第2講橢圓雙曲線拋物線

第2講橢圓雙曲線拋物線第一頁，共45頁。2.橢圓中的最值

F1，F(xiàn)2為橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點，P為橢圓的任意一點，B為短軸的一個端點，O為坐標原點，則有（1）|OP|∈［b,a］.(2)|PF1|∈［a-c,a+c］.（3）|PF1||PF2|∈［b2,a2］.(4)∠F1PF2≤∠F1BF2.（5）=b2tan(=∠F1PF2).（6）焦點弦以通徑為最短.3.雙曲線中的最值

F1，F(xiàn)2為雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點，P為雙曲線上的任一點，O為坐標原點，則有第一頁第二頁，共45頁。（1）|OP|≥a.（2）|PF1|≥c-a.（2）(=∠F1PF2).4.拋物線中的最值點P為拋物線y2=2px(p>0)上的任一點，F(xiàn)為焦點，則有:（1）|PF|≥.（2）焦點弦AB以通徑為最值，即|AB|≥2p.（3）A（m,n）為一定點，則|PA|+|PF|有最小值.5.雙曲線的漸近線（1）求法：令雙曲線標準方程的左邊為零，分解因式可得.第二頁第三頁，共45頁。（2）用法：①可得或的值.②利用漸近線方程設所求雙曲線的方程.6.直線與圓錐曲線的位置關系（1）相離；（2）相切；（3）相交.特別地，①當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個公共點.②當直線與拋物線的對稱軸平行或重合時，直線與拋物線相交且只有一個公共點.第三頁第四頁，共45頁。

一、圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)、標準方程例1如圖所示，橢圓上的點M與橢圓右焦點F1的連線MF1與x軸垂直，且OM（O是坐標原點）與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行.（1）求橢圓的離心率；（2）F2是橢圓的左焦點，C是橢圓上的任一點，證明：∠F1CF2≤；（3）過F1且與AB垂直的直線交橢圓于P、

Q，若△PF2Q的面積是，求此時橢圓的方程.第四頁第五頁，共45頁。思維啟迪（1）從OM∥AB入手，尋找a，b，c的關系式，進而求出離心率.（2）在焦點三角形F1CF2中，用余弦定理求出

cos∠F1CF2,再結合基本不等式.（3）設P（x1,y1）、Q（x2,y2），則用設而不求的思路求解.（1）解設橢圓方程為(a>b>0)，則，

第五頁第六頁，共45頁。（2）證明

由橢圓定義得：|F1C|+|F2C|=2a，cos∠F1CF2===.|F1C||F2C|≤=a2，∴cos∠F1CF2≥，∴∠F1CF2≤.（3）解設直線PQ的方程為y=-(x-c),即y=-(x-c).第六頁第七頁，共45頁。代入橢圓方程消去x得：,整理得：5y2--2c2=0,∴y1+y2=,y1y2=.∴（y1-y2）2=.因此a2=50,b2=25,所以橢圓方程為.探究提高（1）求離心率，結合已知條件找到a,b,c的關系式；（2）C為橢圓上的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，當C點是橢圓短軸的一個端點時，∠F1CF2取得最大值.第七頁第八頁，共45頁。變式訓練1（2009·四川理，20）已知橢圓(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率,右準線方程為x=2.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點F1的直線l與該橢圓相交于M、N兩點，且,求直線l的方程.解（1）由條件有解得a=,c=1.∴b==1.∴所求橢圓的方程為第八頁第九頁，共45頁。(2)由（1）知F1（-1，0）、F2（1，0）.若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=-1,將x=-1代入橢圓方程得y=±.不妨設與題設矛盾.∴直線l的斜率存在.設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+1).設M（x1,y1）、N（x2,y2）,聯(lián)立第九頁第十頁，共45頁。消y得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.由根與系數(shù)的關系知x1+x2=從而y1+y2=k(x1+x2+2)=第十頁第十一頁，共45頁?；喌?0k4-23k2-17=0,解得k2=1或k2=-(舍).∴k=±1.∴所求直線l的方程為y=x+1或y=-x-1.第十一頁第十二頁，共45頁。

二、圓錐曲線中的定值與最值例2已知菱形ABCD的頂點A，C在橢圓x2+3y2=4上，對角線BD所在直線的斜率為1.（1）當直線BD過點（0，1）時，求直線AC的方程；（2）當∠ABC=60°時,求菱形ABCD面積的最大值.思維啟迪（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)及條件求解.（2）由題意表示出菱形的面積，然后利用函數(shù)或不等式知識求解.

解（1）由題意得直線BD的方程為y=x+1.因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.于是可設直線AC的方程為y=-x+n.

x2+3y2=4,由得4x2-6nx+3n2-4=0

y=-x+n,.第十二頁第十三頁，共45頁。因為A、C在橢圓上所以Δ=-12n2+64>0，解得.設A，C兩點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)，則x1+x2=,x1x2=,y1=-x1+n,y2=-x2+n.所以y1+y2=.所以AC的中點坐標為.由四邊形ABCD為菱形可知，點在直線y=x+1上，所以,解得n=-2.所以直線AC的方程為y=-x-2,即x+y+2=0.（2）因為四邊形ABCD為菱形，且∠ABC=60°,所以|AB|=|BC|=|CA|.第十三頁第十四頁，共45頁。所以菱形ABCD的面積S=|AC|2.由(1)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=,所以.所以當n=0時,菱形ABCD的面積取得最大值.探究提高解析幾何中的最值問題涉及的知識面較廣，解法靈活多樣，但最常用的方法有以下幾種：①利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值；②利用三角函數(shù)，尤其是正、余弦函數(shù)的有界性求最值；③利用不等式，尤其是均值不等式求最值；④利用判別式求最值；⑤利用數(shù)形結合，尤其是切線的性質(zhì)求最值.第十四頁第十五頁，共45頁。變式訓練2（2009·銀川模擬）已知橢圓的離心率為，以右焦點F為圓心的圓過橢圓上的頂點

B（0，b），且與直線l：相切.（1）求橢圓的方程；（2）過該橢圓的右焦點的直線交橢圓于M、N兩點，該橢圓的左、右頂點分別為A1、A2，求證：直線MA1與直線NA2的斜率平方的比值為定值.（1）解設點F（c,0），其中.∵以右焦點F為圓心的圓過橢圓上的頂點B（0，b），∴圓的半徑為

r=.由圓與直線l：x++3=0相切，得=a，又a=2c，∴c=1，a=2，b=.第十五頁第十六頁，共45頁?！鄼E圓方程為.（2）證明設M（x1,y1）,N(x2,y2)，當直線MN的斜率不存在時，直線MN的方程為x=1,∴當直線MN的斜率存在時，設直線MN的方程為y=k(x-1)，將其代入，得(3+4k2)x2-8k2x+4k2﹣12=0,∴x1+x2=,∴.第十六頁第十七頁，共45頁。而,將其代入上式，得綜上，知直線MA1與直線NA2的斜率平方的比值為定值.

三、圓錐曲線中的參數(shù)范圍問題例3在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點（0，）且斜率為k的直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q.（1）求k的取值范圍；

第十七頁第十八頁，共45頁。（2）設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、

B，是否存在常數(shù)k，使得向量共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由.思維啟迪（1）將直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化為關于x的一元二次方程，利用Δ>0求k的范圍；（2）利用共線的條件建立等式求出k值進行判斷.解（1）由已知條件知直線l的方程為y=kx+,代入橢圓方程得.整理得直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于Δ=第十八頁第十九頁，共45頁。解得.即k的取值范圍為.（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2），則=（x1+x2，y1+y2），由方程①得x1+x2=②又y1+y2=k(x1+x2)+③而A（，0），B（0，1），=（，1）.所以共線等價于x1+x2=(y1+y2)，將②③代入上式，解得k=.由（1）知k<或k>,故沒有符合題意的常數(shù)k.第十九頁第二十頁，共45頁。探究提高直線與圓錐曲線位置關系的判斷，有關圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對函數(shù)方程思想和數(shù)形結合思想的考查，一直是高考考查的重點，此類問題涉及根與系數(shù)的關系，設而不求、整體代入的技巧和方法.變式訓練3如圖，已知直線l與拋物線x2=4y相切于點P（2，1），且與x軸交于點A，O為坐標原點，定點B的坐標為（2，0）.第二十頁第二十一頁，共45頁。（1）若動點M滿足，求點M的軌跡C；（2）若過點B的直線l′（斜率不等于零）與（1）中的軌跡

C交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.解（1）由x2=4y得y=x2,∴y′=x.∴直線l的斜率為y′|x=2=1.故l的方程為y=x-1，∴點A坐標為（1，0）.設M（x,y），則=（1，0），

=（x-2,y）,

=(x-1,y),由=0得（x-2）+y·0+·=0,整理，得+y2=1.第二十一頁第二十二頁，共45頁?！鄤狱cM的軌跡C為以原點是中心，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為2的橢圓.（2）如圖，由題意知直線l′的斜率存在且不為零，設l′方程為y=k(x-2)(k≠0),①將①代入+y2=1，整理，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0∴x1+x2=,x1x2=②由此可得=·，=,且0<<1.由②知（x1-2）+(x2-2)=,(x1-2)·(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=.第二十二頁第二十三頁，共45頁?！?即k2=.∵0<k2<,∴0<.解得3-<<3+.又∵0<<1，∴3-<<1.∴△OBE與△OBF面積之比的范圍是（3-，1）.四圓錐曲線的綜合性問題例4(2008·全國Ⅰ理,21)雙曲線的中心為原點O,焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經(jīng)過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1,l2于A，B兩點.已知||、||、||成等差數(shù)列，且與同向.第二十三頁第二十四頁，共45頁。（1）求雙曲線的離心率；（2）設AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程.解

(1)設OA=m-d，AB=m，OB=m+d由勾股定理可得：(m-d)2+m2=(m+d)2化簡得:d=mtan∠AOF=

tan∠AOB=tan2∠AOF=∴第二十四頁第二十五頁，共45頁。解得則離心率e=.(2)過點F的直線方程為y=(x-c)與雙曲線方程=1聯(lián)立將a=2b，c=b代入，化簡有4==將數(shù)值代入，有4=解得b=3最后求得雙曲線方程為=1.第二十五頁第二十六頁，共45頁。變式訓練4(2009·全國Ⅰ理，21)如圖，已知拋物線E：y2=x與圓M：（x-4）2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四個點.(1)求r的取值范圍；（2）當四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標.解（1）將y2=x代入（x-4）2+y2=r2,并化簡得x2-7x+16-r2=0.①E與M有四個交點的充要條件是方程①有兩個不等的正根x1、x2,Δ=(-7)2-4(16-r2)>0,由此得x1+x2=7>0,

x1x2=16-r2>0.解得<r2<16,又r>0,第二十六頁第二十七頁，共45頁。所以r的取值范圍是.（2）不妨設E與M的四個交點的坐標為A（x1,）、B（x1,）、C（x2，）、D（x2,）.則直線AC、BD的方程分別為y-=·(x-x1),y+=,解得點P的坐標為（,0）,設t=,由t=及（1）知0<t<.由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積S=則S2=（x1+x2+2）［(x1+x2)2-4x1x2］.將x1+x2=7,=t代入上式，并令f(t)=S2,第二十七頁第二十八頁，共45頁。求導數(shù)，f′(t)=-2(2t+7)(6t-7).令f′(t)=0,解得t=,t=(舍去).當0<t<時，f′(t)>0,當t=時.f′(t)=0;當<t<時，f′(t)<0,故當且僅當t=時，f(t)有極大值，也為最大值即四邊形ABCD的面積最大，故所求的點P的坐標為

.規(guī)律方法總結1.拋物線焦點弦的性質(zhì)直線l過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,交拋物線于A、第二十八頁第二十九頁，共45頁。B兩點，則有：（1）通徑的長為2p.(2)焦點弦公式：|AB|=x1+x2+p.(3)x1x2=,y1y2=-p2.(4)以焦點弦為直徑的圓與拋物線的準線相切.2.求軌跡方程的常用方法（1）軌跡法：①建系設動點.②列幾何等式.③坐標代入得方程.④化簡方程.⑤除去不合題意的點作答.（2）待定系數(shù)法：已知曲線的類型，先設方程再求參數(shù).（3）代入法：當所求動點隨已知曲線上動點的動而動時用此法.代入法的步驟：第二十九頁第三十頁，共45頁。①設出兩動點坐標（x,y）,(x0,y0).②結合已知找出x,y與x0,y0的關系，并用x,y表示

x0,y0.③將x0,y0代入它滿足的曲線方程，得到x,y的關系式即為所求.（4）定義法：結合幾種曲線的定義，明確所求曲線的類型，進而求得曲線的方程.3.有關弦的中點問題（1）通法（2）點差法點差法的作用是用弦的中點坐標表示弦所在直線的斜率.點差法的步驟：

第三十頁第三十一頁，共45頁。①將兩交點A（x1,y1）,B(x2,y2)的坐標代入曲線的方程.②作差消去常數(shù)項得到關于x1+x2,x1-x2,y1+y2,y1-y2的關系式.③應用斜率公式及中點坐標公式求解.4.解決直線與圓錐曲線問題的通法（1）設方程及點的坐標.（2）聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程.（3）應用韋達定理及判別式.（4）結合已知、中點坐標公式、斜率公式及弦長公式求解.弦長公式：|AB|=.第三十一頁第三十二頁，共45頁。一、選擇題1.（2009·菏澤模擬）已知雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角（兩條相交直線所成的銳角或直角為，則雙曲線的離心率為（）

A.2B.C.D.解析雙曲線的漸近線方程為y=±.①若=tan=,則a=∴c=,∴e=.②若,則a=，不符合要求.故選D.D第三十二頁第三十三頁，共45頁。2.(2009·浙江文，6)已知橢圓(a>b>0)的左焦點為F，右頂點為A,點B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點P，若，則橢圓的離心率是（）A.B.C.D.解析如圖，由于BF⊥x軸， 故xB=-c,yB=, 設P（0,t）, ∵， ∴（-a,t）=2（-c,-t）,∴a=2c. ∴.D第三十三頁第三十四頁，共45頁。3.（2009·山東文，10）設斜率為2的直線l過拋物線y2=ax(a≠0)的焦點F，且和y軸交于點A，若△OAF（O為坐標原點）的面積為4，則拋物線方程為（） A.y2=±4xB.y2=±8x C.y2=4xD.y2=8x 解析y2=ax的焦點坐標為,過焦點且斜率為2的直線方程為y=2，令x=0得： y=.∴=4， ∴a2=64, ∴a=±8.B第三十四頁第三十五頁，共45頁。4.橢圓M：(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點，且的最大值的取值范圍是［c2,3c2］，其中c=,則橢圓M的離心率e的取值范圍是() A.B. C.D. 解析由所以的最大值為

=（a+c）·（a-c），結合題意分析知c2≤a2_c2≤3c2，求得離心率的取值范圍是，故選BB第三十五頁第三十六頁，共45頁。5.P是雙曲線(a＞0,b＞0)右支上的一點,

F1、F2分別為左、右焦點,且焦距為2c,△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標是（） A.aB.b C.cD.a+b+c 解析設圓切PF1、PF2、F1F2分別于M、N、R， 則由雙曲線定義知|PF1|-|PF2|=2a， 即（|PM|+|MF1|）-（|PN|+|NF2|）=2a， 又|PM|=|PN|，故|MF1|-|NF2|=2a， 而|MF1|=|RF1|，|NF2|=|RF2|， 因此|F1R|-|F2R|=2a， 設R（0，t），則t+c-（c-t）=2a，∴t=a.A第三十六頁第三十七頁，共45頁。二、填空題6.（2009·湖南理，12）已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中，有一個內(nèi)角為60°，則雙曲線C的離心率為. 解析∵雙曲線中焦距比虛軸長，∴焦點處內(nèi)角為60°,又由雙曲線性質(zhì)得四邊形為菱形. ∴=tan30°=, ∴c=b,∴a2=c2-b2=2b2, ∴a=b. ∴e=.第三十七頁第三十八頁，共45頁。7.（2009·聊城模擬）設雙曲線(b>a>0)的半焦距為c，直線l過（a,0）、(0,b)兩點.已知原點到直線l的距離為，則雙曲線的離心率為. 解析直線l的方程為，即bx+ay-ab=0. 于是有,即ab=. 兩邊平方得16a2b2=3c4,∴16a2(c2-a2)=3c4. 即3c4-16a2c2+16a4=0,∴3e4-16e2+16=0. 解得e2=4,或e2=, ∵b>a>0,>1, ∴e2==1+>2,故e2=4,∴e=2.第三十八頁第三十九頁，共45頁。8.（2009·南通模擬）已知拋物線y2=-2px(p>0)的焦點F恰好是橢圓(a>b>0)的左焦點，且兩曲線的公共點的連線過F，則該橢圓的離心率為. 解析由題意F（，0），設橢圓的右焦點為M，橢圓與拋物線的一個交點為A，則|AF|=p，|FM|=p， ∴|AM|=p， ∴橢圓長半軸長a=, 橢圓的半焦距c=, ∴橢圓的離心率e=.第三十九頁第四十頁，共45頁。三、解答題9.（2009·濰坊模擬）已知橢圓的兩個焦點分別為

F1（0，），F(xiàn)2（0，），離心率為e=. （1）求橢圓方程； （2）一條不與坐標軸平行的直線l與橢圓交于不同 的兩點