常見數(shù)列類型的通項(xiàng)公式的求法一、已知數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)用觀察猜想歸納法求通項(xiàng)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精常見數(shù)列類型的通項(xiàng)公式的求法一、已知數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)，用觀察猜想歸納法求通項(xiàng)例1。求下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式（1）EQ\F（22—1,2），EQ\F(32-1,3）,EQ\F（42—1，4），EQ\F(52-1，5），…（2）－EQ\F(1,1×2),EQ\F(1，2×3)，－EQ\F（1,3×4)，EQ\F（1，4×5），…（3）EQ\F(2，3），1，EQ\F(10,7)，EQ\F(17,9),EQ\F(26，11)，…（4）3，33，333,3333，…分析：（1）第n項(xiàng)的分母是n+1,分子是，故；（2)第n項(xiàng)的分母是n（n+1），分子是1，符號(hào)是，故an=EQ\F((－1）n，n（n+1）)；（3）EQ\F（2,3),1，EQ\F(10,7）,EQ\F(17，9），EQ\F(26，11)，…即,…，故an=EQ\F(n2＋1,2n＋1)；（4)將數(shù)列各項(xiàng)改寫為：eq\f（9,3)，eq\f（99,3)，eq\f（999,3），eq\f（9999，3),…,分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1，104－1,…,所以an＝eq\f(1，3)（10n－1）．評(píng)注：(1）認(rèn)真觀察所給數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)特征，找出an與n的對(duì)應(yīng)關(guān)系，正確寫出對(duì)應(yīng)的表達(dá)式。（2）若是解答題，用觀察猜想法得到的公式還要用數(shù)學(xué)歸納法證明。變式練習(xí)1.寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）eq\f（1,2）,eq\f(3,4)，eq\f（7，8），eq\f（15,16),eq\f(31，32),…;（2)－1,eq\f（3,2），－eq\f(1,3）,eq\f(3，4），－eq\f（1,5），eq\f(3，6），…；［審題視點(diǎn)]先觀察各項(xiàng)的特點(diǎn),然后歸納出其通項(xiàng)公式，要注意項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，項(xiàng)與前后項(xiàng)之間的關(guān)系．解（1）每一項(xiàng)的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21，22，23,24，…，所以an＝eq\f(2n－1,2n).(2)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含因子(－1)n；各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列1,2,3，4，…；而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中,奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為2－1，偶數(shù)項(xiàng)為2＋1，所以an＝(－1)n·eq\f（2＋－1n，n）(也可寫為an＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－\f（1，n)，n為正奇數(shù),,\f(3,n）,n為正偶數(shù).））)變式練習(xí)2.(1）已知數(shù)列｛an｝的前四項(xiàng)分別為1，0，1，0，給出下列各式：①an＝eq\f(1－－1n，2）；②an＝eq\f（1＋－1n,2）；③an＝sin2eq\f（nπ，2)；④an＝eq\f（1－cosnπ,2）;⑤an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1n為正偶數(shù)，0n為正奇數(shù))）；⑥an＝eq\f（1＋－1n＋1，2)＋(n－1）（n－2)．其中可以作為數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式的有________(填序號(hào)）．答案①③④（2）（2012泰州月考)數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，x,34，55,…中x的值為________．解：觀察數(shù)列中項(xiàng)的規(guī)律，易看出數(shù)列從第三項(xiàng)開始每一項(xiàng)都是其前兩項(xiàng)的和．答：21。變式練習(xí)3。(2014廣東理)設(shè)數(shù)列的前和為,滿足，且。(1)求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;故變式練習(xí)4.已知數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為，，,求{an}的通