2023新教材高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)第一部分專題攻略專題五立體幾何第二講統(tǒng)計統(tǒng)計案例與概率

第二講統(tǒng)計、統(tǒng)計案例與概率——大題備考統(tǒng)計、統(tǒng)計案例與概率的大題一般是以離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望為主，常與直方圖、線性回歸、獨立性檢驗等知識綜合考查．微專題1離散型隨機變量的分布列保分題[2022·全國甲卷]甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．提分題例1[2022·山東臨沂二模]甲、乙兩位同學(xué)進行摸球游戲，盒中裝有6個大小和質(zhì)地相同的球，其中有4個白球，2個紅球．(1)甲、乙先后不放回地各摸出1個球，求兩球顏色相同的概率；(2)甲、乙兩人先后輪流不放回地摸球，每次摸1個球，當(dāng)摸出第二個紅球時游戲結(jié)束，或能判斷出第二個紅球被哪位同學(xué)摸到時游戲也結(jié)束．設(shè)游戲結(jié)束時甲、乙兩人摸球的總次數(shù)為X，求X的分布列和期望．聽課筆記：技法領(lǐng)悟1．明確隨機變量的可能有哪些，且每一個取值所表示的意義．2．要弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對應(yīng)的概率．鞏固訓(xùn)練1[2022·山東濟南二模]從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中隨機抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這100件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)；(2)已知某用戶從該企業(yè)購買了3件該產(chǎn)品，用X表示這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于[35，45]內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)，用頻率代替概率，求X的分布列．微專題2決策問題保分題[2022·湖北武漢模擬]甲，乙兩隊進行籃球比賽，已知甲隊每局贏的概率為p(0<p<1)，乙隊每局贏的概率為1－p.每局比賽結(jié)果相互獨立．有以下兩種方案供甲隊選擇：方案一：共比賽三局，甲隊至少贏兩局算甲隊最終獲勝；方案二：共比賽兩局，甲隊至少贏一局算甲隊最終獲勝．(1)當(dāng)p＝13(2)設(shè)方案一、方案二甲隊最終獲勝的概率分別為P1，P2，討論P1，P2的大小關(guān)系；(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實際含義．提分題例2[2022·湖南衡陽二模]隨著近期我國不斷走向轉(zhuǎn)型化進程以及社會就業(yè)壓力的不斷加劇，創(chuàng)業(yè)逐漸成為在校大學(xué)生和畢業(yè)大學(xué)生的一種職業(yè)選擇方式．但創(chuàng)業(yè)過程中可能會遇到風(fēng)險，有些風(fēng)險是可以控制的，有些風(fēng)險是不可控制的，某地政府為鼓勵大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，制定了一系列優(yōu)惠政策：已知創(chuàng)業(yè)項目甲成功的概率為23，項目成功后可獲得政府獎金20萬元；創(chuàng)業(yè)項目乙成功的概率為P0(0<P0<1)，項目成功后可獲得政府獎金30萬元；項目沒有成功則沒有獎勵，每個項目有且只有一次實施機會，兩個項目的實施是否成功互不影響，項目成(1)大學(xué)畢業(yè)生張某選擇創(chuàng)業(yè)項目甲，畢業(yè)生李某選擇創(chuàng)業(yè)項目乙，記他們獲得的獎金累計為X(單位：萬元)，若X≤30的概率為79，求P0(2)若兩位大學(xué)畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項目甲或創(chuàng)業(yè)項目乙進行創(chuàng)業(yè)，問：他們選擇何種創(chuàng)業(yè)項目，累計得到的獎金的數(shù)學(xué)期望最大？聽課筆記：技法領(lǐng)悟均值能反映隨機變量取值的“平均水平”，因此，當(dāng)均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分曉，由此可對實際問題作出決策判斷；若兩個隨機變量均值相同，則可通過分析兩個變量的方差來作出決策．鞏固訓(xùn)練2[2022·廣東湛江二模]某大學(xué)為了鼓勵大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，舉辦了“校園創(chuàng)業(yè)知識競賽”，該競賽決賽局有A、B兩類知識競答挑戰(zhàn)，規(guī)則為進入決賽的選手要先從A、B兩類知識中選擇一類進行挑戰(zhàn)，挑戰(zhàn)成功才有對剩下的一類知識挑戰(zhàn)的機會，挑戰(zhàn)失敗則競賽結(jié)束，第二類挑戰(zhàn)結(jié)束后，無論結(jié)果如何，競賽都結(jié)束．A、B兩類知識挑戰(zhàn)成功分別可獲得2萬元和5萬元創(chuàng)業(yè)獎金，第一類挑戰(zhàn)失敗，可得到2000元激勵獎金．已知甲同學(xué)成功晉級決賽，面對A、B兩類知識的挑戰(zhàn)成功率分別為0.6、0.4，且挑戰(zhàn)是否成功與挑戰(zhàn)次序無關(guān)．(1)若記X為甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)A類知識所獲獎金的累計總額(單位：元)，寫出X的分布列；(2)為了使甲同學(xué)可獲得的獎金累計總額期望更大，請幫甲同學(xué)制定挑戰(zhàn)方案，并給出理由．微專題3概率與線性回歸、獨立性檢驗的綜合保分題[2022·廣東佛山三模]為了調(diào)查高一年級選科意愿，某學(xué)校隨機抽取該校100名高一學(xué)生進行調(diào)查，擬選報物理和歷史的人數(shù)統(tǒng)計如下表：物理(人)歷史(人)男505女2520(1)能否有99%的把握認(rèn)為選科與性別有關(guān)？(2)若用樣本頻率作為概率的估計值，在該校高一學(xué)生中任選3人，記ξ為三人中選物理的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：χ2＝nad-bc提分題例3[2022·山東德州二模]2021年12月17日，工信部發(fā)布的《“十四五”促進中小企業(yè)發(fā)展規(guī)劃》明確提出建立“百十萬千”的中小企業(yè)梯度培育體系，引導(dǎo)中小企業(yè)走向“專精特新”“小巨人”“隱形冠軍”的發(fā)展方向，“專精特新”是指具備專業(yè)化、精細(xì)化、特色化、新穎化優(yōu)勢的中小企業(yè)．下表是某地各年新增企業(yè)數(shù)量的有關(guān)數(shù)據(jù)：年份(年)20172018201920202021年份代碼(x)12345新增企業(yè)數(shù)量(y)817292442(1)請根據(jù)上表所給的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線方程，并預(yù)測2023年此地新增企業(yè)的數(shù)量；(2)若在此地進行考察，考察企業(yè)中有4個為“專精特新”企業(yè)，3個為普通企業(yè)，現(xiàn)從這7個企業(yè)中隨機抽取3個，用X表示抽取的3個為“專精特新”企業(yè)個數(shù)，求隨機變量X的分布列與期望．參考公式：回歸方程y＝a+bx中斜率和截距最小二乘法估計公式分別為b＝i=1nx聽課筆記：技法領(lǐng)悟1．對于線性回歸、獨立性檢驗問題，只要熟悉公式，認(rèn)真計算，就能得分．2．對于概率問題，要弄清概率模型，正確區(qū)分二項分布與超幾何分布．鞏固訓(xùn)練3[2022·遼寧鞍山二模]擊鼓傳花，也稱傳彩球，是中國古代傳統(tǒng)民間酒宴上的助興游戲，屬于酒令的一種，又稱“擊鼓催花”，在唐代時就已出現(xiàn)．杜牧《羊欄浦夜陪宴會》詩句中有“球來香袖依稀暖，酒凸觥心泛艷光”，可以得知唐代酒宴上擊鼓傳花助興的情景．游戲規(guī)則為：鼓響時，開始傳花(或一小物件)，鼓響時眾人開始依次傳花，至鼓停為止，此時花在誰手中(或其序位前)，誰就上臺表演節(jié)目(多是唱歌、跳舞、說笑話；或回答問題、猜謎、按紙條規(guī)定行事等)．某單位組織團建活動，9人一組，共9組，玩擊鼓傳花，組號x(前五組)與組內(nèi)女性人數(shù)y統(tǒng)計結(jié)果如表：x12345y22344若女性人數(shù)y與組號x(組號變量x依次為1，2，3，4，5，…)具有線性相關(guān)關(guān)系．(1)請求出女性人數(shù)y關(guān)于組號x的回歸直線方程；(參考公式b＝i=1nxi(2)從前5組中隨機抽取3組，若3組中女性人數(shù)不低于3人的有X組，求X的分布列與期望．第二講統(tǒng)計、統(tǒng)計案例與概率微專題1離散型隨機變量的分布列保分題解析：(1)設(shè)三個項目比賽中甲學(xué)校獲勝分別為事件A，B，C，易知事件A，B，C相互獨立．甲學(xué)校獲得冠軍，對應(yīng)事件A，B，C同時發(fā)生，或事件A，B，C中有兩個發(fā)生，故甲學(xué)校獲得冠軍的概率為p＝P(ABC＋ABC＋ABC＋ABC)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.(2)由題意得，X的所有可能取值為0，10，20，30.易知乙學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.6，0.2，則P(X＝0)＝(1－0.5)×(1－0.6)×(1－0.2)＝0.16，P(X＝10)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.2)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.2)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.2＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×(1－0.2)＋0.5×(1－0.6)×0.2＋(1－0.5)×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，所以X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06則E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.提分題[例1]解析：(1)兩球顏色相同分為都是紅球或白球，其概率為p＝C42C(2)依題意X＝2，3，4，5，P(X＝2)＝C22C6X＝3，就是前2個一個是紅球，一個是白球，第3個是紅球，P(X＝3)＝C41·CX＝4，就是前3個有2個白球一個紅球，第4個是紅球，或前四個全是白球，P(X＝4)＝C42·X＝5，分為前4個球中有3個白球1個紅球，第5個是紅球，或者是前4個球中3個白球一個紅球，第5個是白球P(X＝5)＝C43·分布列為：X2345P1248E(X)＝2×115＋3×215＋4×415＋5×8[鞏固訓(xùn)練1]解析：(1)由已知得：x＝10×0.015×10＋20×0.040×10＋30×0.025×10＋40×0.020×10＝25.(2)因為購買一件產(chǎn)品，其質(zhì)量指標(biāo)值位于[35，45]內(nèi)的概率為0.2，所以X～B(3，0.2)，所以X＝0，1，2，3.P(X＝0)＝(1－0.2)3＝0.512，P(X＝1)＝C31×0.2×(1－0.2)2＝P(X＝2)＝C32×0.22×(1－0.2)＝P(X＝3)＝0.23＝0.008，所以X的分布列為X0123P0.5120.3840.0960.008微專題2決策問題保分題解析：(1)設(shè)甲隊選擇方案一最終獲勝為事件A，P(A)＝C32×(13)2×23＋(13(2)若甲隊選擇方案一，則甲隊最終獲勝的概率為P1＝C32p2(1－p)＋p3＝3p2－2p若甲隊選擇方案二，則甲隊最終獲勝的概率為P2＝C21p(1－p)＋p2＝2p－pP2－P1＝2p3－4p2＋2p＝2p(p－1)2，因為0<p<1，所以P2>P1.(3)在方案一中，若甲隊第一局贏，則甲隊最終獲勝概率會變大，此時繼續(xù)比賽即為方案二，故方案二甲最終獲勝的概率會變大．提分題[例2]解析：(1)由已知得張某創(chuàng)業(yè)成功的概率為23，李某創(chuàng)業(yè)成功的概率為P0，且兩人創(chuàng)業(yè)成功與否互不影響．記“這2人的累計獲得獎金為X≤30(單位：萬元)”的事件為A，則事件A的對立事件為“X＝50”因為P(X＝50)＝23P0，所以P(A)＝1－P(X＝50)＝1－23P0＝79，求得P0(2)設(shè)兩位大學(xué)畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項目甲且創(chuàng)業(yè)成功的次數(shù)為X1，都選擇創(chuàng)業(yè)項目乙且創(chuàng)業(yè)成功的次數(shù)為X2，則這兩人選擇項目甲累計獲獎得獎金的數(shù)學(xué)期望為E(20X1)，選擇項目乙累計獲獎得獎金的數(shù)學(xué)期望為E(30X2)．由已知可得，X1～B(2，23)，X2～B(2，P0)，所以E(X1)＝43，E(X2)＝2P從而E(20X1)＝20E(X1)＝20×43＝80E(30X2)＝30E(X2)＝60P0.若E(20X1)>E(30X2)，則803>60P0，解得0<P0<4若E(20X1)<E(30X2)，則803<60P0，解得49<P0若E(20X1)＝E(30X2)，則803＝60P0，解得P0＝4綜上所述，當(dāng)0<P0<49當(dāng)49<P0<1當(dāng)P0＝49時，他們都選擇項目甲或項[鞏固訓(xùn)練2]解析：(1)由題意可知，X的可能取值有2000、20000、70000，P(X＝2000)＝1－0.6＝0.4，P(X＝20000)＝0.6×(1－0.4)＝0.36，P(X＝70000)＝0.6×0.4＝0.24，所以，隨機變量X的分布列如下表所示：X20002000070000P0.40.360.24(2)記Y為甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)B類知識所獲獎金累計總額，甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)A類知識所獲獎金累計總額的期望為E(X)，優(yōu)先挑戰(zhàn)B類知識所獲獎金累計總額的期望為E(Y)，由題意可知，隨機變量Y的可能取值有：2000、50000、70000，則P(Y＝2000)＝1－0.4＝0.6，P(Y＝50000)＝0.4×(1－0.6)＝0.16，P(Y＝70000)＝0.4×0.6＝0.24，所以，E(Y)＝2000×0.6＋50000×0.16＋70000×0.24＝26000(元)，E(X)＝2000×0.4＋20000×0.36＋70000×0.24＝24800(元)，所以，E(X)<E(Y)，所以，為了使甲同學(xué)可獲得獎金累計總額期望更大，應(yīng)該優(yōu)先選擇挑戰(zhàn)B類知識．微專題3概率與線性回歸、獨立性檢驗的綜合保分題解析：（1）由表中數(shù)據(jù)可知，χ2＝100×（50×20－25×5）275×25×55×45≈因為16.498>6.635，故有99%的把握認(rèn)為選科與性別有關(guān)．（2）依題意可知該校高一學(xué)生選物理的頻率為50+25100＝3由題意可得ξ～B3,34，則ξ的所有可能取值為0，1，2，又P（ξ＝0）＝143＝164，P（ξ＝1）＝CP（ξ＝2）＝C3234214＝2764，P（∴ξ的分布列如下：ξ0123P192727所以ξ的期望是E（ξ）＝3×34＝9提分題[例3]解析：（1）x＝1＋2＋3＋4＋55＝3y＝8＋17＋29＋24＋42i＝15（xi－x）（yi－y）=（－2）×（－16）＋（－1）×（－7）＋0i＝15（xi－x）2=4＋所以b=i＝15（xi－x所以y＝1.5＋7.5x.2023年，即當(dāng)x＝7時，由回歸直線方程可得y＝54，所以估計2023年此地新增企業(yè)的數(shù)量為54家．（2）由題意可知，X的可能取值為0，1，2，3，因為P（