數(shù)學(xué)《學(xué)案導(dǎo)學(xué)與隨堂筆記》人教A版浙江版2-2學(xué)案：第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.2.1~1.2.2（一） 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1．2.1幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1．2。2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1。能根據(jù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2,y＝eq\f（1,x），y＝eq\r（x)的導(dǎo)數(shù).2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)一幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f（x）＝cf′（x)＝0f（x）＝xf′(x）＝1f（x）＝x2f′(x)＝2xf（x)＝eq\f（1，x)f′(x）＝－eq\f（1,x2)f（x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1，2\r（x)）知識(shí)點(diǎn)二基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f（x)＝c（c為常數(shù)）f′(x）＝0f(x）＝xα（α∈Q＊）f′（x）＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x）＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x）＝axf′（x)＝axlna(a〉0）f(x)＝exf′（x）＝exf(x）＝logaxf′(x）＝eq\f（1,xlna）(a〉0且a≠1）f(x)＝lnxf′（x）＝eq\f(1,x）類型一利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（1)y＝coseq\f（π，6)；(2）y＝eq\f(1,x5）;(3）y＝eq\f（x2，\r（x)）；(4)y＝lgx；(5)y＝5x；（6)y＝cos(eq\f（π，2）－x)．解(1)y′＝0。（2)∵y＝eq\f(1,x5）＝x－5，∴y′＝(x－5）′＝－5x－6＝－eq\f（5,x6）。(3）∵y＝eq\f(x2,\r(x)）＝,∴y′＝（）′＝eq\f(3，2）＝eq\f(3，2)eq\r（x）.(4)y′＝eq\f(1,xln10）.（5）y′＝5xln5。(6）∵y＝cos(eq\f(π,2)－x）＝sinx,∴y′＝（sinx）′＝cosx。反思與感悟若給出的函數(shù)解析式不符合導(dǎo)數(shù)公式，需通過恒等變換對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)或變形后求導(dǎo)，如根式化指數(shù)冪的形式求導(dǎo)．跟蹤訓(xùn)練1（1）下列結(jié)論,①（sinx)′＝cosx；②（）′＝；③(log3x)′＝eq\f(1，3lnx);④(lnx）′＝eq\f（1,x)。其中正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)答案C解析∵②()′＝eq\f（5，3）；③（log3x）′＝eq\f（1,xln3），∴②③錯(cuò)誤,故選C。（2）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．①y＝(1－eq\r（x）)(1＋eq\f(1，\r（x)))＋eq\r(x);②y＝2cos2eq\f（x,2）－1。解①∵y＝（1－eq\r(x))(1＋eq\f(1,\r（x）)）＋eq\r(x）＝eq\f(1－x,\r(x)）＋eq\r（x）＝eq\f（1，\r（x)）,∴.②∵y＝2cos2eq\f（x,2)－1＝cosx,∴y′＝(cosx)′＝－sinx.類型二利用導(dǎo)數(shù)研究切線問題命題角度1已知切點(diǎn)解決切線問題例2（1)已知P，Q為拋物線y＝eq\f(1,2)x2上兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q橫坐標(biāo)分別為4，－2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為．答案（1，－4）解析y′＝x，kPA＝y(tǒng)′|x＝4＝4，kQA＝y(tǒng)′|x＝－2＝－2?！逷（4,8)，Q（－2,2)，∴PA的直線方程為y－8＝4(x－4）,即y＝4x－8。QA的直線方程為y－2＝－2（x＋2),即y＝－2x－2。聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝4x－8，，y＝－2x－2,）)得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1，，y＝－4，)）∴A(1，－4）．(2）已知兩條曲線y＝sinx,y＝cosx，是否存在這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，使在這一點(diǎn)處兩條曲線的切線互相垂直？并說明理由．解設(shè)存在一個(gè)公共點(diǎn)(x0，y0)，使兩曲線的切線垂直，則在點(diǎn)(x0，y0)處的切線斜率分別為k1＝y(tǒng)′|＝cosx0，k2＝y(tǒng)′|x＝x0＝－sinx0.要使兩切線垂直，必須有k1k2＝cosx0（－sinx0）＝－1，即sin2x0＝2,這是不可能的．所以兩條曲線不存在公共點(diǎn)，使在這一點(diǎn)處的兩條切線互相垂直．反思與感悟解決切線問題，關(guān)鍵是確定切點(diǎn)，要充分利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率、切點(diǎn)在切線上及切點(diǎn)又在曲線上這三個(gè)條件聯(lián)立方程解決．跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)y＝kx是曲線y＝lnx的一條切線，則k＝.答案eq\f（1，e)解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0）,由題意得, ①又y0＝kx0， ②而且y0＝lnx0, ③由①②③可得x0＝e，y0＝1，則k＝eq\f（1,e）。命題角度2已知斜率解決切線問題例3求拋物線y＝x2上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離．解設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，xeq\o\al(2,0）)，依題意知與直線x－y－2＝0平行的拋物線y＝x2的切線的切點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離最短．∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝eq\f(1,2）,∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（eq\f（1,2）,eq\f(1,4）），∴所求的最短距離d＝eq\f（|\f（1，2）－\f（1,4）－2｜，\r（2））＝eq\f（7\r(2），8).反思與感悟利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式,可求其圖象在某一點(diǎn)P(x0，y0）處的切線方程，可以解決一些與距離、面積相關(guān)的幾何的最值問題，一般都與函數(shù)圖象的切線有關(guān)．解題時(shí)可先利用圖象分析取最值時(shí)的位置情況，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義準(zhǔn)確計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練3已知直線l:2x－y＋4＝0與拋物線y＝x2相交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，試求與直線l平行的拋物線的切線方程,并在弧上求一點(diǎn)P，使△ABP的面積最大．解設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn),過點(diǎn)P與AB平行的直線斜率k＝y(tǒng)′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1,y0＝1。故可得P(1，1)，∴切線方程為2x－y－1＝0。由于直線l：2x－y＋4＝0與拋物線y＝x2相交于A、B兩點(diǎn)，∴｜AB|為定值,要使△ABP的面積最大，只要P到AB的距離最大，故P(1，1)點(diǎn)即為所求弧上的點(diǎn),使△ABP的面積最大．1．下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為（)①（3x)′＝3xlog3e；②（log2x）′＝eq\f（1，xln2)；③eq\f（1,lnx′）＝x；④若y＝eq\f(1，x2)，則y′|x＝3＝－eq\f(2,27）。A．1B．2C．3D．4答案C解析①中(3x）′＝3xln3，②③④均正確．2．函數(shù)f（x）＝x3的斜率等于1的切線有()A．1條 B．2條C．3條 D．不確定答案B解析設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0),∵f′（x0）＝3xeq\o\al（2，0）＝1，∴x0＝±eq\f(\r（3），3)。故斜率等于1的切線有2條．3．設(shè)函數(shù)f(x）＝logax，f′（1）＝－1，則a＝.答案eq\f（1，e）解析f′(x)＝eq\f(1,xlna）,則f′（1）＝eq\f（1,lna）＝－1，∴a＝eq\f（1，e).4．求過曲線y＝sinx上一點(diǎn)P（eq\f(π,6），eq\f(1，2)）且與在這一點(diǎn)處的切線垂直的直線方程．解曲線y＝sinx在點(diǎn)P（eq\f(π,6),eq\f(1,2)）處切線的斜率，則與切線垂直的直線的斜率為－eq\f(2\r（3)，3)，∴所求直線方程為y－eq\f（1，2）＝－eq\f(2\r(3)，3）(x－eq\f（π，6）),即12eq\r（3）x＋18y－2eq\r(3)π－9＝0。5．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝（＋1)（－1）＋1；（2)y＝（coseq\f（x,2)＋sineq\f(x，2)）2－1；（3）y＝3log2eq\r(3，x）.解（1)∵y＝x3,∴y′＝3x2.（2）∵y＝cos2eq\f（x，2）＋sin2eq\f(x,2）＋2sineq\f(x，2)coseq\f（x,2）－1＝sinx,∴y′＝cosx，（3)∵y＝log2x，∴y′＝eq\f（1,xln2）.1．利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡(jiǎn)捷地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式．解題時(shí)，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸．2．有些函數(shù)可先化簡(jiǎn)再應(yīng)用公式求導(dǎo)．如求y＝1－2sin2eq\f（x,2）的導(dǎo)數(shù)．因?yàn)閥＝1－2sin2eq\f(x，2）＝cosx,所以y′＝（cosx）′＝－sinx.3．對(duì)于正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)名稱的變化，二是注意函數(shù)符號(hào)的變化．課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．下列各式中正確的個(gè)數(shù)是(）①（x7）′＝7x6；②(x－1）′＝x－2；③（eq\f(1,\r（x)））′＝－eq\f（1,2)；④（eq\r(5,x2))′＝eq\f(2,5）；⑤（cosx)′＝－sinx；⑥(cos2）′＝－sin2。A．3B．4C．5D．6答案B解析∵②（x－1)′＝－x－2；⑥（cos2)′＝0。∴②⑥不正確．故選B。2．已知函數(shù)f（x)＝eq\r(x），則f′(3）等于(）A.eq\f（\r(3),6）B．0C.eq\f（1，2\r（x））D.eq\f(\r（3），2)答案A解析∵f′（x）＝(eq\r(x)）′＝eq\f（1，2\r(x）），∴f′(3)＝eq\f（1，2\r（3）)＝eq\f（\r(3),6)。3．正弦曲線y＝sinx上切線的斜率等于eq\f（1，2）的點(diǎn)為（)A．（eq\f(π,3)，eq\f（\r(3),2））B．(－eq\f(π，3),－eq\f(\r(3）,2））或（eq\f（π，3），eq\f（\r（3),2）)C．(2kπ＋eq\f(π，3)，eq\f（\r(3），2)）（k∈Z)D．（2kπ＋eq\f(π，3）,eq\f(\r(3)，2）)或(2kπ－eq\f(π，3），－eq\f(\r（3),2))(k∈Z)答案D解析設(shè)斜率等于eq\f(1，2）的切線與曲線的切點(diǎn)為P(x0,y0）,∵y′|＝cosx0＝eq\f（1，2），∴x0＝2kπ＋eq\f(π,3)或2kπ－eq\f（π,3），∴y0＝eq\f(\r（3)，2）或－eq\f(\r(3)，2）。4．已知f（x)＝xa,若f′（－1）＝－4，則a的值等于（）A．4 B．－4C．5 D．－5答案A解析∵f′(x）＝axa－1，f′（－1）＝a(－1）a－1＝－4，∴a＝4.5．已知曲線y＝x3在點(diǎn)（2,8）處的切線方程為y＝kx＋b,則k－b等于(）A．4B．－4C．28D．－28答案C解析∵點(diǎn)(2,8)在切線上，∴2k＋b＝8, ①又y′|x＝2＝3×22＝12＝k， ②由①②可得k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.6．下列曲線的所有切線中,存在無數(shù)對(duì)互相垂直的切線的曲線是(）A．f(x)＝ex B．f(x）＝x3C．f（x）＝lnx D．f（x）＝sinx答案D解析若直線垂直且斜率存在，則其斜率之積為－1.因?yàn)锳項(xiàng)中，(ex)′＝ex>0,B項(xiàng)中，（x3）′＝3x2≥0,C項(xiàng)中，x>0，即(lnx）′＝eq\f（1,x)〉0，所以不會(huì)使切線斜率之積為－1，故選D.7．設(shè)正弦曲線y＝sinx上一點(diǎn)P，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l,則直線l的傾斜角的取值范圍是（)A．［0，eq\f（π,4）]∪［eq\f（3π,4），π) B．［0，π）C．［eq\f（π,4）,eq\f（3π，4）］ D．[0，eq\f(π，4）]∪［eq\f(π,2)，eq\f(3π,4）］答案A解析∵(sinx）′＝cosx，∴kl＝cosx,∴－1≤kl≤1，∴αl∈［0,eq\f（π,4）]∪［eq\f(3π,4），π）．二、填空題8．已知f(x）＝eq\f(1，x)，g(x）＝mx,且g′(2)＝eq\f(1,f′2)，則m＝。答案－4解析f′(x）＝－eq\f(1,x2)，g′(x）＝m?！遟′（2）＝eq\f(1,f′2），∴m＝－4。9．已知f（x）＝x2，g（x）＝x3，則適合方程f′(x)＋1＝g′（x）的x的值為．答案1或－eq\f(1，3)解析由導(dǎo)數(shù)公式可知,f′（x）＝2x,g′(x）＝3x2，所以2x＋1＝3x2,即3x2－2x－1＝0。解得x＝1或x＝－eq\f（1,3）。10．設(shè)曲線y＝ex在點(diǎn)（0,1）處的切線與曲線y＝eq\f(1,x）(x＞0)在點(diǎn)P處的切線垂直,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．答案(1,1）解析y＝ex的導(dǎo)數(shù)為y′＝ex，曲線y＝ex在點(diǎn)(0，1）處的切線的斜率為k1＝e0＝1。設(shè)P（m，n)，y＝eq\f（1,x)（x〉0）的導(dǎo)數(shù)為y′＝－eq\f（1,x2）（x>0），曲線y＝eq\f（1，x)（x>0)在點(diǎn)P處的切線的斜率為k2＝－eq\f（1，m2）(m>0）．因?yàn)閮汕芯€垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1,n＝1,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,1）．11．曲線y＝ex在點(diǎn)（2，e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為．答案eq\f（1，2)e2解析∵y′＝（ex)′＝ex,∴k＝e2，∴曲線在點(diǎn)(2，e2）處的切線方程為y－e2＝e2（x－2），即y＝e2x－e2。當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－e2，當(dāng)y＝0時(shí),x＝1.∴S△＝eq\f（1,2）×1×｜－e2|＝eq\f(1，2)e2。三、解答題12．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝eq\r（5,x3）；（2)y＝eq\f（1,x4)；（3）y＝－2sineq\f（x，2）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－2cos2\f（x,4）））；（4)y＝log2x2－log2x。解（1）y′＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\r（5,x3)))′＝′＝eq\f（3,5)＝eq\f（3，5）＝eq\f(3，5\r（5，x2）)。（2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，x4）)）′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－eq\f(4，x5）.（3)∵y＝－2sineq\f(x，2)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－2cos2\f（x,4）)）＝2sineq\f（x，2）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2cos2\f（x，4）－1))＝2sineq\f(x，2）coseq\f（x，2)＝sinx，∴y′＝(sinx）′＝cosx.（4）∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝eq\f(1,xln2）.13．設(shè)f0(x)＝sinx，f1（x）＝f0′(x)，f2（x）＝f1′(x），…，fn＋1(x)＝fn′(x），n∈N，試求f2