土豆和生菜的施肥問題

練習(xí)2施肥問題題目：土豆和生菜的施肥問題摘要本文主要應(yīng)用最小二乘法解決問題，首先根據(jù)數(shù)據(jù)，分別繪制出土豆和生菜的產(chǎn)量與三種營(yíng)養(yǎng)元素之間關(guān)系的散點(diǎn)圖，再根據(jù)所畫出的散點(diǎn)圖，猜測(cè)出三種元素氮（N）、磷（P）、鉀（K）對(duì)土豆和生菜影響的大致的函數(shù)曲線類型，最后應(yīng)用Matlab，求出未知參數(shù)，并作出所擬合的曲線圖與散點(diǎn)進(jìn)行比較，最終確定氮（N）、磷（P）、鉀（K）三個(gè)因素分別和土豆與生菜的關(guān)系式和關(guān)系圖。運(yùn)用Matlab軟件對(duì)氮（N）、磷（P）、鉀（K）分別與土豆產(chǎn)量進(jìn)行逐步回歸得到氮（N）、磷（P）、鉀（K）分別與土豆產(chǎn)量曲線===對(duì)氮（N）、磷（P）、鉀（K）分別與生菜產(chǎn)量進(jìn)行逐步回歸得到氮（N）、磷（P）、鉀（K）分別與生菜產(chǎn)量曲線===關(guān)鍵詞：散點(diǎn)圖、曲線擬合、matlab問題重述某地區(qū)作物生長(zhǎng)所需的營(yíng)養(yǎng)素主要是氮（N）、鉀（K）、磷（P）。某作物研究所在某地區(qū)對(duì)土豆與生菜做了一定數(shù)量的實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下列表所示，其中ha表示公頃，t表示噸，kg表示公斤。當(dāng)一個(gè)營(yíng)養(yǎng)素的施肥量變化時(shí)，總將另兩個(gè)營(yíng)養(yǎng)素的施肥量保持在第七個(gè)水平上，如對(duì)土豆產(chǎn)量關(guān)于N的施肥量做實(shí)驗(yàn)時(shí)，P與K的施肥量分別取為196kg／ha與372kg／ha。試分析施肥量與產(chǎn)量之間的關(guān)系，并對(duì)所得結(jié)果從應(yīng)用價(jià)值與如何改進(jìn)等方面作出評(píng)估。土豆：NPK施肥量（kg/ha）產(chǎn)量(t/ha)施肥量（kg/ha）產(chǎn)量(t/ha)施肥量（kg/ha）產(chǎn)量(t/ha)015.18033.46018.983421.362432.474727.356725.724936.069334.8610132.297337.9614038.5213534.039841.0418638.4420239.4514740.0927937.7325943.1519641.2637238.4333643.4624542.1746543.8740440.8329440.3655842.7747130.7534242.7365146.22生菜：NPK施肥量（kg/ha）產(chǎn)量(t/ha)施肥量（kg/ha）產(chǎn)量(t/ha)施肥量（kg/ha）產(chǎn)量(t/ha)011.0206.39015.752812.70499.484716.765614.569812.469316.898416.2714714.3814016.2411217.7519617.1018617.5616822.5929421.9427919.2022421.6339122.6437217.9728019.3448921.3446515.8433616.1258722.0755820.1139214.1168524.5365119.40二、問題分析產(chǎn)量與施肥量的函數(shù)關(guān)系,有兩種方式,一種是對(duì)三種肥料施用量與產(chǎn)量分別來擬合相應(yīng)的函數(shù),這需要擬合三個(gè)函數(shù),每個(gè)函數(shù)都是一元函數(shù),這種做法可以使擬合的效果較好。另一種是考慮三種肥料共同對(duì)產(chǎn)量的影響,這只需要擬合出一個(gè)函數(shù),這是一個(gè)三元函數(shù),且由于數(shù)據(jù)量偏少且不均勻等的原因,擬合效果要差一些,所以我們選擇第一種方法進(jìn)行計(jì)算。首先利用已知數(shù)據(jù)，做出三個(gè)肥料分別對(duì)土豆和生菜的散點(diǎn)圖，再利用散點(diǎn)圖對(duì)所要擬合問題的曲線類型做出判斷。在確定其他兩個(gè)量不變的前提下，做出第三個(gè)量對(duì)農(nóng)作物的函數(shù)關(guān)系式，并利用已知數(shù)據(jù)計(jì)算出所需參數(shù)，最終確定變量之間的函數(shù)關(guān)系。我們可以分別繪制出土豆和生菜的產(chǎn)量與施肥量的散點(diǎn)圖，從圖像的角度判斷函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)確定最終的函數(shù)。最后根據(jù)所得函數(shù)分析施肥量與產(chǎn)量之間的關(guān)系，總結(jié)出評(píng)估信息。三、符號(hào)說明1、表示作物生長(zhǎng)中氮的施肥量；2、表示作物生長(zhǎng)中磷的施肥量；3、表示作物生長(zhǎng)中鉀的施肥量；4、表示作土豆的產(chǎn)量；5、表示作生菜的產(chǎn)量；問題假設(shè)對(duì)N、P、K分別進(jìn)行討論時(shí)，假設(shè)其他兩個(gè)值固定時(shí)，農(nóng)作物可以正常生長(zhǎng)；在實(shí)驗(yàn)過程中，土豆和生菜生長(zhǎng)只受肥料多少的影響，無自然災(zāi)害等其他特殊情況發(fā)生；實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可信度高，可以真實(shí)的反映施肥量與產(chǎn)量的關(guān)系；模型的建立與求解5.1數(shù)據(jù)處理根據(jù)已知數(shù)據(jù)，利用Matlab分別做出N、P、K的施肥量對(duì)土豆和生菜產(chǎn)量的散點(diǎn)圖，如下所示：1.N的施肥量對(duì)土豆產(chǎn)量影響的散點(diǎn)圖：>>x=[0,34,67,101,135,202,259,336,404,471];>>y=[15.18,21.36,25.72,32.29,34.03,39.45,43.15,43.46,40.83,30.75];>>plot(x,y,'*')2.P的施肥量對(duì)土豆產(chǎn)量影響的散點(diǎn)圖>>x=[0,24,49,73,98,147,196,245,294,342];>>y=[33.46,32.47,36.06,37.96,41.04,40.09,41.21,42.17,40.36,42.73];>>plot(x,y,'*')3.K的施肥量對(duì)土豆產(chǎn)量影響的散點(diǎn)圖>>x=[0,47,93,140,186,279,372,465,558,651];>>y=[18.98,27.35,34.86,38.52,38.44,37.73,38.43,43.87,42.77,46.22];>>plot(x,y,'*')4.N的施肥量對(duì)生菜產(chǎn)量影響的散點(diǎn)圖>>x=[0,28,56,84,112,168,224,280,336,392];>>y=[11.02,12.7,14.56,16.27,17.75,22.59,21.63,19.34,16.12,14.11];>>plot(x,y,'*')5.P的施肥量對(duì)生菜產(chǎn)量影響的散點(diǎn)圖>>x=[0,49,98,147,196,294,391,489,587,685];>>y=[6.39,9.48,12.46,14.38,17.10,21.94,22.64,21.34,22.07,24.53];>>plot(x,y,'*')6.K的施肥量對(duì)生菜產(chǎn)量影響的散點(diǎn)圖>>x=[0,47,93,140,186,279,372,465,558,651];>>y=[15.75,16.76,16.89,16.24,17.56,19.20,17.97,15.84,20.11,19.40];>>plot(x,y,'*')5.2模型建立根據(jù)已知數(shù)據(jù)所描繪出的散點(diǎn)圖，可大致判斷出氮（N）、磷（P）、鉀（K）三個(gè)元素對(duì)土豆和生菜產(chǎn)量影響的曲線關(guān)系。討論一種肥料的用量與產(chǎn)量的關(guān)系時(shí),其它兩種肥料的用量都固定在第7種水平,三種肥料氮（N）、磷（P）、鉀（K）的用量分別是:我們先列出氮（N）、磷（P）、鉀（K）三個(gè)在第七水平上的值為：NPK施肥量（kg/ha）產(chǎn)量(t/ha)施肥量（kg/ha）產(chǎn)量(t/ha)施肥量（kg/ha）產(chǎn)量(t/ha)土豆25943.1519641.2637238.43生菜22421.6339122.6437217.97我們?cè)O(shè)土豆和生菜的產(chǎn)量分別為和，氮（N）、磷（P）、鉀（K）的施肥量分別記為、和。當(dāng)P、K固定在第7種水平，即=196，=372時(shí)，我們根據(jù)氮（N）的使用量和土豆產(chǎn)量的散點(diǎn)圖假設(shè)他們之間的曲線關(guān)系式為：=同理，根據(jù)已知散點(diǎn)圖，可以假設(shè)出磷（P）、鉀（K）與土豆的關(guān)系如下：==氮（N）、磷（P）、鉀（K）與生菜的關(guān)系式如下：===模型建立完畢。5.3模型求解由上述模型建立的出的關(guān)系式，利用Matlab編程得到如下結(jié)果：1.氮（N）的用量和土豆產(chǎn)量的關(guān)系求解。>>x=[0,34,67,101,135,202,259,336,404,471];y=[15.18,21.36,25.72,32.29,34.03,39.45,43.15,43.46,40.83,30.75];p=polyfit(x,y,2)p=-0.00030.197114.7416>>y2=p(1)*x.^2+p(2)*x+p(3);>>plot(x,y,'*',x,y2根據(jù)上述結(jié)果可知當(dāng)=-0.0003，=0.1971，=14.7416時(shí)，擬合出的線性曲線符合散點(diǎn)圖，我們得到氮（N）的用量和土豆產(chǎn)量的關(guān)系為：=2.磷（P）的用量和土豆產(chǎn)量的關(guān)系求解。>>x=[0,24,49,73,98,147,196,245,294,342];y=[33.46,32.47,36.06,37.96,41.04,40.09,41.21,42.17,40.36,42.73];p=polyfit(x,y,6)>Inpolyfitat80p=0.0000-0.00000.0000-0.00010.0097-0.210233.4537>>y2=p(1)*x.^6+p(2)*x.^5+p(3)*x.^4+p(4)*x.^3+p(5)*x.^2+p(6)*x+p(7);plot(x,y,'*',x,y2)x=[0,24,49,73,98,147,196,245,294,342];y=[33.46,32.47,36.06,37.96,41.04,40.09,41.21,42.17,40.36,42.73];p=polyfit(x,y,6);>Inpolyfitat80>>vpa(p)ans=[0.0000000000016559106748058374711115679530877,-0.0000000017027151494251419349900755691478,0.00000066206999753567675256750143034101,-0.00011984691488430034814367808326807,0.0097010103044680995321158434308018,-0.21023073987675083840187539863109,33.453748776750245497169089503586]>>y2=p(1)*x.^6+p(2)*x.^5+p(3)*x.^4+p(4)*x.^3+p(5)*x.^2+p(6)*x+p(7);plot(x,y,'*',x,y2)根據(jù)上述結(jié)果可知當(dāng)-0.00000000000165-0.00000000170271，0.000000662069997，-0.00011984691488，0.009701010304468，-0.2102307398767，33.453748776750245時(shí)，擬合出的線性曲線符合散點(diǎn)圖，我們得到磷（P）的用量和土豆產(chǎn)量的關(guān)系為：=3.鉀（K）的用量和土豆產(chǎn)量的關(guān)系求解。>>x=[0,47,93,140,186,279,372,465,558,651];>>y=[18.98,27.35,34.86,38.52,38.44,37.73,38.43,43.87,42.77,46.22];>>p=polyfit(x,y,4);>Inpolyfitat80>>vpa(p)ans=[-0.0000000014485654074717728309992432309699,0.0000022570830884435251027645471383343,-0.0011914199668553698396172846329932,0.26030224203944596350623896796606,18.676864073717268865948426537216]>>y2=p(1)*x.^4+p(2)*x.^3+p(3)*x.^2+p(4)*x+p(5);>>plot(x,y,'*',x,y2)根據(jù)上述結(jié)果可知當(dāng)-0.0000000014480.0000022570830，-0.0011914199668，0.2603022420394，18.676864073717時(shí)，擬合出的線性曲線符合散點(diǎn)圖，我們得到鉀（K）的用量和土豆產(chǎn)量的關(guān)系為：=4.氮（N）的用量和生菜產(chǎn)量的關(guān)系求解。x=[0,28,56,84,112,168,224,280,336,392];y=[11.02,12.7,14.56,16.27,17.75,22.59,21.63,19.34,16.12,14.11];p=polyfit(x,y,2)p=-0.00020.101310.2294>>y2=p(1)*x.^2+p(2)*x+p(3);>>plot(x,y,'*',x,y2)根據(jù)上述結(jié)果可知當(dāng)-0.00020.1013，10.2294時(shí)，擬合出的線性曲線符合散點(diǎn)圖，我們得到氮（N）的用量和生菜產(chǎn)量的關(guān)系為：=5.磷（P）的用量和生菜產(chǎn)量的關(guān)系求解。>>x=[0,49,98,147,196,294,391,489,587,685];y=[6.39,9.48,12.46,14.38,17.10,21.94,22.64,21.34,22.07,24.53];p=polyfit(x,y,4);>Inpolyfitat80>>vpa(p)ans=[0.0000000005772941967671217130969052489279,-0.00000067450205863439454953350230687059,0.0001630905018162498074617283716492,0.045534935221567054974833865799155,6.5992260169990570872755597520154]>>y2=p(1)*x.^4+p(2)*x.^3+p(3)*x.^2+p(4)*x+p(5);plot(x,y,'*',x,y2)根據(jù)上述結(jié)果可知當(dāng)0.000000000577-0.000000674502，0.00016309050181，0.0455349352215，6.59922601699905時(shí)，擬合出的線性曲線符合散點(diǎn)圖，我們得到磷（P）的用量和生菜產(chǎn)量的關(guān)系為：=6.鉀（K）的用量和生菜產(chǎn)量的關(guān)系求解。x=[0,47,93,140,186,279,372,465,558,651];y=[15.75,16.76,16.89,16.24,17.56,19.2,17.97,15.84,20.11,19.4];p=polyfit(x,y,6);>Inpolyfitat80>>vpa(p)ans=[-0.000000000000035327314246556036981343722902213,0.000000000064203944720780845998612527872324,-0.000000042702311557478166068832378622286,0.0000126689925322973150989634000263,-0.0016340747987891532117671333779185,0.080808686408384913790747816619842,15.695414723818187141546331986319]>>y2=p(1)*x.^6+p(2)*x.^5+p(3)*x.^4+p(4)*x.^3+p(5)*x.^2+p(6)*x+p(7);plot(x,y,'*',x,y2)根據(jù)上述結(jié)果可知當(dāng)-0.00000000000003530.00000000006420394，-0.0000000427023115，0.000012668992532，-0.001634074798，0.08080868640838，15.69541472381時(shí)，擬合出的線性曲線符合散點(diǎn)圖，我們得到鉀（K）的用量和生菜產(chǎn)量的關(guān)系為：=一般地，氮（N）、磷（P）、鉀（K）是作物生長(zhǎng)的三種基本肥料要素,它們用量的多少將直接影響農(nóng)作物的產(chǎn)量。這種對(duì)作物產(chǎn)量的影響通常是這三種肥料的共同影響，而不應(yīng)是單一某一種肥料對(duì)作物產(chǎn)量的影響。但每一種肥料的用量對(duì)于不同的作物產(chǎn)量的影響效果又有不同。由N的施肥量與土豆和生菜產(chǎn)量的擬合曲線，我們可以得到當(dāng)N的施肥量在328.5kg/ha和168.667kg/ha時(shí)，土豆和生菜的產(chǎn)量達(dá)到最大值，此時(shí)它們的產(chǎn)量分別為47.115275t/ha和23.271775t/ha.由已得的擬合曲線知：當(dāng)N的施肥量小于328.5kg/ha和168.667kg/ha時(shí)，會(huì)隨著施肥量的增加，土豆和生菜的產(chǎn)量也會(huì)隨之增加；但當(dāng)N的施肥量超過328.5kg/ha和168.667kg/ha時(shí)，反