北京市高考石景山區(qū)一模試題及答案(理數(shù))

2012年石景山區(qū)高三統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)（理科）第I卷選擇題一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.L設(shè)集合M={X?X2—2X—3<0}N二{XIlogX<0}2，則M∩N等于（）A.(—1,1)C(0,1)

.(1,3)B.D (—1,0).2．在復(fù)平面內(nèi)，2—i復(fù)數(shù)1+i對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B．第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限fX=2cosθ,圓［y=2sinθ+2的圓心坐標(biāo)是（）A.(0,2)(2,0)B.C.(0,—2)D.(—2,0)設(shè)m,n是兩條不同的直線，°,β,γ是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（ ）A若m//n,m//α,則n//αA.B.若α±γ,P±γ,則α//β若m//α,n//α,則m//n.若m±a,n//α,則m±nD.A．-84B．84C．-36 D．36A24√3 B.16 C.48 D?144第∏卷非選擇題二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.—> —>設(shè)向量a=(cosθ,1),b=(1,3cosθ)，且a//b,則cos2θ=.等差數(shù)列"J前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若a4+Clk=0，則k=.如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F,CE與圓相切交AB延長線上于點(diǎn)E,若DF=CF=2√2,AF：FB：BE=4：2：1，則線段CE的長為 .f(X)=<1-X+a,X<—,21

logx,x≥-2 2的最小值為-1,12.設(shè)函數(shù)則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.13.如圖，圓O:X2+>2=π2內(nèi)的正弦曲線y=SmX與X軸圍成的區(qū)域記為M(圖中陰影部分)，隨機(jī)

往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是 ．1/徉人U={(X,y)lX∈R,y∈R:M=fx,y)I∣x∣+∣y∣<a:P=般,y)|y=f(X)]14?集合現(xiàn)給出下列函數(shù)：①y=a，②y=l0gaX，③y=Sin(X+a),④y=Cos,若0<a<1時(shí)，恒有P∩CUM=P,則所有滿足條件的函數(shù)f(X)的編號是．三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共80分．應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．(本小題滿分13分)在AABC中，角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,C，且(2a-C)cosB=bcosC.(I)求角B的大小;2?CoSA=——,a=2(Ii)若 2 ，求aaBC的面積.(本小題滿分13分)1甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行籃球三分球投籃比賽,甲每次投中的概率為3,乙每次投中的概1率為2，每人分別進(jìn)行三次投籃.(I)記甲投中的次數(shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ;(II)求乙至多投中2次的概率；(III)求乙恰好比甲多投進(jìn)2次的概率.17.(本小題滿分14分)如圖,AA=31,(I)(I)(I)ABC-ABCAA三棱柱 111中， 1⊥面D為aC的中點(diǎn).AB//面BDC求證：1 1；CBDC求二面角C1BDC的余弦值；*在側(cè)棱AAI上是否存在點(diǎn)P，使得ABCBc1AC,BC=AC=2CP1面BDC1?請證明你的結(jié)論.18．(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=x2+2alnX.(I)若函數(shù)f(x)的圖象在(2,f(2))處的切線斜率為1,求實(shí)數(shù)a的值；(II)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；g(x)=2+f(x)口2(III)若函數(shù) X在［1,2］上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19．(本小題滿分13分)x2 y2—+—=1已知橢圓a2b2 (a>b>0)右頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離為“3—1,短軸長為2、江.(I)求橢圓的方程；(II)過左焦點(diǎn)F的直線與橢圓分別交于A、B兩點(diǎn)，若三角形OAB的3√2面積為4，求直線aB的方程.20．(本小題滿分13分)若數(shù)列｛AJ滿足Am=AJ，則稱數(shù)列｛AJ為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列｛a」aI=2,點(diǎn)(In+1)在函數(shù)f(X)=2X2+2X的圖像上，其中n為正整數(shù).(I)證明數(shù)列｛2an+1｝是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列｛lg(2an+1)｝為等比數(shù)列;T(I)設(shè)(I)中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)之積為Tn,T=(2a+1)(2a+1)…(2a+1) ｛a｝Tnn1 2 n ，求數(shù)列n」的通項(xiàng)及n關(guān)于n的表達(dá)式；(I)記bn=log2an+1Tn,求數(shù)列｛”的前n項(xiàng)和Sn，并求使｛,^2的n的最小值.2012年石景山區(qū)高三統(tǒng)一測試高三數(shù)學(xué)(理科)參考答案中,即、選擇題：本大題共8個(gè)小題,每小題5分,共40分．題號J _2 _3 4 _5 67 8答案BDADBBAC、填空題：本大題共6個(gè)小題,每小題5分,共30分．題號91011121314答案1310α"-4π3①②④三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共80分.應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）解：（I）因?yàn)椋?a-C）cosB=bcos0,由正弦定理，得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC2分.2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA4分??0<A<π?sinA≠0,cosB=—2又?.?0<B<π,πB=-3(II)由正弦定理sinA sinB,cosA=2A=π由 2可得4πB=—，由3可得SinC=41 1ch√6+?,’2S=—abSinC=-×2×76× 2 2 416.（本小題滿分13分）解：（I）己的可能取值為：0,1,2,3.6分8分11分13分 1分..ab得b='后,,,3+√32., (2、P(ξ=0)=C0-313)8J=27;PG=I)=C3("(2T13人3)49(1Y(2)J(3T1P(ξ=2)=C2-13=2；P("3)=J273713的的分布列如下表:ξ01238丁?1P2799278421Eξ=0X—+1x-+2X-+3X—=127 9 9 27．5分3（II）乙至多投中2次的概率為3_7=8.8分1-C3112J（In）設(shè)乙比甲多投中2次為事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次為事件B1,乙恰投中3次且甲恰投中1次為事件B2,則A=B1UB2,BJB2為互斥事件.10分8341 1X—+—X—=—P(A)=P(B)+P(B)=27898612．1所以乙恰好比甲多投中2次的概率為6.13分17．（本小題滿分14分）（D證明：連接B1C,與BC1相交于O,連接OD.VBCC1B1是矩形，.二O是B1C的中點(diǎn).又D是AC的中點(diǎn)，???0口/從81.VAB12面BDC1,ODU面BDC1,AAB1//WBDC1.1分4分（II）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，貝UC1(0，C(0D(1，，33，，0，0），B（0，3，2），0），A（2，3，0），0），CB=(0,3,2)1CD=(1,3,0)1，5分設(shè)n=（Xjy「ZI）是面bdc1的一個(gè)法向量，貝〃nCB=0,'

〔nC1D=0即I3y+2Z=0, 111 1 11X+3y=0TTn=(L-ξ,2)1乙，取 327分易知CC=（0,3,0）是面ABC的一個(gè)法向量.8分CoS:n,CC\nCC= 1—nXCC1 1272???二面角C1—BD—C的余弦值為7.9分(Ill)假設(shè)側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)P使得CP⊥≡BDC1.設(shè)P(2,y,0)(0≤y≤3)，則CP=(2,?—3,0)10分CPCB=0,< 1ECPCD=0則113(y-3)=0,,即∣2+3(y-%012分R==L=3解之〔3.??方程組無解.???側(cè)棱AA1上不存在點(diǎn)P,使CP⊥面BDC1.13分14分18．(本小題滿分14分)2a2x2+2af(x)=2x+—= 解：(I)1分(1)由已知f'(2)=1,解得a=-3函數(shù)f(X)的定義域?yàn)?0,+?)當(dāng)a≥0時(shí)，f'x)>0,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+?)5分3分，(2)xx；f,(x)=2(x+Wa)(x-Wa)當(dāng)a<0時(shí) x當(dāng)X變化時(shí)，f，(?),f(x)的變化情況如下:x(0,J-a)-aa(√-a,+∞)f'(x)-0+f(x)X極小值Z由上表可知，函數(shù)f(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,C-a)單調(diào)遞增區(qū)間是Q-a,+?)8分(II)由2 2 2ag(x)=—+x2+2alnx g(x)=-——+2x+——x29分x得x，由已知函數(shù)g(X)為［1,2］上的單調(diào)減函數(shù)，則g'(X)≤0在［1,2］上恒成立，2 2a——+2X+—≤0在［1,2］上恒成立.即 X2x1a≤--X2即X在［1,2］上恒成立.11分h(X)=1-X2令X1在口⑵J(X)=x2-2X=-(1+2X)<0X2所以h(X)在［1,2］為減函數(shù).h(X)min7=h(2)=-2，，7a≤--所以214分19．(本小題滿分13分)a—c=γ13—1b=22a2=b2+c2K解：(I)由題意，I1分解得α='氐c=12分X2y2——+——=1.即：橢圓方程為3** 23分AB43,(II)當(dāng)直線ab與X軸垂直時(shí)，此時(shí)^OBOB=v3不符合題意故舍掉;4分當(dāng)直線ab與X軸不垂直時(shí)，設(shè)直線ab的方程為：＞=k(X+1),代入消去?y得:(2+3k2)X2+6k2X+(3k2—6)=06分K設(shè)A(X1，yj,B(X2,y2)，則X+X12-6k2XX122+3k23k2-62+3k2，7分所以網(wǎng)二號7 9分d)?原點(diǎn)到直線的AB距離 PI+k2,SABId=1?4瓜k2+I)所以三角形的面積2 2%：1+k2 2+3k2S=3%2nk2=2nk=±Xt-,'2由4，l:<2X—V+J2=0Tl:x2X+V+√2=0所以直線ABJ 或ABJ .20．(本小題滿分13分) 12分 13分解：（I）因?yàn)閍n+1)2a2+2a,2a+1)2(2a2+2a)+1)(2a+1)2

n n n+1 n n n所以數(shù)列｛2an+1｝是“平方遞推數(shù)列”. ——2分由以上結(jié)論 n+1 n n，所以數(shù)列｛lg（2an+1）｝為首項(xiàng)是lg5公比為2的等比數(shù)列. ——3分（II）lg(2a+1)=[lg(2a+1)]×2n-1=2n-Ilg5)