河南省信陽市羅山縣彭新鎮(zhèn)一中2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

河南省信陽市羅山縣彭新一中2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（解析版）一、選擇題（每小題3分，共30分.下列各小題均有四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的.）1．（3分）若方程（m﹣1）x2+x＝1是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是（）A．m≠1 B．m≥0 C．m≥0且m≠1 D．m為任意正實(shí)數(shù)2．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可變形為（）A．（x+4）2＝17 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝153．（3分）方程x2﹣3＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝3，x2＝﹣3 C． D．4．（3分）已知命題“關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+1＝0，當(dāng)b＜0時(shí)必有實(shí)數(shù)解”，能說明這個(gè)命題是假命題的一個(gè)反例可以是（）A．b＝﹣1 B．b＝2 C．b＝﹣2 D．b＝05．（3分）下列關(guān)于x的一元二次方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）A．x2+1＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2+2x﹣3＝0 D．4x2﹣4x+1＝06．（3分）若x1＝﹣1是關(guān)于x的方程x2+mx﹣5＝0的一個(gè)根，則此方程的另一個(gè)根x2＝（）A．﹣5 B． C．5 D．﹣7．（3分）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的兩根，下列結(jié)論一定正確的是（）A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜08．（3分）菱形ABCD的一條對(duì)角線長為6，邊AB的長為方程y2﹣7y+10＝0的一個(gè)根，則菱形ABCD的周長為（）A．8 B．20 C．8或20 D．109．（3分）今年我市計(jì)劃擴(kuò)大城區(qū)綠地面積，現(xiàn)有一塊長方形綠地，它的短邊長為60m（長邊不變），使擴(kuò)大后的綠地的形狀是正方形，則擴(kuò)大后的綠地面積比原來增加1600m2．設(shè)擴(kuò)大后的正方形綠地邊長為xm，下面所列方程正確的是（）A．x（x﹣60）＝1600 B．x（x+60）＝1600 C．60（x+60）＝1600 D．60（x﹣60）＝160010．（3分）有一個(gè)兩位數(shù)，它的數(shù)字和等于8，交換數(shù)字位置后，則原來的兩位數(shù)為（）A．26 B．62 C．26或62 D．以上均不對(duì)二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的兩根為x1＝1，x2＝2，則x2+bx+c分解因式的結(jié)果為．12．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣mx+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是．13．（3分）已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12﹣x22＝10，則a＝．14．（3分）一個(gè)三角形的兩邊長為3和4，若第三邊長是方程x2﹣8x+15＝0的一個(gè)根，則這個(gè)三角形的形狀為，面積為．15．（3分）以下是龍灣風(fēng)景區(qū)旅游信息：旅游人數(shù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不超過30人人均收費(fèi)80元超過30人每增加1人，人均收費(fèi)降低1元，但人均收費(fèi)不低于50元根據(jù)以上信息，某公司組織一批員工到該風(fēng)景區(qū)旅游，支付給旅行社2800元．從中可以推算出該公司參加旅游的人數(shù)為．三、解答題16．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）x2﹣2x＝2x+1；（2）x2﹣2x＝3；（3）（x﹣1）（x+3）＝12；（4）（2y+1）2+3（2y+1）+2＝0．17．已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（1）求證：不論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）m為何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根？18．如圖所示，在寬為20m，長為30m的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，若耕地面積需要551m2，求修建的路寬為多少？19．已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b（1）如果x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根．20．如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門，豬舍面積為80m2？21．水果店張阿姨以每斤2元的價(jià)格購進(jìn)某種水果若干斤，然后以每斤4元的價(jià)格出售，每天可售出100斤，這種水果每斤的售價(jià)每降低0.1元，每天可多售出20斤，張阿姨決定降價(jià)銷售．（1）若將這種水果每斤的售價(jià)降低x元，則每天的銷售量是斤（用含x的代數(shù)式表示）；（2）銷售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價(jià)降低多少元？22．“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”．為優(yōu)選品種，提高產(chǎn)量，某農(nóng)業(yè)科技小組對(duì)A，B兩個(gè)品種各種植了10畝．收獲后A，B兩個(gè)品種的售價(jià)均為2.4元/kg，A，B兩個(gè)品種全部售出后總收入為21600元．（1）請(qǐng)求出A，B兩個(gè)品種去年平均畝產(chǎn)量分別是多少？（2）今年，科技小組加大了小麥種植的科研力度，在A，預(yù)計(jì)A，B兩個(gè)品種平均畝產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上分別增加a%和2a%．由于B品種深受市場(chǎng)的歡迎，而A品種的售價(jià)不變．A，B兩個(gè)品種全部售出后總收入將在去年的基礎(chǔ)上增加23．手機(jī)下載一個(gè)APP，繳納一定數(shù)額的押金，就能以每小時(shí)0.5到1元的價(jià)格解鎖一輛自行車任意騎行…最近的網(wǎng)紅非“共享單車”莫屬．共享單車為解決市民出行的“最后一公里”難題幫了大忙，隨意停放、加裝私鎖、大卸八塊等毀壞單車的行為也層出不窮．某共享單車公司一月投入部分自行車進(jìn)入市場(chǎng)，一月底發(fā)現(xiàn)損壞率不低于10%，使可使用的自行車達(dá)到7500輛．（1）一月份該公司投入市場(chǎng)的自行車至少有多少輛？（2）二月份的損壞率達(dá)到20%，進(jìn)入三月份，該公司新投入市場(chǎng)的自行車比二月份增長4a%，毀壞共享單車的行為引起了一場(chǎng)國民素質(zhì)的大討論，三月份的損壞率下降為，三月底可使用的自行車達(dá)到7752輛，求a的值．

參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分.下列各小題均有四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的.）1．（3分）若方程（m﹣1）x2+x＝1是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是（）A．m≠1 B．m≥0 C．m≥0且m≠1 D．m為任意正實(shí)數(shù)【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行解答．【解答】解：依題意得：m﹣1≠0，解得m≠2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．2．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可變形為（）A．（x+4）2＝17 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝15【分析】先移項(xiàng)，再兩邊配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方可得．【解答】解：∵x2﹣8x﹣3＝0，∴x2﹣7x＝1，∴x2﹣5x+16＝1+16，即（x﹣4）3＝17，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．3．（3分）方程x2﹣3＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝3，x2＝﹣3 C． D．【分析】這個(gè)式子先移項(xiàng)，變成x2＝3，從而把問題轉(zhuǎn)化為3的平方根．【解答】解：移項(xiàng)得x2＝3，∴x＝±．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號(hào)且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負(fù)，分開求得方程解”．（2）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)．4．（3分）已知命題“關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+1＝0，當(dāng)b＜0時(shí)必有實(shí)數(shù)解”，能說明這個(gè)命題是假命題的一個(gè)反例可以是（）A．b＝﹣1 B．b＝2 C．b＝﹣2 D．b＝0【分析】先根據(jù)判別式得到Δ＝b2﹣4，在滿足b＜0的前提下，取b＝﹣1得到Δ＜0，根據(jù)判別式的意義得到方程沒有實(shí)數(shù)解，于是b＝﹣1可作為說明這個(gè)命題是假命題的一個(gè)反例．【解答】解：Δ＝b2﹣4，由于當(dāng)b＝﹣5時(shí)，而Δ＜0，所以當(dāng)b＝﹣1時(shí)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式；有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．也考查了根的判別式．5．（3分）下列關(guān)于x的一元二次方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）A．x2+1＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2+2x﹣3＝0 D．4x2﹣4x+1＝0【分析】逐一求出四個(gè)選項(xiàng)中方程的判別式△的值，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：A、在方程x2+1＝2中，Δ＝02﹣5×1×1＝﹣6＜0，∴此方程無解；B、在方程x2+x﹣7＝0中，Δ＝13﹣4×1×（﹣4）＝5＞0，∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；C、在方程x8+2x﹣3＝7中，Δ＝22﹣2×1×（﹣3）＝16＞7，∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；D、在方程4x2﹣7x+1＝0中，Δ＝（﹣4）2﹣4×6×1＝0，∴此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，熟練掌握“當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．6．（3分）若x1＝﹣1是關(guān)于x的方程x2+mx﹣5＝0的一個(gè)根，則此方程的另一個(gè)根x2＝（）A．﹣5 B． C．5 D．﹣【分析】設(shè)方程的另一根為x2，由一個(gè)根為x1＝﹣1，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之積，列出關(guān)于x2的方程，求出方程的解得到x2的值，即為方程的另一根．【解答】解：∵x1＝﹣1是關(guān)于x的方程x2+mx﹣5＝0的一個(gè)根，設(shè)另一個(gè)為x2，∴﹣1?x2＝﹣4，解得：x2＝5，則方程的另一根是x5＝5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1?x2＝．7．（3分）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的兩根，下列結(jié)論一定正確的是（）A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0【分析】A、根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，結(jié)論A正確；B、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝a，結(jié)合a的值不確定，可得出B結(jié)論不一定正確；C、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1?x2＝﹣2，結(jié)論C錯(cuò)誤；D、由x1?x2＝﹣2，可得出x1、x2異號(hào)，結(jié)論D錯(cuò)誤．綜上即可得出結(jié)論．【解答】解：A∵Δ＝（﹣a）2﹣4×4×（﹣2）＝a2+5＞0，∴x1≠x3，結(jié)論A正確；B、∵x1、x2是關(guān)于x的方程x4﹣ax﹣2＝0的兩根，∴x2+x2＝a，∵a的值不確定，∴B結(jié)論不一定正確；C、∵x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣ax﹣2＝6的兩根，∴x1?x2＝﹣6，結(jié)論C錯(cuò)誤；D、∵x1?x2＝﹣8，∴x1、x2異號(hào)，結(jié)論D錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．8．（3分）菱形ABCD的一條對(duì)角線長為6，邊AB的長為方程y2﹣7y+10＝0的一個(gè)根，則菱形ABCD的周長為（）A．8 B．20 C．8或20 D．10【分析】邊AB的長是方程y2﹣7y+10＝0的一個(gè)根，解方程求得y的值，根據(jù)菱形ABCD的一條對(duì)角線長為6，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得出菱形的邊長，即可求得菱形ABCD的周長．【解答】解：∵解方程y2﹣7y+10＝2得：y＝2或5∵對(duì)角線長為2，2+2＜2；∴菱形的邊長為5．∴菱形ABCD的周長為4×7＝20．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，由于菱形的對(duì)角線和兩邊組成了一個(gè)三角形，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系來判斷出菱形的邊長是多少，然后根據(jù)題目中的要求進(jìn)行解答即可．9．（3分）今年我市計(jì)劃擴(kuò)大城區(qū)綠地面積，現(xiàn)有一塊長方形綠地，它的短邊長為60m（長邊不變），使擴(kuò)大后的綠地的形狀是正方形，則擴(kuò)大后的綠地面積比原來增加1600m2．設(shè)擴(kuò)大后的正方形綠地邊長為xm，下面所列方程正確的是（）A．x（x﹣60）＝1600 B．x（x+60）＝1600 C．60（x+60）＝1600 D．60（x﹣60）＝1600【分析】設(shè)擴(kuò)大后的正方形綠地邊長為xm，根據(jù)“擴(kuò)大后的綠地面積比原來增加1600m2”建立方程即可．【解答】解：設(shè)擴(kuò)大后的正方形綠地邊長為xm，根據(jù)題意得x2﹣60x＝1600，即x（x﹣60）＝1600．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是弄清題意，并找到等量關(guān)系．10．（3分）有一個(gè)兩位數(shù)，它的數(shù)字和等于8，交換數(shù)字位置后，則原來的兩位數(shù)為（）A．26 B．62 C．26或62 D．以上均不對(duì)【分析】首先設(shè)原兩位數(shù)個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為8﹣x，則原來的兩位數(shù)是10（8﹣x）+x，交換數(shù)字位置后得到的新的兩位數(shù)是10x+8﹣x，再根據(jù)新的兩位數(shù)與原兩位數(shù)之積為1612列出方程，再解即可．【解答】解：設(shè)原兩位數(shù)個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為8﹣x[10（8﹣x）+x][10x+3﹣x]＝1612，解得：x1＝6，x3＝2，當(dāng)x＝6時(shí)，7﹣x＝2，當(dāng)x＝2時(shí)，4﹣x＝6，則原來的兩位數(shù)為62或26，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的兩根為x1＝1，x2＝2，則x2+bx+c分解因式的結(jié)果為（x﹣1）（x﹣2）．【分析】已知了方程的兩根，可以將方程化為：a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0）的形式，對(duì)比原方程即可得到所求代數(shù)式的因式分解的結(jié)果．【解答】解：已知方程的兩根為：x1＝1，x4＝2，可得：（x﹣1）（x﹣7）＝0，∴x2+bx+c＝（x﹣4）（x﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c是常數(shù)），若方程的兩根是x1和x2，則ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）12．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣mx+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是m≠2且m≠1．【分析】若一元二次方程有兩不等實(shí)數(shù)根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍．還要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0．【解答】解：∵方程為一元二次方程，∴（m﹣1）≠0，即m≠3，∵方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣5）＝（m﹣2）2＞8，∴m≠2，綜合得m≠1且m≠7．故答案為：m≠1且m≠2．【點(diǎn)評(píng)】總結(jié)：（1）一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：①Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．（2）一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0．13．（3分）已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12﹣x22＝10，則a＝．【分析】由兩根關(guān)系，得根x1+x2＝5，x1?x2＝a，解方程得到x1+x2＝5，即x1﹣x2＝2，即可得到結(jié)論．【解答】解：由兩根關(guān)系，得根x1+x2＝3，x1?x2＝a，由x82﹣x22＝10得（x1+x2）（x2﹣x2）＝10，若x1+x3＝5，即x1﹣x4＝2，∴（x1﹣x3）2＝（x1+x3）2﹣4x3?x2＝25﹣4a＝4，∴a＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1x2＝．14．（3分）一個(gè)三角形的兩邊長為3和4，若第三邊長是方程x2﹣8x+15＝0的一個(gè)根，則這個(gè)三角形的形狀為等腰三角形或直角三角形，面積為或6．【分析】首先求出方程的根，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，確定第三邊的長，進(jìn)而求其周長和面積．【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝2，得x1＝3，x3＝5，即第三邊的邊長為3或4．∵1＜第三邊的邊長＜7，∴第三邊的邊長為8或5．當(dāng)x＝5時(shí)，又42+46＝52，∴此三角形是直角三角形，∴這個(gè)三角形的面積是：×3×8＝6．當(dāng)x＝3時(shí)，此三角形是等腰三角形，等腰三角形的高為＝，此等腰三角形的面積為×4×；故答案為：等腰三角形或直角三角形，或7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三邊的關(guān)系．15．（3分）以下是龍灣風(fēng)景區(qū)旅游信息：旅游人數(shù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不超過30人人均收費(fèi)80元超過30人每增加1人，人均收費(fèi)降低1元，但人均收費(fèi)不低于50元根據(jù)以上信息，某公司組織一批員工到該風(fēng)景區(qū)旅游，支付給旅行社2800元．從中可以推算出該公司參加旅游的人數(shù)為40．【分析】首先確定是否超過三十人，然后設(shè)參加這次旅游的人數(shù)為x人，根據(jù)總費(fèi)用為2800元列出一元二次方程求解即可．【解答】解：（因?yàn)?0×80＝2400＜2800，所以人數(shù)超過30人；設(shè)參加這次旅游的人數(shù)為x人，依題意可知：x[80﹣（x﹣30）]＝2800解之得，x＝40或x＝70，當(dāng)x＝70時(shí)，80﹣（x﹣30）＝80﹣40＝40＜50， 即：參加這次旅游的人數(shù)為40人．故答案為：40．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，此類題目貼近生活，有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活中實(shí)際問題的能力．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．三、解答題16．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）x2﹣2x＝2x+1；（2）x2﹣2x＝3；（3）（x﹣1）（x+3）＝12；（4）（2y+1）2+3（2y+1）+2＝0．【分析】（1）利用配方法求解求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）利用因式分解法求解即可；（4）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）x2﹣2x＝5x+1，x2﹣2x＝1，x2﹣7x+4＝1+4，即）（x﹣2）2＝3，∴x﹣2＝±，∴x6＝2+，x5＝2﹣；（2）x6﹣2x＝3，x4﹣2x﹣3＝7，（x﹣3）（x+1）＝4，∴x﹣3＝0或x+7＝0，∴x1＝8，x2＝﹣1；（3）（x﹣7）（x+3）＝12，x2+4x﹣15＝0，（x+5）（x﹣3）＝0，∴x+5＝4或x﹣3＝0，∴x3＝﹣5，x2＝4；（4）（2y+1）3+3（2y+6）+2＝0，（7y+1+2）（8y+1+1）＝2，∴2y+3＝4或2y+2＝5，∴y1＝﹣，y2＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法求解．17．已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（1）求證：不論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）m為何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根？【分析】（1）根據(jù)根的判別式即可求出答案．（2）根據(jù)因式分解法可求出方程的兩根，根據(jù)題意給出的條件即可求出m的值．【解答】（1）證明：Δ＝（m+2）2﹣6m＝（m﹣2）2≥8，∵m≠0，∴當(dāng)m取任何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根．（2）解：mx2﹣（m+4）x+2＝0，∴（x﹣3）（mx﹣2）＝0，∴x＝6或x＝，由題意可知：m≠2且m≠3且m≠﹣1，由題意可知：m＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．18．如圖所示，在寬為20m，長為30m的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，若耕地面積需要551m2，求修建的路寬為多少？【分析】可以把兩條互相垂直的小路平移到矩形兩邊上，這樣便于表達(dá)耕地的長（30﹣x）m，寬260﹣x）m，根據(jù)耕地的面積可以列出方程，再解方程即可．【解答】解：設(shè)修建的路寬為xm，依題意得：（30﹣x）（20﹣x）＝551，解得：x1＝1，x5＝49（不合題意，舍去）．答：修建的路寬為1m．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用平移表示出耕地的長和寬，再根據(jù)耕地的面積列出方程．19．已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b（1）如果x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根．【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，從而可判斷三角形的形狀；（2）根據(jù)判別式的意義得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根據(jù)勾股定理可判斷三角形的形狀；（3）利用等邊三角形的性質(zhì)得a＝b＝c，方程化為x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝5，則a＝b；（2）△ABC為直角三角形；理由：根據(jù)題意得Δ＝（2b）2﹣7（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c4＝a2，所以△ABC為直角三角形；（3）∵△ABC為等邊三角形，∴a＝b＝c，∴方程化為x2+x＝6，解得x1＝0，x5＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．20．如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門，豬舍面積為80m2？【分析】設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為xm可以得出平行于墻的一邊的長為（25﹣2x+1）m．根據(jù)矩形的面積公式建立方程求出其解就可以了．【解答】解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為xm可以得出平行于墻的一邊的長為（25﹣2x+1）m，由題意得x（25﹣4x+1）＝80，化簡(jiǎn)，得x2﹣13x+40＝6，解得：x1＝5，x8＝8，當(dāng)x＝5時(shí)，26﹣3x＝16＞12（舍去），26﹣2x＝10＜12，答：所圍矩形豬舍的長為10m、寬為8m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列一元二次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，矩形的面積公式的運(yùn)用及一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)尋找題目的等量關(guān)系是關(guān)鍵．21．水果店張阿姨以每斤2元的價(jià)格購進(jìn)某種水果若干斤，然后以每斤4元的價(jià)格出售，每天可售出100斤，這種水果每斤的售價(jià)每降低0.1元，每天可多售出20斤，張阿姨決定降價(jià)銷售．（1）若將這種水果每斤的售價(jià)降低x元，則每天的銷售量是（100+200x）斤（用含x的代數(shù)式表示）；（2）銷售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價(jià)降低多少元？【分析】（1）銷售量＝原來銷售量+下降銷售量，據(jù)此列式即可；（2）根據(jù)銷售量×每斤利潤＝總利潤列出方程求解即可．【解答】解：（1）將這種水果每斤的售價(jià)降低x元，則每天的銷售量是100+；（2）根據(jù)題意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，解得：x＝或x＝1，當(dāng)x＝時(shí)，銷售量是100+200×；當(dāng)x＝4時(shí)，銷售量是100+200＝300（斤）．∵每天至少售出260斤，∴x＝1．答：張阿姨需將每斤的售價(jià)降低1元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查理解題意的能力，第一問關(guān)鍵求出每千克的利潤，求出總銷售量，從而利潤．第二問，根據(jù)售價(jià)和銷售量的關(guān)系，以利潤作為等量關(guān)系列方程求解．22．“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”．為優(yōu)選品種，提高產(chǎn)量，某農(nóng)