蘇教版學(xué)高中數(shù)學(xué)必修二立體幾何初步直線與平面的位置關(guān)系直線與平面平行講義

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)１．通過直觀感知、操作確認(rèn)直線與平面的位置關(guān)系及線面平行的判定定理．（重點(diǎn)）２．理解并會證明直線與平面平行的性質(zhì)定理．（難點(diǎn)）３．會用圖形語言和符號語言描述直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理．（重點(diǎn)、易錯點(diǎn)）通過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).１．直線和平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)有無數(shù)個公共點(diǎn)有且只有一個公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)符號表示aαa∩α＝Aa∥α圖形表示２．直線與平面平行的判定定理（１）自然語言：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．（２）圖形語言：如圖所示．（３）符號語言：eq\b\lc\\rc\}（\a\vs４\al\co１（a?α,bα,a∥b））?a∥α．３．直線與平面平行的性質(zhì)定理（１）自然語言：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行．（２）圖形語言：如圖所示．（３）符號語言：eq\b\lc\\rc\}（\a\vs４\al\co１（l∥α,lβ,α∩β＝m））?l∥m．１．思考辨析（１）若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α. （）（２）若直線a在平面α外，則a∥α. （）（３）若直線a∩b＝，bα，則a∥α. （）（４）若直線a∥平面α，則直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線． （）[答案]（１）×（２）×（３）×（４）√[提示]（１）l也可能在平面α內(nèi)．（２）直線a也可能和平面α相交．（３）a∥α或aα或a與平面α相交．２．如果直線a∥b，且a∥平面α，那么b與平面α的位置關(guān)系是________．b∥α或bα[若a∥b，且a∥平面α，則b與平面α的位置關(guān)系如圖所示．]３．能保證直線a與平面α平行的條件是__________（填序號）．（１）bα，a∥b；（２）bα，c∥α，a∥b，a∥c；（３）bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD；（４）aα，bα，a∥b.（４）[由線面平行的判定定理可知（４）正確．]４．如圖所示的三棱柱ABC-A１B１C１中，過A１B１的平面與平面ABC交于直線DE，則DE與AB的位置關(guān)系是__________．平行[∵ABC-A１B１C１是三棱柱，∴A１B１∥AB又∵A１B１平面ABC，AB平面ABC，∴A１B１∥平面ABC.∵A１B１平面A１B１ED，平面A１B１ED∩平面ABC＝DE，∴A１B１∥DE，∴DE∥AB.]直線與平面的位置關(guān)系【例１】（１）下列說法中，正確的有__________．（填序號）１如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行；２如果一條直線與一個平面相交，那么這條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直；３過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面平行；４一條直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則這條直線平行于這個平面．（２）下列命題中，a，b，l表示直線，α表示平面．１若aα，bα，且a，b不相交，則a∥b；２若aα，bα，a∩b＝A，lα，且l和a，b均不相交，則l∥α；３若點(diǎn)Aa，則過點(diǎn)A可以作無數(shù)個平面與a平行；４若a與α內(nèi)的無數(shù)條直線不相交，則a∥α.其中正確的命題有______．（把你認(rèn)為正確的序號都填上）思路探究：利用線面平行的定義，借助圖形分析判斷．（１）２（２）３[（１）如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的直線平行或異面，所以１錯；如果一條直線與一個平面相交，在這個平面內(nèi)作過交點(diǎn)的直線垂直于這條直線，那么在這個平面內(nèi)與所作直線平行的直線都與已知直線垂直，有無數(shù)條，所以２正確；３顯然錯誤；而４，也有可能相交，所以也錯誤．（２）１錯誤．如圖（a），滿足aα，bα，且a，b不相交，但a與b不平行．２錯誤．如圖（b），滿足aα，bα，a∩b＝A，lα，且l和a，b均不相交，但l與α相交．３正確．如圖（c），點(diǎn)Aa，過點(diǎn)A可以作無數(shù)個平面與a平行．４錯誤．當(dāng)a與α相交時，也有a與α內(nèi)的無數(shù)條直線不相交．]空間中直線與平面的位置關(guān)系有：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種．在判斷直線與平面的位置關(guān)系時，這三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏．另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，以便于正確作出判斷，避免憑空臆斷．１．下列命題中正確的個數(shù)是________個．１若直線l上有無數(shù)個點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α；２若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行；３如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行；４若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)．１[１中，l可與α相交，故１錯．２中，α內(nèi)的直線可能與l異面，故２錯．３中，另一條直線可能在這個平面內(nèi)，故３錯．４中，由l與α平行的定義知４正確．]直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用【例２】如圖，M，N分別是底面為矩形的四棱錐P-ABCD的棱AB，PC的中點(diǎn)，求證：MN∥平面PAD.思路探究：取PD中點(diǎn)E，證明ENAM.[證明]如圖所示，取PD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，NE.∵N是PC的中點(diǎn)，∴ENeq\f（１,２）DC.又∵AMeq\f（１,２）CD，∴NEAM.∴四邊形AMNE是平行四邊形．∴MN∥AE.又∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.利用判定定理證明直線與平面平行的關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線．可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒有，則需作出該直線，常考慮三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線．２．如圖，S是平行四邊形ABCD平面外一點(diǎn)，M，N分別是SA，BD上的點(diǎn)，且eq\f（AM,SM）＝eq\f（DN,NB）.求證：MN∥平面SBC.[證明]連結(jié)AN并延長交BC于P，連結(jié)SP，∵AD∥BC，∴eq\f（DN,NB）＝eq\f（AN,NP），又∵eq\f（AM,SM）＝eq\f（DN,NB），∴eq\f（AM,SM）＝eq\f（AN,NP），∴MN∥SP，又MN平面SBC，SP平面SBC，∴MN∥平面SBC.線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用[探究問題]１．若a∥α，bα，那么a與b的位置關(guān)系是怎樣的？a與b有沒有可能平行？在什么條件下平行？[提示]a與b平行或異面，當(dāng)a，b同在一平面內(nèi)時，a∥b.２．如圖，若a∥b，aα，bα，α∩β＝c，且c∥a.那么a與β，b與β是什么關(guān)系？[提示]a∥β，b∥β.３．一個長方體木塊如圖所示，要經(jīng)過平面A１C１內(nèi)一點(diǎn)P和棱BC將木塊鋸開，[提示]在平面A１C１內(nèi)，過點(diǎn)P作EF∥B１C１，分別交A１B１，C１D１于E，F(xiàn).連結(jié)BE，CF，則BE，CF和EF就是所要畫的線，【例３】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：PA∥GH.思路探究：要證線線平行，先證線面平行，再證另一線為過已知直線的平面與已知平面的交線．[證明]如圖，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)MO.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)．又M是PC的中點(diǎn)，∴AP∥OM.根據(jù)直線和平面平行的判定定理，則有PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理，∴PA∥GH.證明與平行有關(guān)的問題時，線面平行的判定定理、性質(zhì)定理、公理４常結(jié)合起來使用，并常利用下面的關(guān)系：線線平行eq\o（→,\s\up１6（判定定理））線面平行eq\o（→,\s\up１6（性質(zhì)定理））線線平行．運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理時，應(yīng)尋找過已知直線的平面與已知平面的交線，有時為了得到交線需作出輔助平面．３．如圖所示，已知兩條異面直線AB與CD，平面MNPQ與AB，CD都平行，且點(diǎn)M，N，P，Q依次在線段AC，BC，BD，AD上，求證：四邊形MNPQ是平行四邊形．[證明]∵AB∥平面MNPQ，且過AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又過AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可證NP∥MQ.故四邊形MNPQ是平行四邊形．１．本節(jié)課的重點(diǎn)是會判斷直線與平面的位置關(guān)系，會用符號語言和圖形語言表示直線與平面的位置關(guān)系，難點(diǎn)是會用直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理求解相關(guān)題目．２．本節(jié)課重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法（１）直線與平面位置關(guān)系的判斷方法．（２）證明直線與平面平行的方法．３．本節(jié)課的易錯點(diǎn)是判斷直線與平面的位置關(guān)系，以及直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用．１．以下說法（其中a，b表示直線，α表示平面）正確的個數(shù)為________．１若a∥b，bα，則a∥α；２若a∥α，b∥α，則a∥b；３若a∥b，b∥α，則a∥α；４若a∥α，bα，則a∥b.0[１錯，a∥α或aα；２錯，a與b也可能相交；３錯，a∥α或aα；４錯，a與b也可能異面．]２．長方體ABCD-A１B１C１D１中，E為AA１的中點(diǎn)，F(xiàn)為BB１的中點(diǎn)，與EF３[如圖，∵EF∥A１B１，∴EF∥平面A１B１C１D１同理EF∥平面ABCD，EF∥平面DD１C１３．直線a∥平面α，過α內(nèi)一點(diǎn)A的所有直線中與直線a平行的直線條數(shù)為__________．１[過直線a和點(diǎn)A的平面與平面α有一條交線l，只有l(wèi)滿足在平面α內(nèi)過點(diǎn)A且與a平行．]４．如圖，正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各取一點(diǎn)P，Q，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面BCE.[證明]如圖所示，在平面ABEF內(nèi)過P作PM∥AB交BE于點(diǎn)M，在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)Q作QN∥AB交BC于點(diǎn)N，連結(jié)MN.∵PM∥AB