通過平衡微分方程和邊界條件的等效積分的弱形式得到。彈性體變分原理—最小勢能原理彈性體在外力作用下保持平衡，在滿足位移邊界條件的所有可能位移中，真實(shí)位移使系統(tǒng)的總勢能取最小值。（證明從略）II＝U-W

II＝0真實(shí)位移總勢能一般彈性問題三大類基本方程和邊界條件：設(shè)有許可位移場，滿足位移邊界條件，可使系統(tǒng)勢能取極小值，由于許可位移場，因此幾何方程及物理方程也可滿足，這樣如果可推導(dǎo)出力平衡方程及力的邊界條件，即最小勢能原理與原有方程等價：最小勢能原理的等價性分部積分說明：滿足位移邊界條件：高斯定理幾何方程代入平衡方程力邊界條件等價于以上證明過程說明，總可以找到滿足位移邊界條件的試函數(shù)即許可位移場，在滿足幾何方程和物理方程的前提下，當(dāng)勢能取最小值時，其結(jié)果可精確滿足所剩下的平衡方程以及邊界條件；但實(shí)際上，由于對于許可位移場的選擇具有相當(dāng)?shù)木窒扌院兔つ啃?，一般很難將真正精確的位移場包含在許可位移場中，這樣，就不可能由最小勢能原理求出精確解，只能在所選擇的試函數(shù)范圍內(nèi)，通過最小勢能原理求解出最好的一組解，這組解是在使其加權(quán)值最小的意義下對平衡方程及力邊界條件的逼近。比較：虛功原理和能量變分原理虛功原理是理論力學(xué)上的一個根本性原理，可以用于一切非線性力學(xué)問題。最小勢能原理只是虛功原理對彈性體導(dǎo)出的一種表述形式，但是對于線彈性問題，最小勢能原理的應(yīng)用非常方便。能量變分原理方法可以很方便的擴(kuò)展到結(jié)構(gòu)位移場以外的不含非線性的領(lǐng)域，如求解熱傳導(dǎo)、電磁場、流體動力學(xué)等問題。關(guān)于集中力的說明體積力分布面力集中力單獨(dú)考慮集中力外力載荷作業(yè)：一維拉桿問題1、應(yīng)用彈性力學(xué)的基本方程和邊界條件求解拉桿應(yīng)力、應(yīng)變及位移分布。2、應(yīng)用最小勢能原理求解該問題。3、應(yīng)用虛位移原理求解該問題。有限元分析一般步驟一階梯形狀二桿Step1:幾何離散——自然離散為2個桿單元Setp2:單元特征分析構(gòu)造單元位移函數(shù)應(yīng)變的表達(dá)應(yīng)力的表達(dá)單元的應(yīng)變能單元的外力功Step3:單元集成—系統(tǒng)的總勢能Step4:變分處理—線性方程組Step5:處理位移邊界條件并求解Step6:計(jì)算每個單元的應(yīng)變及應(yīng)力Step1.幾何離散2個單元（編號：1，2）3個節(jié)點(diǎn)（編號：1，2，3）整體節(jié)點(diǎn)位移列陣整體等效節(jié)點(diǎn)力列陣Step2.單元特征分析—位移函數(shù)單元節(jié)點(diǎn)位移列陣：單元等效節(jié)點(diǎn)力列陣：單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)列陣：xixj利用節(jié)點(diǎn)條件：構(gòu)造單元位移函數(shù)：單元特征分析—應(yīng)變、應(yīng)力形狀函數(shù)矩陣應(yīng)變矩陣應(yīng)力矩陣由幾何方程由物理方程單元特征分析—應(yīng)變能、外力勢能單元應(yīng)變能計(jì)算：Ke—單元剛度矩陣單元外力功要求單元的外力功，關(guān)鍵是求出單元上的體積力和面積力等效作用到節(jié)點(diǎn)上的力的大小。單元等效節(jié)點(diǎn)力Step3.單元集成——應(yīng)變能擴(kuò)充疊加K—整體剛度矩陣整體集成Step3.單元集成——外力功擴(kuò)充疊加Step3.單元集成——系統(tǒng)總勢能Step4.變分處理Step5:處理位移邊界條件并求解Step6:計(jì)算每個單元的應(yīng)變及應(yīng)力換個思路：多元函數(shù)求極值總結(jié)：有限元求解基本步驟幾何離散：m個單元和n個節(jié)點(diǎn)的組合體單元特征分析：單元應(yīng)變能，單元外力勢能（等效節(jié)點(diǎn)載荷）單元集成：系統(tǒng)的總勢能變分處理：系統(tǒng)的平衡方程（組）應(yīng)用位移邊界條件求出節(jié)點(diǎn)位移由節(jié)點(diǎn)位移求出單元的應(yīng)變、應(yīng)力整體節(jié)點(diǎn)位移列陣整體等效節(jié)點(diǎn)力列陣幾何離散單元的節(jié)點(diǎn)描述單元分析單元位移場模式，所有物理量的表達(dá)（均用節(jié)點(diǎn)位移表示）整體平衡方程擴(kuò)充疊加單元集成擴(kuò)充疊加處理邊界條件，求得滿足位移邊界條件的位移場求解其他力學(xué)量，如應(yīng)變和應(yīng)力等有限元解的誤差及收斂性有限元解的誤差收斂性相關(guān)準(zhǔn)則位移單元解的下限性有限元解的誤差模型誤差：離散誤差、邊界條件誤差計(jì)算誤差：舍入誤差、截?cái)嗾`差對于有限元這種數(shù)值計(jì)算方法，一般總是希望隨著網(wǎng)格的逐步細(xì)分所得到的解能夠收斂于問題的精確解。根據(jù)前面的分析，可知在有限元分析中，一旦確定了單元的形狀之后，位移模式的選擇將是非常關(guān)鍵的。由于載荷的移置、應(yīng)力矩陣和剛度矩陣的建立等等，都依賴于單元的位移模式，所以，如果所選擇的位移模式與真實(shí)的位移分布有很大的差別，那么就很難獲得良好的數(shù)值解。為了保證解答的收斂性，要求位移模式必須滿足以下三個條件，即1）位移模式必須包含單元的剛體位移。2）位移模式必須包含單元的常應(yīng)變。3）位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)、且在相鄰單元之間的位移必須協(xié)調(diào)。

1）位移模式必須包含單元的剛體位移。也就是說，當(dāng)節(jié)點(diǎn)位移是由某個剛體位移所引起時，彈性體內(nèi)將不會產(chǎn)生應(yīng)變。所以，位移模式不但要具有描述單元本身形變的能力，而且還要具有描述由于其它單元形變而通過節(jié)點(diǎn)位移引起單元剛體位移的能力。2）位移模式必須包含單元的常應(yīng)變。每個單元的應(yīng)變一般都是包含著兩個部分：一部分是與該單元中各點(diǎn)的坐標(biāo)位置有關(guān)的應(yīng)變（即所謂各點(diǎn)的變應(yīng)變）；另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的應(yīng)變（即所謂的常應(yīng)變）。從物理意義上看，當(dāng)單元尺寸無限縮小時，每個單元中的應(yīng)變應(yīng)該趨于常量。因此，在位移模式中必須包含有這些常應(yīng)變，否則就不可能使數(shù)值解收斂于正確解。3）位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)、且在相鄰單元之間的位移必須協(xié)調(diào)。當(dāng)選擇多項(xiàng)式來構(gòu)成位移模式時，單元內(nèi)的連續(xù)性要求總是得到滿足的，單元間的位移協(xié)調(diào)性，就是要求單元之間既不會出現(xiàn)開裂也不會出現(xiàn)重疊的現(xiàn)象。通常，當(dāng)單元交界面上的位移取決于該交界面上節(jié)點(diǎn)的位移時，就可以保證位移的協(xié)調(diào)性。在有限單元法中，把能夠滿足條件1和2的單元，稱為完備單元，完備單元是收斂的必要條件。滿足條件3的單元，叫做協(xié)調(diào)單元或保續(xù)單元。如三節(jié)點(diǎn)三角形單元，均能同時滿足上述三個條件，因此屬于完備的協(xié)調(diào)單元，完備的協(xié)調(diào)單元是收斂的充分條件。在某些梁、板及殼體分析中，要使單元滿足條件3比較困難，所以實(shí)踐中有時也出現(xiàn)一些只滿足條件1和2的單元，其收斂性往往也能夠令人滿意。目前，完備而不協(xié)調(diào)的單元，已獲得了很多成功應(yīng)用。在有限元分析中，將實(shí)際連續(xù)體分成許多單元體的組合后，根據(jù)線性或非線性位移的假定，人為地選擇一個位移場，通過這些措施所得到的模型比實(shí)際連續(xù)體的剛性要高。

因而，近似模型的剛度是實(shí)際連續(xù)體剛度的上界。若選擇不協(xié)調(diào)單元，那么這種模型可能由于單元分離、疊加或單元之間形成鉸而降低剛性，這種影響就有可能使得不協(xié)調(diào)元比應(yīng)用協(xié)調(diào)元所得的結(jié)果要好。不過，應(yīng)用不協(xié)調(diào)單元事先不能肯定所得的剛度是真實(shí)剛度的上界。換句話說