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/中考數(shù)學(xué)壓軸題1.在△ABC中,分別以AB、AC為直徑在△ABC外作半圓O1和半圓O2,其中O1和O2分別為兩個(gè)半圓的圓心.F是邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)D和點(diǎn)E分別為兩個(gè)半圓圓弧的中點(diǎn).(1)如圖1,連接O1F,O1D,DF,O2F,O2E,EF,證明:△DO1F≌△FO2E;(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)A分別作半圓O1和半圓O2的切線(xiàn),交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)和CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P和點(diǎn)Q,連接PQ,若∠ACB=90°,DB=5,CE=3,求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng);(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)A作半圓O2的切線(xiàn),交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q作直線(xiàn)FA的垂線(xiàn),交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P,連接PA.求證:PA是半圓O1的切線(xiàn).AAO1CBO2EDFPQ圖2AOAO1CBO2EDF圖1圖3AO1CBO2EDFPQ(1)證明:∵O1,O2,F(xiàn)分別是AB,AC,BC邊的中點(diǎn)AO1CBO2EDF∴O1F∥AC且O1F=AO2,O2F∥AO1CBO2EDF∴∠BO1F=∠BAC,∠CO2F=∠BAC∴∠BO1F=∠CO2F∵點(diǎn)D和點(diǎn)E分別為兩個(gè)半圓圓弧的中點(diǎn)∴O1F=AO2=O2E,O2F=AO1=O1D,∠BO1D=90°,∠CO2E=90°∴∠BO1D=∠∠CO2E,∴∠DO1F=∠FO2E∴△DO1F≌△FO2EAO1CBO2EDFPQG(2)解:延長(zhǎng)AO1CBO2EDFPQG∵點(diǎn)E是半圓O2圓弧的中點(diǎn),∴AE=CE=3∵AC為半圓O2的直徑,∴∠AEC=90°∴∠ACE=∠CAE=45°,AC=3eq\r(,2)∵AQ是半圓O2的切線(xiàn),∴CA⊥AQ,∴∠CAQ=90°∴∠AQE=∠ACE=45°,∠GAQ=90°,∴AQ=AC=AG=3eq\r(,2)同理:∠BAP=90°,AB=AP=5eq\r(,2)∴CG=6eq\r(,2),∠GAB=∠QAP∴△AQP≌△AGB,∴PQ=BG∵∠ACB=90°,∴BC=eq\r(,AB2-AC2)=4eq\r(,2)∴BG=eq\r(,BC2+GC2)=2eq\r(,26),∴PQ=2eq\r(,26)(3)設(shè)直線(xiàn)FA與PQ的垂足為M,過(guò)C作CG⊥MF于G,過(guò)B作BH⊥MF于H,連接DH、AD、DM∵F是BC邊的中點(diǎn),∴S△ABF=S△ACF,∴BH=CG由(2)知,∠CAQ=90°,AC=AQ,∴∠2+∠3=90°∵FM⊥PQ,∴∠2+∠1=90°,∴∠1=∠3同理:∠2=∠4AO1CBO2EDFPQMGH∴△AMQAO1CBO2EDFPQMGH同(2)可證AD=BD,∠ADB=∠ADP=90°∴∠ADB=∠AHB=90°,∠ADP=∠AMP=90°∴A、D、B、H四點(diǎn)在以AB為直徑的圓上A、D、P、M四點(diǎn)在以AP為直徑的圓上且∠DBH+∠DAH=180°∴∠5=∠8,∠6=∠7∵∠DAM+∠DAH=180°,∴∠DBH=∠DAM∴△DBH≌△DAM,∴∠5=∠9∴∠HDM=90°,∴∠5+∠7=90°∴∠6+∠8=90°,∴∠PAB=90°,∴PA⊥AB又AB是半圓O1的直徑,∴PA是半圓O1的切線(xiàn)2.如圖,在半徑為2的扇形AOB中,∠AOB=90°,點(diǎn)C是EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分別為D、E.(1)當(dāng)BC=1時(shí),求線(xiàn)段OD的長(zhǎng);(2)在△DOE中是否存在長(zhǎng)度保持不變的邊?如果存在,請(qǐng)指出并求其長(zhǎng)度;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)設(shè)BD=x,△DOE的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出它的定義域.AAECDOB解:(1)∵OD⊥BC,∴BD=EQ\F(1,2)BC=EQ\F(1,2)在Rt△BOD中,OD=eq\r(,OB2-BD2)=EQ\F(eq\r(,15),2)AECDOB(2)存在,AECDOB∵OA=OB=2,∠AOB=90°,∴AB=eq\r(,OA2+OB2)=2eq\r(,2)∵OD⊥BC,OE⊥AC,∴D是BC中點(diǎn),E是AC中點(diǎn)∴DE=EQ\F(1,2)AB=eq\r(,2)(3)連接OC,過(guò)D作DF⊥OE于F∵OD=2,BD=x,∴OD=eq\r(,4-x2)∵OA=OB=OC,OD⊥BC,OE⊥AC,AECDOBF∴∠1=∠2AECDOBF∵∠AOB=90°,∴∠DOE=45°在Rt△DOF中,DF=OF=EQ\F(eq\r(,4-x2),eq\r(,2))在Rt△DFE中,EF=eq\r(,DE2-DF2)=eq\r(,2-EQ\F(4-x2,2))=EQ\F(eq\r(,2),2)x∴y=EQ\F(1,2)OE·DF=EQ\F(1,2)(EQ\F(eq\r(,4-x2),eq\r(,2))+EQ\F(eq\r(,2),2)x·EQ\F(eq\r(,4-x2),eq\r(,2))即y=EQ\F(4-x2+xeq\r(,4-x2),4)(0<x<eq\r(,2))3.BACNPM如圖,已知在△ABC中,AB=15,AC=20,cotA=2,P是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),⊙P的半徑為定長(zhǎng).當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),⊙P恰好與邊AC相切;當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合,且⊙P與邊AC相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N時(shí),設(shè)AP=x,BACNPM(1)求⊙P的半徑;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出它的定義域;(3)當(dāng)AP=6eq\r(,5)時(shí),試比較∠CPN與∠A的大小,并說(shuō)明理由.解:(1)過(guò)B作BD⊥AC于D∵⊙P與邊AC相切,∴BD是⊙P的半徑BACNPMDH,∵cotA=2,∴sinA=EQ\F(eq\r(,5),5BACNPMDH又∵sinA=EQ\F(BD,AB),AB=15,∴BD=3eq\r(,5)(2)過(guò)P作PH⊥MN于H則PH=EQ\F(eq\r(,5),5)x,PM=BD=3eq\r(,5)∴MH=eq\r(,PM2-PH2)=eq\r(,45-EQ\F(1,5)x2)∴y=2MH=2eq\r(,45-EQ\F(1,5)x2),即y=EQ\F(2,5)eq\r(,1125-5x2)(3eq\r(,5)≤x<15)(3)當(dāng)AP=6eq\r(,5)時(shí),∠CPN=∠A理由如下:當(dāng)AP=6eq\r(,5)時(shí),PH=6,MH=3,AH=12,∴AM=9∵AC=20,MN=6,∴CN=5∵EQ\F(AM,MP)=EQ\F(9,3eq\r(,5))=EQ\F(3eq\r(,5),5),EQ\F(PN,CN)=EQ\F(3eq\r(,5),5),∴EQ\F(AM,MP)=EQ\F(PN,CN)又∵PM=PN,∴∠PMN=∠PNM∴∠AMP=∠PNC,∴△AMP∽△PNC∴∠CPN=∠A4.如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,∠B=60°,AB=10,AD=4,⊙M與∠BAD的兩邊相切,點(diǎn)N在射線(xiàn)AB上,⊙N與⊙M是等圓,且兩圓外切.(1)設(shè)AN=x,⊙M的半徑為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)x為何值時(shí),⊙M與CD相切?(3)直線(xiàn)CD被⊙M所截得的弦與直線(xiàn)BC被⊙N所截得的弦的長(zhǎng)是否可能相等?如果能,求出符合要求的x的值;如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.AAMCBDN解:(1)連接AM、MN,設(shè)⊙M與AB相切于點(diǎn)E,連接MEAMCBDNAMCBDNE∴在Rt△MNE中,MN=2ME,∴∠ANM=30°∵AD∥BC,∠B=60°,∴∠BAD=120°∵⊙M與∠BAD的兩邊相切∴∠NAM=60°,∴∠AMN=90°∴在Rt△AMN中AM=EQ\F(1,2)AN=EQ\F(1,2)x∴ME=AM·sin60°=EQ\F(eq\r(,3),4)x即y=EQ\F(eq\r(,3),4)x(x>0)AMCBDNGF(2)設(shè)⊙M分別與AD、CD相切于點(diǎn)F、AMCBDNGF則MF=FD=MG=y(tǒng)且AF=MF·cot60°=EQ\F(eq\r(,3),3)y=EQ\F(eq\r(,3),3)·EQ\F(eq\r(,3),4)x=EQ\F(1,4)x∵AD=4,AF+FD=AD,∴EQ\F(1,4)x+EQ\F(eq\r(,3),4)x=4∴x=8(eq\r(,3)-1)(3)作NH⊥BC于點(diǎn)H若直線(xiàn)CD被⊙M所截得的弦與直線(xiàn)BC被⊙N所截得的弦的長(zhǎng)相等,則弦心距MG=NHAMCBDNHFG①AMCBDNHFG∵AB=10,∴BN=10-x∴FD=MG=NH=BN·sin60°=EQ\F(eq\r(,3),2)(10-x)AMCBDNHFG∵AF=EQ\F(1,4)x,AF+FD=AD,∴EQ\F(1,4)x+EQ\F(eq\r(,3),2)(10-x)=4AMCBDNHFG∴x=EQ\F(104-12eq\r(,3),11)②當(dāng)點(diǎn)N在AB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)則FD=MG=NH=BN·sin60°=EQ\F(eq\r(,3),2)(x-10)EQ\F(1,4)x+EQ\F(eq\r(,3),2)(x-10)=4∴x=EQ\F(104+12eq\r(,3),11)∴當(dāng)x=EQ\F(104-12eq\r(,3),11)或x=EQ\F(104+12eq\r(,3),11)時(shí),直線(xiàn)CD被⊙M所截得的弦與直線(xiàn)BC被⊙N所截得的弦的長(zhǎng)相等。5.已知:半圓O的半徑OA=4,P是OA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),過(guò)線(xiàn)段OP的中點(diǎn)B作OP的垂線(xiàn)交半圓O于點(diǎn)C,射線(xiàn)PC交半圓O于點(diǎn)D,連接OD.(1)當(dāng)EQ\o\ac(AC,\s\up9(︵))=EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))時(shí),求弦CD的長(zhǎng);(2)設(shè)PA=x,CD=y(tǒng),求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;(3)設(shè)CD的中點(diǎn)為E,射線(xiàn)BE與射線(xiàn)OD交于點(diǎn)F,當(dāng)DF=1時(shí),求tan∠P的值.BBAOPCDAOAO備用圖AO備用圖解:(1)連接OCBAOPCDE,當(dāng)EQ\o\ac(AC,\s\up9(︵))=EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))時(shí),∠POC=∠DOCBAOPCDE∵BC垂直平分OP,∴PC=OC=4∴∠P=∠POC=∠DOC∴△DOC∽△DPO,∴EQ\F(DO,DP)=EQ\F(CD,DO)即EQ\F(4,4+CD)=EQ\F(CD,4),解得CD=2eq\r(,5)-2(2)作OE⊥CD于E,則CE=DE=EQ\F(1,2)y①當(dāng)點(diǎn)C在EQ\o\ac(AD,\s\up9(︵))上時(shí)∵∠PBC=∠PEO=90°,∠P=∠P∴△PBC∽△PEO,∴EQ\F(PB,PE)=EQ\F(PC,PO),即EQ\F(EQ\F(x+4,2),4+EQ\F(y,2))=EQ\F(4,x+4),∴y=EQ\F(1,4)x2+2x-4顯然,B不與A重合,∴x<4當(dāng)D與C重合時(shí),PC是半圓O的切線(xiàn)∴PC⊥OC,∠PCO=90°,此時(shí)△PCO是等腰直角三角形∴OP=eq\r(,2)OC,即x+4=4eq\r(,2),x=4eq\r(,2)-4∵D不與C重合,∴x>4eq\r(,2)-4∴4eq\r(,2)-4<x<4∴y=EQ\F(1,4)x2+2x-4(4eq\r(,2)-4<x<4)②當(dāng)點(diǎn)C在EQ\o\ac(AD,\s\up9(︵))外時(shí),BAOPCDE同理,△PBC∽△PEO,∴EQ\F(PB,PE)=EQ\F(PC,PO)BAOPCDE即EQ\F(EQ\F(x+4,2),4-EQ\F(y,2))=EQ\F(4,x+4),∴y=-EQ\F(1,4)x2-2x+4(0<x<4eq\r(,2)-4)(3)①當(dāng)點(diǎn)C在EQ\o\ac(AD,\s\up9(︵))上時(shí),過(guò)D作DG∥OP交BF于G則△DEG∽△PEB,△DEF∽△OBFBAOPCDEFG∴EQ\F(DE,PE)=EQ\F(DG,PB)=EQ\F(DG,OB)=EQ\F(DF,OF)=EQ\F(1,4+1)BAOPCDEFG∴EQ\F(DE,PE)=EQ\F(1,5),即EQ\F(EQ\F(y,2),4+EQ\F(y,2))=EQ\F(1,5),解得EQ\F(y,2)=1∴CE=1,PE=5,OE=eq\r(,42-12)=eq\r(,15),∴tan∠P=EQ\F(OE,PE)=EQ\F(eq\r(,15),5)②當(dāng)點(diǎn)C在EQ\o\ac(AD,\s\up9(︵))外時(shí),過(guò)D作DG∥OP交BE于GBAOPCDEFG則△BAOPCDEFG∴EQ\F(DE,PE)=EQ\F(DG,PB)=EQ\F(DG,OB)=EQ\F(DF,OF)=EQ\F(1,4-1)∴EQ\F(DE,PE)=EQ\F(1,3),即EQ\F(EQ\F(y,2),4-EQ\F(y,2))=EQ\F(1,3),解得EQ\F(y,2)=1∴CE=1,PE=3,OE=eq\r(,42-12)=eq\r(,15),∴tan∠P=EQ\F(OE,PE)=EQ\F(eq\r(,15),3)6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,sinB=EQ\F(3,5),⊙B的半徑長(zhǎng)為1,⊙B交邊BC于點(diǎn)P,點(diǎn)O是邊AB上的動(dòng)點(diǎn).(1)如圖1,將⊙B繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到⊙M,請(qǐng)判斷⊙M與直線(xiàn)AB的位置關(guān)系;(2)在(1)的條件下,當(dāng)△OMP是等腰三角形時(shí),求OA的長(zhǎng);(3)如圖2,點(diǎn)N是邊BC上的動(dòng)點(diǎn),如果以NB為半徑的⊙N和以O(shè)A為半徑的⊙O外切,設(shè)NB=y(tǒng),OA=x,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域.ABABCN圖2OABCP圖1ABCPMD解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,sinB=EQ\F(3,5ABCPMD∴AB=10,BC=eq\r(,AB2-AC2)=eq\r(,102-62)=8過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB于D在Rt△MDB中,∠MDB=90°,∴sinB=EQ\F(MD,MB)=EQ\F(3,5)∵M(jìn)B=2,∴MD=EQ\F(3,5)×2=EQ\F(6,5)>1,∴⊙M與直線(xiàn)AB相離ABCPMO(2)∵M(jìn)D=EQ\F(6,5)>1=MP,∴OMABCPMO若OP=MP,易得∠MOB=90°∴cosB=EQ\F(OB,BM)=EQ\F(BC,AB)=EQ\F(8,10),∴OB=EQ\F(8,5)∴OA=10-EQ\F(8,5)=EQ\F(42,5)ABCPMOE若OM=OP,過(guò)OABCPMOE∴cosB=EQ\F(EB,OB)=EQ\F(BC,AB)=EQ\F(8,10),∴OB=EQ\F(15,8)∴OA=10-EQ\F(15,8)=EQ\F(65,8)∴當(dāng)△OMP是等腰三角形時(shí),OA的長(zhǎng)為EQ\F(42,5)或EQ\F(65,8)(3)連接ON,過(guò)N作NF⊥AB于FABCNOF在Rt△NFB中,∠NFB=90°,sinB=EQ\F(3,5),NBABCNOF∴NF=EQ\F(3,5)y,BF=EQ\F(4,5)y,∴OF=10-x-EQ\F(4,5)y∵⊙N和⊙O外切,∴ON=x+y在Rt△NFB中,ON2=OF2+NF2∴(x+y)2=(10-x-EQ\F(4,5)y)2+(EQ\F(3,5)y)2∴y=EQ\F(250-50x,x+40)(0<x<5)7.如圖,⊙O的半徑為6,線(xiàn)段AB與⊙O相交于點(diǎn)C、D,AC=4,∠BOD=∠A,OB與⊙O相交于點(diǎn)E,設(shè)OA=x,CD=y(tǒng).ABDCABDCEO(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出定義域;(3)當(dāng)CE⊥OD時(shí),求AO的長(zhǎng).解:(1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OCA=∠ODBABDCEO∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC,∴EQ\F(BD,OC)=EQ\F(OD,AC)ABDCEO∵OC=OD=6,AC=4,∴EQ\F(BD,6)=EQ\F(6,4),∴BD=9(2)∵△OBD∽△AOC,∴∠AOC=∠B又∵∠A=∠A,∴△ACO∽△AOB,∴EQ\F(AB,AO)=EQ\F(AO,AC)∵AB=AC+CD+BD=y(tǒng)+13,∴EQ\F(y+13,x)=EQ\F(x,4)∴y=EQ\F(1,4)x2-13∵0<y<8,∴0<EQ\F(1,4)x2-13<12,解得2eq\r(,13)<x<10∴定義域?yàn)?eq\r(,13)<x<10(3)∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A∴∠AOD=180o-∠A-∠ODC=180o-∠COD-∠OCD=∠ADO∴AD=AO,∴y+4=x,∴EQ\F(1,4)x2-13+4=x∴x=2±2eq\r(,10)(舍去負(fù)值)∴AO=2±2eq\r(,10)9.如圖,扇形OMN的半徑為1,圓心角90°,點(diǎn)B是EQ\o\ac(MN,\s\up9(︵))上一動(dòng)點(diǎn),BA⊥OM于點(diǎn)A,BC⊥ON于點(diǎn)C,點(diǎn)D、E、F、G分別是線(xiàn)段OA、AB、BC、CO的中點(diǎn),GF與CE相交于點(diǎn)P,DE與AG相交于點(diǎn)Q.(1)求證:四邊形EPGQ是平行四邊形;(2)探索OA的長(zhǎng)為何值時(shí),四邊形EPGQ是矩形;NOM備用圖NOMBCGFDAQNOM備用圖NOMBCGFDAQEP(1)證明:∵∠AOC=90°,BA⊥OM,BC⊥ON∴四邊形OABC是矩形,∴AB∥OC,AB=OCNOMBCGFDAQNOMBCGFDAQEP∴AE∥GC,AE=GC∴四邊形AECG為平行四邊形,∴CE∥AG連接OB∵點(diǎn)D、E、F、G分別是線(xiàn)段OA、AB、BC、CO的中點(diǎn)∴GF∥OB,DE∥OB,∴PG∥EQ∴四邊形EPGQ是平行四邊形(2)當(dāng)∠CED=90°時(shí),□EPGQ是矩形,此時(shí)∠AED+∠CEB=90°NOMBCGFDAQEP又∵∠NOMBCGFDAQEP∴△AED∽△BCE,∴EQ\F(AD,BE)=EQ\F(AE,BC)設(shè)OA=x,AB=y(tǒng),則EQ\F(EQ\F(x,2),EQ\F(y,2))=EQ\F(EQ\F(y,2),x),得y2=2x2又OA2+AB2=OB2,即x2+y2=12,∴x2+2x2=1,解得x=EQ\F(eq\r(,3),3)NOMBCGFDAQEPB′A′O′∴當(dāng)OA的長(zhǎng)為EQ\F(eq\r(,NOMBCGFDAQEPB′A′O′(3)連接GE交PQ于點(diǎn)O′,則O′P=O′Q,O′G=O′E過(guò)P作OC的平行線(xiàn)分別交BC、GE于點(diǎn)B′、A′由△PCF∽△PEG得,EQ\F(PG,PF)=EQ\F(PE,PC)=EQ\F(GE,FC)=2∴PA′=EQ\F(2,3)A′B′=EQ\F(1,3)AB,GA′=EQ\F(1,3)GE=EQ\F(1,3)OA∴A′O′=EQ\F(1,2)GE-GA′=EQ\F(1,6)OA在Rt△PA′O′中,PO′2=PA′2+A′O′2,即EQ\F(PQ2,4)=EQ\F(AB2,9)+EQ\F(OA2,36)又AB2+OA2=12,∴3PQ2=AB2+EQ\F(1,3),∴3PQ2+OA2=AB2+EQ\F(1,3)+OA2=1+EQ\F(1,3)=EQ\F(4,3)10.如圖,AE切⊙O于點(diǎn)E,AT交⊙O于點(diǎn)M、N,線(xiàn)段OE交AT于點(diǎn)C,OB⊥AT于點(diǎn)B,已知∠EAT=30°,AE=3eq\r(,3),MN=2eq\r(,22).(1)求∠COB的度數(shù);(2)求⊙O的半徑R;(3)點(diǎn)F在⊙O上(EQ\o\ac(FME,\s\up9(︵))是劣弧),且EF=5,將△OBC經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后,使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E、F重合.在EF的同一側(cè),這樣的三角形共有多少個(gè)?你能在其中找出另一個(gè)頂點(diǎn)也在⊙O上的三角形嗎?請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出這個(gè)三角形,并求出這個(gè)三角形與△OBC的周長(zhǎng)之比.AABCEFMONT解:(1)∵AE切⊙O于點(diǎn)E,∴OE⊥AE∵OB⊥AT于點(diǎn)B,∴∠AEC=∠OBC=90°又∵∠ACE=∠OCB,∴△ACE∽△OCB,∴∠COB=∠EAT=30°ABCEFMONTG(BABCEFMONTG(B′)(C′)(O′)∠OCB=∠ACE=60°設(shè)BC=x,則OB=eq\r(,3)x,OC=2x連接ON,得(eq\r(,3)x)2+(eq\r(,22))2=(2x+3)2解得x=1或x=-13(舍去),∴x=1∴R=2x+3=5(3)這樣的三角形有3個(gè),畫(huà)直徑FG,連接GE∵EF=OE=OF=5,∴∠EFG=60°=∠BCO∴△GEF即為所要畫(huà)出的三角形∵三種圖形變換都不改變圖形的形狀,即變換前后的兩個(gè)三角形相似∴變換前后兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之比等于它們的相似比又∵兩個(gè)直角三角形斜邊長(zhǎng)FG=2R=10,OC=2,∴△GEF與△OBC的周長(zhǎng)之比為5:111.定義:P、Q分別是兩條線(xiàn)段a和b上任意一點(diǎn),線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的最小值叫做線(xiàn)段a與線(xiàn)段b的距離.已知O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐標(biāo)系中四點(diǎn).(1)根據(jù)上述定義,當(dāng)m=2,n=2時(shí),如圖1,線(xiàn)段BC與線(xiàn)段OA的距離是___________;當(dāng)m=5,n=2時(shí),如圖2,線(xiàn)段BC與線(xiàn)段OA的距離(即線(xiàn)段AB長(zhǎng))為_(kāi)__________.(2)如圖3,若點(diǎn)B落在圓心為A,半徑為2的圓上,線(xiàn)段BC與線(xiàn)段OA的距離記為d,求d關(guān)于m的函數(shù)解析式.(3)當(dāng)m的值變化時(shí),動(dòng)線(xiàn)段BC與線(xiàn)段OA的距離始終為2,線(xiàn)段BC的中點(diǎn)為M.①求出點(diǎn)M隨線(xiàn)段BC運(yùn)動(dòng)所圍成的封閉圖形的周長(zhǎng);②點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2),m≥0,n≥0.作MH⊥x軸,垂足為H,是否存在m的值使以A,M,H為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似,若存在,求出m的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.AOyAOyx(圖3)BCAOByxC(圖2)AOByxC(圖1)AOAOyx(備用圖2)AOyxC(備用圖1)M解:(1)2(2)當(dāng)4≤m≤6時(shí),顯然線(xiàn)段BC與線(xiàn)段OA的距離等于⊙A半徑,即d=2當(dāng)2≤m<4時(shí),作BN⊥x軸于點(diǎn)N,線(xiàn)段BC與線(xiàn)段OA的距離等于BN長(zhǎng)AOyxBCBCN∴d=eq\r(,22-(4-m)2)=eq\r(,-m2+8m-12AOyxBCBCN∴d關(guān)于m的函數(shù)解析式為:d=eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(eq\r(,-m2+8m-12)(2≤m<4),2(4≤m≤6)))AOyxCMEBPNFKG(3)①由題意可知,由線(xiàn)段AOyxCMEBPNFKG∴點(diǎn)M隨線(xiàn)段BC運(yùn)動(dòng)所圍成的封閉圖形的周長(zhǎng)為:2×π×2+2×2×4=16+4π②∵m≥0,n≥0,∴點(diǎn)M隨線(xiàn)段BC運(yùn)動(dòng)所形成圖形的是線(xiàn)段M0E和EQ\o\ac(EF,\s\up9(︵))AOyxCM0EBFAOyxCM0EBFM1M2M3H3H2H1R(D)x若△AMH與△AOD相似,則EQ\F(MH,HA)=EQ\F(1,2)或EQ\F(MH,HA)=2當(dāng)2≤m+2<4時(shí),顯然M1H1>H1A,∴EQ\F(M1H1,H1A)=2∵M(jìn)1H1=2,∴H1A=1,∴OH1=3∴m1=3-2=1當(dāng)4≤m+2≤6即M2在線(xiàn)段CE上時(shí),同理可求m2=5-2=3當(dāng)6<m+2≤8即M3在線(xiàn)段EQ\o\ac(EF,\s\up9(︵))上時(shí),∵AH3≥2≥M3H3,∴EQ\F(M3H3,H3A)=EQ\F(1,2)設(shè)M3H3=x,則AH3=2x,∴AH3=2x-2又∵RH3=2,∴(2x-2)2+x2=22,∴x1=EQ\F(8,5),x2=0(不合題意,舍去)∴OH3=4+2x=EQ\F(36,5),∴m3=EQ\F(36,5)-2=EQ\F(26,5)綜上可知,存在m的值使以A,M,H為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似,相應(yīng)m的值為1,3,EQ\F(26,5)12.已知矩形ABCD中,AB=2,AD=5,點(diǎn)E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn),連接BE、CE,以BE為直徑作⊙O,交BC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CE于H,直線(xiàn)FH交⊙O于點(diǎn)G.(1)當(dāng)直線(xiàn)FH與⊙O相切時(shí),求AE的長(zhǎng);(2)當(dāng)FH∥BE時(shí),求FG的長(zhǎng);DBACOFEH(3)在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△OFG能否成為等腰直角DBACOFEH解:(1)連接OF、EF,∵BE是⊙O的直徑,∴∠BFE=90°又∠A=∠ABF=90°,∴四邊形ABFE為矩形DBACOFEH∴AEDBACOFEH∵FH與⊙O相切,∴OF⊥FH∵FH⊥CE,∴OF∥CE∵BO=OE,∴BF=CF∴AE=DE=EQ\F(1,2)AD=EQ\F(5,2)(2)作OM⊥FG于M,連接OF∵FH∥BE,∴∠BEC=∠FHC=90°易證△ABE∽△DEC,∴EQ\F(AE,DC)=EQ\F(AB,DE),即EQ\F(AE,2)=EQ\F(2,5-AE),解得AE=1或4DBACOFEHMG①當(dāng)AE=DBACOFEHMG∴BE=eq\r(,5),CE=2eq\r(,5),OF=EQ\F(eq\r(,5),2)由△CFH∽△CBE,得CH=EQ\F(8eq\r(,5),5)∴OM=EH=CE-CH=EQ\F(2eq\r(,5),5),∴FM=eq\r(,OF2-OM2)=EQ\F(3eq\r(,5),10),∴FG=2FM=EQ\F(3eq\r(,5),5)DBACOFEHMG②當(dāng)AE=DBACOFEHMG∴BE=2eq\r(,5),CE=eq\r(,5),OG=eq\r(,5)由△CFH∽△CBE,得CH=EQ\F(eq\r(,5),5)∴OM=EH=CE-CH=EQ\F(4eq\r(,5),5),∴FM=eq\r(,OG2-OM2)=EQ\F(3eq\r(,5),5)∴FG=2FM=EQ\F(6eq\r(,5),5)(3)連接EF,設(shè)AE=x,則EF=AB=2,BF=AE=x,CF=DE=5-x若△OFG是等腰直角三角形,則∠FOG=90°①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F上方時(shí)ODBACHGEFMK連接BG、EG,設(shè)BGODBACHGEFMK則∠FBG=∠FEG=45°∴△BFK和△EGK都是等腰直角三角形∴KF=BF=x,EK=2-x,GM=KM=EQ\F(1,2)EK=1-EQ\F(1,2)xFM=x+1-EQ\F(1,2)x=1+EQ\F(1,2)x∵∠GFM=∠ECF=90°-∠FEC,∴Rt△GMF∽R(shí)t△EFC,∴EQ\F(GM,FM)=EQ\F(EF,CF)DBACHGEFKOM∴EQ\F(1-EQ\F(1,2)x,1+EQ\F(1,2)x)=EQ\F(2,5-x),解得x1=EQ\F(9-eq\r(,57),2),x2=EQ\F(9+eq\r(,57),2)>5(舍去)DBACHGEFKOM②當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F下方時(shí)連接BG、EG,設(shè)BC、EG交于點(diǎn)K,作GM⊥BF于M則∠GBF=∠GEF=45°∴△BGK和△EFK都是等腰直角三角形∴KF=EF=2,EK=2eq\r(,2)BK=x-2,GM=KM=EQ\F(1,2)(x-2),F(xiàn)M=2+EQ\F(1,2)(x-2)=EQ\F(1,2)(x+2)∵∠MFG=∠HFC=∠FEC=90°-∠HCF∴Rt△FMG∽R(shí)t△EFC,∴EQ\F(FM,GM)=EQ\F(EF,CF)∴EQ\F(EQ\F(1,2)(x+2),EQ\F(1,2)(x-2))=EQ\F(2,5-x),解得x1=EQ\F(1+eq\r(,57),2),x2=EQ\F(1-eq\r(,57),2)(舍去)綜上所述,△OFG能成為等腰直角三角形,此時(shí)AE的長(zhǎng)為EQ\F(9-eq\r(,57),2)或EQ\F(1+eq\r(,57),2)13.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(10,0)、B(6,8),點(diǎn)P是線(xiàn)段OA上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、點(diǎn)O重合),以PA為半徑的⊙P與線(xiàn)段AB的另一個(gè)交點(diǎn)為C,作CD⊥OB于D(如圖1).(1)求證:CD是⊙P的切線(xiàn);(2)當(dāng)⊙P與OB相切時(shí),求⊙P的半徑;(3)在(2)的條件下,設(shè)⊙P與OB相切于點(diǎn)E,連接PB交CD于F(如圖2).①求CF的長(zhǎng);②在線(xiàn)段DE上是否存在點(diǎn)G使∠GPF=45°?若存在,求出EG的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.AOAOPBDyxC圖1AOPBDyxC圖2EFAOPBDyxCN12AOPBDyxCN12∵PC=PA,∴∠1=∠2∵A(10,0),B(6,8),∴OA=10,BN=8,ON=6在Rt△OBN中,OB=eq\r(,ON2+BN2)=eq\r(,62+82)=10∴OA=OB,∴∠OBA=∠1∴∠OBA=∠2,∴PC∥OB∵CD⊥OB,∴CD⊥PC∴CD是⊙P的切線(xiàn)(2)解:設(shè)⊙P的半徑為rAOPBDyxCEFN∵⊙AOPBDyxCEFN∴在Rt△OPE中,sin∠EOP=EQ\F(PE,OP)=EQ\F(r,10-r)在Rt△OBN中,sin∠BON=EQ\F(BN,OB)=EQ\F(8,10)=EQ\F(4,5)∴EQ\F(r,10-r)=EQ\F(4,5),解得r=EQ\F(40,9)(3)①由(2)知r=EQ\F(40,9),∴OP=10-EQ\F(40,9)=EQ\F(50,9)∴OE=eq\r(,OP2-PE2)=EQ\F(10,3)∵∠PCD=∠CDE=∠PED=90°,∴四邊形PCDE是矩形∵PE=PC,∴矩形PCDE是正方形∴PE=DC=EQ\F(40,9),∴BD=OB-OE-DE=10-EQ\F(10,3)-EQ\F(40,9)=EQ\F(20,9)∵∠BFD=∠PFC,∠BDF=∠PCF=90°∴△BDF∽△PCF,∴EQ\F(DF,CF)=EQ\F(BD,PC)AOPBDyxCEFGT34即EQ\F(EQ\F(40,9)-CF,CF)=EQ\F(EQ\F(20,9),EQ\F(40,9)),解得CF=EQ\F(80,27)AOPBDyxCEFGT34②存在在DE延長(zhǎng)線(xiàn)上截取ET=CF∵四邊形PCDE是正方形∴∠PET=∠PCF=90°,PE=PC∴△PET≌△PCF,∴∠4=∠3,PT=PF∵∠CPE=90°,∠GPF=45°∴∠GPE+∠3=45°,∴∠GPE+∠4=45°即∠GPT=45°,∴∠GPT=∠GPF又PG=PG,∴△PGT≌△PGF,∴GF=GT=GE+ET=GE+CF設(shè)GE=a,則DG=EQ\F(40,9)-a,GF=EQ\F(80,27)+a,又DF=DC-CF=EQ\F(40,9)-EQ\F(80,27)=EQ\F(40,27)在Rt△DFG中,DF2+DG2=GF2∴(EQ\F(40,27)2+(EQ\F(40,9)-a2=(EQ\F(80,27)+a2,解得a=EQ\F(8,9),即EG的長(zhǎng)為EQ\F(8,9)14.如圖,以△ABC的邊BC為弦,在點(diǎn)A的同側(cè)畫(huà)EQ\o\ac(BC,\s\up9(︵))交AB于D,且∠BDC=90°+EQ\F(1,2)∠A,點(diǎn)P是EQ\o\ac(BC,\s\up9(︵))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)判定△ADC的形狀,并說(shuō)明理由;(2)若∠A=70°,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到∠PBA=∠PBC=15°時(shí),求∠ACB和∠ACP的度數(shù);(3)當(dāng)點(diǎn)P在EQ\o\ac(BC,\s\up9(︵))運(yùn)動(dòng)時(shí),過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)MN⊥AP,分別交AB、AC于點(diǎn)M、N,是否存在這樣的點(diǎn)P,使得△BMP和△BPC和△CPN彼此相似?請(qǐng)說(shuō)明理由.PBPBACDBACD備用圖解:(1)△ADC是等腰三角形∵∠BDC=90°+EQ\F(1,2)∠A,∴∠ADC=90°-EQ\F(1,2)∠A,∠ACD=90°+EQ\F(1,2)∠A-∠A=90°-EQ\F(1,2)∠APBACDMN∴∠ACDPBACDMN(2)∵∠A=70°,∠PBA=∠PBC=15°∴∠ACB=180°-70°-2×15°=80°∵∠BPC=∠BDC=90°+EQ\F(1,2)∠A=90°+EQ\F(1,2)×70°=125°∴∠PCB=180°-15°-125°=40°∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=80°-40°=40°(3)存在.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))的中點(diǎn)時(shí),△BMP和△BPC和△CPN彼此相似∵P是EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))的中點(diǎn),∴∠ABP=∠CBP設(shè)∠A=x°,∠ABP=∠CBP=y(tǒng)°則∠ACB=180°-x-2y,∠PCB=180°-y-(90°+EQ\F(1,2)x)=90°-y-EQ\F(1,2)x∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=180°-x-2y-(90°-y-EQ\F(1,2)x)=90°-y-EQ\F(1,2)x∴∠PCB=∠ACP,∴PC平分∠ACB∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))的中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P是△ABC的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)連接AP,則AP平分∠BAC,∴∠BMP=∠CNP=90°+EQ\F(1,2)x=∠BPC∴△BMP和△BPC和△CPN彼此相似15.如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC=4AD=4eq\r(,2),∠B=45°.將直角三角板含45°角的頂點(diǎn)E放在邊BC上移動(dòng)(不與點(diǎn)C重合),一直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,斜邊與CD交于點(diǎn)F.BCAEFD(1)在點(diǎn)E移動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)△ABE為等腰三角形時(shí)BCAEFD(2)在點(diǎn)E移動(dòng)過(guò)程中,求△ADF外接圓半徑的最小值.解:(1)∵BC=4AD=4eq\r(,2),∴AD=eq\r(,2)∵等腰梯形ABCD,∠B=45°,∴AB=eq\r(,2)×EQ\F(1,2)(BC-AD)=×EQ\F(1,2)(4eq\r(,2)-eq\r(,2))=3∵∠B=45°,∴∠BAE+∠AEB=135°∵∠AEF=45°,∴∠CEF+∠AEB=135°BCAEFD∴∠BAE=∠CEF,又BCAEFD∴△BAE∽△CEF,∴EQ\F(BE,CF)=EQ\F(AB,EC)∴CF=EQ\F(EC,AB)·BE=EQ\F(BC-BE,AB)·BE=EQ\F(4eq\r(,2)-BE,3)·BE(1)若AE=BE,則∠AEB=90°,BE=EQ\F(eq\r(,2),2)AB=EQ\F(3eq\r(,2),2),代入(1)得CF=EQ\F(5,2)若AB=AE,則∠BAE=90°,BE=eq\r(,2)AB=3eq\r(,2),代入(1)得CF=2若AB=BE,則BE=3,代入(1)得CF=4eq\r(,2)-3(2)設(shè)△ADF外接圓的圓心為O,∵∠ADF=135°,∴∠AOF=90°,∴AF=eq\r(,2)r當(dāng)AF最小時(shí),r也最小;又當(dāng)CF最大時(shí),AF最小由(1)知CF=EQ\F(4eq\r(,2)-BE,3)·BE=-EQ\F(1,3)BE2+EQ\F(4eq\r(,2),3)BE=-EQ\F(1,3)(BE-2eq\r(,2))2+EQ\F(8,3)BCAEFDGO當(dāng)BE=2eq\r(,2)即E為BC中點(diǎn)時(shí),CF最大,為EQ\F(8,3),此時(shí)DF=3-EQ\F(8,3)=EQ\F(1,3)BCAEFDGO作FG⊥AD于G,則FG=DG=EQ\F(eq\r(,2),6),AG=AD+DG=EQ\F(7eq\r(,2),6)∴AF長(zhǎng)的最小值為:eq\r(,AG2+FG2)=EQ\F(5,3)∴△ADF外接圓半徑的最小值為EQ\F(eq\r(,2),2)AF=EQ\F(5eq\r(,2),6)20.如圖,已知直線(xiàn)l與⊙O相離,OA⊥l于點(diǎn)A,OA=5,OA與⊙O相交于點(diǎn)P,AB與⊙O相切于點(diǎn)B,BP的延長(zhǎng)線(xiàn)交直線(xiàn)l于點(diǎn)C.(1)試判斷線(xiàn)段AB與AC的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;(2)若PC=2eq\r(,5),求⊙O的半徑和線(xiàn)段PB的長(zhǎng);(3)若在⊙O上存在點(diǎn)Q,使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形,求⊙O的半徑r的取值范圍.CCPOBAlOOAl(備用圖)(1)AB=AC.理由如下:連接OB∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B,OA⊥AC,∴∠OBA=∠OAC=90°CPOBAlD∴∠OBP+∠ABP=90°,∠CPOBAlD∵OP=OB,∴∠OBP=∠OPB∵∠OPB=∠APC,∴∠ABP=∠ACP∴AB=AC(2)設(shè)⊙O的半徑為r,則OP=OB=r,PA=5-r∴AB2=OA2-OB2=52-r2AC2=PC2-PA2=(2eq\r(,5))2-(5-r)2∵AB=AC,∴52-r2=(2eq\r(,5))2-(5-r)2解得r=3∴AB=eq\r(,52-32)=4,∴sin∠BOP=EQ\F(AB,OA)=EQ\F(4,5),cos∠BOP=EQ\F(OB,OA)=EQ\F(3,5)過(guò)B作BD⊥OP于D則DB=OB·sin∠BOP=3×EQ\F(4,5)=EQ\F(12,5),OD=OB·cos∠BOP=3×EQ\F(3,5)=EQ\F(9,5)∴DP=OP-OD=3-EQ\F(9,5)=EQ\F(6,5)CPOBAlEMN∴PB=eq\r(,DB2+DP2)=EQ\F(6,5)eq\r(,5)CPOBAlEMN(3)作線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)MN,作OE⊥MN則OE=EQ\F(1,2)AC=EQ\F(1,2)AB=EQ\F(1,2)eq\r(,52-r2)由題意,⊙O與直線(xiàn)MN有交點(diǎn)∴OE≤r,即EQ\F(1,2)eq\r(,52-r2)≤r,∴r≥eq\r(,5)又∵直線(xiàn)l與⊙O相離,∴r<5∴eq\r(,5)≤r<521.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在正比例函數(shù)y=x的圖象上,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(m>0).以點(diǎn)P為圓心,eq\r(,5)m為半徑的圓交x軸于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),交y軸于C、D兩點(diǎn)(點(diǎn)D在點(diǎn)C的上方),點(diǎn)E為平行四邊形DOPE的頂點(diǎn)(如圖).(1)寫(xiě)出點(diǎn)B、E的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示);(2)連接DB、BE,設(shè)△BDE的外接圓交y軸于點(diǎn)Q(點(diǎn)Q異于點(diǎn)D),連接EQ、BQ.試問(wèn)線(xiàn)段BQ與線(xiàn)段EQ的長(zhǎng)是否相等?為什么?(3)連接BC,求∠DBC-∠DBE的度數(shù).CBCBPOxDyEA(備用圖)CBPOxDyEA解:(1)B(3m,0),E(m,4m)(2)BQ與EQ相等,理由如下:CBPOxDyEAFK易得DCBPOxDyEAFK則得OB=OD,EK=DK∴△BOD和△EKD均為等腰直角三角形∴∠EDB=90°∴BE為△EDB外接圓的直徑∴∠EQB=90°,∴∠QDB=∠QEB=45°∴∠QBE=45°,∴∠QEB=∠QBE∴BQ=EQ(3)由(2)知,△BDE為直角三角形易得DE=eq\r(,2)m,BD=3eq\r(,2)m在Rt△BOC中,BO=3CO=3m在△BDE和△BOC中∠BDE=∠BOC=90°,且EQ\F(DE,BD)=EQ\F(CO,BO)=EQ\F(1,3)∴△BDE∽△BOC,∴∠DBE=∠OBC,∴∠∠DBC-∠DBE=∠DBC-∠OBC=45°22.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上,且OA=2,OC=1,矩形對(duì)角線(xiàn)AC、OB相交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)與邊OA、BC分別相交于點(diǎn)G、H.(1)①直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo):____________;②求證:AG=CH;(2)如圖2,以O(shè)為圓心、OC為半徑畫(huà)弧交OA于點(diǎn)D,若直線(xiàn)GH與弧CD所在的圓相切于矩形內(nèi)一點(diǎn)F,求直線(xiàn)GH的函數(shù)關(guān)系式;(3)在(2)的結(jié)論下,梯形ABHG的內(nèi)部有一點(diǎn)P,當(dāng)⊙P與HG、GA、AB都相切時(shí),求⊙P的半徑.BGOBGOxHyEAC圖2FDBGOxHyEAC圖1BGOxHyEAC備用圖FD解:(1)①(1,EQ\F(1,2))②證明:在矩形OABC中,∵EA=EC,OA∥BC,∴∠GAE=∠HCE又∵∠GEA=∠HEC,∴△AGE≌△CHE,∴AG=CH(2)連接ED、OF、OBBGOxHyEACFD,BGOxHyEACFD∴ED=EQ\F(1,2)AB=EQ\F(1,2),且ED∥AB∴∠EDO=∠BAO=90°,∴ED切⊙O于D又直線(xiàn)GH切⊙O于F,∴EF=ED=EQ\F(1,2)又∵HC是⊙O的切線(xiàn),∴HF=HC設(shè)AG=m,則HC=HF=AG=m,OG=2-m,由(1)可知,EH=EG,∴EG=EQ\F(1,2)+m,F(xiàn)G=1+m在Rt△OFG中,OG2=OF2+FG2∴(2-m)2=12+(1+m)2,解得m=EQ\F(1,3),∴OG=2-m=EQ\F(5,3),∴點(diǎn)G坐標(biāo)為(EQ\F(5,3),0)設(shè)直線(xiàn)GH的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,將點(diǎn)E(1,EQ\F(1,2))、G(EQ\F(5,3),0)代入得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(EQ\F(1,2)=k+b,0=EQ\F(5,3)k+b))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(k=-EQ\F(3,4),b=EQ\F(5,4))),∴直線(xiàn)GH的函數(shù)關(guān)系式為y=-EQ\F(3,4)x+EQ\F(5,4)(3)連接BG,作∠BAO的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)M,交BG于點(diǎn)P由(2)知,BH=EQ\F(5,3),GH=EQ\F(5,3),∴BH=GH,∴∠HBG=∠HGB∵BC∥OA,∴∠HBG=∠AGB,∴∠HGB=∠AGB,即GB平分∠HGA,∴點(diǎn)P即為所求圓的圓心∵AM平分∠BAO,∴∠BAM=45°∴MB=AB=1,∴MC=1,∴M(1,1)BGOxHyEACFDPMBGOxHyEACFDPM則eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(0=2k1+b1,1=k1+b1))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(k1=-1,b1=2))∴y=-x+2設(shè)直線(xiàn)BG的函數(shù)關(guān)系式為y=k2x+b2∵B(2,1)、G(EQ\F(5,3),0)∴eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(1=2k2+b2,0=EQ\F(5,3)k2+b2))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(k2=3,b1=-5)),∴y=3x-5由eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(y=-x+2,y=3x-5))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(x=EQ\F(7,4),y=EQ\F(1,4)))∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(EQ\F(7,4),EQ\F(1,4)),∴⊙P的半徑為EQ\F(1,4)29.已知:如圖,在菱形ABCD中,AB=2eq\r(,3),∠A=60°,以點(diǎn)D為圓心的⊙D與邊AB相切于點(diǎn)E.(1)求證:⊙D與邊BC也相切;(2)設(shè)⊙D與BD相交于點(diǎn)H,與邊CD相交于點(diǎn)F,連接HF,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π);(3)⊙D上一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)F出發(fā),按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)半周,當(dāng)S△HDF=eq\r(,3)S△MDF時(shí),求動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)(結(jié)果保留π).DDCBAEMHF(1)證明:連接DE,過(guò)點(diǎn)D作DN⊥BC于NDCBAEMHFNGDCBAEMHFNG∵邊AB與⊙D相切于點(diǎn)E,∴DE⊥AB,∴DN=DE∴⊙D與邊BC也相切(2)解:∵四邊形ABCD是菱形,∴AD=AB=2eq\r(,3)∵∠A=60°,∴DE=AD·sin60°=3,即⊙D的半徑是3又∵∠HDF=EQ\F(1,2)∠CDA=60°,DH=DF,∴△HDF是等邊三角形DCBAM1HFM2P過(guò)H作HG⊥DF于G,則HG=3×sin60°=EQ\F(3eq\r(,3),DCBAM1HFM2P∴S△HDF=EQ\F(1,2)×3×EQ\F(3eq\r(,3),2)=EQ\F(9eq\r(,3),4),S扇形HDF=EQ\F(60×π×32,360)=EQ\F(3π,2)∴S陰影=S扇形HDF-S△HDF=EQ\F(3π,2)-EQ\F(9eq\r(,3),4)=EQ\F(6π-9eq\r(,3),4)(3)假設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M1時(shí),滿(mǎn)足S△HDF=eq\r(,3)S△M1DF過(guò)點(diǎn)M1作M1P⊥DF于P,則EQ\F(9eq\r(,3),4)=eq\r(,3)×EQ\F(1,2)×3×M1P∴M1P=EQ\F(3,2),∴∠FDM1=30°,此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為:l1=EQ\F(30×π×3,180)=EQ\F(π,2)過(guò)點(diǎn)M1作M1M2∥DF交⊙D于點(diǎn)M2,則滿(mǎn)足S△HDF=eq\r(,3)S△M1DF=eq\r(,3)S△M2DF此時(shí)∠FDM2=150°,點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為:l,2=EQ\F(150×π×3,180)=EQ\F(5π,2)綜上所述,當(dāng)S△HDF=eq\r(,3)S△MDF時(shí),動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為EQ\F(π,2)或EQ\F(5π,2)30.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)M(4,4),直線(xiàn)y=-EQ\F(3,4)x+b過(guò)點(diǎn)M,分別交x軸、y軸于B、C兩點(diǎn),以點(diǎn)A為圓心,AM為半徑作⊙A.(1)⊙M的半徑為_(kāi)________,b=_________;(2)判斷直線(xiàn)BC與⊙A的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(3)若EF切⊙A于點(diǎn)F,分別交線(xiàn)段AB、BC于點(diǎn)G、E,且FE⊥BC,求EQ\F(FG,EG)的值.(4)若點(diǎn)P在⊙A上,點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)且在點(diǎn)C下方,當(dāng)△PQM為等腰直角三角形時(shí),直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo).CABCABMOxy備用圖CABMOxy備用圖CABMOxy(1)57(2)直線(xiàn)BC與⊙A相切理由如下:對(duì)于y=-EQ\F(3,4)x+7,當(dāng)x=0時(shí),y=7;當(dāng)y=0時(shí),x=EQ\F(28,3)BAMOxyCH∴B(EQ\F(28,3),0),C(0,7),∴OB=EQ\F(28,3),OC=BAMOxyCH連接AM,過(guò)M作MH⊥x軸于H則AH=3,BH=EQ\F(28,3)-4=EQ\F(16,3),MH=4,∴EQ\F(AH,MH)=EQ\F(MH,BH)=EQ\F(3,4)又∠AHM=∠MHB=90°,∴△AMH∽△MBH∴∠MAH=∠BMH∵∠AMH+∠MAH=90°,∴∠AMH+∠BMH=90°,即AM⊥BC∴直線(xiàn)BC與⊙A相切CABMOxCABMOxEyFG∵EF切⊙A于點(diǎn)F,∴∠AFG=90°又∵AM⊥BC,EF⊥BC,∴四邊形AFEM是矩形∴∴EF=AM=5,AF∥BC∴∠GAF=∠CBO∴FG=AF·tan∠GAF=AF·tan∠CBO=5×EQ\F(3,4)=EQ\F(15,4)∴EG=EF-FG=5-EQ\F(15,4)=EQ\F(5,4),∴EQ\F(FG,EG)=3AMOxyP(Q)(4)(0,0)或(0,2)或(0,-8)或(0,3-AMOxyP(Q)提示:①當(dāng)∠PQM=90°時(shí),MQ=PQ∵M(jìn)(4,4),∴∠MOB=45°由對(duì)稱(chēng)性知,M、P兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)∴點(diǎn)Q與原點(diǎn)O重合∴Q(0,0)②當(dāng)∠PMQ=90°時(shí),MQ=MP作MH⊥x軸于H,MG⊥y軸于G,則MG=MH,∠GMH=90°AMOxyPHQG∴∠GMQ=AMOxyPHQG∴△MGQ≌△MHP,∴∠MHP=∠MGQ=90°∴點(diǎn)P在x軸的正半軸上,即點(diǎn)P是⊙A與x軸正半軸的交點(diǎn)∴GQ=HP=5+1-4=2,∴QO=4-2=2∴Q(0,2)③當(dāng)∠MPQ=90°時(shí),PM=PQ設(shè)P(m,n),Q(0,t),分兩種情況:AMOxyPQGHAMOxyPQGH作PG⊥y軸于G,MH⊥PG于H,則△PGQ≌△MHP,得:eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(m-4=n-t①,4-n=m②,(m-1)2+n2=52③))AMOxyPHQG由②、③解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(m=EQ\F(5-eq\r(,41),2),n=EQ\F(3+eq\r(,41),2)))(舍去)eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(m=EQ\F(5+eq\r(,41),2),n=EQ\F(3-eq\r(,41),2)))AMOxyPHQGAMOxyPHQ把m=EQ\F(5+eq\r(,41),2),n=EQ\F(3-eq\r(,41),2)代入①,得t=3-eq\r(,41)AMOxyPHQ∴Q(0,3-eq\r(,41))ii)若點(diǎn)P在y軸左側(cè)的⊙A上,則:eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(4-m=n-t④,4-n=-m⑤,(m-1)2+n2=52⑥))由⑤、⑥解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(m=1,n=5))(舍去)eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(m=-4,n=0))把m=-4,n=0代入④,得t=-8∴Q(0,-8)綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,0)或(0,2)或(0,-8)或(0,3-eq\r(,41))33.已知⊙O是△ABC的外接圓,點(diǎn)P是⊙O上的任意一點(diǎn)(不與A、B、C重合),⊙P在△ABC的外部且與△ABC相鄰的一邊相切,⊙P稱(chēng)為△ABC的“衛(wèi)星圓”.過(guò)與P相鄰的△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)作⊙P的切線(xiàn)交于S,兩切線(xiàn)和與⊙P相切的一邊組成的三角形稱(chēng)為△ABC的“衛(wèi)星三角形”(如圖1中的△SAC).(1)如圖1,若△ABC為等邊三角形,⊙O的半徑為r.①∠S的大小是否發(fā)生變化,若無(wú)變化,求∠S的大小,若有變化,說(shuō)明變化趨勢(shì);②當(dāng)點(diǎn)P在劣弧AC上運(yùn)動(dòng)時(shí),⊙P與邊AC相切于D點(diǎn),設(shè)AD=x,⊙P的半徑為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)如圖2,若△ABC中,AC=BC,∠C=120°,⊙O的半徑為r,點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上,⊙P與直線(xiàn)AB相切(切點(diǎn)不是A、B),求“衛(wèi)星三角形”的面積最大值.PPBACOS圖1DAACBO圖2解:(1)①∠S的大小不變PBACOSDPBACOSD∵△ABC為等邊三角形,∴∠B=60°∴∠APC=120°在△APC中,∠APC=180°-(∠PAC+∠PCA)=180°-EQ\F(1,2)(∠SAC+∠SCA)=180°-EQ\F(1,2)(180°-∠S)=90°+EQ\F(1,2)∠S∴90°+EQ\F(1,2)∠S=120°,∴∠S=60°PBACOSPBACOSDMNPBACOSDMN∴∠S的大小不變,始終等于60°②連接OC、OP、PD,作OM⊥AC于M,ON⊥PD于N則四邊形OMDN是矩形,∴DN=OM,ON=DM∵△ABC為等邊三角形,∴∠OCM=30°∴OM=EQ\F(1,2)r,AM=CM=EQ\F(eq\r(,3),2)r當(dāng)x<EQ\F(eq\r(,3),2)r時(shí),ON=EQ\F(eq\r(,3),2)r-x,PN=y(tǒng)+EQ\F(1,2)r在Rt△ONP中,ON2+PN2=OP2∴(EQ\F(eq\r(,3),2)r-x2+(y+EQ\F(1,2)r2=r2∴y=eq\r(,-x2+eq\r(,3)r+EQ\F(1,4)r2)-EQ\F(1,2)r當(dāng)EQ\F(eq\r(,3),2)r≤x<eq\r(,3)r時(shí),ON=x-EQ\F(eq\r(,3),2)r,PN=y(tǒng)+EQ\F(1,2)r,同理可得y=eq\r(,-x2+eq\r(,3)r+EQ\F(1,4)r2)-EQ\F(1,2)r綜上,y=eq\r(,-x2+eq\r(,3)r+EQ\F(1,4)r2)-EQ\F(1,2)r(2)當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到優(yōu)弧AB中點(diǎn)時(shí),⊙P的半徑最大,從而“衛(wèi)星三角形”的面積最大分別過(guò)點(diǎn)A、B作⊙P的切線(xiàn)交于S,則△SAB是△ABC的“衛(wèi)星三角形”ACBOPDSEA連接PA、PB、OA、ACBOPDSEA∵AC=BC,∴OC⊥AB,AD=BD∵∠ACB=120°,∴∠DAC=30°,∠ACD=60°∵OA=OC,∴△OAC是等邊三角形∴∠OAD=30°,AD=EQ\F(eq\r(,3),2)r,∴AB=eq\r(,3)r∵∠ACB=120°,∴∠P=60°,△PAB是等邊三角形∵SA、AB是⊙P的切線(xiàn),∴∠PAE=∠PAB=60°∴∠SAB=60°同理,∠SBA=60°,∴△SAB是等邊三角形∴S△SAB=EQ\F(eq\r(,3),4)AB2=EQ\F(3eq\r(,3),4)r2即“衛(wèi)星三角形”面積的最大值為EQ\F(3eq\r(,3),4)r234.已知紙片⊙O的半徑為2,如圖1,沿弦AB折疊操作.(1)如圖2,當(dāng)折疊后的EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))經(jīng)過(guò)圓心O時(shí),求EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))的長(zhǎng);(2)如圖3,當(dāng)弦AB=2時(shí),求折疊后EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))所在圓的圓心O′到弦AB的距離;(3)在圖1中,再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作.①如圖4,當(dāng)AB∥CD,折疊后的EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))與EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))所在圓外切于點(diǎn)P時(shí),設(shè)點(diǎn)O到弦AB、CD的距離之和為d,求d的值;②如圖5,當(dāng)AB與CD不平行,折疊后的EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))與EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))所在圓外切于點(diǎn)P時(shí),設(shè)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),點(diǎn)N為CD的中點(diǎn).試探究四邊形OMPN的形狀,并證明你的結(jié)論.圖3O圖3OBAO′OBA圖1圖2BAOABAB圖5DOPMCNOAB圖4CDP圖1BAOE解:(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E,連接OA、圖1BAOE∵點(diǎn)E與點(diǎn)O關(guān)于AB對(duì)稱(chēng),∴△OAE、△OBE為等邊三角形∴∠OEA=∠OEB=60°∴EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))的長(zhǎng)為:EQ\F(120π×2,180)=EQ\F(4π,3)(2)如圖2,連接O′A、O′B∵EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))折疊前后所在的圓⊙O與⊙O′是等圓圖2OBAO′E∴O′A=O′圖2OBAO′E∴△AO′B為等邊三角形∴O′E=O′B·sin60°=eq\r(,3)(3)①如圖3,當(dāng)EQ\o\ac(CPD,\s\up9(︵))與EQ\o\ac(APB,\s\up9(︵))所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AB交EQ\o\ac(AEB,\s\up9(︵))于點(diǎn)E,交EQ\o\ac(CFD,\s\up9(︵))于點(diǎn)F∵AB∥CD,∴EF垂直平分CD,且必過(guò)點(diǎn)POAB圖3CDPEHGF根據(jù)垂徑定理及折疊,可知PH=EQ\F(1,2)PE,PG=EQ\F(1,OAB圖3CDPEHGF又∵EF=4,∴點(diǎn)O到AB、CD的距離之和d為:d=PH+PG=EQ\F(1,2)PE+EQ\F(1,2)PF=EQ\F(1,2)(PE+PF)=2②如圖4,當(dāng)AB與CD不平行時(shí),四邊形OMPN是平行四邊形證明如下:AB圖4DOPO′O″NMC設(shè)O′、O″為EQ\o\ac(APB,\s\up9(︵))和EQ\o\ac(AB圖4DOPO′O″NMC∵O′與O關(guān)于AB對(duì)稱(chēng),O″與O關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)∴M為OO′的中點(diǎn),N為OO″的中點(diǎn)∵EQ\o\ac(CPD,\s\up9(︵))與EQ\o\ac(APB,\s\up9(︵))所在圓外切,∴連心線(xiàn)O′O″必過(guò)切點(diǎn)P∵EQ\o\ac(CPD,\s\up9(︵))與EQ\o\ac(APB,\s\up9(︵))所在圓與⊙O都是等圓,∴O′P=O″P=2∴PM=EQ\F(1,2)OO″=ON,PM∥OO″,也即PM∥ON∴四邊形OMPN是平行四邊形40.如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,過(guò)CD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)E作⊙O的切線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F,切點(diǎn)為G,連接AG交CD于K.OGDEACBFOGDEACBFHK(2)若KG2=KD·GE,試判斷AC與EF的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(3)在(2)的條件下,若sinE=EQ\F(3,5),AK=2eq\r(,5),求FG的長(zhǎng).解:(1)連接OGOGDEACBFHK∵EFOGDEACBFHK∴∠OGA+∠KGE=90°∵CD⊥AB,∴∠OAG+∠HKA=90°∵OA=OG,∴∠OGA=∠OAG∴∠KGE=∠HKA,∴KE=GE(2)AC與EF的位置關(guān)系是AC∥EF理由如下:連接DG∵KG2=KD·GE=KD·KE,∴EQ\F(KG,KD)=EQ\F(KE,KG)∵∠DKG=∠GKE,∴△KDG∽△KGE,∴∠AGD=∠E又∵在⊙O中,∠AGD=∠ACD,∴∠E=∠ACD,∴AC∥EF(3)∵∠ACH=∠E,∴sin∠ACH=sinE=EQ\F(3,5)在Rt△ACH中,設(shè)AH=3t,則AC=5t,CH=4t由AC∥EF,易得△ACK是等腰三角形,CK=AC=5t∴HK=CK-CH=t在Rt△AHK中,由勾股定理得AH2+HK2=AK2即(3t)2+t2=(2eq\r(,5))2,解得t=eq\r(,2)∴AH=3eq\r(,2),CA=CK=5eq\r(,2)連接BC由△ACH∽△ABC,得AC2=AH·AB(或由射影定理得)∴AB=EQ\F(AC2,AH)=EQ\F((5eq\r(,2))2,3eq\r(,2))=EQ\F(25eq\r(,2),3)在Rt△EFH中,由sinE=EQ\F(3,5)
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