江蘇專版2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線與方程3.3拋物線3.3.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分層作業(yè)蘇教版選擇性必修第一冊(cè)

3.3.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分層作業(yè)A層基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.已知點(diǎn)，直線，若動(dòng)點(diǎn)到的距離等于，則點(diǎn)的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線2.頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A. B. C. D.3.（多選題）對(duì)拋物線，下列描述正確的是()A.焦點(diǎn)坐標(biāo)為 B.焦點(diǎn)坐標(biāo)為C.準(zhǔn)線方程為 D.準(zhǔn)線方程為4.（多選題）對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線，給出下列條件：①焦點(diǎn)在軸上；②焦點(diǎn)在軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；④由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某直線作垂線，垂足的坐標(biāo)為.其中滿足拋物線方程為的是()A.① B.② C.③ D.④5.已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.或C. D.或6.若拋物線的準(zhǔn)線與直線間的距離為3，則拋物線的方程為.7.已知點(diǎn)與點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若軌跡上有兩點(diǎn)，在第一象限，且，，求證：直線的斜率是.B層能力提升練8.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若，則的面積為()A.2 B. C. D.49.已知直線和直線，則拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是()A. B.2 C. D.310.已知是拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.11.（多選題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點(diǎn)，，為垂足.若直線的斜率，則下列結(jié)論正確的是()A.準(zhǔn)線方程為 B.焦點(diǎn)坐標(biāo)為C.點(diǎn)的坐標(biāo)為 D.的長(zhǎng)為312.已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值為()A.7 B.8 C.9 D.1013.已知是拋物線上的一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若以為直徑作圓，則這個(gè)圓與軸的關(guān)系是()A.相交 B.相切C.相離 D.以上三種情況都有可能14.[課本改編題]一拋物線形的拱橋如圖所示，橋的跨度米，拱高米，在建造時(shí)每隔4米用一個(gè)柱子支撐，則支柱的長(zhǎng)度為米.15.[2023宿遷期末]已知點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，若點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之和最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.16.如圖，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由長(zhǎng)方形的三條邊和拋物線的某一段構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有.（1）以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其對(duì)稱軸所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求該拋物線的方程；（2）若行車道總寬度為，請(qǐng)計(jì)算通過隧道的車輛限制高度為多少米.C層拓展探究練17.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是()A.圓 B.拋物線 C.雙曲線 D.直線18.如圖，已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)是，，是拋物線上兩點(diǎn)，四邊形是矩形.（1）求拋物線的方程；（2）求矩形的面積.3.3.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分層作業(yè)A層基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.C2.B3.BC4.BD5.D6.或7.（1）解因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線.故軌跡的方程為.（2）證明如圖，設(shè),在準(zhǔn)線上的投影分別為,，連接，，過點(diǎn)作交于點(diǎn).因?yàn)?，，又，所?因?yàn)椋?故直線的斜率是.B層能力提升練8.A9.B10.A11.BC[解析]由拋物線方程為，得焦點(diǎn)坐標(biāo)為,，準(zhǔn)線方程為，故錯(cuò)誤，正確.因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，所以,.因?yàn)椋瑸榇棺?，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為,，故正確.根據(jù)拋物線的定義，可知，故錯(cuò)誤.故選.12.C[解析]易知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.如圖，連接，延長(zhǎng)交準(zhǔn)線于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義，知所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9.故選.13.B[解析]如圖，過的中點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)；過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，交軸于點(diǎn)，則，，所以，所以這個(gè)圓與軸相切.故選.14.3.84[解析]建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,使拋物線的焦點(diǎn)在軸上.可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.因?yàn)闃虻目缍让祝案呙祝?，代入標(biāo)準(zhǔn)方程，得，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.把點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入,得，解得.支柱的長(zhǎng)度為（米）.15.,[解析]如圖，過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為.由拋物線的定義，知點(diǎn)到焦點(diǎn),的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離相等，即，所以.易知當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，所以，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為,.16.（1）解根據(jù)題意可設(shè)該拋物線的方程為,結(jié)合圖象，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得,所以該拋物線的方程為.（2）設(shè)車輛高為，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，則，故，代入方程，解得，所以通過隧道的車輛限制高度為.C層拓展探究練17.B[解析]如圖，在正方體中，作，垂足為，則平面，過作，則平面，則為點(diǎn)到直線的距離.由題意得，由已知得，所以，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到的距離，所以根據(jù)拋物