醫(yī)用高等數學-矩陣的概念和運算

第二節(jié)矩陣的概念和運算醫(yī)用高等數學08-02-01一、矩陣的定義二、矩陣的線性運算三、矩陣的乘法醫(yī)用高等數學08-02-02四、矩陣的轉置五、方陣的行列式六、逆矩陣例在市場上有甲、乙、丙三種復合維生素片，它們每片中維生素B1、B2、B6和維生素C的含量不同，見下表（單位：mg）。醫(yī)用高等數學08-02-03醫(yī)用高等數學08-02-04維生素B1維生素B2維生素B6維生素C甲33.4390乙1.522.575丙232.560

甲、乙、丙三種復合維生素片中維生素B1、B2、B6和維生素C的含量可排列成3行4列的一個數表。醫(yī)用高等數學08-02-05例線性方程組醫(yī)用高等數學08-02-06的系數也可排列成一個m行n列的數表。醫(yī)用高等數學08-02-07醫(yī)用高等數學08-02-08矩陣(matrix)

由m

n個數排成m行n列的數表稱為m

n矩陣，通常用大寫英文字母表示，記作Am

n。其中aij表示位于矩陣中第i行第j列的數，稱為矩陣的元素。在不需要將矩陣元素一一寫出時，還可以將矩陣簡單表示為A=(aij)m

n醫(yī)用高等數學08-02-09行矩陣

只有一行的矩陣，稱為行矩陣或行向量。列矩陣

只有一列的矩陣，稱為列矩陣或列向量。注不同型的零矩陣是不同的。醫(yī)用高等數學08-02-10零矩陣所有元素都是零的矩陣，稱為零矩陣，記作O。方陣行列數相等，即m=n的矩陣，稱為n階方陣。醫(yī)用高等數學08-02-11對角矩陣方陣左上角a11到右下角ann的直線段，稱為方陣的主對角線。除了主對角線上的元素，其它元素均為零的方陣稱為對角矩陣。即醫(yī)用高等數學08-02-12單位矩陣若主對角線上的元素全為1的對角矩陣，稱為單位矩陣，記作E。即醫(yī)用高等數學08-02-13上三角矩陣

主對角線下方的元素全為零的方陣，稱為上三角矩陣。即醫(yī)用高等數學08-02-14下三角矩陣

主對角線上方的元素全為零的方陣，稱為下三角矩陣。即醫(yī)用高等數學08-02-15醫(yī)用高等數學08-02-16同類矩陣兩個矩陣的行數相同，列數也相同時，就稱它們是同類矩陣。相等若兩矩陣A

與B

是同類矩陣，且它們的對應元素也相同，即aij=bij

(i=1,2,…,m；j=1,2,…n)則稱矩陣A

與矩陣B

相等，記作A=B。醫(yī)用高等數學08-02-17負矩陣把矩陣A

中各元素變號得到的矩陣，稱為矩陣A

的負矩陣，記為A。即醫(yī)用高等數學08-02-18例某家庭中兒子(S)、女兒(D)與父親(F)、母親(M)外貌的“相像”的關系為模糊關系R，可用矩陣表示為醫(yī)用高等數學08-02-19其中的數據意為兒子與父親的相像程度為0.8，兒子與母親的相像程度為0.2，女兒與父親的相像程度為0.1，女兒與母親的相像程度為0.6。矩陣的和若A

和B

為同類矩陣醫(yī)用高等數學08-02-20則稱矩陣為矩陣A

與B

的和，記為A+B。矩陣加法的運算規(guī)律：(1)

A+B=B+A；(2)(A+B)+C=A+(B+C)；(3)

A+O=A；(4)

A+(

A)=O。（A,B,C

為同類矩陣）醫(yī)用高等數學08-02-21數乘設矩陣醫(yī)用高等數學08-02-22

是一個常數，則稱矩陣為數

與矩陣A

的數量乘積，簡稱數乘，記為

A。數乘的運算規(guī)律：(1)

(A+B)=

A+B；(2)(

+

)A=

A+A；(3)(

)A=

(

A)；(4)1·A=A。（A,B

為矩陣，

,

為任意常數）醫(yī)用高等數學08-02-23線性運算矩陣的加法和數乘運算，稱為矩陣的線性運算。醫(yī)用高等數學08-02-24例已知醫(yī)用高等數學08-02-25求A+B，2A

3B。矩陣的乘積設A,B

分別為m

s和s

n矩陣醫(yī)用高等數學08-02-26而m

n矩陣的元素醫(yī)用高等數學08-02-27則稱矩陣C

為矩陣A

與B

的乘積，記作AB，即C=AB注矩陣A,B

的乘法要求A

的列數必須與B

的行數相等。乘積矩陣C=AB

中位于i

行j

列的元素cij

是A

的第i

行元素與B

的第j

列元素的乘積，即醫(yī)用高等數學08-02-28例設求AB，BA。醫(yī)用高等數學08-02-29課堂討論題求矩陣的乘積AB

及BA。醫(yī)用高等數學08-02-30醫(yī)用高等數學08-02-31課堂討論題

計算注（1）矩陣乘法不滿足交換律，即在一般情況下，AB

BA；（2）AB=O不能推出A=O或B=O；（3）矩陣乘法不滿足消去律，即在一般情況下，若AC=BC，且C

O，不能推出A=B。醫(yī)用高等數學08-02-32矩陣乘法的運算規(guī)律：(1)(AB)C=A(BC)；(2)

A(B+C)=AB+AC，

(B+C)A=BA+CA；(3)

(AB)=(

A)B=A(B)；(4)

若E

是單位矩陣，則AE=A，EB=B。（A,B,C

為矩陣，

為任意常數）醫(yī)用高等數學08-02-33醫(yī)用高等數學08-02-34例在線性方程組中醫(yī)用高等數學08-02-35記則方程組可表示為矩陣形式AX=B冪設A

是n階方陣，則稱Ak=AA…A(k個A相乘)為矩陣A

的k次冪。注矩陣冪的定義只有對方陣才有意義。醫(yī)用高等數學08-02-36冪的運算規(guī)律：(1)

AkAl=Ak+l；(2)(Ak)l=Akl。（A

為矩陣，k,l為正整數）醫(yī)用高等數學08-02-37例已知醫(yī)用高等數學08-02-38求矩陣的轉置設m

n

矩陣醫(yī)用高等數學08-02-39將A

的行與列互換所得的n

m

矩陣稱為A

的轉置矩陣，簡稱A

的轉置，記為AT，即例矩陣醫(yī)用高等數學08-02-40求AT。對稱矩陣如果A

是n階方陣，當AT=A時，稱A

是對稱矩陣。醫(yī)用高等數學08-02-41例試驗證矩陣醫(yī)用高等數學08-02-42是對稱矩陣。矩陣轉置的運算規(guī)律：(1)(AT)T=A；(2)(A+B)T=AT+BT；(3)(

A)T=

AT；(4)

(AB)T=BTAT。（A,B

為矩陣，

為任意常數）醫(yī)用高等數學08-02-43方陣行列式設方陣醫(yī)用高等數學08-02-44將A

的元素按照原來的位置所構成的行列式，稱為方陣A

的行列式，記作detA

或|A|。方陣行列式的運算規(guī)律：(1)|AB|=|A|

|B|=BA

；(2)

A

=

n

A

；(3)

Ak

=

A

k；(4)|AT|=|A|。（A,B

為n階方陣，

為任意常數，k為正整數）醫(yī)用高等數學08-02-45例已知求|A|，|B|，|AB|，|BA|。醫(yī)用高等數學08-02-46例已知A,B

是三階方陣，且detA=3，detB=2，求det(

A)，det(3B)，det(A3)，det(2AB)。醫(yī)用高等數學08-02-47逆矩陣(inversematrix)

設A

是方陣，若存在方陣B，使得AB=BA=E則稱A

是可逆的，B

稱為A

的逆矩陣，記為A

1，即B=A

1醫(yī)用高等數學08-02-48例設醫(yī)用高等數學08-02-49試驗證B

是A

的一個逆陣。注若B是A的逆矩陣，則A也是B的逆矩陣，即矩陣A和B

互逆。伴隨矩陣行列式|A|的各個元素的代數余子式Aij

所構成的如下矩陣醫(yī)用高等數學08-02-50稱為矩陣A

的伴隨矩陣。定理對方陣A，成立AA*=A*A=detA

E醫(yī)用高等數學08-02-51定理方陣A

可逆的充要條件是detA

0，且當A

可逆時其中A*為方陣A

的伴隨矩陣。醫(yī)用高等數學08-02-52奇異矩陣對n

階方陣A，若行列式detA=0，則稱矩陣A

為奇異矩陣或退化矩陣。醫(yī)用高等數學08-02-53非奇異矩陣對n

階方陣A，若行列式detA0，則稱方陣A

為非奇異矩陣或非退化矩陣。例判斷下列矩陣A

是否可逆？若可逆，求出A

1。醫(yī)用高等數學08-02-54課堂討論題已知A

可逆，求出醫(yī)用高等數學08-02-55推論設A

是n

階方陣，若存在方陣B，使得AB=E（或BA=E）則A

可逆，且A

1=B醫(yī)用高等數學08-02-56例設方陣A

滿足A2+A=3E試證A

和A

E

均可逆。醫(yī)用高等數學08-02-57課堂討論題設方