橢圓的簡單幾何性質(zhì)省賽一等獎

222橢圓的簡單幾何性質(zhì)（一）一、復(fù)習(xí)回顧1、橢圓的定義、焦點、焦距；2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3、a、b、c的關(guān)系及其幾何意義；4、待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；通常分三步：（1）確定焦點的位置；（2）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）求a、b的值，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程下面，我們通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來研究橢圓的性質(zhì)：二、學(xué)習(xí)新課我們知道，解析幾何研究的主要問題是：（1）根據(jù)已知條件，求曲線的方程；（2）通過曲線的方程，研究曲線的性質(zhì)橫坐標(biāo)的范圍：縱坐標(biāo)的范圍：-aa-byb1、范圍得：即同理可得：由標(biāo)準(zhǔn)方程即F2F1OB2B1A1A2xy觀察圖形，你能看出它的范圍嗎？結(jié)論：橢圓位于直線=±a和y=±b所圍成的矩形框內(nèi)F2F1Oy橢圓關(guān)于y軸對稱2、對稱性在曲線方程里，如果以-y代y方程不變，那么曲線關(guān)于軸對稱；動畫演示在曲線方程里，如果同時以-代，以-y代y方程不變，那么曲線關(guān)于原點對稱；在曲線方程里，如果以-代方程不變，那么曲線關(guān)于y軸對稱；這說明當(dāng)點P,y在橢圓上時，它關(guān)于y軸的對稱點P′-,y也在橢圓上結(jié)論：坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，坐標(biāo)原點是橢圓的對稱中心，也叫橢圓的中心。返回跳過OB2B1A1A2y可得=a從而：A1-a,0,A2a,0同理：B10,-b,B20,b線段分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長度分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長3、頂點在中令y=0，橢圓與對稱軸的交點2c叫焦距，c叫半焦距4、離心率yo如何刻畫橢圓的扁平程度？動畫演示概念：橢圓焦距與長軸長之比定義式：范圍：考察橢圓形狀與e的關(guān)系：1、當(dāng)e接近1時；2、當(dāng)e接近0時；特別地，當(dāng)a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A。方程是什么呢？思考：教材P46探究方程圖形范圍對稱性頂點離心率xA2B2F2yOA1B1F1yOA1B1xA2B2F1F2兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓性質(zhì)的比較關(guān)于軸、y軸、原點對稱A1-a,0,A2a,0B10,-b,B20,bA10,-a,A20,aB1-b,0,B2b,0例1、求橢圓16225y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標(biāo),并畫出它的圖形解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程:所以:a=5,b=4c=頂點坐標(biāo)為-5,0，5,0，0,4，0,-4所以，長軸長2a=10,短軸長2b=8；離心率為06；XYO焦點坐標(biāo)為-3,0,3,0例2、求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:1經(jīng)過點-3,0、0,-2;（1）解：易知a=3，b=2又因為長軸在軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2長軸的長等于20,離心率等于062長軸的長等于20,離心率等于062由已知,2a=20,e=06或因為橢圓的焦點可能在軸上,也可能在y軸上,所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為∴a=10,c=6∴b=8練習(xí)1、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程經(jīng)過點P2,0Q1,1;2與橢圓429y2=36有相同的焦距,且離心率為08或標(biāo)準(zhǔn)方程圖象范圍

|x|≤a,

|y|≤

b|x|≤b,

|y|≤

a對稱性關(guān)于兩軸及原點對稱關(guān)于兩軸即原點對稱頂點(±a,0),(0,±b)(±b,0),(0,±a)兩軸長

長軸2a，短軸2b

長軸2a,短軸2b焦點焦距2c2c離心率e=c/a,0<e<1

e=c/a,0<e<1F1-c,0,F2c,0F10,-c,F20,c小結(jié)xA2B2F2yOA1B1F1yOA1B1xA2B2F1F2三、小結(jié)作業(yè)本節(jié)重點：1、范圍；2、對稱性；3、頂點、長半軸長、短半軸長、半焦距；4、離心率；5、已知兩點求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；作業(yè)：P493、4、5B組3222橢圓的簡單幾何性質(zhì)（二）標(biāo)準(zhǔn)方程圖象范圍

|x|≤a,

|y|≤

b|x|≤b,

|y|≤

a對稱性關(guān)于兩軸及原點對稱關(guān)于兩軸即原點對稱頂點(±a,0),(0,±b)(±b,0),(0,±a)兩軸長

長軸2a，短軸2b

長軸2a,短軸2b焦點焦距2c2c離心率e=c/a,0<e<1

e=c/a,0<e<1F1-c,0,F2c,0F10,-c,F20,c小結(jié)xA2B2F2yOA1B1F1yOA1B1xA2B2F1F2例1、如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過對稱軸的截口ABC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點F1上，片門位于另一個焦點F2上，由橢圓一個焦點F1發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點F2。已知ACF1F2，|F1A|=，|F1F2|=,求截口ABC所在橢圓的方程。OxyACF1F2BOxyACF1F2解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)所求橢圓方程為在Rt△AF1F2中，由橢圓的定義知，AB所以所求的橢圓方程為oxyl思考：直線與橢圓會相交嗎？為什么？m思考：如何求直線與橢圓的最小距離呢？oxy問題：最大的距離呢？mln兩個啟示：①如何判斷直線與橢圓的位置關(guān)系；②求直線與橢圓的距離的最值例3、已知橢圓42y2=1及直線y=m，（1）當(dāng)直線和橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍；（2）求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程弦長公式：設(shè)直線y=m與橢圓相交于點A1,y1，B2,y2，則思考：橢圓上到焦點的距離最大和最小的點在什么地方？2、橢圓到中心的距離最大和最小的點呢？oxyF1F21、如果將橢圓看作地球的軌道，F(xiàn)1看作太陽，那么A、B分別為近日點、遠日點