含30度角的直角三角形-北京習(xí)題集-教師版

二.填空題（共二.填空題（共7小題）第1頁（共13頁）含30度角的直角三角形（北京習(xí)題集）（教師版）選擇題（共5小題）（2019秋?西城區(qū)期末）如圖，在等腰三角形ABC中，BA=BC，ZABC=120。，D為AC邊的中點(diǎn).若BC=6,則BD的長(zhǎng)為（）A.3B.4C.6D.8（2018秋?東城區(qū)期末）如圖，在AABC中，ZA=90。,ZC=30。,AD丄BC于D,BE是ZABC的平分線，且交AD于P，如果AP=2，則AC的長(zhǎng)為（）A.2B.4C.6D.8(2019春?昌平區(qū)校級(jí)月考)如圖，若ZB=30。，ZC=90。，AC=20m，則AB=()BACBACA.25mB.30mC.20、；3mD.40m（2019秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）如圖，AABC中，ZC=90。，ZA=30。，AB=4，點(diǎn)P是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BP的最小值為（）A.1B.2C.3D.4（2018春?海淀區(qū)校級(jí)期中）已知直角三角形ABC中，ZA=30。，ZC=90。，若AC=2方，則AB長(zhǎng)為（）A.A.2B.4C.3第第#頁（共13頁）（2019秋?延慶區(qū)期末）如圖，EC與DA交于點(diǎn)B,ZACB=90。,ZA=60。,BD=BE,則ZDEB的度數(shù)是.（2019秋?豐臺(tái)區(qū)期末）如圖，AABC中，AB=AC，ABAC=120。，AD丄AC交BC于點(diǎn)D，AD=3，則BC=（2019秋?延慶區(qū)期末）如圖，在AABC中，ZA=90。，CD是ZACB的平分線，DE垂直平分BC，若DE=2，則AB=則AB=（2019秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在AABC中，AB=BC，AABC=30。，BD平分AABC交AC于點(diǎn)D，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，若BF=6，則AC的長(zhǎng)為.CC（2019秋?西城區(qū)校級(jí)期中）等腰三角形的頂角是120。，底邊上的高是3,則腰長(zhǎng)為.（2019秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，AB=BC=6，AA=15。，則AABC的面積為cm?（2019秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）RtAABC中，AC=90。，AB=2AA，BC=4cm，ABcm?解答題（共3小題）13.（2017秋?大興區(qū)期末）已知：如圖，在AABC中，AB=AC=8,AA=120。，求BC的長(zhǎng).14.（2014秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）等腰三角形ABC中，AA=30。，AB=8，求AB邊上的高CD的長(zhǎng).15.（2014?順義區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=90。,AC=60。,BC=4,CD=3,求AB的長(zhǎng).

含30度角的直角三角形（北京習(xí)題集）（教師版）參考答案與試題解析一.選擇題（共5小題）（2019秋?西城區(qū)期末）如圖，在等腰三角形ABC中，BA=BC,ZABC=120。,D為AC邊的中點(diǎn).若BC=6,則BD的長(zhǎng)為（）A.3B.4C.6D.8【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【解答】解：BA=BC,上ABC=120。,.??ZC二ZA=30。,???D為AC邊的中點(diǎn)，BD丄AC,???BC=6,BD=1BC=3,2故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.（2018秋?東城區(qū)期末）如圖，在AABC中，ZA=90。,ZC=30。,AD丄BC于D,BE是ZABC的平分線，且交AD于P，如果AP=2，則AC的長(zhǎng)為（）A.2B.4C.6D.8【分析】易得AAEP的等邊三角形，則AE=AP=2，在直角AAEB中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)來求EB的長(zhǎng)度，然后在等腰ABEC中得到CE的長(zhǎng)度，則易求AC的長(zhǎng)度.【解答】解：AABC中，ZBAC=90。,ZC=30。,.ZABC=60。.又BE是ZABC的平分線，.??ZEBC=30。,.??ZAEB=ZC+ZEBC=60。,ZC=ZEBC,.ZAEP=60。,BE=EC.又AD丄BC,.??ZCAD=ZEAP=60。,貝yZAEP=ZEAP=60。,.△AEP的等邊三角形，貝9AE=AP=2,在直角△AEB中，ZABE=30。，則EB=2AE=4,BE=EC=4,AC=CE+AE=6.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì).利用三角形外角性質(zhì)得到ZAEB=60。是解題的關(guān)鍵.（2019春?昌平區(qū)校級(jí)月考）如圖，若ZB=30。,ZC=90。,AC=20m，則AB=（）BACA.25mB.30mC.20、：3mD.40m【分析】根據(jù)含30。的直角三角形的性質(zhì)解答即可.【解答】解：ZB=30。，ZC=90。，AC=20m，AB=40m，故選：D.【點(diǎn)評(píng)】此題考查含30。的直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)含30。的直角三角形的性質(zhì)解答.（2019秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，ZC=90。，ZA=30。，AB=4，點(diǎn)P是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BP的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4【分析】先根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)得BC的長(zhǎng)，根據(jù)垂線段最短可得BC是BP的最小值.【解答】解：ZC=90。，ZA=30。，AB=4，BC=—AB=—X4=2，22■■-點(diǎn)P是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)P與C重合時(shí)，BP的值最小為2，故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形30度角的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握垂線段最短是關(guān)鍵.（2018春?海淀區(qū)校級(jí)期中）已知直角三角形ABC中，ZA=30。，ZC=90。，若AC=2方，則AB長(zhǎng)為（）A.2BA.2B.4C.3【分析】根據(jù)聳=cosZA計(jì)算.【解答】解：ZA=30。，ZC=90。，AC=2占，涪=C0SZA=COS30。號(hào)2肓AB==4，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)，熟練運(yùn)用三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.填空題（共7小題）（2019秋?延慶區(qū)期末）如圖，EC與DA交于點(diǎn)B，ZACB=90。，ZA=60。，BD=BE，則ZDEB的度數(shù)是—75。_.【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【解答】解：???ZACB=90。，ZA=60。，.??ZABC=ZDBE=30。，/.BE=BD，:上DEB=1（180P-30。）=75。,故答案為：75。?【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和，對(duì)頂角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.（2019秋?豐臺(tái)區(qū)期末）如圖，AABC中，AB=AC，ZBAC=120。，AD丄AC交BC于點(diǎn)D，AD=3，則BC=9【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)得到ZB=ZC=30。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BD，計(jì)算即可.【解答】解：AB=AC，ZBAC=120。，:ZB=ZC=30。，?.?AD丄AC，:ZDAC=90。，又ZC=30。，.:CD=2AD=6，\'ZBAC=120。，ZDAC=90。，:.ZBAD=30。，:.ZDAB=ZB，.:BD=AD=3，.:BC=BD+CD=9，故答案為：9.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.（2019秋?延慶區(qū)期末）如圖，在^ABC中，ZA=90。，CD是ZACB的平分線，DE垂直平分BC，若DE=2，【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【解答】解：???CD是ZACB的平分線，:.ZACD=ZBCD，?.?DE垂直平分BC，BD=CD,.??ZDCB=ZB,:上ACB=2ZB,ZA=90。,:ZB=30。,?.?ZDEB=90。,：.BD=CD=2DE=4,AD=DE=2,.:AB=6,故答案為：6.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.（2019秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在AABC中，AB=BC，ZABC=30。，BD平分ZABC交AC于點(diǎn)D，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，若BF=6，則AC的長(zhǎng)為6.【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得出CF=BF=6，進(jìn)而利用含30。的直角三角形的性質(zhì)解答即可.【解答】解：連接CF,如圖所示：:AD=DC，BD丄AC，?.?BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)E,：.BF=CF=6，:ZDFC=2ZDBC=ZABC=30。，?.?BD丄AC，:.ZBDC=90。，.:DC=1CF=3，2.:AC=2DC=6，故答案為：6.【點(diǎn)評(píng)】此題考查含30。角的直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得出CF=BF解（2019秋?西城區(qū)校級(jí)期中）等腰三角形的頂角是120。，底邊上的高是3,則腰長(zhǎng)為.【分析】畫出圖形，可求得底角為30度，結(jié)合已知，由含30。的直角三角形的性質(zhì)可求得腰的長(zhǎng).【解答】解：如圖，AB=AC，AD丄BC于點(diǎn)D，AD=3，ZBAC=120。，?.?ZBAC=120。，AB=AC.??ZB=ZC=（180。-ZBAC）一2=30。?.?AD丄BCAB=3一=6.2故答案為：6.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和含30。角的直角三角形的性質(zhì)；求得30。的角是正確解答本題的關(guān)鍵.（2019秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，AB=BC=6，ZA=15。，則AABC的面積為9.【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ZACB=ZA=15。，由三角形的外角的性質(zhì)得到ZCBD=ZA+ZACB=30。，過C作CD丄AB交AB的延長(zhǎng)線于D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=-BC=3，于是得到結(jié)論.2【解答】解：AB=BC=6，ZA=15。，.ZACB=ZA=15。，.??ZCBD=ZA+ZACB=30。，過C作CD丄AB交AB的延長(zhǎng)線于D，.ZD=90。，CD=-BC=3，2.?.△ABC的面積為1AB?CD=1x6x3=9，22故答案為：9.dbb【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30。直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.（2019秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）RtAABC中，ZC=90。,ZB=2ZA,BC=4cm,AB=8cm.【分析】由“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”和“30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”解答.【解答】解：如圖，丁在RtAABC中，ZC=90。，ZB=2ZA，...ZA=90ox-=30。，3tBC=4cm，/.AB=2BC=8cm?【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀.解答題（共3小題）13.（2017秋?大興區(qū)期末）已知：如圖，在AABC中，AB=AC=8,ZA=120。，求BC的長(zhǎng).【分析】過點(diǎn)A作AD丄BC于D.解直角三角形求出BD，利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題.【解答】解：過點(diǎn)A作AD丄BC于D..ZB=ZC=30。，BC=2BD，在RtAABD中，ZADB=90。,ZB=30。,AB=8,BDcosB=,AB:.BD二ABcos30。二8x迢二4J3,2BC二8訂.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．14.（2014秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）等腰三角形ABC中，ZA=30。,AB=8，求AB邊上的高CD的長(zhǎng).【分析】①當(dāng)ZA為底角時(shí)，首先計(jì)算出ZCBD=60。，然后再計(jì)算出ZBCD的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得BD的長(zhǎng)，再利用勾股定理計(jì)算出CD長(zhǎng)即可；當(dāng)ZA為頂角時(shí)，直接利用在直角三角形中，30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得答案；當(dāng)ZA為底角，AB為底邊，利用勾股定理以及在直角三角形中，30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得答案.【解答】解：①當(dāng)ZA為底角時(shí)，ZA=30。，AB=CB=8，.??ZACB=30。，.??ZCBD=60。，?.?CD丄AD，.ZBCD=30。，BD=1CB=4，2CDCB2-BD264-16=4.3；當(dāng)ZA為頂角時(shí)，???CD丄AB，CD=1AC，2?.?AB=AC，AC=8，CD=4，當(dāng)ZA為底角，AB為底邊，貝yAC=BC，AC=BD，???CD丄AB，???AD=BD=4，

設(shè)DC二x，貝卩AC二2x,故x2+42二4x2，解得：x二竺3伍:.CD二——，3綜上：AB邊上的高CD的長(zhǎng)為4或用或字【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，30【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.15.（2014?順義區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，ZB=ZD=90。,ZC=60。,BC=4,CD=3,【分析】延長(zhǎng)DA，CB，交于點(diǎn)E，可得出三角形ABE與三角形CDE相似，由相似得比例，設(shè)AB=x，利用30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到AE=2x，利用勾股定理表示出BE，由BC+BE表示出CE，在