等差數(shù)列前n項(xiàng)和

23等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

著名數(shù)學(xué)家高斯小的時候，勤于思考，善于動腦，這一點(diǎn)在班級是有名的．他遇到問題總是問“為什么”；用一種方法解決問題之后，他還考慮有沒有其他別的更有效的方法，老師和同學(xué)們都喜歡他．一天，老師給同學(xué)們出了一道“1＋2＋3＋……＋99＋100的和等于多少？”的數(shù)學(xué)題，同學(xué)們都覺得沒什么難的，于是便十分認(rèn)真地用一個數(shù)加另一個數(shù)慢慢求和的方法來計(jì)算．不一會，小高斯便舉手示意他做完了．老師和同學(xué)們都覺得特別奇怪：別人連一半還沒加完，小高斯怎么就算完了呢？＋＋＋＋

問題引入

你知道高斯是怎么計(jì)算的嗎？1高斯是如何快速求和的？他抓住了問題的什么特征？2如果換成１２３…200=？我們能否快速求和？如何求？(3)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d，如何計(jì)算＋＋＋＋

思考提煉

一般的，我們稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，用Sn表示，即對于公差為d的等差數(shù)列，如何求它的前n項(xiàng)和？②①由①＋②得到n個

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n個由此得到等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的公式:在已知首項(xiàng)和尾項(xiàng)時使用此公式用代入上面的公式，得到在已知首項(xiàng)和公差時使用此公式

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將等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式看作是一個關(guān)于n的函數(shù)，這個函數(shù)有什么特點(diǎn)？

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例1等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…的前多少項(xiàng)的和為54？例2已知一個等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，求其前n項(xiàng)和的公式變式：上題條件不變，求S30

理論遷移

例3堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支，這個V形架上共放著多少支鉛筆？解：

由題意可知，這個V形架上共放著120層鉛筆，且自下而上各層的鉛筆數(shù)成等差數(shù)列，記為｛an｝，an表示自下而上第n層所放的鉛筆數(shù)其中a1=1,a120=120根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，得答：V形架上共放著7260支鉛筆

理論遷移

例42000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知》某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬元為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？

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解：

根據(jù)題意，從2001～2010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬元所以，可以建立一個等差數(shù)列{an},表示從2001年起各年投入的資金，其中那么，到2010年n=10,投入的資金總額為

答：從2001～2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元。

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例5已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值的前n項(xiàng)和為,②當(dāng)n為何值時，最大？①數(shù)列的通項(xiàng)公式；已知求：變式：設(shè)等差數(shù)列

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等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)性質(zhì)1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也成等差數(shù)列,公差為在等差數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)的和為Sn,則有性質(zhì)2:若Sm=n,Sn=mm≠n,則Smn=性質(zhì)3:若Sm=Snm≠n,則Smn=性質(zhì)4:為等差數(shù)列.n2d0-mn性質(zhì)5:若數(shù)列{an}與{bn}都是等差數(shù)列,且前n項(xiàng)的和分別為Sn和Tn,則

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項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時，性質(zhì)6:

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例設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-7,

則|a1||a2||a3|……|a15|=變式1設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-7,

則Tn=|a1||a2||a3|……|an|=變式2等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a2=7,S4=24

則Tn=|a1||a2||a3|……|an|=

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已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,求數(shù)列{︱