2023新教材高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)第一部分專題攻略專題五立體幾何第二講統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)案例與概率

第二講統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例與概率——大題備考統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例與概率的大題一般是以離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望為主，常與直方圖、線性回歸、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)綜合考查．微專題1離散型隨機(jī)變量的分布列保分題[2022·全國(guó)甲卷]甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．提分題例1[2022·山東臨沂二模]甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行摸球游戲，盒中裝有6個(gè)大小和質(zhì)地相同的球，其中有4個(gè)白球，2個(gè)紅球．(1)甲、乙先后不放回地各摸出1個(gè)球，求兩球顏色相同的概率；(2)甲、乙兩人先后輪流不放回地摸球，每次摸1個(gè)球，當(dāng)摸出第二個(gè)紅球時(shí)游戲結(jié)束，或能判斷出第二個(gè)紅球被哪位同學(xué)摸到時(shí)游戲也結(jié)束．設(shè)游戲結(jié)束時(shí)甲、乙兩人摸球的總次數(shù)為X，求X的分布列和期望．聽課筆記：技法領(lǐng)悟1．明確隨機(jī)變量的可能有哪些，且每一個(gè)取值所表示的意義．2．要弄清楚隨機(jī)變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對(duì)應(yīng)的概率．鞏固訓(xùn)練1[2022·山東濟(jì)南二模]從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這100件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)已知某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了3件該產(chǎn)品，用X表示這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于[35，45]內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)，用頻率代替概率，求X的分布列．微專題2決策問題保分題[2022·湖北武漢模擬]甲，乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，已知甲隊(duì)每局贏的概率為p(0<p<1)，乙隊(duì)每局贏的概率為1－p.每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．有以下兩種方案供甲隊(duì)選擇：方案一：共比賽三局，甲隊(duì)至少贏兩局算甲隊(duì)最終獲勝；方案二：共比賽兩局，甲隊(duì)至少贏一局算甲隊(duì)最終獲勝．(1)當(dāng)p＝13(2)設(shè)方案一、方案二甲隊(duì)最終獲勝的概率分別為P1，P2，討論P(yáng)1，P2的大小關(guān)系；(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義．提分題例2[2022·湖南衡陽(yáng)二模]隨著近期我國(guó)不斷走向轉(zhuǎn)型化進(jìn)程以及社會(huì)就業(yè)壓力的不斷加劇，創(chuàng)業(yè)逐漸成為在校大學(xué)生和畢業(yè)大學(xué)生的一種職業(yè)選擇方式．但創(chuàng)業(yè)過(guò)程中可能會(huì)遇到風(fēng)險(xiǎn)，有些風(fēng)險(xiǎn)是可以控制的，有些風(fēng)險(xiǎn)是不可控制的，某地政府為鼓勵(lì)大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，制定了一系列優(yōu)惠政策：已知?jiǎng)?chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲成功的概率為23，項(xiàng)目成功后可獲得政府獎(jiǎng)金20萬(wàn)元；創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙成功的概率為P0(0<P0<1)，項(xiàng)目成功后可獲得政府獎(jiǎng)金30萬(wàn)元；項(xiàng)目沒有成功則沒有獎(jiǎng)勵(lì)，每個(gè)項(xiàng)目有且只有一次實(shí)施機(jī)會(huì)，兩個(gè)項(xiàng)目的實(shí)施是否成功互不影響，項(xiàng)目成(1)大學(xué)畢業(yè)生張某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲，畢業(yè)生李某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙，記他們獲得的獎(jiǎng)金累計(jì)為X(單位：萬(wàn)元)，若X≤30的概率為79，求P0(2)若兩位大學(xué)畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲或創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙進(jìn)行創(chuàng)業(yè)，問：他們選擇何種創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目，累計(jì)得到的獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望最大？聽課筆記：技法領(lǐng)悟均值能反映隨機(jī)變量取值的“平均水平”，因此，當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分曉，由此可對(duì)實(shí)際問題作出決策判斷；若兩個(gè)隨機(jī)變量均值相同，則可通過(guò)分析兩個(gè)變量的方差來(lái)作出決策．鞏固訓(xùn)練2[2022·廣東湛江二模]某大學(xué)為了鼓勵(lì)大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，舉辦了“校園創(chuàng)業(yè)知識(shí)競(jìng)賽”，該競(jìng)賽決賽局有A、B兩類知識(shí)競(jìng)答挑戰(zhàn)，規(guī)則為進(jìn)入決賽的選手要先從A、B兩類知識(shí)中選擇一類進(jìn)行挑戰(zhàn)，挑戰(zhàn)成功才有對(duì)剩下的一類知識(shí)挑戰(zhàn)的機(jī)會(huì)，挑戰(zhàn)失敗則競(jìng)賽結(jié)束，第二類挑戰(zhàn)結(jié)束后，無(wú)論結(jié)果如何，競(jìng)賽都結(jié)束．A、B兩類知識(shí)挑戰(zhàn)成功分別可獲得2萬(wàn)元和5萬(wàn)元?jiǎng)?chuàng)業(yè)獎(jiǎng)金，第一類挑戰(zhàn)失敗，可得到2000元激勵(lì)獎(jiǎng)金．已知甲同學(xué)成功晉級(jí)決賽，面對(duì)A、B兩類知識(shí)的挑戰(zhàn)成功率分別為0.6、0.4，且挑戰(zhàn)是否成功與挑戰(zhàn)次序無(wú)關(guān)．(1)若記X為甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)A類知識(shí)所獲獎(jiǎng)金的累計(jì)總額(單位：元)，寫出X的分布列；(2)為了使甲同學(xué)可獲得的獎(jiǎng)金累計(jì)總額期望更大，請(qǐng)幫甲同學(xué)制定挑戰(zhàn)方案，并給出理由．微專題3概率與線性回歸、獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合保分題[2022·廣東佛山三模]為了調(diào)查高一年級(jí)選科意愿，某學(xué)校隨機(jī)抽取該校100名高一學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，擬選報(bào)物理和歷史的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：物理(人)歷史(人)男505女2520(1)能否有99%的把握認(rèn)為選科與性別有關(guān)？(2)若用樣本頻率作為概率的估計(jì)值，在該校高一學(xué)生中任選3人，記ξ為三人中選物理的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：χ2＝nad-bc提分題例3[2022·山東德州二模]2021年12月17日，工信部發(fā)布的《“十四五”促進(jìn)中小企業(yè)發(fā)展規(guī)劃》明確提出建立“百十萬(wàn)千”的中小企業(yè)梯度培育體系，引導(dǎo)中小企業(yè)走向“專精特新”“小巨人”“隱形冠軍”的發(fā)展方向，“專精特新”是指具備專業(yè)化、精細(xì)化、特色化、新穎化優(yōu)勢(shì)的中小企業(yè)．下表是某地各年新增企業(yè)數(shù)量的有關(guān)數(shù)據(jù)：年份(年)20172018201920202021年份代碼(x)12345新增企業(yè)數(shù)量(y)817292442(1)請(qǐng)根據(jù)上表所給的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線方程，并預(yù)測(cè)2023年此地新增企業(yè)的數(shù)量；(2)若在此地進(jìn)行考察，考察企業(yè)中有4個(gè)為“專精特新”企業(yè)，3個(gè)為普通企業(yè)，現(xiàn)從這7個(gè)企業(yè)中隨機(jī)抽取3個(gè)，用X表示抽取的3個(gè)為“專精特新”企業(yè)個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與期望．參考公式：回歸方程y＝a+bx中斜率和截距最小二乘法估計(jì)公式分別為b＝i=1nx聽課筆記：技法領(lǐng)悟1．對(duì)于線性回歸、獨(dú)立性檢驗(yàn)問題，只要熟悉公式，認(rèn)真計(jì)算，就能得分．2．對(duì)于概率問題，要弄清概率模型，正確區(qū)分二項(xiàng)分布與超幾何分布．鞏固訓(xùn)練3[2022·遼寧鞍山二模]擊鼓傳花，也稱傳彩球，是中國(guó)古代傳統(tǒng)民間酒宴上的助興游戲，屬于酒令的一種，又稱“擊鼓催花”，在唐代時(shí)就已出現(xiàn)．杜牧《羊欄浦夜陪宴會(huì)》詩(shī)句中有“球來(lái)香袖依稀暖，酒凸觥心泛艷光”，可以得知唐代酒宴上擊鼓傳花助興的情景．游戲規(guī)則為：鼓響時(shí)，開始傳花(或一小物件)，鼓響時(shí)眾人開始依次傳花，至鼓停為止，此時(shí)花在誰(shuí)手中(或其序位前)，誰(shuí)就上臺(tái)表演節(jié)目(多是唱歌、跳舞、說(shuō)笑話；或回答問題、猜謎、按紙條規(guī)定行事等)．某單位組織團(tuán)建活動(dòng)，9人一組，共9組，玩擊鼓傳花，組號(hào)x(前五組)與組內(nèi)女性人數(shù)y統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：x12345y22344若女性人數(shù)y與組號(hào)x(組號(hào)變量x依次為1，2，3，4，5，…)具有線性相關(guān)關(guān)系．(1)請(qǐng)求出女性人數(shù)y關(guān)于組號(hào)x的回歸直線方程；(參考公式b＝i=1nxi(2)從前5組中隨機(jī)抽取3組，若3組中女性人數(shù)不低于3人的有X組，求X的分布列與期望．第二講統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例與概率微專題1離散型隨機(jī)變量的分布列保分題解析：(1)設(shè)三個(gè)項(xiàng)目比賽中甲學(xué)校獲勝分別為事件A，B，C，易知事件A，B，C相互獨(dú)立．甲學(xué)校獲得冠軍，對(duì)應(yīng)事件A，B，C同時(shí)發(fā)生，或事件A，B，C中有兩個(gè)發(fā)生，故甲學(xué)校獲得冠軍的概率為p＝P(ABC＋ABC＋ABC＋ABC)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.(2)由題意得，X的所有可能取值為0，10，20，30.易知乙學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.6，0.2，則P(X＝0)＝(1－0.5)×(1－0.6)×(1－0.2)＝0.16，P(X＝10)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.2)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.2)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.2＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×(1－0.2)＋0.5×(1－0.6)×0.2＋(1－0.5)×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，所以X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06則E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.提分題[例1]解析：(1)兩球顏色相同分為都是紅球或白球，其概率為p＝C42C(2)依題意X＝2，3，4，5，P(X＝2)＝C22C6X＝3，就是前2個(gè)一個(gè)是紅球，一個(gè)是白球，第3個(gè)是紅球，P(X＝3)＝C41·CX＝4，就是前3個(gè)有2個(gè)白球一個(gè)紅球，第4個(gè)是紅球，或前四個(gè)全是白球，P(X＝4)＝C42·X＝5，分為前4個(gè)球中有3個(gè)白球1個(gè)紅球，第5個(gè)是紅球，或者是前4個(gè)球中3個(gè)白球一個(gè)紅球，第5個(gè)是白球P(X＝5)＝C43·分布列為：X2345P1248E(X)＝2×115＋3×215＋4×415＋5×8[鞏固訓(xùn)練1]解析：(1)由已知得：x＝10×0.015×10＋20×0.040×10＋30×0.025×10＋40×0.020×10＝25.(2)因?yàn)橘?gòu)買一件產(chǎn)品，其質(zhì)量指標(biāo)值位于[35，45]內(nèi)的概率為0.2，所以X～B(3，0.2)，所以X＝0，1，2，3.P(X＝0)＝(1－0.2)3＝0.512，P(X＝1)＝C31×0.2×(1－0.2)2＝P(X＝2)＝C32×0.22×(1－0.2)＝P(X＝3)＝0.23＝0.008，所以X的分布列為X0123P0.5120.3840.0960.008微專題2決策問題保分題解析：(1)設(shè)甲隊(duì)選擇方案一最終獲勝為事件A，P(A)＝C32×(13)2×23＋(13(2)若甲隊(duì)選擇方案一，則甲隊(duì)最終獲勝的概率為P1＝C32p2(1－p)＋p3＝3p2－2p若甲隊(duì)選擇方案二，則甲隊(duì)最終獲勝的概率為P2＝C21p(1－p)＋p2＝2p－pP2－P1＝2p3－4p2＋2p＝2p(p－1)2，因?yàn)?<p<1，所以P2>P1.(3)在方案一中，若甲隊(duì)第一局贏，則甲隊(duì)最終獲勝概率會(huì)變大，此時(shí)繼續(xù)比賽即為方案二，故方案二甲最終獲勝的概率會(huì)變大．提分題[例2]解析：(1)由已知得張某創(chuàng)業(yè)成功的概率為23，李某創(chuàng)業(yè)成功的概率為P0，且兩人創(chuàng)業(yè)成功與否互不影響．記“這2人的累計(jì)獲得獎(jiǎng)金為X≤30(單位：萬(wàn)元)”的事件為A，則事件A的對(duì)立事件為“X＝50”因?yàn)镻(X＝50)＝23P0，所以P(A)＝1－P(X＝50)＝1－23P0＝79，求得P0(2)設(shè)兩位大學(xué)畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲且創(chuàng)業(yè)成功的次數(shù)為X1，都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙且創(chuàng)業(yè)成功的次數(shù)為X2，則這兩人選擇項(xiàng)目甲累計(jì)獲獎(jiǎng)得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為E(20X1)，選擇項(xiàng)目乙累計(jì)獲獎(jiǎng)得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為E(30X2)．由已知可得，X1～B(2，23)，X2～B(2，P0)，所以E(X1)＝43，E(X2)＝2P從而E(20X1)＝20E(X1)＝20×43＝80E(30X2)＝30E(X2)＝60P0.若E(20X1)>E(30X2)，則803>60P0，解得0<P0<4若E(20X1)<E(30X2)，則803<60P0，解得49<P0若E(20X1)＝E(30X2)，則803＝60P0，解得P0＝4綜上所述，當(dāng)0<P0<49當(dāng)49<P0<1當(dāng)P0＝49時(shí)，他們都選擇項(xiàng)目甲或項(xiàng)[鞏固訓(xùn)練2]解析：(1)由題意可知，X的可能取值有2000、20000、70000，P(X＝2000)＝1－0.6＝0.4，P(X＝20000)＝0.6×(1－0.4)＝0.36，P(X＝70000)＝0.6×0.4＝0.24，所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：X20002000070000P0.40.360.24(2)記Y為甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)B類知識(shí)所獲獎(jiǎng)金累計(jì)總額，甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)A類知識(shí)所獲獎(jiǎng)金累計(jì)總額的期望為E(X)，優(yōu)先挑戰(zhàn)B類知識(shí)所獲獎(jiǎng)金累計(jì)總額的期望為E(Y)，由題意可知，隨機(jī)變量Y的可能取值有：2000、50000、70000，則P(Y＝2000)＝1－0.4＝0.6，P(Y＝50000)＝0.4×(1－0.6)＝0.16，P(Y＝70000)＝0.4×0.6＝0.24，所以，E(Y)＝2000×0.6＋50000×0.16＋70000×0.24＝26000(元)，E(X)＝2000×0.4＋20000×0.36＋70000×0.24＝24800(元)，所以，E(X)<E(Y)，所以，為了使甲同學(xué)可獲得獎(jiǎng)金累計(jì)總額期望更大，應(yīng)該優(yōu)先選擇挑戰(zhàn)B類知識(shí)．微專題3概率與線性回歸、獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合保分題解析：（1）由表中數(shù)據(jù)可知，χ2＝100×（50×20－25×5）275×25×55×45≈因?yàn)?6.498>6.635，故有99%的把握認(rèn)為選科與性別有關(guān)．（2）依題意可知該校高一學(xué)生選物理的頻率為50+25100＝3由題意可得ξ～B3,34，則ξ的所有可能取值為0，1，2，又P（ξ＝0）＝143＝164，P（ξ＝1）＝CP（ξ＝2）＝C3234214＝2764，P（∴ξ的分布列如下：ξ0123P192727所以ξ的期望是E（ξ）＝3×34＝9提分題[例3]解析：（1）x＝1＋2＋3＋4＋55＝3y＝8＋17＋29＋24＋42i＝15（xi－x）（yi－y）=（－2）×（－16）＋（－1）×（－7）＋0i＝15（xi－x）2=4＋所以b=i＝15（xi－x所以y＝1.5＋7.5x.2023年，即當(dāng)x＝7時(shí)，由回歸直線方程可得y＝54，所以估計(jì)2023年此地新增企業(yè)的數(shù)量為54家．（2）由題意可知，X的可能取值為0，1，2，3，因?yàn)镻（