浙江省溫州市甌江中學高一數(shù)學文上學期期末試卷含解析

浙江省溫州市甌江中學高一數(shù)學文上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知外接圓半徑為1，且則是

(

)

A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形 D.等腰直角三角形參考答案：B2.已知函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則a的取值范圍是A.(0，3) B.(0，3] C.(0，2) D.(0，2]參考答案：D【分析】由為上的減函數(shù)，根據(jù)和時，均單調(diào)遞減，且，即可求解.【詳解】因為函數(shù)為上的減函數(shù)，所以當時，遞減，即，當時，遞減，即，且，解得，綜上可知實數(shù)的取值范圍是，故選D.【點睛】本題主要靠考查了分段函數(shù)的單調(diào)性及其應用，其中熟練掌握分段的基本性質，列出相應的不等式關系式是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.3.已知f（x）=，則f[f（﹣3）]等于（）A．0 B．π C．π2 D．9參考答案：B考點：函數(shù)的值．

專題：計算題．分析：先根據(jù)已知函數(shù)解析式求出f（﹣3）=0，然后把f（x）=0代入即可求解解答：解：∵﹣3＜0∴f（﹣3）=0∴f（f（﹣3））=f（0）=π故選：B點評：本題主要考查了分段函數(shù)的函數(shù)值的求解，屬于基礎試題4.設f（x）=，則f（1）=（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：D【考點】函數(shù)的值．【分析】由已知得f（1）=f[f（2）]+1=f（2×2﹣1）+1，由此能求出結果．【解答】解：∵f（x）=，∴f（1）=f[f（2）]+1=f（2×2﹣1）+1=f（3）+1=2×3﹣1+1=6．故選：D．【點評】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質的合理運用．5.已知，則的值為

（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：C6.函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是

(

)A. B. C. D.參考答案：C【分析】先求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，再結合各選項判定后可得結果．詳解】由，得，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，令k=0，則得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故所求的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選C．【點睛】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，可把看作一個整體，然后代入正弦函數(shù)的增區(qū)間或減區(qū)間求出的范圍即為所求，解題時要注意的符號求所求區(qū)間的影響，這也是在解題中常出現(xiàn)的錯誤．7.已知函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，A（0，﹣1），B（3，1）是其圖象上的兩點，那么|f（x+1）|＜1的解集的補集是（）A．（﹣1，2） B．（1，4） C．（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）參考答案：D【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質．【分析】因為A（0，﹣1），B（3，1）是函數(shù)f（x）圖象上的兩點，可知f（0）=﹣1，f（3）=1，所以不等式|f（x+1）|＜1可以變形為﹣1＜f（x+1）＜1，即f（0）＜f（x+1）＜f（3），再根據(jù)函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，去函數(shù)符號，得0＜x+1＜3，解出x的范圍就是不等式|f（x+1）|＜1的解集M，最后求M在R中的補集即可．【解答】解：不等式|f（x+1）|＜1可變形為﹣1＜f（x+1）＜1，∵A（0，﹣1），B（3，1）是函數(shù)f（x）圖象上的兩點，∴f（0）=﹣1，f（3）=1，∴﹣1＜f（x+1）＜1等價于不等式f（0）＜f（x+1）＜f（3），又∵函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，∴f（0）＜f（x+1）＜f（3）等價于0＜x+1＜3，解得﹣1＜x＜2，∴不等式|f（x+1）|＜1的解集M=（﹣1，2），∴其補集CRM=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故選D．【點評】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，以及集合的補集運算，求補集時注意：若集合不包括端點時，補集中一定包括端點．8.α，β∈（，π），且tanα＜cotβ，則必有（）A．α＜β B．α＞β C．α+β＜ D．α+β＞參考答案：C【考點】正切函數(shù)的圖象．【分析】由題意可得α+β∈（π，2π），再根據(jù)tan（α+β）=＞0，可得α+β∈（π，），從而得出結論．【解答】解：α，β∈（，π），且tanα＜cotβ=＜0，∴tanα?tanβ＞1，α+β∈（π，2π），∴tan（α+β）=＞0，∴α+β∈（π，），故選：C．9.已知，則的表達式是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.函數(shù)f（x）=2x+3x的零點所在的一個區(qū)間（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）參考答案：B【考點】52：函數(shù)零點的判定定理．【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用f（﹣1）與f（0）函數(shù)值的大小，通過零點判定定理判斷即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=2x+3x是增函數(shù)，f（﹣1）=＜0，f（0）=1+0=1＞0，可得f（﹣1）f（0）＜0．由零點判定定理可知：函數(shù)f（x）=2x+3x的零點所在的一個區(qū)間（﹣1，0）．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.集合的子集有且僅有兩個，則實數(shù)a=

．

參考答案：略12.下列四個命題：（1）函數(shù)在時是增函數(shù)，時也是增函數(shù)，所以是增函數(shù)；（2）若函數(shù)與軸沒有交點，則且；（3）的遞增區(qū)間為；（4）和表示相同函數(shù).（5）若函數(shù)，當時，方程有且只有一個實數(shù)根其中正確的命題是

.參考答案：（5）13.在△ABC中，若_________。參考答案：

解析：14.將二進制數(shù)101101（2）化為十進制結果為

．參考答案：45【考點】進位制．【分析】由題意知101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25計算出結果即可選出正確選項．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．故答案為：45．15.已知為銳角,且,則的值為

.參考答案：由為銳角，可得，則，故答案為.

16.函數(shù)f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域是．參考答案：[﹣,-].【考點】HW：三角函數(shù)的最值；HM：復合三角函數(shù)的單調(diào)性．【分析】f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）?f（x）=2cosx+2cos2x﹣1，利用配方法結合y=cosx的值域即可求得函數(shù)f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域．【解答】解：∵f（x）=2cosx+cos2x=2cosx+2cos2x﹣1=2﹣，又﹣1≤cosx≤1，∴當cosx=1時，f（x）max=2×﹣=3，當cosx=﹣時，f（x）min=﹣；故函數(shù)f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域是[﹣,-].17.如圖4，在三棱錐P—ABC中，PA⊥平面ABC、△ABC為正三角形，且PA=AB=2，則三棱錐P—ABC的側視圖面積為

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）求的最小正周期T和上的單調(diào)增區(qū)間：（2）若對任意的和恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.參考答案：(1)T=π，單調(diào)增區(qū)間為，(2)【分析】（1）化簡函數(shù)得到，再計算周期和單調(diào)區(qū)間.（2）分情況的不同奇偶性討論，根據(jù)函數(shù)的最值得到答案.【詳解】解：（1）函數(shù)故的最小正周期．由題意可知：，解得：，因為，所以的單調(diào)增區(qū)間為，（2）由（1）得∵∴，∴，若對任意的和恒成立，則的最小值大于零．當為偶數(shù)時，，所以，當為奇數(shù)時，，所以，綜上所述，的范圍為.【點睛】本題考查了三角函數(shù)化簡，周期，單調(diào)性，恒成立問題，綜合性強，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．（1）若A∪B＝A，求實數(shù)m的取值范圍；（2）當x∈Z時，求A的非空真子集的個數(shù)；（3）當x∈R時，若A∩B＝?，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：（1）因為A∪B＝A，所以B?A，當B＝?時，m＋1>2m－1，則m<2；當B≠?時，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得，解得2≤m≤3.綜上可得，實數(shù)m的取值范圍是（－∞，3]．（2）當x∈Z時，A＝{x|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8個元素，所以A的非空真子集的個數(shù)為28－2＝254.（3）當B＝?時，由（1）知m<2；當B≠?時，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得，或，解得m>4.綜上可得，實數(shù)m的取值范圍是（－∞，2）∪（4，＋∞）．20.如圖，△ABC中，O是BC的中點，AB=AC，AO=2OC=2．將△BAO沿AO折起，使B點與圖中B'點重合．（Ⅰ）求證：AO⊥平面B′OC；（Ⅱ）當三棱錐B'﹣AOC的體積取最大時，求二面角A﹣B′C﹣O的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試問在線段B′A上是否存在一點P，使CP與平面B′OA所成的角的正弦值為？證明你的結論．參考答案：【考點】MT：二面角的平面角及求法；LW：直線與平面垂直的判定；MI：直線與平面所成的角．【分析】（Ⅰ）證明AO⊥OB'，AO⊥OC，然后利用直線與平面垂直的判定定理證明AO⊥平面B'OC．（Ⅱ）在平面B'OC內(nèi)，作B'D⊥OC于點D，判斷當D與O重合時，三棱錐B'﹣AOC的體積最大，解法一：過O點作OH⊥B'C于點H，連AH，說明∠AHO即為二面角A﹣B'C﹣O的平面角，然后就三角形即可得到結果．解法二：依題意得OA、OC、OB'兩兩垂直，分別以射線OA、OC、OB'為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標系O﹣xyz，求出平面B'OC的法向量為，求出平面AB'C的法向量為，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值．（Ⅲ）解法一：存在，且為線段AB'的中點，證明設，求出，以及平面B'OA的法向量，利用空間向量的距離公式求解即可．解法二：連接OP，因為CO⊥平面B'OA，得到∠OPC為CP與面B'OA所成的角，通過就三角形即可求出即P為AB'的中點．【解答】解：（Ⅰ）∵AB=AC且O是BC中點，∴AO⊥BC即AO⊥OB'，AO⊥OC，又∵OB'∩OC=O，∴AO⊥平面B'OC…（Ⅱ）在平面B'OC內(nèi)，作B'D⊥OC于點D，則由（Ⅰ）可知B'D⊥OA又OC∩OA=O，∴B'D⊥平面OAC，即B'D是三棱錐B'﹣AOC的高，又B'D≤B'O，所以當D與O重合時，三棱錐B'﹣AOC的體積最大，…解法一：過O點作OH⊥B'C于點H，連AH，由（Ⅰ）知AO⊥平面B'OC，又B'C?平面B'OC，∴B'C⊥AO∵AO∩OH=O，∴B'C⊥平面AOH，∴B'C⊥AH，∴∠AHO即為二面角A﹣B'C﹣O的平面角．…，∴，∴，故二面角A﹣B1C﹣O的余弦值為…解法二：依題意得OA、OC、OB'兩兩垂直，分別以射線OA、OC、OB'為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標系O﹣xyz，設平面B'OC的法向量為，可得設平面AB'C的法向量為，由…，故二面角A﹣B′C﹣O的余弦值為：．…（Ⅲ）解法一：存在，且為線段AB'的中點證明如下：設…又平面B'OA的法向量，依題意得…解得舍去）…解法二：連接OP，因為CO⊥平面B'OA，所以∠OPC為CP與面B'OA所成的角，…故，，∴…又直角OB'A中，OA=2，OB'=1，∴即P為AB'的中點…21.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足(Ⅰ)求實數(shù)、的值；（Ⅱ）試證明函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；（Ⅲ）是否存在實數(shù)同時滿足以下兩個條件：①不等式對恒成立；②方程在上有解．若存在，試求出實數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由．參考答案：解：(Ⅰ)由得，解得．由為奇函數(shù)，得對恒成立，即，所以．（Ⅱ）由(Ⅰ)知，．

任取，且，，∵，∴，，，∴，所以，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減．

類似地，可證在區(qū)間單調(diào)遞增．

（Ⅲ）對于條件①：由（Ⅱ）可知函數(shù)在上有最小值故若對恒成立，則需，則，對于條件②：由（Ⅱ）可知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，，，所以函數(shù)在上的值域為若方程在有解，則需．若同時滿足條件①②，則需，所以

答：當時，條件①②同時滿足．22.一個幾何體的三視圖如圖所示（單位長度