醫(yī)用高等數(shù)學(xué)-線性代數(shù)基礎(chǔ)

醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-01第八章線性代數(shù)基礎(chǔ)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-02最簡(jiǎn)單的方程——一元一次方程ax=b(a

0)進(jìn)一步演化為：（2）增加未知數(shù)及方程的個(gè)數(shù)?！€性方程組（1）提高未知數(shù)的冪次；——高次方程醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-03n

個(gè)未知數(shù)，m

個(gè)方程醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-04線性代數(shù)是處理有限維線性問題的代數(shù)分支。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-05第一節(jié)行列式一、行列式的定義二、行列式的性質(zhì)三、克拉默法則醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-06二元線性方程組醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-07醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-08二階行列式主對(duì)角線

次對(duì)角線+

其中a11,a12,a21,a22

稱為行列式的元素，而上式的右端稱為行列式的展開式。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-09對(duì)角線法則二階行列式等于它主對(duì)角線上兩元素的乘積減去次對(duì)角線上兩元素的乘積，這樣的運(yùn)算法則稱為對(duì)角線法則。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-10則二元線性方程組的解可記為醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-11二元線性方程組的解系數(shù)行列式二元線性方程組醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-12未知數(shù)的系數(shù)組成的的二階行列式稱為上述方程組的系數(shù)行列式。例解線性方程組醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-13三元線性方程組醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-14醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-15三階行列式按第一行的展開式

余子式(cofactor)

在三階行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列劃去后，留下來的二階行列式，叫做元素aij的余子式，記作Mij，又記Aij=(1)i+jMij稱Aij為元素aij的代數(shù)余子式(algebraiccofactor)。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-16

三階行列式等于它的第一行的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即D=a11A11+a12A12+a13A13醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-17例按第一行展開計(jì)算三階行列式醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-18主對(duì)角線

次對(duì)角線+_醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-19三階行列式的對(duì)角線法則+_醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-20三階行列式的對(duì)角線法則主對(duì)角線

次對(duì)角線例利用對(duì)角線法則計(jì)算三階行列式醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-21醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-22注對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式。課堂討論題當(dāng)x取何值時(shí)，行列式醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-23n

階行列式(determinant)

用n2個(gè)元素aij(i,j=1,2,…,n)組成的記號(hào)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-24稱為n

階行列式，其中橫排稱為行，縱排稱為列，簡(jiǎn)記為|aij|。余子式(cofactor)

在n階行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列劃去后，留下來的n

1階行列式，叫做元素aij的余子式，記作Mij，又記Aij=(1)i+jMij稱Aij為元素aij的代數(shù)余子式(algebraiccofactor)。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-25例求四階行列式中元素a12和a33的余子式和代數(shù)余子式。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-26課堂討論題求下列行列式中元素2和

2的代數(shù)余子式。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-27n

階行列式的歸納定義當(dāng)n=2時(shí)D=a11a22

a12a21當(dāng)n>2時(shí)，D=a11A11+a12A12+…+a1nA1n醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-28例計(jì)算四階行列式醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-29轉(zhuǎn)置行列式

行列式D

的行列互換得到的行列式DT

稱為原行列式的轉(zhuǎn)置行列式。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-30記性質(zhì)1

將行列式轉(zhuǎn)置，行列式的值不變，即DT=D。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-31注行列式的所有性質(zhì)凡是對(duì)行成立的，對(duì)列也同樣成立。即行列式中行與列具有同等的地位。因此，以下各性質(zhì)的敘述僅涉及行。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-32性質(zhì)2

交換行列式的任意兩行，行列式的值變號(hào)。即醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-33性質(zhì)3

如果行列式中有兩行元素對(duì)應(yīng)相等，則此行列式的值為零。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-34性質(zhì)4

行列式的某行各元素都乘以常數(shù)k，等于將行列式乘以k

。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-35推論1

如果行列式中某行各元素都是零，那么這個(gè)行列式的值等于零。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-36推論2

如果行列式中有兩行的對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式的值為零。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-37推論3

如果行列式中某行的所有元素有公因子，則公因子可以提取到行列式的外面。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-38性質(zhì)5

如果行列式中某行的各元素都可以表示成兩項(xiàng)之和，則此行列式可以寫成兩個(gè)行列式的和。即有醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-39推論如果行列式中某行各元素都可以表示成m（m

為大于2的整數(shù)）項(xiàng)之和，則此行列式可以寫成m

個(gè)行列式的和。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-40性質(zhì)6

將行列式中某行各元素乘以同一常數(shù)后加到另一行對(duì)應(yīng)元素上，行列式的值不變。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-41性質(zhì)7

行列式D

等于它任何一行各個(gè)元素與它們相應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和。即醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-42D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1,2,…,n)

上三角行列式

若在主對(duì)角線以下的元素都為零，則稱這樣的行列式為上三角行列式。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-43下三角行列式

若在主對(duì)角線以上的元素都為零，則稱這樣的行列式為下三角行列式。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-44定理上三角行列式等于主對(duì)角線上各元素的乘積。即醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-45定理

下三角行列式等于主對(duì)角線上各元素的乘積。即醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-46

通常，用ri

rj

表示第i行與第j行互換；用kri表示將第i

行的元素乘以k；用+kri

rj表示將第i

行的元素乘以k

加到第j

行的對(duì)應(yīng)元素上。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-47

如果化簡(jiǎn)步驟是對(duì)列進(jìn)行的，上述的表示法中的字母r

換成c。例計(jì)算下列行列式的值。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-48例計(jì)算下列行列式的值。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-49例計(jì)算下列行列式的值。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-50課堂討論題計(jì)算下列行列式的值。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-51課堂討論：求方程的根二元線性方程組醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-52三元線性方程組醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-53

考慮含有n個(gè)未知數(shù)，n個(gè)線性方程的方程組解的情況。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-54克拉默法則

如果線性方程組醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-55的系數(shù)行列式D

不等于零，即醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-56則，方程組有唯一解

其中Dj(j=1,2,…,n)是把系數(shù)行列式D

中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n階行列式。即醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-57j

列例用克蘭姆法則解下列方程組醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-58注（1）克拉默法則只有在D0時(shí)才能應(yīng)用。

（2）克拉默法則有重大的理論價(jià)值。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-63課堂討論題討論當(dāng)為何值時(shí)，線性方程組有唯一解，并求其解齊次方程組線性方程組醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-64右端的常數(shù)項(xiàng)全為零時(shí)，稱為齊次方程組。非齊次方程組

線性方程組醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-01-65右端的常數(shù)項(xiàng)b1,b2,…,bn不全為零時(shí)，稱為非齊次方程組。對(duì)齊次線性方程組xi=0(i=1,2,…,n)一定是它的解，這個(gè)解叫做齊次方程組的零解。如果有一組不全為零的解是齊次方程組的解，則它叫做齊次方程組的非零解。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)