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文檔簡介
學必求其心得,業(yè)必貴于專精學必求其心得,業(yè)必貴于專精學必求其心得,業(yè)必貴于專精1.2.1幾個常用函數的導數1.2。2基本初等函數的導數公式及導數的運算法則(一)學習目標1。能根據定義求函數y=c,y=x,y=x2,y=eq\f(1,x),y=eq\r(x)的導數.2.能利用給出的基本初等函數的導數公式求簡單函數的導數.知識點一幾個常用函數的導數原函數導函數f(x)=cf′(x)=0f(x)=xf′(x)=1f(x)=x2f′(x)=2xf(x)=eq\f(1,x)f′(x)=-eq\f(1,x2)f(x)=eq\r(x)f′(x)=eq\f(1,2\r(x))知識點二基本初等函數的導數公式原函數導函數f(x)=c(c為常數)f′(x)=0f(x)=xα(α∈Q*)f′(x)=αxα-1f(x)=sinxf′(x)=cosxf(x)=cosxf′(x)=-sinxf(x)=axf′(x)=axlna(a〉0)f(x)=exf′(x)=exf(x)=logaxf′(x)=eq\f(1,xlna)(a〉0且a≠1)f(x)=lnxf′(x)=eq\f(1,x)類型一利用導數公式求函數的導數例1求下列函數的導數.(1)y=coseq\f(π,6);(2)y=eq\f(1,x5);(3)y=eq\f(x2,\r(x));(4)y=lgx;(5)y=5x;(6)y=cos(eq\f(π,2)-x).解(1)y′=0。(2)∵y=eq\f(1,x5)=x-5,∴y′=(x-5)′=-5x-6=-eq\f(5,x6)。(3)∵y=eq\f(x2,\r(x))=,∴y′=()′=eq\f(3,2)=eq\f(3,2)eq\r(x).(4)y′=eq\f(1,xln10).(5)y′=5xln5。(6)∵y=cos(eq\f(π,2)-x)=sinx,∴y′=(sinx)′=cosx。反思與感悟若給出的函數解析式不符合導數公式,需通過恒等變換對解析式進行化簡或變形后求導,如根式化指數冪的形式求導.跟蹤訓練1(1)下列結論,①(sinx)′=cosx;②()′=;③(log3x)′=eq\f(1,3lnx);④(lnx)′=eq\f(1,x)。其中正確的有()A.0個 B.1個C.2個 D.3個答案C解析∵②()′=eq\f(5,3);③(log3x)′=eq\f(1,xln3),∴②③錯誤,故選C。(2)求下列函數的導數.①y=(1-eq\r(x))(1+eq\f(1,\r(x)))+eq\r(x);②y=2cos2eq\f(x,2)-1。解①∵y=(1-eq\r(x))(1+eq\f(1,\r(x)))+eq\r(x)=eq\f(1-x,\r(x))+eq\r(x)=eq\f(1,\r(x)),∴.②∵y=2cos2eq\f(x,2)-1=cosx,∴y′=(cosx)′=-sinx.類型二利用導數研究切線問題命題角度1已知切點解決切線問題例2(1)已知P,Q為拋物線y=eq\f(1,2)x2上兩點,點P,Q橫坐標分別為4,-2,過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點A,則點A的坐標為.答案(1,-4)解析y′=x,kPA=y(tǒng)′|x=4=4,kQA=y(tǒng)′|x=-2=-2。∵P(4,8),Q(-2,2),∴PA的直線方程為y-8=4(x-4),即y=4x-8。QA的直線方程為y-2=-2(x+2),即y=-2x-2。聯立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=4x-8,,y=-2x-2,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1,,y=-4,))∴A(1,-4).(2)已知兩條曲線y=sinx,y=cosx,是否存在這兩條曲線的一個公共點,使在這一點處兩條曲線的切線互相垂直?并說明理由.解設存在一個公共點(x0,y0),使兩曲線的切線垂直,則在點(x0,y0)處的切線斜率分別為k1=y(tǒng)′|=cosx0,k2=y(tǒng)′|x=x0=-sinx0.要使兩切線垂直,必須有k1k2=cosx0(-sinx0)=-1,即sin2x0=2,這是不可能的.所以兩條曲線不存在公共點,使在這一點處的兩條切線互相垂直.反思與感悟解決切線問題,關鍵是確定切點,要充分利用切點處的導數是切線的斜率、切點在切線上及切點又在曲線上這三個條件聯立方程解決.跟蹤訓練2已知函數y=kx是曲線y=lnx的一條切線,則k=.答案eq\f(1,e)解析設切點坐標為(x0,y0),由題意得, ①又y0=kx0, ②而且y0=lnx0, ③由①②③可得x0=e,y0=1,則k=eq\f(1,e)。命題角度2已知斜率解決切線問題例3求拋物線y=x2上的點到直線x-y-2=0的最短距離.解設切點坐標為(x0,xeq\o\al(2,0)),依題意知與直線x-y-2=0平行的拋物線y=x2的切線的切點到直線x-y-2=0的距離最短.∵y′=(x2)′=2x,∴2x0=1,∴x0=eq\f(1,2),∴切點坐標為(eq\f(1,2),eq\f(1,4)),∴所求的最短距離d=eq\f(|\f(1,2)-\f(1,4)-2|,\r(2))=eq\f(7\r(2),8).反思與感悟利用基本初等函數的求導公式,可求其圖象在某一點P(x0,y0)處的切線方程,可以解決一些與距離、面積相關的幾何的最值問題,一般都與函數圖象的切線有關.解題時可先利用圖象分析取最值時的位置情況,再利用導數的幾何意義準確計算.跟蹤訓練3已知直線l:2x-y+4=0與拋物線y=x2相交于A、B兩點,O是坐標原點,試求與直線l平行的拋物線的切線方程,并在弧上求一點P,使△ABP的面積最大.解設P(x0,y0)為切點,過點P與AB平行的直線斜率k=y(tǒng)′=2x0,∴k=2x0=2,∴x0=1,y0=1。故可得P(1,1),∴切線方程為2x-y-1=0。由于直線l:2x-y+4=0與拋物線y=x2相交于A、B兩點,∴|AB|為定值,要使△ABP的面積最大,只要P到AB的距離最大,故P(1,1)點即為所求弧上的點,使△ABP的面積最大.1.下列函數求導運算正確的個數為()①(3x)′=3xlog3e;②(log2x)′=eq\f(1,xln2);③eq\f(1,lnx′)=x;④若y=eq\f(1,x2),則y′|x=3=-eq\f(2,27)。A.1B.2C.3D.4答案C解析①中(3x)′=3xln3,②③④均正確.2.函數f(x)=x3的斜率等于1的切線有()A.1條 B.2條C.3條 D.不確定答案B解析設切點為(x0,y0),∵f′(x0)=3xeq\o\al(2,0)=1,∴x0=±eq\f(\r(3),3)。故斜率等于1的切線有2條.3.設函數f(x)=logax,f′(1)=-1,則a=.答案eq\f(1,e)解析f′(x)=eq\f(1,xlna),則f′(1)=eq\f(1,lna)=-1,∴a=eq\f(1,e).4.求過曲線y=sinx上一點P(eq\f(π,6),eq\f(1,2))且與在這一點處的切線垂直的直線方程.解曲線y=sinx在點P(eq\f(π,6),eq\f(1,2))處切線的斜率,則與切線垂直的直線的斜率為-eq\f(2\r(3),3),∴所求直線方程為y-eq\f(1,2)=-eq\f(2\r(3),3)(x-eq\f(π,6)),即12eq\r(3)x+18y-2eq\r(3)π-9=0。5.求下列函數的導數.(1)y=(+1)(-1)+1;(2)y=(coseq\f(x,2)+sineq\f(x,2))2-1;(3)y=3log2eq\r(3,x).解(1)∵y=x3,∴y′=3x2.(2)∵y=cos2eq\f(x,2)+sin2eq\f(x,2)+2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)-1=sinx,∴y′=cosx,(3)∵y=log2x,∴y′=eq\f(1,xln2).1.利用常見函數的導數公式可以比較簡捷地求出函數的導數,其關鍵是牢記和運用好導數公式.解題時,能認真觀察函數的結構特征,積極地進行聯想化歸.2.有些函數可先化簡再應用公式求導.如求y=1-2sin2eq\f(x,2)的導數.因為y=1-2sin2eq\f(x,2)=cosx,所以y′=(cosx)′=-sinx.3.對于正弦、余弦函數的導數,一是注意函數名稱的變化,二是注意函數符號的變化.課時作業(yè)一、選擇題1.下列各式中正確的個數是()①(x7)′=7x6;②(x-1)′=x-2;③(eq\f(1,\r(x)))′=-eq\f(1,2);④(eq\r(5,x2))′=eq\f(2,5);⑤(cosx)′=-sinx;⑥(cos2)′=-sin2。A.3B.4C.5D.6答案B解析∵②(x-1)′=-x-2;⑥(cos2)′=0?!啖冖薏徽_.故選B。2.已知函數f(x)=eq\r(x),則f′(3)等于()A.eq\f(\r(3),6)B.0C.eq\f(1,2\r(x))D.eq\f(\r(3),2)答案A解析∵f′(x)=(eq\r(x))′=eq\f(1,2\r(x)),∴f′(3)=eq\f(1,2\r(3))=eq\f(\r(3),6)。3.正弦曲線y=sinx上切線的斜率等于eq\f(1,2)的點為()A.(eq\f(π,3),eq\f(\r(3),2))B.(-eq\f(π,3),-eq\f(\r(3),2))或(eq\f(π,3),eq\f(\r(3),2))C.(2kπ+eq\f(π,3),eq\f(\r(3),2))(k∈Z)D.(2kπ+eq\f(π,3),eq\f(\r(3),2))或(2kπ-eq\f(π,3),-eq\f(\r(3),2))(k∈Z)答案D解析設斜率等于eq\f(1,2)的切線與曲線的切點為P(x0,y0),∵y′|=cosx0=eq\f(1,2),∴x0=2kπ+eq\f(π,3)或2kπ-eq\f(π,3),∴y0=eq\f(\r(3),2)或-eq\f(\r(3),2)。4.已知f(x)=xa,若f′(-1)=-4,則a的值等于()A.4 B.-4C.5 D.-5答案A解析∵f′(x)=axa-1,f′(-1)=a(-1)a-1=-4,∴a=4.5.已知曲線y=x3在點(2,8)處的切線方程為y=kx+b,則k-b等于()A.4B.-4C.28D.-28答案C解析∵點(2,8)在切線上,∴2k+b=8, ①又y′|x=2=3×22=12=k, ②由①②可得k=12,b=-16,∴k-b=28.6.下列曲線的所有切線中,存在無數對互相垂直的切線的曲線是()A.f(x)=ex B.f(x)=x3C.f(x)=lnx D.f(x)=sinx答案D解析若直線垂直且斜率存在,則其斜率之積為-1.因為A項中,(ex)′=ex>0,B項中,(x3)′=3x2≥0,C項中,x>0,即(lnx)′=eq\f(1,x)〉0,所以不會使切線斜率之積為-1,故選D.7.設正弦曲線y=sinx上一點P,以點P為切點的切線為直線l,則直線l的傾斜角的取值范圍是()A.[0,eq\f(π,4)]∪[eq\f(3π,4),π) B.[0,π)C.[eq\f(π,4),eq\f(3π,4)] D.[0,eq\f(π,4)]∪[eq\f(π,2),eq\f(3π,4)]答案A解析∵(sinx)′=cosx,∴kl=cosx,∴-1≤kl≤1,∴αl∈[0,eq\f(π,4)]∪[eq\f(3π,4),π).二、填空題8.已知f(x)=eq\f(1,x),g(x)=mx,且g′(2)=eq\f(1,f′2),則m=。答案-4解析f′(x)=-eq\f(1,x2),g′(x)=m?!遟′(2)=eq\f(1,f′2),∴m=-4。9.已知f(x)=x2,g(x)=x3,則適合方程f′(x)+1=g′(x)的x的值為.答案1或-eq\f(1,3)解析由導數公式可知,f′(x)=2x,g′(x)=3x2,所以2x+1=3x2,即3x2-2x-1=0。解得x=1或x=-eq\f(1,3)。10.設曲線y=ex在點(0,1)處的切線與曲線y=eq\f(1,x)(x>0)在點P處的切線垂直,則點P的坐標為.答案(1,1)解析y=ex的導數為y′=ex,曲線y=ex在點(0,1)處的切線的斜率為k1=e0=1。設P(m,n),y=eq\f(1,x)(x〉0)的導數為y′=-eq\f(1,x2)(x>0),曲線y=eq\f(1,x)(x>0)在點P處的切線的斜率為k2=-eq\f(1,m2)(m>0).因為兩切線垂直,所以k1k2=-1,所以m=1,n=1,則點P的坐標為(1,1).11.曲線y=ex在點(2,e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為.答案eq\f(1,2)e2解析∵y′=(ex)′=ex,∴k=e2,∴曲線在點(2,e2)處的切線方程為y-e2=e2(x-2),即y=e2x-e2。當x=0時,y=-e2,當y=0時,x=1.∴S△=eq\f(1,2)×1×|-e2|=eq\f(1,2)e2。三、解答題12.求下列函數的導數.(1)y=eq\r(5,x3);(2)y=eq\f(1,x4);(3)y=-2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-2cos2\f(x,4)));(4)y=log2x2-log2x。解(1)y′=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5,x3)))′=′=eq\f(3,5)=eq\f(3,5)=eq\f(3,5\r(5,x2))。(2)y′=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′=(x-4)′=-4x-4-1=-4x-5=-eq\f(4,x5).(3)∵y=-2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-2cos2\f(x,4)))=2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(x,4)-1))=2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)=sinx,∴y′=(sinx)′=cosx.(4)∵y=log2x2-log2x=log2x,∴y′=(log2x)′=eq\f(1,xln2).13.設f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,試求f2
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