第2講橢圓雙曲線拋物線

第2講橢圓雙曲線拋物線第一頁(yè)，共45頁(yè)。2.橢圓中的最值

F1，F(xiàn)2為橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓的任意一點(diǎn)，B為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有（1）|OP|∈［b,a］.(2)|PF1|∈［a-c,a+c］.（3）|PF1||PF2|∈［b2,a2］.(4)∠F1PF2≤∠F1BF2.（5）=b2tan(=∠F1PF2).（6）焦點(diǎn)弦以通徑為最短.3.雙曲線中的最值

F1，F(xiàn)2為雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的任一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有第一頁(yè)第二頁(yè)，共45頁(yè)。（1）|OP|≥a.（2）|PF1|≥c-a.（2）(=∠F1PF2).4.拋物線中的最值點(diǎn)P為拋物線y2=2px(p>0)上的任一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則有:（1）|PF|≥.（2）焦點(diǎn)弦AB以通徑為最值，即|AB|≥2p.（3）A（m,n）為一定點(diǎn)，則|PA|+|PF|有最小值.5.雙曲線的漸近線（1）求法：令雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的左邊為零，分解因式可得.第二頁(yè)第三頁(yè)，共45頁(yè)。（2）用法：①可得或的值.②利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程.6.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（1）相離；（2）相切；（3）相交.特別地，①當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)公共點(diǎn).②當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)公共點(diǎn).第三頁(yè)第四頁(yè)，共45頁(yè)。

一、圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程例1如圖所示，橢圓上的點(diǎn)M與橢圓右焦點(diǎn)F1的連線MF1與x軸垂直，且OM（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）與橢圓長(zhǎng)軸和短軸端點(diǎn)的連線AB平行.（1）求橢圓的離心率；（2）F2是橢圓的左焦點(diǎn)，C是橢圓上的任一點(diǎn)，證明：∠F1CF2≤；（3）過(guò)F1且與AB垂直的直線交橢圓于P、

Q，若△PF2Q的面積是，求此時(shí)橢圓的方程.第四頁(yè)第五頁(yè)，共45頁(yè)。思維啟迪（1）從OM∥AB入手，尋找a，b，c的關(guān)系式，進(jìn)而求出離心率.（2）在焦點(diǎn)三角形F1CF2中，用余弦定理求出

cos∠F1CF2,再結(jié)合基本不等式.（3）設(shè)P（x1,y1）、Q（x2,y2），則用設(shè)而不求的思路求解.（1）解設(shè)橢圓方程為(a>b>0)，則，

第五頁(yè)第六頁(yè)，共45頁(yè)。（2）證明

由橢圓定義得：|F1C|+|F2C|=2a，cos∠F1CF2===.|F1C||F2C|≤=a2，∴cos∠F1CF2≥，∴∠F1CF2≤.（3）解設(shè)直線PQ的方程為y=-(x-c),即y=-(x-c).第六頁(yè)第七頁(yè)，共45頁(yè)。代入橢圓方程消去x得：,整理得：5y2--2c2=0,∴y1+y2=,y1y2=.∴（y1-y2）2=.因此a2=50,b2=25,所以橢圓方程為.探究提高（1）求離心率，結(jié)合已知條件找到a,b,c的關(guān)系式；（2）C為橢圓上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，當(dāng)C點(diǎn)是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，∠F1CF2取得最大值.第七頁(yè)第八頁(yè)，共45頁(yè)。變式訓(xùn)練1（2009·四川理，20）已知橢圓(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率,右準(zhǔn)線方程為x=2.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)F1的直線l與該橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且,求直線l的方程.解（1）由條件有解得a=,c=1.∴b==1.∴所求橢圓的方程為第八頁(yè)第九頁(yè)，共45頁(yè)。(2)由（1）知F1（-1，0）、F2（1，0）.若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=-1,將x=-1代入橢圓方程得y=±.不妨設(shè)與題設(shè)矛盾.∴直線l的斜率存在.設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+1).設(shè)M（x1,y1）、N（x2,y2）,聯(lián)立第九頁(yè)第十頁(yè)，共45頁(yè)。消y得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.由根與系數(shù)的關(guān)系知x1+x2=從而y1+y2=k(x1+x2+2)=第十頁(yè)第十一頁(yè)，共45頁(yè)?；?jiǎn)得40k4-23k2-17=0,解得k2=1或k2=-(舍).∴k=±1.∴所求直線l的方程為y=x+1或y=-x-1.第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共45頁(yè)。

二、圓錐曲線中的定值與最值例2已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A，C在橢圓x2+3y2=4上，對(duì)角線BD所在直線的斜率為1.（1）當(dāng)直線BD過(guò)點(diǎn)（0，1）時(shí)，求直線AC的方程；（2）當(dāng)∠ABC=60°時(shí),求菱形ABCD面積的最大值.思維啟迪（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)及條件求解.（2）由題意表示出菱形的面積，然后利用函數(shù)或不等式知識(shí)求解.

解（1）由題意得直線BD的方程為y=x+1.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD.于是可設(shè)直線AC的方程為y=-x+n.

x2+3y2=4,由得4x2-6nx+3n2-4=0

y=-x+n,.第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共45頁(yè)。因?yàn)锳、C在橢圓上所以Δ=-12n2+64>0，解得.設(shè)A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)，則x1+x2=,x1x2=,y1=-x1+n,y2=-x2+n.所以y1+y2=.所以AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為.由四邊形ABCD為菱形可知，點(diǎn)在直線y=x+1上，所以,解得n=-2.所以直線AC的方程為y=-x-2,即x+y+2=0.（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且∠ABC=60°,所以|AB|=|BC|=|CA|.第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共45頁(yè)。所以菱形ABCD的面積S=|AC|2.由(1)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=,所以.所以當(dāng)n=0時(shí),菱形ABCD的面積取得最大值.探究提高解析幾何中的最值問(wèn)題涉及的知識(shí)面較廣，解法靈活多樣，但最常用的方法有以下幾種：①利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值；②利用三角函數(shù)，尤其是正、余弦函數(shù)的有界性求最值；③利用不等式，尤其是均值不等式求最值；④利用判別式求最值；⑤利用數(shù)形結(jié)合，尤其是切線的性質(zhì)求最值.第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共45頁(yè)。變式訓(xùn)練2（2009·銀川模擬）已知橢圓的離心率為，以右焦點(diǎn)F為圓心的圓過(guò)橢圓上的頂點(diǎn)

B（0，b），且與直線l：相切.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)該橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，該橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，求證：直線MA1與直線NA2的斜率平方的比值為定值.（1）解設(shè)點(diǎn)F（c,0），其中.∵以右焦點(diǎn)F為圓心的圓過(guò)橢圓上的頂點(diǎn)B（0，b），∴圓的半徑為

r=.由圓與直線l：x++3=0相切，得=a，又a=2c，∴c=1，a=2，b=.第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共45頁(yè)?！鄼E圓方程為.（2）證明設(shè)M（x1,y1）,N(x2,y2)，當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，直線MN的方程為x=1,∴當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=k(x-1)，將其代入，得(3+4k2)x2-8k2x+4k2﹣12=0,∴x1+x2=,∴.第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共45頁(yè)。而,將其代入上式，得綜上，知直線MA1與直線NA2的斜率平方的比值為定值.

三、圓錐曲線中的參數(shù)范圍問(wèn)題例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，）且斜率為k的直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.（1）求k的取值范圍；

第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共45頁(yè)。（2）設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、

B，是否存在常數(shù)k，使得向量共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.思維啟迪（1）將直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用Δ>0求k的范圍；（2）利用共線的條件建立等式求出k值進(jìn)行判斷.解（1）由已知條件知直線l的方程為y=kx+,代入橢圓方程得.整理得直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于Δ=第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共45頁(yè)。解得.即k的取值范圍為.（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則=（x1+x2，y1+y2），由方程①得x1+x2=②又y1+y2=k(x1+x2)+③而A（，0），B（0，1），=（，1）.所以共線等價(jià)于x1+x2=(y1+y2)，將②③代入上式，解得k=.由（1）知k<或k>,故沒(méi)有符合題意的常數(shù)k.第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共45頁(yè)。探究提高直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷，有關(guān)圓錐曲線弦的問(wèn)題等能很好地滲透對(duì)函數(shù)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的考查，一直是高考考查的重點(diǎn)，此類問(wèn)題涉及根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求、整體代入的技巧和方法.變式訓(xùn)練3如圖，已知直線l與拋物線x2=4y相切于點(diǎn)P（2，1），且與x軸交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）.第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共45頁(yè)。（1）若動(dòng)點(diǎn)M滿足，求點(diǎn)M的軌跡C；（2）若過(guò)點(diǎn)B的直線l′（斜率不等于零）與（1）中的軌跡

C交于不同的兩點(diǎn)E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.解（1）由x2=4y得y=x2,∴y′=x.∴直線l的斜率為y′|x=2=1.故l的方程為y=x-1，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0）.設(shè)M（x,y），則=（1，0），

=（x-2,y）,

=(x-1,y),由=0得（x-2）+y·0+·=0,整理，得+y2=1.第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共45頁(yè)?！鄤?dòng)點(diǎn)M的軌跡C為以原點(diǎn)是中心，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為2的橢圓.（2）如圖，由題意知直線l′的斜率存在且不為零，設(shè)l′方程為y=k(x-2)(k≠0),①將①代入+y2=1，整理，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0∴x1+x2=,x1x2=②由此可得=·，=,且0<<1.由②知（x1-2）+(x2-2)=,(x1-2)·(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=.第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共45頁(yè)?！?即k2=.∵0<k2<,∴0<.解得3-<<3+.又∵0<<1，∴3-<<1.∴△OBE與△OBF面積之比的范圍是（3-，1）.四圓錐曲線的綜合性問(wèn)題例4(2008·全國(guó)Ⅰ理,21)雙曲線的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F垂直于l1的直線分別交l1,l2于A，B兩點(diǎn).已知||、||、||成等差數(shù)列，且與同向.第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共45頁(yè)。（1）求雙曲線的離心率；（2）設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長(zhǎng)為4，求雙曲線的方程.解

(1)設(shè)OA=m-d，AB=m，OB=m+d由勾股定理可得：(m-d)2+m2=(m+d)2化簡(jiǎn)得:d=mtan∠AOF=

tan∠AOB=tan2∠AOF=∴第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共45頁(yè)。解得則離心率e=.(2)過(guò)點(diǎn)F的直線方程為y=(x-c)與雙曲線方程=1聯(lián)立將a=2b，c=b代入，化簡(jiǎn)有4==將數(shù)值代入，有4=解得b=3最后求得雙曲線方程為=1.第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共45頁(yè)。變式訓(xùn)練4(2009·全國(guó)Ⅰ理，21)如圖，已知拋物線E：y2=x與圓M：（x-4）2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn).(1)求r的取值范圍；（2）當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，求對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo).解（1）將y2=x代入（x-4）2+y2=r2,并化簡(jiǎn)得x2-7x+16-r2=0.①E與M有四個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程①有兩個(gè)不等的正根x1、x2,Δ=(-7)2-4(16-r2)>0,由此得x1+x2=7>0,

x1x2=16-r2>0.解得<r2<16,又r>0,第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共45頁(yè)。所以r的取值范圍是.（2）不妨設(shè)E與M的四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（x1,）、B（x1,）、C（x2，）、D（x2,）.則直線AC、BD的方程分別為y-=·(x-x1),y+=,解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（,0）,設(shè)t=,由t=及（1）知0<t<.由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積S=則S2=（x1+x2+2）［(x1+x2)2-4x1x2］.將x1+x2=7,=t代入上式，并令f(t)=S2,第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共45頁(yè)。求導(dǎo)數(shù)，f′(t)=-2(2t+7)(6t-7).令f′(t)=0,解得t=,t=(舍去).當(dāng)0<t<時(shí)，f′(t)>0,當(dāng)t=時(shí).f′(t)=0;當(dāng)<t<時(shí)，f′(t)<0,故當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)，f(t)有極大值，也為最大值即四邊形ABCD的面積最大，故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.規(guī)律方法總結(jié)1.拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)直線l過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,交拋物線于A、第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共45頁(yè)。B兩點(diǎn)，則有：（1）通徑的長(zhǎng)為2p.(2)焦點(diǎn)弦公式：|AB|=x1+x2+p.(3)x1x2=,y1y2=-p2.(4)以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.2.求軌跡方程的常用方法（1）軌跡法：①建系設(shè)動(dòng)點(diǎn).②列幾何等式.③坐標(biāo)代入得方程.④化簡(jiǎn)方程.⑤除去不合題意的點(diǎn)作答.（2）待定系數(shù)法：已知曲線的類型，先設(shè)方程再求參數(shù).（3）代入法：當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)隨已知曲線上動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)而動(dòng)時(shí)用此法.代入法的步驟：第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共45頁(yè)。①設(shè)出兩動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x,y）,(x0,y0).②結(jié)合已知找出x,y與x0,y0的關(guān)系，并用x,y表示

x0,y0.③將x0,y0代入它滿足的曲線方程，得到x,y的關(guān)系式即為所求.（4）定義法：結(jié)合幾種曲線的定義，明確所求曲線的類型，進(jìn)而求得曲線的方程.3.有關(guān)弦的中點(diǎn)問(wèn)題（1）通法（2）點(diǎn)差法點(diǎn)差法的作用是用弦的中點(diǎn)坐標(biāo)表示弦所在直線的斜率.點(diǎn)差法的步驟：

第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共45頁(yè)。①將兩交點(diǎn)A（x1,y1）,B(x2,y2)的坐標(biāo)代入曲線的方程.②作差消去常數(shù)項(xiàng)得到關(guān)于x1+x2,x1-x2,y1+y2,y1-y2的關(guān)系式.③應(yīng)用斜率公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.4.解決直線與圓錐曲線問(wèn)題的通法（1）設(shè)方程及點(diǎn)的坐標(biāo).（2）聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程.（3）應(yīng)用韋達(dá)定理及判別式.（4）結(jié)合已知、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式及弦長(zhǎng)公式求解.弦長(zhǎng)公式：|AB|=.第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共45頁(yè)。一、選擇題1.（2009·菏澤模擬）已知雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角（兩條相交直線所成的銳角或直角為，則雙曲線的離心率為（）

A.2B.C.D.解析雙曲線的漸近線方程為y=±.①若=tan=,則a=∴c=,∴e=.②若,則a=，不符合要求.故選D.D第三十二頁(yè)第三十三頁(yè)，共45頁(yè)。2.(2009·浙江文，6)已知橢圓(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P，若，則橢圓的離心率是（）A.B.C.D.解析如圖，由于BF⊥x軸， 故xB=-c,yB=, 設(shè)P（0,t）, ∵， ∴（-a,t）=2（-c,-t）,∴a=2c. ∴.D第三十三頁(yè)第三十四頁(yè)，共45頁(yè)。3.（2009·山東文，10）設(shè)斜率為2的直線l過(guò)拋物線y2=ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若△OAF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，則拋物線方程為（） A.y2=±4xB.y2=±8x C.y2=4xD.y2=8x 解析y2=ax的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,過(guò)焦點(diǎn)且斜率為2的直線方程為y=2，令x=0得： y=.∴=4， ∴a2=64, ∴a=±8.B第三十四頁(yè)第三十五頁(yè)，共45頁(yè)。4.橢圓M：(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且的最大值的取值范圍是［c2,3c2］，其中c=,則橢圓M的離心率e的取值范圍是() A.B. C.D. 解析由所以的最大值為

=（a+c）·（a-c），結(jié)合題意分析知c2≤a2_c2≤3c2，求得離心率的取值范圍是，故選BB第三十五頁(yè)第三十六頁(yè)，共45頁(yè)。5.P是雙曲線(a＞0,b＞0)右支上的一點(diǎn),

F1、F2分別為左、右焦點(diǎn),且焦距為2c,△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)是（） A.aB.b C.cD.a+b+c 解析設(shè)圓切PF1、PF2、F1F2分別于M、N、R， 則由雙曲線定義知|PF1|-|PF2|=2a， 即（|PM|+|MF1|）-（|PN|+|NF2|）=2a， 又|PM|=|PN|，故|MF1|-|NF2|=2a， 而|MF1|=|RF1|，|NF2|=|RF2|， 因此|F1R|-|F2R|=2a， 設(shè)R（0，t），則t+c-（c-t）=2a，∴t=a.A第三十六頁(yè)第三十七頁(yè)，共45頁(yè)。二、填空題6.（2009·湖南理，12）已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60°，則雙曲線C的離心率為. 解析∵雙曲線中焦距比虛軸長(zhǎng)，∴焦點(diǎn)處內(nèi)角為60°,又由雙曲線性質(zhì)得四邊形為菱形. ∴=tan30°=, ∴c=b,∴a2=c2-b2=2b2, ∴a=b. ∴e=.第三十七頁(yè)第三十八頁(yè)，共45頁(yè)。7.（2009·聊城模擬）設(shè)雙曲線(b>a>0)的半焦距為c，直線l過(guò)（a,0）、(0,b)兩點(diǎn).已知原點(diǎn)到直線l的距離為，則雙曲線的離心率為. 解析直線l的方程為，即bx+ay-ab=0. 于是有,即ab=. 兩邊平方得16a2b2=3c4,∴16a2(c2-a2)=3c4. 即3c4-16a2c2+16a4=0,∴3e4-16e2+16=0. 解得e2=4,或e2=, ∵b>a>0,>1, ∴e2==1+>2,故e2=4,∴e=2.第三十八頁(yè)第三十九頁(yè)，共45頁(yè)。8.（2009·南通模擬）已知拋物線y2=-2px(p>0)的焦點(diǎn)F恰好是橢圓(a>b>0)的左焦點(diǎn)，且兩曲線的公共點(diǎn)的連線過(guò)F，則該橢圓的離心率為. 解析由題意F（，0），設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為M，橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為A，則|AF|=p，|FM|=p， ∴|AM|=p， ∴橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=, 橢圓的半焦距c=, ∴橢圓的離心率e=.第三十九頁(yè)第四十頁(yè)，共45頁(yè)。三、解答題9.（2009·濰坊模擬）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為

F1（0，），F(xiàn)2（0，），離心率為e=. （1）求橢圓方程； （2）一條不與坐標(biāo)軸平行的直線l與橢圓交于不同 的兩點(diǎn)