高中生數(shù)學(xué)逆向思維能力發(fā)展現(xiàn)狀的調(diào)查與分析

高中生數(shù)學(xué)逆向思維能力發(fā)展現(xiàn)狀的調(diào)查與分析

1逆向思維策略的應(yīng)用現(xiàn)狀所謂思維，是指大腦客觀事物的性質(zhì)、相互關(guān)系及其內(nèi)在規(guī)律的概括和反映。反向思維是指與傳統(tǒng)積極思維方向相反的思維過程，即通常被稱為“相反的想法”或“相反的想法”。數(shù)學(xué)的反向思維有兩個(gè)特點(diǎn)。（1）“反致性”，即反演思維，如反演思維、反演思維方法、反傳統(tǒng)思維方式和反序列轉(zhuǎn)化等。（2）“雙向性”，即反向交叉思維。在解決問題過程中，考慮到兩個(gè)對(duì)立的概念、算術(shù)和理性的交叉，我們可以將思維從方向轉(zhuǎn)到另一方向。前蘇聯(lián)心理學(xué)家克魯?shù)俅幕难芯勘砻?，反演思維方式（從順向思想序列轉(zhuǎn)變?yōu)榉聪蛩季S序列）的能力是九個(gè)數(shù)學(xué)技能之一。具有這種數(shù)學(xué)技能的學(xué)生顯然能夠快速、敏銳地重建思維方向，并具有思維過程中可逆性的能力。對(duì)于那些沒有技能的學(xué)生來說，這個(gè)過程很難完成。于平教授認(rèn)為，運(yùn)用反向思維策略解決正思維中難以解決的問題。運(yùn)用分析、反演法、反證法、同一法、相反、逆用變量和變量變換法是反向思維策略的具體應(yīng)用。隨著時(shí)代的發(fā)展,為了求新求異,人們對(duì)許多問題的思考都是以逆向思維方式進(jìn)行的,諸如投資理財(cái)、廣告策劃等.逆向思維作為創(chuàng)新思維的一種特殊形式,正變得與人們的生活息息相關(guān).對(duì)于處在青少年階段的高中學(xué)生,其思維方式、方法和品質(zhì)日趨成熟與穩(wěn)定,培養(yǎng)逆向思維能力,將有助于改善學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式,形成良好的思維品質(zhì),激發(fā)學(xué)生開拓創(chuàng)新精神,使學(xué)生將來能適應(yīng)社會(huì)需要.當(dāng)前國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教育界,對(duì)逆向思維的研究,更多關(guān)注的是其在解題中的運(yùn)用,偏重于理論層面的探討,實(shí)證研究寥寥可數(shù).有研究表明,四川省6年級(jí)小學(xué)生的數(shù)學(xué)逆向思維能力較差,約有20%的學(xué)生不能發(fā)現(xiàn)可以運(yùn)用乘法分配律化簡(jiǎn)并計(jì)算.那么目前高中生數(shù)學(xué)逆向思維能力的狀況如何?高中生在運(yùn)用逆向思維策略解題時(shí)存在哪些薄弱點(diǎn)?文章試圖通過調(diào)查分析給出答案.2學(xué)習(xí)方法2.1有效試卷的提出隨機(jī)抽取揚(yáng)州市不同層次的3所學(xué)校的高一、高二年級(jí)6個(gè)班的學(xué)生作為測(cè)試對(duì)象,剔除無效試卷,得到有效試卷304份,其中男生146人,女生158人.2.2建立個(gè)問題決定模型測(cè)試卷的目的是通過了解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)逆向思維策略的掌握和運(yùn)用,考察其逆向思維能力.經(jīng)查閱相關(guān)文獻(xiàn),結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容,確定5個(gè)問題,分別涉及公式的逆用(問題1)、補(bǔ)集思想(問題2)、常量與變量換位(問題3)、找反例(問題4)、反證法(問題6),同時(shí)增加一道趣味問題(問題5),以提高測(cè)試卷的效度.正式測(cè)試前,選擇非樣本對(duì)象進(jìn)行預(yù)測(cè),根據(jù)測(cè)試結(jié)果降低了個(gè)別題目的難度.2.3測(cè)試和訪談.調(diào)查于2011年12月份展開,采取隨機(jī)整群抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查,測(cè)試時(shí)間50分鐘.為了測(cè)試和統(tǒng)計(jì)出較可靠的信息,在測(cè)試卷頭設(shè)置了統(tǒng)一的指導(dǎo)語,明確要求學(xué)生從相反或否定方面探索問題.測(cè)試結(jié)束后,在不同層次學(xué)校的學(xué)生中各隨機(jī)挑選5名學(xué)生就平時(shí)解題中對(duì)逆向策略的運(yùn)用情況,以及測(cè)試中選擇相應(yīng)解題策略的原因進(jìn)行訪談.2.4思維和思維有利于測(cè)定思維過程一般分為3個(gè)基本原則,提出測(cè)試卷評(píng)估的重點(diǎn)是學(xué)生思維的可逆性和和雙向性,同時(shí)關(guān)注計(jì)算結(jié)果的正確性.每題學(xué)生得到的最高分是1分,表示思維過程體現(xiàn)可逆性和雙向性,并且計(jì)算完全正確;0.75分表示思維過程體現(xiàn)一定的可逆性和雙向性,過程比較完整,計(jì)算正確;0.5表示思維比較完整,體現(xiàn)一定的可逆性和雙向性,計(jì)算不正確:0.25表示思維過程不完整,僅僅體現(xiàn)部分的可逆性或雙向性,計(jì)算不正確;0分表示學(xué)生沒有答題.如果學(xué)生的回答沒有體現(xiàn)思維的可逆性和雙向性,即使答案正確仍為0分.所有數(shù)據(jù)采用SPSS17.0進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.3結(jié)果分析3.1不同逆向策略之間的比較高中生數(shù)學(xué)逆向思維能力的總體狀況如表1所示.測(cè)試卷總分6分,統(tǒng)計(jì)表明,最高分5分,最低分0.5分,平均分2.31分,處于中等偏下的水平.各逆向策略平均分由高到低依次為:公式的逆用(0.62)、補(bǔ)集思想(0.29)、常量與變量換位(0.26)、找反例(0.21)、反證法(0.15),可以發(fā)現(xiàn),從補(bǔ)集思想開始,學(xué)生的得分迅速下降.為了檢驗(yàn)各策略之間是否存在顯著性差異,采用單因素方差分析對(duì)被試在5種逆向策略的得分進(jìn)行比較.以5種逆向策略為自變量,分別用數(shù)字1～5來表示,依據(jù)測(cè)試卷評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算出被試在各策略上的得分,命名為score,以score為因變量.將數(shù)據(jù)作方差齊性檢驗(yàn),因變量(score)的顯著性水平小于0.05,各逆向策略的方差為非齊性,因此采用方差不齊假設(shè)下的Tamhane法進(jìn)行多重比較,結(jié)果見表2.多重比較結(jié)果顯示:公式的逆用與其它4種策略之間都存在顯著性差異,補(bǔ)集思想與反證法之間也存在顯著性差異,其它各逆向思維策略之間的差異不顯著.總的來說,學(xué)生對(duì)公式的逆用掌握的最好,其它逆向思維策略的掌握情況都不盡如人意,其中反證法最為薄弱.3.2普爾姆相關(guān)系數(shù)其中數(shù)學(xué)成績(jī)以被試期末數(shù)學(xué)統(tǒng)考成績(jī)?yōu)橹笜?biāo),結(jié)果如表3所示.從表3可看出,學(xué)生數(shù)學(xué)逆向思維能力與學(xué)習(xí)成績(jī)之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.281,達(dá)到了Sig.<0.05的顯著性水平(Sig.=0.031),兩者的關(guān)系在統(tǒng)計(jì)學(xué)上具有顯著意義,但一般認(rèn)為,相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值低于0.3時(shí)可以忽略自變量的影響.因此,總的來說,兩者之間基本不存在相關(guān)性.這表明目前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)仍以正向思維訓(xùn)練為主,逆向思維的培養(yǎng)沒有得到重視,兩者的發(fā)展不平衡.3.3男女學(xué)生找反例能力比較為考察學(xué)生數(shù)學(xué)各逆向思維策略在不同主效應(yīng)下的差異和變化,引入性別作為特征變量進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn),結(jié)果如表4所示.從表4中可發(fā)現(xiàn),男生在找反例能力上極其顯著的高于女生,而女生對(duì)常量與變量換位的運(yùn)用要好于男生,并且差異顯著.相比之下,男生更喜歡獨(dú)立思考,發(fā)表不同意見,思維更具有批判性,但女生具有較強(qiáng)的記憶力,對(duì)課堂教學(xué)內(nèi)容印象深刻.4學(xué)生的測(cè)試卷以上數(shù)據(jù)分析表明,除了公式的逆用,學(xué)生對(duì)其他逆向策略的運(yùn)用都不盡如人意.那數(shù)據(jù)背后,學(xué)生的解答情況到底如何?有哪些特點(diǎn)?存在哪些典型錯(cuò)誤?為了弄清這些問題,下面對(duì)學(xué)生的測(cè)試卷進(jìn)行再分析.4.1要注重從反常現(xiàn)象產(chǎn)生的學(xué)習(xí)方式.問題2:己知集合A={x|x2+3x-18>0},B={x|(x-k)(x-k-1)≤0},若A∩B≠Φ,求k的取值范圍是什么.題目正確率為29.6%,有62%的學(xué)生傾向于在解出A、B集合的范圍后,根據(jù)A∩B≠Φ直接跳步得到k<-6或k+1>3,但不少學(xué)生因此產(chǎn)生錯(cuò)誤,如圖1.不可否認(rèn),此題難度不大,學(xué)生完全可以結(jié)合數(shù)軸上A集合的范圍跳步作答,但多數(shù)學(xué)生忽略指導(dǎo)語的提示,選擇直接作答,從中不難看出,學(xué)生受正向思維定勢(shì)的影響,缺少從反面思考問題的意識(shí)和習(xí)慣.正如心理學(xué)家N·R·F·梅伊爾在研究過去經(jīng)驗(yàn)對(duì)于問題解決過程的作用時(shí)所指出的:“一個(gè)人不會(huì)解一道題,不是因?yàn)樗荒苷业揭环N解法,而在于他習(xí)慣的運(yùn)算方法妨礙了他去想出恰當(dāng)?shù)慕忸}方法.”4.2對(duì)計(jì)算錯(cuò)誤的處理問題3:設(shè)不等式mx2-2x-m+1<0對(duì)于滿足-2≤m≤2的m值都成立,求x的取值范圍.此題的正確率為22.5%,圖2就是一名學(xué)生正確的答題過程.反觀學(xué)生的錯(cuò)誤,主要有兩種:策略性錯(cuò)誤(30%)和過程性錯(cuò)誤(27%),前者是將m視為參數(shù)進(jìn)行分離,后者是知道要將m和x換位,但在解題過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤,對(duì)第二鐘錯(cuò)誤的分析發(fā)現(xiàn),除了計(jì)算錯(cuò)誤,更多學(xué)生是沒有真正弄懂為什么要這樣做,對(duì)方法的運(yùn)用還停留在記憶的層面,如圖3.比較發(fā)現(xiàn),兩鐘解法的區(qū)別在于對(duì)m“角色”的定位,前者將(x2-1)m-2x+1看成關(guān)于m的一次函數(shù),數(shù)形結(jié)合流暢地解決問題,而后者表面上也將函數(shù)整理成關(guān)于m的一次函數(shù)形式,甚至還畫出函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線圖像,但接下來卻沒有抓住m主變量的角色加以討論,解答的過程前后兩部分出現(xiàn)“斷鏈”,這說明學(xué)生還沒有建立起對(duì)這一方法的實(shí)質(zhì)性理解.聯(lián)想到預(yù)測(cè)中的一道題:解關(guān)于x的方程█,全班54人沒有1人采用常量與變量換位的方法,即使能做對(duì)也都是通過因式分解得到█解出x,正式測(cè)試時(shí)刪去此題.看得出來,學(xué)生不善于解答此類問題,究其原因,主要是平時(shí)接觸較少,導(dǎo)致學(xué)生對(duì)這種常量與變量換位的思考方式很不適應(yīng),更深層次的原因在于學(xué)生靜態(tài)的數(shù)學(xué)觀抑制了思維的靈活性.所謂靜態(tài)的數(shù)學(xué)觀,即人們往往把數(shù)學(xué)等同于數(shù)學(xué)知識(shí)(特別是“事實(shí)性結(jié)論”)的匯集,用孤立的、靜止的和片面的觀點(diǎn)看待問題.它以一種不易察覺的方式影響學(xué)生的解題,學(xué)生對(duì)變量與常量的關(guān)系容易產(chǎn)生先入為主的印象,認(rèn)為“數(shù)學(xué)就應(yīng)該這樣”,這一點(diǎn)在隨后的訪談中也得到了證實(shí).4.3圖像對(duì)逆向思維能力的影響問題4:設(shè)△ABC三邊長(zhǎng)分別是a、b、c,且a+1/a=b+1/b=c+1/c,則此三角形一定是正三角形嗎?請(qǐng)說明理由.此題找個(gè)反例a=1/b,就能輕松否定結(jié)論,但僅有19%的學(xué)生做對(duì),居然有53%的學(xué)生證明了此三角形一定是正三角形,如圖4.從證明過程中發(fā)現(xiàn),學(xué)生曾推出ab=1,但未作深入思考,很快又否定了.命題證明的心理分析表明,在命題檢驗(yàn)中,人表現(xiàn)出強(qiáng)烈的證實(shí)傾向,即極力證實(shí)命題為真,而很少嘗試證偽,即不習(xí)慣用反例駁倒命題.研究過程中也印證了這一結(jié)論.出乎意料的是有學(xué)生通過畫函數(shù)圖像找到反例,如圖5.這可以說是一個(gè)意外收獲,但如果站在學(xué)生的角度分析,其實(shí)是情理之中的,因?yàn)榭此戚p松的反例,對(duì)沒有逆向思維習(xí)慣的學(xué)生來說是很難發(fā)現(xiàn)的,正是借助于直觀圖像才使得學(xué)生的思考有所依據(jù),推理得以進(jìn)行.事實(shí)上,在對(duì)前兩題的分析過程中,也產(chǎn)生了這樣的深切感受,即如果學(xué)生在解答中借助于圖像往往會(huì)增加正確的機(jī)率.那學(xué)生頭腦中暴露出來的這一解法又能給教師的教學(xué)帶來哪些啟示呢?不妨先剖析一下學(xué)生的認(rèn)知過程:在問題表征階段,包括理解題目的字面含義和識(shí)別題目的類型為探索型問題,模式識(shí)別階段.對(duì)題目中所給的材料a+1/a=b+1/b=c+1/c進(jìn)行概括,發(fā)現(xiàn)熟悉的函數(shù)模型y=x+1/x,在長(zhǎng)時(shí)記憶中提取相應(yīng)的函數(shù)圖像,之前對(duì)函數(shù)圖像性質(zhì)的了解幫助學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)x=1/█和x=2時(shí)函數(shù)值相等,從而找到反例,實(shí)現(xiàn)解題的遷移,解題監(jiān)控貫穿整個(gè)的解題過程.可以看出在這一過程中,學(xué)生的概括能力、知識(shí)基礎(chǔ)(特別是圖像)和以往解題經(jīng)驗(yàn)起到了關(guān)鍵性的作用,而這些正是來自他之前所受的正向的思維訓(xùn)練.因此,正向思維與逆向思維并不完全對(duì)立,兩者的關(guān)系是辯證統(tǒng)一的,逆向思維能力的培養(yǎng)也不應(yīng)該成為一個(gè)獨(dú)立系統(tǒng),而應(yīng)該和正向思維訓(xùn)練相結(jié)合,滲透在常5基于結(jié)論的學(xué)習(xí)建議通過以上的定量分析和定性分析,可得如下結(jié)論:(1)高中生數(shù)學(xué)逆向思維能力總體發(fā)展水平偏低,逆向思維能力與數(shù)學(xué)成績(jī)之間不存在相關(guān)性,各逆向思維策略得分由高到低依次為:公式的逆用、補(bǔ)集思想、常量與變量換位、找反例、反證法,其中公式的逆用與其它策略之間,補(bǔ)集思想與找反例之間均存在顯著性差異.男女生在逆向思維策略的運(yùn)用上各有千秋,男生找反例的能力極其顯著優(yōu)于女生,而女生對(duì)常量與變量換位的運(yùn)用顯著好于男生,其它方面不存在顯著性差異.(2)高中生缺少從反面考慮問題的意識(shí)和習(xí)慣,這在具體問題的定性分析中顯露無疑,學(xué)生在命題檢驗(yàn)中傾向于證實(shí)命題為真,很少嘗試舉反例,這與心理學(xué)研究的結(jié)論是一致的.學(xué)生對(duì)常量與變量換位的策略存在理解上的障礙,接受起來沒有想象中簡(jiǎn)單.定性分析還發(fā)現(xiàn),學(xué)生在正向思維訓(xùn)練中所獲得的概括能力、知識(shí)基礎(chǔ)(特別是圖像)和解題經(jīng)驗(yàn)保證了逆向思維順利進(jìn)行,正逆兩種思維的關(guān)系辨證而統(tǒng)一,這糾正了研究者先前對(duì)兩種思維關(guān)系的片面認(rèn)識(shí),同時(shí)為教學(xué)提供了重要的啟示.基于研究所得結(jié)論,為提高學(xué)生的逆向思維能力,給出如下建議:(1)觀念保證.觀念指導(dǎo)行動(dòng),學(xué)生的數(shù)學(xué)觀就像一只無形的手指引著學(xué)習(xí)過程,深刻影響著學(xué)習(xí)的結(jié)果.要發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力,教師首先要幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)由靜態(tài)數(shù)學(xué)觀向動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀的轉(zhuǎn)變.所謂動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀,即數(shù)學(xué)體現(xiàn)著人類的發(fā)明與創(chuàng)造,數(shù)學(xué)是一個(gè)有內(nèi)部聯(lián)系的、動(dòng)態(tài)發(fā)展的學(xué)科.一般認(rèn)為,教師的數(shù)學(xué)觀會(huì)直接影響學(xué)生的數(shù)學(xué)觀,因此,要轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀,教師自己首先要形成動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀,要不斷加強(qiáng)理論學(xué)習(xí),開闊數(shù)學(xué)視野,并將自身的感悟融入教學(xué)實(shí)踐中,結(jié)合具體問題,培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的、運(yùn)動(dòng)變化的、辯證的觀點(diǎn)看待問題,潛移默化地影響學(xué)生的數(shù)學(xué)觀.(2)習(xí)慣養(yǎng)成.眾所周知,習(xí)慣的養(yǎng)成非一朝一夕的事.教師應(yīng)將對(duì)學(xué)生逆向思維習(xí)慣的培養(yǎng),滲透在常規(guī)教學(xué)活動(dòng)中,如在命題教學(xué)中,當(dāng)正向探究結(jié)束后,要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)原命題作逆向探究,或者引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造反例駁倒似是而非的命題;在解題教學(xué)中,進(jìn)行變式訓(xùn)練,對(duì)調(diào)題目中條件和結(jié)論讓學(xué)生逆向探究等.這種經(jīng)常性的反方向思維運(yùn)動(dòng)有助于增強(qiáng)學(xué)生逆轉(zhuǎn)心理過程的能力,養(yǎng)成從反面思考問題的習(xí)慣.(3)方法培育.建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀認(rèn)為,學(xué)習(xí)并非學(xué)生對(duì)教師所授予知識(shí)的被動(dòng)接受,而是以其己有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu).反復(fù)操練與強(qiáng)制灌輸無助于學(xué)生對(duì)逆向策略的理解和掌握,因此,教師在傳授逆向策略時(shí),不妨可以運(yùn)用一下“逆向策略”,即先順應(yīng)學(xué)生的思維習(xí)慣,從正面解答,然后啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生變換角度逆向解答,并因勢(shì)利導(dǎo)讓學(xué)生對(duì)兩種方法做出比較,讓學(xué)生在思維的碰撞中體驗(yàn)到逆向策略的妙處,自覺完成對(duì)思維方式的重構(gòu),舍得之間,方