第十二章概率與統(tǒng)計

高考數(shù)學(xué)

(天津?qū)Ｓ?§12.4統(tǒng)計A組自主命題·天津卷題組五年高考1.(2014天津理,9,5分)某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向,擬采用分層

抽樣的方法,從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查.已知該校一年

級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6,則應(yīng)從一年級本科生中抽取

名學(xué)生.答案60解析300×

=300×

=60(名).2.(2012天津理,9,5分)某地區(qū)有小學(xué)150所,中學(xué)75所,大學(xué)25所.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些

學(xué)校中抽取30所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查,應(yīng)從小學(xué)中抽取

所學(xué)校,中學(xué)中抽取

所學(xué)校.答案18;9解析應(yīng)從小學(xué)中抽取

×30=18所.應(yīng)從中學(xué)中抽取

×30=9所.3.(2011天津理,9,5分)一支田徑隊有男運(yùn)動員48人,女運(yùn)動員36人,若用分層抽樣的方法從該隊

的全體運(yùn)動員中抽取一個容量為21的樣本,則抽取男運(yùn)動員的人數(shù)為

.答案12解析由題意得所求人數(shù)為48×

=12.4.(2010天津理,11,4分)甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個數(shù)用莖葉圖表示如圖,中間一列

的數(shù)字表示零件個數(shù)的十位數(shù),兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù).則這10天甲、乙兩人日加

工零件的平均數(shù)分別為

和

.甲

乙

981971

0132021424

1153020

答案24;23解析

=

×(19+18+20+21+23+22+20+31+31+35)=24,

=

×(19+17+11+21+24+22+24+30+32+30)=23.評析

本題考查了用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的方法,屬容易題.B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一隨機(jī)抽樣1.(2019課標(biāo)Ⅱ理,5,5分)演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分,評定該選手的成績

時,從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分,得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評

分相比,不變的數(shù)字特征是

()A.中位數(shù)

B.平均數(shù)

C.方差

D.極差答案

A本題考查樣本數(shù)字特征的基本概念;以演講比賽的評分為背景考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處

理能力;充分考查了數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).根據(jù)中位數(shù)特征可知,去掉最高分和最低分后,只有中位數(shù)一定不會變化.故選A.易錯警示學(xué)生對中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差的概念理解不清,從而導(dǎo)致出錯.2.(2015北京文,4,5分)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表.采用分層抽樣的方法調(diào)查教

師的身體狀況,在抽取的樣本中,青年教師有320人,則該樣本中的老年教師人數(shù)為

()A.90

B.100

C.180

D.300類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計4300答案

C本題考查分層抽樣,根據(jù)樣本中的青年教師有320人,且青年教師與老年教師人數(shù)的

比為1600∶900=16∶9,可以得到樣本中的老年教師的人數(shù)為

×320=180,故選C.3.(2018課標(biāo)Ⅲ文改編,14,5分)某公司有大量客戶,且不同年齡段客戶對其服務(wù)的評價有較大差

異.為了解客戶的評價,該公司準(zhǔn)備進(jìn)行抽樣調(diào)查,可供選擇的抽樣方法有簡單隨機(jī)抽樣和分層

抽樣,則比較合適的抽樣方法是

.答案分層抽樣解析本題考查抽樣方法.因為不同年齡段客戶對其服務(wù)的評價有較大差異,所以根據(jù)兩種抽樣方法的特點(diǎn)可知比較合

適的抽樣方法是分層抽樣.4.(2017江蘇,3,5分)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為200,400,300,

100件.為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗,則應(yīng)

從丙種型號的產(chǎn)品中抽取

件.答案18解析本題考查分層抽樣法及用樣本估計總體.從丙種型號的產(chǎn)品中抽取的件數(shù)為60×

=18.考點(diǎn)二用樣本估計總體1.(2019課標(biāo)Ⅲ理,3,5分)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)

瑰寶,并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況,隨機(jī)調(diào)查了

100位學(xué)生,其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位,閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生

共有80位,閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位,則該校閱讀過《西游記》

的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為

()A.0.5

B.0.6

C.0.7

D.0.8答案

C

本題主要考查用樣本估計總體;考查學(xué)生對實際問題的處理能力和數(shù)據(jù)分析能力;

考查了數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).在樣本中,僅閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80=10,又由既閱讀過《西游記》又閱讀過

《紅樓夢》的學(xué)生人數(shù)為60,得閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為10+60=70,所以在樣本中,閱

讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)所占的比例為

=0.7,即為該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值.解題關(guān)鍵在樣本中,由閱讀過《西游記》或閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生人數(shù)為90,閱讀過《紅

樓夢》的學(xué)生有80位,可得僅閱讀過《西游記》的學(xué)生有10位是解決本題的關(guān)鍵.2.(2018課標(biāo)Ⅰ理,3,5分)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè),農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍,實現(xiàn)翻番.

為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況,統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收

入構(gòu)成比例,得到如下餅圖:

則下面結(jié)論中不正確的是

()A.新農(nóng)村建設(shè)后,種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后,其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半答案

A設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為a,則建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2a,由題圖可知根據(jù)上表可知B、C、D中的結(jié)論均正確,結(jié)論A不正確,故選A.

種植收入第三產(chǎn)業(yè)收入養(yǎng)殖收入其他收入建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入0.6a0.06a0.3a0.04a建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入0.74a0.56a0.6a0.1a3.(2017課標(biāo)Ⅲ文,3,5分)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了

2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.

根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是

()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)答案

A觀察2014年的折線圖,發(fā)現(xiàn)從8月至9月,以及10月開始的三個月接待游客量都是

減少的,故A選項是錯誤的.4.(2017課標(biāo)Ⅰ文,2,5分)為評估一種農(nóng)作物的種植效果,選了n塊地作試驗田.這n塊地的畝產(chǎn)量

(單位:kg)分別為x1,x2,…,xn,下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是

()A.x1,x2,…,xn的平均數(shù)

B.x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1,x2,…,xn的最大值

D.x1,x2,…,xn的中位數(shù)答案

B本題考查樣本的數(shù)字特征.統(tǒng)計問題中,體現(xiàn)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度的指標(biāo)為數(shù)據(jù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差.故選B.方法總結(jié)樣本的平均數(shù)體現(xiàn)的是樣本數(shù)據(jù)的平均水平,樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差體現(xiàn)的是樣本

數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.5.(2016山東文,3,5分)某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位:小時),制成了如圖所示的

頻率分布直方圖,其中自習(xí)時間的范圍是[17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20),[20,22.5),[22.5,2

5),[25,27.5),[27.5,30].根據(jù)直方圖,這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是(

)

A.56

B.60

C.120

D.140答案

D由頻率分布直方圖知200名學(xué)生每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率為1-(0.02+

0.10)×2.5=0.7,則這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)為200×0.7=140,故

選D.6.(2015課標(biāo)Ⅱ文,3,5分)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位:萬噸)

柱形圖,以下結(jié)論中不正確的是()

A.逐年比較,2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)答案

D由柱形圖可知:A、B、C均正確,2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢,所

以排放量與年份負(fù)相關(guān),∴D不正確.7.(2019課標(biāo)Ⅱ文,14,5分)我國高鐵發(fā)展迅速,技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計,在經(jīng)停某站的高鐵列車中,有10

個車次的正點(diǎn)率為0.97,有20個車次的正點(diǎn)率為0.98,有10個車次的正點(diǎn)率為0.99,則經(jīng)停該站

高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計值為

.答案0.98解析考查用頻率估計概率和運(yùn)算求解能力;考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算.設(shè)經(jīng)停該站高鐵列車所有車次中正點(diǎn)率為0.97的事件為A,正點(diǎn)率為0.98的事件為B,正點(diǎn)率為

0.99的事件為C,則用頻率估計概率有P(A)=

=

,P(B)=

=

,P(C)=

=

,所以經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計值為0.97×

+0.98×

+0.99×

=0.98.8.(2019江蘇,5,5分)已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10,則該組數(shù)據(jù)的方差是

.答案

解析本題主要考查樣本的數(shù)字特征,考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力,考查的核心素養(yǎng)是數(shù)據(jù)分析、

數(shù)學(xué)運(yùn)算.∵

=

=8,∴s2=

×[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=

.解題關(guān)鍵

數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為

=

,方差為s2=

[(x1-

)2+(x2-

)2+…+(xn-

)2],準(zhǔn)確記憶公式是解題關(guān)鍵.9.(2018江蘇,3,5分)已知5位裁判給某運(yùn)動員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示,那么這5位裁判打

出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為

.答案90解析本題考查莖葉圖、平均數(shù).由莖葉圖,知5位裁判打出的分?jǐn)?shù)分別為89,89,90,91,91,則這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為

×(89+89+90+91+91)=90.10.(2016江蘇,4,5分)已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,則該組數(shù)據(jù)的方差是

.答案0.1解析

=

=5.1,則該組數(shù)據(jù)的方差s2=

=0.1.11.(2019課標(biāo)Ⅲ理,17,12分)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進(jìn)行如下試驗:將2

00只小鼠隨機(jī)分成A,B兩組,每組100只,其中A組小鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶

液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘

留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:

記C為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”,根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值;(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).解析本題主要考查頻率分布直方圖的含義,以及用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征,通

過實際問題的應(yīng)用考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng),體現(xiàn)了應(yīng)用意識.(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.方法總結(jié)由頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征:(xi表示第i個小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo),Si表示第i個小矩形的面積)①平均數(shù)

=x1S1+x2S2+…+xiSi+…+xnSn;②方差s2=(x1-

)2S1+(x2-

)2S2+…+(xn-

)2Sn;③中位數(shù):從左到右(或從右到左)小矩形面積之和等于0.5時的橫坐標(biāo);④眾數(shù):最高小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).12.(2018課標(biāo)Ⅰ文,19,12分)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:m3)和使

用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù),得到頻數(shù)分布表如下:未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)頻數(shù)13249265使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)頻數(shù)151310165(1)作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;

(2)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35m3的概率;(3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水.(一年按365天計算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組

數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)解析(1)

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.2×0.1+1×0.1+2.

6×0.1+2×0.05=0.48,因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35m3的概率的估計值為0.48.(3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為

=

×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為

=

×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.估計使用節(jié)水龍頭后,一年可節(jié)省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).易錯警示利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)時,應(yīng)注意:(1)最高的小長方形下底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù);(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的;(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘小長

方形下底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.13.(2017北京文,17,13分)某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評,根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例,使

用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組:[20,30),[30,4

0),…,[80,90],并整理得到如下頻率分布直方圖:

(1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,估計其分?jǐn)?shù)小于70的概率;(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù);(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計

總體中男生和女生人數(shù)的比例.解析(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知,樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02+0.04)×10=0.6,所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1-0.6=0.4.所以從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計為0.4.(2)根據(jù)題意,樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為100-100×0.9-5=5.所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)估計為400×

=20.(3)由題意可知,樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.02+0.04)×10×100=60,所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為60×

=30.所以樣本中的男生人數(shù)為30×2=60,女生人數(shù)為100-60=40,男生和女生人數(shù)的比例為60∶40=

3∶2.所以根據(jù)分層抽樣原理,總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為3∶2.14.(2015福建文,18,12分)全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國網(wǎng)民中影響力的綜合指

標(biāo).根據(jù)相關(guān)報道提供的全網(wǎng)傳播2015年某全國性大型活動的“省級衛(wèi)視新聞臺”融合指數(shù)

的數(shù)據(jù),對名列前20名的“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)進(jìn)行分組統(tǒng)計,結(jié)果如表所示.組號分組頻數(shù)1[4,5)22[5,6)83[6,7)74[7,8]3(1)現(xiàn)從融合指數(shù)在[4,5)和[7,8]內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機(jī)抽取2家進(jìn)行調(diào)研,求至少有1

家的融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的概率;(2)根據(jù)分組統(tǒng)計表求這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)的平均數(shù).解析(1)融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為A1,A2,A3;融合指數(shù)在[4,5)內(nèi)的“省級

衛(wèi)視新聞臺”記為B1,B2.從融合指數(shù)在[4,5)和[7,8]內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機(jī)抽取2家的

所有基本事件是{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},

共10個.其中,至少有1家融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的基本事件是{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B

1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共9個.所以所求的概率P=

.(2)這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)平均數(shù)等于4.5×

+5.5×

+6.5×

+7.5×

=6.05.評析

本題主要考查古典概型、頻數(shù)分布表、平均數(shù)等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算

求解能力、應(yīng)用意識等.C組教師專用題組考點(diǎn)一隨機(jī)抽樣1.(2014重慶文,3,5分)某中學(xué)有高中生3500人,初中生1500人.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,用分層

抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個容量為n的樣本,已知從高中生中抽取70人,則n為

()A.100

B.150

C.200

D.250答案

A由分層抽樣的特點(diǎn)可知

=

,解得n=100.2.(2015福建文,13,4分)某校高一年級有900名學(xué)生,其中女生400名.按男女比例用分層抽樣的

方法,從該年級學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本,則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為

.答案25解析男生人數(shù)為900-400=500.設(shè)應(yīng)抽取男生x人,則由

=

得x=25.即應(yīng)抽取男生25人.3.(2014上海文,5)某校高一、高二、高三分別有學(xué)生1600名、1200名、800名,為了解該校高

中學(xué)生的牙齒的健康狀況,按各年級的學(xué)生數(shù)進(jìn)行分層抽樣,若高三抽取20名學(xué)生,則高一,高

二共抽取的學(xué)生數(shù)為

.解析∵高一、高二、高三分別有學(xué)生1600名,1200名,800名,∴若高三抽取20名學(xué)生,設(shè)共需抽取的學(xué)生數(shù)為x,則

=

,解得x=90,則高一、高二共需抽取的學(xué)生數(shù)為90-20=70,故答案為70.評析

本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用,比較基礎(chǔ).考點(diǎn)二用樣本估計總體1.(2014陜西,9,5分)某公司10位員工的月工資(單位:元)為x1,x2,…,x10,其均值和方差分別為?和s2,若從下月起每位員工的月工資增加100元,則這10位員工下月工資的均值和方差分別為?(

)A.?,s2

B.?+100,s2C.?,s2

D.?+100,s2答案

D設(shè)增加工資后10位員工下月工資的均值為

',方差為s'2,則

'=

[(x1+100)+(x2+100)+…+(x10+100)]=

(x1+x2+…+x10)+100=

+100;方差s'2=

[(x1+100-

')2+(x2+100-

')2+…+(x10+100-

')2]=

[(x1-

)2+(x2-

)2+…+(x10-

)2]=s2.故選D.2.(2015廣東文,12,5分)已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的均值

=5,則樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的均值為

.答案11解析依題意有

=

=5,則2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的均值為

=2

+1=11.3.(2015江蘇,2)已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

.答案6解析數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

=6.4.(2016北京文,17,13分)某市居民用水?dāng)M實行階梯水價.每人月用水量中不超過w立方米的部分

按4元/立方米收費(fèi),超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi).從該市隨機(jī)調(diào)查了10000位居民,

獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù),整理得到頻率分布直方圖如圖:

(1)如果w為整數(shù),那么根據(jù)此次調(diào)查,為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米,w至少

定為多少?(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替.當(dāng)w=3時,估計該市居民該月的人均水

費(fèi).解析(1)由用水量的頻率分布直方圖知,該市居民該月用水量在區(qū)間[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]內(nèi)的頻率依次為0.1,0.15,0.2,0.2

5,0.15.所以該月用水量不超過3立方米的居民占85%,用水量不超過2立方米的居民占45%.依題意,可得w至少定為3.(2)由用水量的頻率分布直方圖及題意,得居民該月用水費(fèi)用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布表:組號12345678分組[2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,17](17,22](22,27]頻率0.10.150.20.250.150.050.050.05該市居民該月的人均水費(fèi)估計為4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元).思路分析第(1)問,需要計算該市居民月用水量在各區(qū)間內(nèi)的頻率,根據(jù)樣本的頻率分布直方

圖即可獲解.第(2)問,由月用水量的頻率分布直方圖和w=3可得居民該月用水費(fèi)用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布

表,由此可估計該市居民該月的人均水費(fèi).難點(diǎn)突破第(2)問本質(zhì)上是考查加權(quán)平均數(shù)的概念,這個權(quán)重就是頻率,所以結(jié)合第(1)問和

加權(quán)平均數(shù)的概念,就可以算出人均水費(fèi).評析

本題考查了頻率分布直方圖及用樣本估計總體,屬于中檔題.5.(2016四川,16,12分)我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市為了制訂合理的節(jié)水方案,對居民用

水情況進(jìn)行了調(diào)查.通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照

[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中a的值;(2)設(shè)該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),說明理由;(3)估計居民月均用水量的中位數(shù).

解析(1)由頻率分布直方圖,可知:月均用水量在[0,0.5)的頻率為0.08×0.5=0.04.同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]等組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.0

2.由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a,解得a=0.30.(2)由(1),100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12,由以上樣本的頻率分布,可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000×0.12=3

6000.(3)設(shè)中位數(shù)為x噸.因為前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5,所以2≤x<2.5.由0.50×(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04.故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.思路分析(1)通過各組頻率之和為1,求出a的值.(2)利用樣本的頻率來估計總體的數(shù)字特征.評析

本題考查了樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征,及利用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征,同時考

查了學(xué)生的運(yùn)算能力.考點(diǎn)一隨機(jī)抽樣三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點(diǎn)基礎(chǔ)題組1.(2017天津耀華中學(xué)第二次月考,2)某工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品,數(shù)量分別

為600件、400件、300件,用分層抽樣方法抽取容量為n的樣本,若從丙車間抽取6件,則n的值為

()A.18

B.20

C.24

D.26答案

D由分層抽樣的特征得

=

,解得n=26,故選D.評析

本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用,根據(jù)條件建立比例關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵,比較基礎(chǔ).2.(2019天津武清期中)某校高一年級有600個學(xué)生,高二年級有550個學(xué)生,高三年級有650個學(xué)

生,為調(diào)查學(xué)生的視力情況,用分層抽樣的方法抽取一個樣本,若在高二、高三共抽取了48個學(xué)

生,則應(yīng)在高一年級抽取

個學(xué)生.答案24解析設(shè)應(yīng)在高一年級抽取n個學(xué)生,則有

=

,解得n=24,∴應(yīng)在高一年級抽取24個學(xué)生.3.(2018天津南開中學(xué)模擬)隨機(jī)抽取100名年齡在[10,20),[20,30),…,[50,60)年齡段的市民進(jìn)行

問卷調(diào)查,由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示,從不小于40歲的人中按年齡段分層抽樣

的方法隨機(jī)抽取8人,則在[50,60)年齡段抽取的人數(shù)為

.

答案2解析根據(jù)題中的頻率分布直方圖得樣本中不小于40歲的人的頻率是0.015×10+0.005×10=0.

2,∴不小于40歲的人的頻數(shù)是100×0.2=20.從不小于40歲的人中按年齡段分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8人,在[50,60)年齡段抽取的人數(shù)為8×

=8×

=2.評析

本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題,也考查了分層抽樣方法的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.考點(diǎn)二用樣本估計總體1.(2019天津部分區(qū)一模理)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題:糧倉開倉收

糧,有人送來米1536石,驗得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得256粒內(nèi)夾谷18粒,則這批米內(nèi)夾谷

約為

()A.108石

B.169石

C.237石

D.338石答案

A由題意可知,這批米內(nèi)夾谷約為1536×

=108(石).故選A.2.(2019天津河西期末理)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測

試中的成績(單位:分),已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8,則x,y的值分別為

.

答案5,8解析∵甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15,∴x=5;∵乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8,∴

=16.8,解得y=8.∴x,y的值分別為5,8.評析

本題考查了利用莖葉圖求數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的問題,是基礎(chǔ)題.3.(2018天津南開模擬,9)某中學(xué)為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況,在3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取200名,

并統(tǒng)計這200名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績,得到樣本的頻率分布直方圖(如圖),根據(jù)頻率分布直

方圖,推測這3000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績低于60分的學(xué)生人數(shù)是

.

答案600解析根據(jù)頻率分布直方圖得,在該次數(shù)學(xué)考試中成績小于60分的頻率是(0.002+0.006+0.012)

×10=0.20,所以估計在該次數(shù)學(xué)考試中成績低于60分的學(xué)生人數(shù)為3000×0.20=600.4.(2018天津和平質(zhì)量檢測一,16)某校從參加高三區(qū)級模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名,將其

數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成6段[80,90),[90,100),…,[130,140)后得到相應(yīng)的頻率分布直方圖如圖,

根據(jù)圖中的信息,回答下列問題.(1)求分?jǐn)?shù)在[100,110)內(nèi)的人數(shù);(2)統(tǒng)計方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表,據(jù)此估計本次考試的平均分;(3)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)[80,100)內(nèi)的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本,將該樣本看成一個

總體,從中任取2人,求至多有1人分?jǐn)?shù)在[90,100)內(nèi)的概率.解析(1)根據(jù)題中的頻率分布直方圖知,分?jǐn)?shù)在[100,110)內(nèi)的頻率為0.025×10=0.25,則所求的人數(shù)為60×0.25=15.(2)用同一組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表,得本次考試的平均分

=85×0.15+95×0.30+105×0.25+115×0.15+125×0.10+135×0.05=104.(3)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)[80,100)內(nèi)的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本,則在分?jǐn)?shù)[80,90)內(nèi)應(yīng)抽取6×

=2人,記為A、B,在分?jǐn)?shù)[90,100)內(nèi)應(yīng)抽取4人,記為c、d、e、f,從這6人中任取2人,基本事件為AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef,共15種,至多有1人分?jǐn)?shù)在[90,100)內(nèi)的基本事件是AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf,共9種,故所求的概率P=

=

.B組2017—2019年高考模擬·專題綜合題組時間:60分鐘分值:90分一、填空題(每小題5分,共40分)1.(2019天津河北二模)交通管理部門為了解機(jī)動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規(guī)的知曉情

況,對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查.假設(shè)四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N,其中甲社

區(qū)有駕駛員96人.若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43,則這四

個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為

.答案808解析由題意得,

=

,解得N=808.∴這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為808.2.(2018天津新華中學(xué)高考模擬)一所中學(xué)有高一、高二、高三共三個年級的學(xué)生1600名,其

中高三學(xué)生有400名.如果通過分層抽樣的方法從全體高中學(xué)生中抽取一個容量為80人的樣

本,那么應(yīng)當(dāng)從高三年級的學(xué)生中抽取的人數(shù)是

.答案20解析設(shè)應(yīng)當(dāng)從高三年級的學(xué)生中抽取的人數(shù)是x,則由分層抽樣的定義可得

=

,解得x=20.評析

本題主要考查分層抽樣,屬于基礎(chǔ)題.3.(2018天津南開二模)一個總體分為A,B兩層,用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的

樣本.已知B層中每個個體被抽到的概率都為

,則總體中的個體數(shù)為

.答案160解析設(shè)總體中的個體數(shù)為n.在分層抽樣中每個個體被抽到的概率相同,∴

=

,解得n=160,即總體中的個體數(shù)為160.4.(2018天津耀華中學(xué)二模)某校共有高一、高二、高三學(xué)生1290人,其中高一學(xué)生480人,高二

學(xué)生比高三學(xué)生多30人,為了解該校學(xué)生的身體健康情況,現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查,在抽

取的樣本中高一學(xué)生有96人,則該樣本中的高三學(xué)生人數(shù)為

.答案78解析∵高二學(xué)生比高三學(xué)生多30人,∴設(shè)高三學(xué)生有x人,則x+x+30+480=1290,解得x=390,故高二學(xué)生有420人,高三學(xué)生有390人,∵在抽取的樣本中高一學(xué)生有96人,∴該樣本中的高三學(xué)生人數(shù)為

×390=78.5.(2018天津河西三模)某校有高級教師26人,中級教師104人,其他教師若干人.為了了解該校教

師的工資收入情況,按分層抽樣從該校的所有教師中抽取56人進(jìn)行調(diào)查,已知從其他教師中共

抽取了16人,則該校共有教師

人.答案182解析設(shè)該校其他教師有x人,則

=

,∴x=52,故全校教師共有26+104+52=182人.6.(2018天津模擬)某學(xué)校隨機(jī)抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)所需時間(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)繪

制成頻率分布直方圖(如圖),其中,上學(xué)所需時間的范圍是[0,100],樣本數(shù)據(jù)分組為[0,20),[20,4

0),[40,60),[60,80),[80,100],則(1)圖中的x=

;(2)若上學(xué)所需時間不少于1小時的學(xué)生可申請在學(xué)校住宿,則該校600名新生中估計有

名學(xué)生可以申請住宿.

答案(1)0.0125(2)72解析(1)由頻率分布直方圖知,20x=1-20×(0.025+0.0065+0.003+0.003),解得x=0.0125.(2)上學(xué)時間不少于1小時的學(xué)生的頻率為(0.003+0.003)×20=0.12,因此估計有0.12×600=72名學(xué)生可以申請住宿.7.(2017天津和平期末)某校高中共有720人,其中理科生480人,文科生240人,現(xiàn)采用分層抽樣的

方法從中抽取90名學(xué)生參加調(diào)研,則抽取理科生的人數(shù)為

.答案60解析由分層抽樣的定義得抽取理科生的人數(shù)為

×90=60.8.(2017天津南開期末)甲和乙兩個城市去年上半年每月的平均氣溫(單位:℃)用莖葉圖記錄如

下,根據(jù)莖葉圖可知,兩城市中平均溫度較高的城市是

.

答案乙解析由莖葉圖知,

=

×(9+13+17+17+18+22)=16,

=

×(12+14+17+20+24+27)=19,∴

<

,∴乙城市的平均氣溫較高.思路分析由莖葉圖中的數(shù)據(jù),計算兩城市氣溫的平均值即可.評析

本題考查了利用莖葉圖中的數(shù)據(jù)計算平均數(shù)的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.二、解答題(共50分)9.(2019天津十二重點(diǎn)中學(xué)二模)某社區(qū)有居民500人,為了迎接第十一個“全民健身日”的到

來,居委會從中隨機(jī)抽取了50名居民,統(tǒng)計了他們本月參加戶外運(yùn)動時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),并

將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,分為5組:[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20],得到如圖所示的頻率分布直

方圖.(1)試估計該社區(qū)所有居民中,本月戶外運(yùn)動時間不少于16小時的人數(shù);(2)已知這50名居民中恰有2名女性的戶外運(yùn)動時間在[18,20],現(xiàn)從戶外運(yùn)動時間在[18,20]的居

民中隨機(jī)抽取2人,求至少抽到1名女性的概率.

解析(1)由頻率分布直方圖可知戶外運(yùn)動不少于16小時的人數(shù)的頻率為(0.10+0.06)×2=0.32,∵0.32×500=160人,∴本月戶外運(yùn)動時間不少于16小時的人數(shù)為160.

(3分)(2)戶外運(yùn)動時間在[18,20]的居民有50×0.06×2=6人,易知6人中有2名女性,4名男性,設(shè)四名男性分別表示為A,B,C,D,兩名女性分別表示為E,F,

(4分)則從6名居民中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},

{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15種.

(9分)設(shè)事件M為“至少抽到1名女性”,則M中所含的結(jié)果為{A,E},{A,F},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F}共9種.

(12分)∴事件M發(fā)生的概率為P(M)=

=

.

(13分)10.(2018天津和平二模)在一次有1000名高中生參加的物理、化學(xué)、生物三科競賽中,每人只

能參加其中的一科,各科參賽人數(shù)如下表:(1)在所有參賽的學(xué)生中,用分層抽樣的方法抽取n人,已知從生物學(xué)科的參賽者中抽取了6人,

求n的值及從化學(xué)學(xué)科的參賽者中抽取的人數(shù);(2)在物理學(xué)科的參賽者中,用分層抽樣的方法抽取6人看作一個總體,從中任意選取2人,求2人

中必有女生的概率.

物理化學(xué)生物男生400200100女生2005050解析(1)用分層抽樣抽取n人,從生物學(xué)科的參賽者中抽取了6人,則

=

,解得n=40,則從化學(xué)學(xué)科的參賽者中抽取的人數(shù)為40×

=10.(2)在物理學(xué)科的參賽者中,用分層抽樣的方法抽取6人,其中4名男生分別記為A、B、C、D,2名女生分別記為e,f.從這6人中任選2人,基本事件為AB、AC、AD、Ae、Af、BC、BD、Be、Bf、CD、Ce、Cf、De、Df、ef共15種,這2人中必有女生的基本事件為Ae、Af、Be、Bf、Ce、Cf、De、Df、ef共9種,故所求的概率P=

=

.11.(2018天津北辰模擬)樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山,堅持人與自然和諧共生”的理

念越來越深入人心,已形成了全民自覺參與,造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此,某網(wǎng)站推出了關(guān)于生

態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展情況的調(diào)查,現(xiàn)從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)選出200人,并將