第七章線性變換綜合練習解答

第七章線性變換綜合練習一、單選題1．維線性空間的線性變換有個不同的特征值，是與對角矩陣相似的（A）．A．充分而非必要條件；B．必要而非充分條件；C．充分必要條件；D.既非充分也非必要條件．2.矩陣相似，則下列描述中不正確的是（D）A．；B．是數域上的多項式，則；C．；D．一定相似于對角形矩陣.3.階矩陣有個不同的特征根是與對角矩陣相似的(A).A．充分而非必要條件；B必要而非充分條件；C．充分必要條件；D.既非充分也非必要條件．4.令是R3的任意向量，則映射（B）是R3的線性變換。A．；B．；C．；D．．5．設是線性空間的一組基，線性變換在此基下矩陣為，則在下的矩陣為(B)A．B．C．D．6．設3階矩陣的特征值為1，3，5，則的行列式||等于（D） A．3;B．4;C．9;D．157．設均為n階矩陣,且相似，則下列結論正確的是（D） A．有相同的特征值和特征向量;B．;C．都相似于一個的對角矩陣;D．對任意常數都有，.8．A為n階可逆矩陣，是A的一個特征根，則A的伴隨矩陣的特征根之一是（B）A．;B．;C．;D．9．是可逆矩陣A的一個特征值，則矩陣有一個特征值是（B）A．;B．;C．;D．10．n階矩陣A相似于某對角矩陣，則（D）A．r(A)=n;B．A有不同的特征值;C．A是實對稱矩陣;D．A有n個線性無關的特征向量11.下列結論正確的是（D）Ａ．的解向量都是的屬于的特征向量；Ｂ．如果是的屬于的特征向量，則的倍向量也是的屬于的特征向量；Ｃ．如果都是的屬于的特征向量，則其線性組合也是的屬于的特征向量；Ｄ．如果都是的屬于兩個互異特征值的特征向量，則線性無關．12．設階矩陣有一個特征根是2，對應的特征值是，下列等式中錯誤的是（C）．Ａ．；Ｂ．；Ｃ．；Ｄ．．二．填空題1.線性空間上的線性變換關于它的基的矩陣是．2.設線性變換在基下的矩陣是，則在基下的矩陣是．3.在由函數1,生成的子空間V=中，微商變換關于基下的矩陣是．4．：，；：，則．．．5.，是的一組基，在該基下的矩陣分別為，則和在該基下的矩陣分別為和．6.線性空間中的線性變換,那么關于基的矩陣是．7.線性空間的任意線性變換,都有；．8.是上的線性變換，若，則．9.在中定義線性變換為：，寫出在基下的矩陣．10.若與相似，則=．11.設矩陣A與矩陣B相似，則＝，＝．12.設是一個3×3矩陣，如果2，－3，－1是的特征值，則矩陣的特征值為，行列式．13.若４級矩陣與相似，且矩陣的特征值為，則行列式＝．14.階方陣A滿足，則的特征值為．15.已知線性變換滿足，則的特征值為．16.設是級矩陣，是的全部特征值，，則的全部特征值是．17.是數域上3維線性空間的線性變換，特征值為1，2，-3，則的逆變換的特征值為．三、計算題1.設與相似．（1）求的值；（2）求可逆矩陣，使．解:（1）已知與相似，則有即得方程組，解得（2）由（1）的特征根為對，解方程組，即得基礎解系；對，解方程組，即得基礎解系；則令，則．2.是的一個線性變換且(1)求在標準基下的矩陣；(2)求的特征值與特征向量；并判斷是否可對角化.解:(1)的標準基是，，，，，則在標準基下的矩陣是；．(2)，的特征值為對，解方程組，即得基礎解系則的屬于的全部特征向量為對，解方程組，即得基礎解系則的屬于的全部特征向量為不全為零．因為有三個線性無關的特征向量，則可以對角化．3、在P中定義線性變換A(X)=X,A(X)=X,A(X)=X,求A,A,A在基E,E,E,E下的矩陣。解因AE=aE+cE,AE=aE+cE,AE=bE+dE,AE=bE+dE,故A在基E,E,E,E下的矩陣為A=。又因AE=aE+bE,AE=cE+dE,AE=aE+bE,AE=cE+dE,故A在基E,E,E,E下的矩陣為A=。又因AE=aE+abE+acE+bcE，AE=acE+adE+cE+cdE，AE=abE+bE+adE+bdE，AE=bcE+bdE+cdE+dE，故A在基E,E,E,E下的矩陣為。4.設三維線性空間V上的線性變換A在基下的矩陣為A=，求A在基下的矩陣；求A在基下的矩陣，其中且；求A在基下的矩陣。解1)因A=+a，A=，A=，故A在基下的矩陣為。2)因A=+，A(k)=++，A=+()+，故A在下的矩陣為。3)因A()=()()+()+()，A=()+()+，A=()+()+，故A基下的矩陣為。6、設A=，求A。解:因為(，故A的特征值為，且A的屬于特征值1的一個特征向量為X，A的屬于特征值5的一個特征向量為X，A的屬于特征值-5的一個特征向量為X。于是只要記T=(X，則T，且B。于是A=。四.證明題1.設為數域上維線性空間上的一個線性變換，且，證明：的特征值只能是1或0；證明：設是的任一個特征值，相應的特征向量是，則，于是，即，，則2.在線性空間中，對,令，則是的一個變換．(1)證明：是的一個線性變換；(2)證明:是可逆的.證明：(1),,，即.又即故由定義是V的一個線性變換.(2)因為是的基；而,,,則在的基下的矩陣