江蘇專版2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第4章數(shù)列測評蘇教版選擇性必修第一冊

第4章測評（時間：120分鐘滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.等差數(shù)列的首項為1，公差不為0，若,,成等比數(shù)列，則的前6項和為()A. B. C.3 D.82.在等比數(shù)列中，，，則()A.8 B. C.16 D.3.已知數(shù)列是等差數(shù)列,且,,那么()A. B. C. D.4.在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則()A.2021 B. C. D.20225.已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則的取值范圍是()A. B.C. D.6.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，.這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2022項中奇數(shù)的個數(shù)為()A.1012 B.1346 C.1348 D.13507.將數(shù)列中的各項依次按第一個括號1個數(shù)，第二個括號2個數(shù)，第三個括號4個數(shù)，第四個括號8個數(shù)，第五個括號16個數(shù)，進行排列：（1）,，,，，則下列結(jié)論正確的是()A.第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為1025B.2021在第11個括號內(nèi)C.前10個括號內(nèi)一共有1025個數(shù)D.第10個括號內(nèi)的數(shù)字之和8.已知數(shù)列的前項和為，，，且，若對任意的都成立，則實數(shù)的最小值為()A. B. C. D.1二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.記為等差數(shù)列的前項和，若，則以下結(jié)論一定正確的是()A. B.的最大值為 C. D.10.數(shù)列的通項公式滿足，下列描述正確的有()A.當(dāng)時，數(shù)列一定有最大值B.當(dāng)時，數(shù)列為遞減數(shù)列C.當(dāng)時，數(shù)列為遞減數(shù)列D.當(dāng)，且為整數(shù)時，數(shù)列必存在兩項相等的最大項11.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，.設(shè)第層有個球，從上往下層球的總數(shù)為，記，則()A. B.C.， D.的最大值為12.已知是數(shù)列的前項和，，則()A.B.C.當(dāng)時，D.當(dāng)數(shù)列單調(diào)遞增時，的取值范圍是，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則的值為.14.設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且，則通項公式.15.已知數(shù)列滿足，前16項和為540，則.16.[2021新高考Ⅰ]某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對折次，那么.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知數(shù)列和滿足，，，.（1）求與；（2）記數(shù)列的前項和為，求.18.（12分）設(shè)數(shù)列滿足，.（1）計算,，猜想的通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想，并求的前項和.19.（12分）已知數(shù)列中，，，，設(shè).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求；（3）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.20.（12分）某中學(xué)有在校學(xué)生2000人，沒有患感冒的同學(xué).由于天氣驟冷，在校學(xué)生患流行性感冒人數(shù)劇增，第一天新增患病同學(xué)10人，之后每天新增的患病同學(xué)人數(shù)均比前一天多9人.由于學(xué)生患病情況日益嚴(yán)重，學(xué)校號召同學(xué)接種流感疫苗以控制病情.從第8天起，新增患病同學(xué)的人數(shù)均比前一天減少，并且每天有10名患病同學(xué)康復(fù).（1）求第天新增患病同學(xué)的人數(shù).（2）按有關(guān)方面規(guī)定，當(dāng)天患病同學(xué)達到全校人數(shù)的時必須停課，問該校有沒有停課的必要？請說明理由.21.（12分）已知數(shù)列滿足，，.（1）若，①求數(shù)列的通項公式；②若，求的前項和.（2）若，且對，有，證明：.22.（12分）設(shè)，若無窮數(shù)列滿足以下性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①且.的最大值為.（1）若數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，求的取值范圍，使得為數(shù)列.（2）若數(shù)列滿足：，使得,,成等差數(shù)列.①數(shù)列是否可能為等比數(shù)列？并說明理由.②記數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，且，判斷與的單調(diào)性，并求出時，的值.第4章測評一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.A2.A3.B4.C[解析]因為數(shù)列為等差數(shù)列，故，則.當(dāng)時，，則，所以數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，又，所以.又，所以，所以，即.故選.5.C[解析]由題意得，，則.因為，可得，則.設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意得可得，即的取值范圍是,.故選.6.C[解析]由已知可得為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù).因為，所以為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，，所以為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù).又，故該數(shù)列的前2022項中共有1348個奇數(shù).故選.7.D[解析]由題意可得，第個括號內(nèi)有個數(shù).對于，由題意得,前9個括號內(nèi)共有（個）數(shù)，所以第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為數(shù)列的第512項，所以第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為，故錯誤；對于，前10個括號內(nèi)共有（個）數(shù)，故錯誤；對于，令，得，所以2021為數(shù)列的第1011項，由，選項的分析可得2021在第10個括號內(nèi)，故錯誤；對于，因為第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為，最后一個數(shù)為，所以第10個括號內(nèi)的數(shù)字之和為，故正確.故選.8.C[解析]數(shù)列的前項和為，，，且，所以，故.因為，所以，所以，，，，則，故，所以，所以.因為對任意的都成立，所以.設(shè)，則.當(dāng)時，.當(dāng)時，，因此，即，故的最小值為.故選.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.AC[解析]設(shè)等差數(shù)列的公差為.由，可得，解得.又由，得，故正確；因為公差的正負(fù)不能確定，所以可能為最大值或最小值，故錯誤；由，得，故正確；因為，所以，即，故錯誤.故選.10.ACD[解析]由題意，只需考慮的情況.由，可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，數(shù)列遞減，所以一定有最大值，故正確；當(dāng)時，,，故,故數(shù)列不是遞減數(shù)列，故錯誤；當(dāng),時，，所以時，數(shù)列為遞減數(shù)列，故正確；設(shè)，當(dāng)，即時，數(shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)時，數(shù)列為遞增數(shù)列，，最大項為,,所以數(shù)列必存在兩項相等的最大項，故正確.故選.11.ACD[解析]，，，，，故選項正確；因為，所以，故選項錯誤；因為，，,，，所以，所以當(dāng)時，，故選項正確；，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)或時，有最大值為，故選項正確.故選.12.ACD[解析]由題意可知，因為，所以當(dāng)時，，兩式相減可得，，故選項正確；，且，兩式相減可得，，因為未知，故選項錯誤；當(dāng)時，因為，所以，則，故選項正確；由，，要使數(shù)列單調(diào)遞增，則必有，且，所以，且，解得，故選項正確.故選.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.14.[解析]由，得.因為，所以，所以，所以，所以又滿足上式，所以.15.7[解析]，當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.設(shè)數(shù)列的前項和為，則，解得.16.5;[解析]對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種.由題意得，，，，，，，設(shè)，則，兩式作差得，因此.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）解由，，得.由題意知，當(dāng)時，，故.當(dāng)時，①，②，，得，整理得，所以.（2）由（1）知，，因此③，④，，得,所以.18.（1）解因為數(shù)列滿足，，所以，，由此可猜想.（2）①當(dāng)時，顯然成立.②假設(shè)當(dāng)時，命題成立，即，則當(dāng)時，，所以時也成立，由①②可得，.因為，所以數(shù)列是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.19.（1）證明因為，所以.因為，所以，，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.（2）解由（1）得，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時也成立，所以.因為，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項和為.（3）證明因為，所以數(shù)列的前項和，即.20.（1）解當(dāng),時，因為，公差為9，所以.當(dāng),時，因為，公比為，所以，所以.（2）該校沒有停課的必要.理由：設(shè)為第天患病總?cè)藬?shù)，則當(dāng)時，，當(dāng)時，.令，,所以該校沒有停課的必要.21.（1）①解當(dāng)時，.因為，所以，可知，所以，即，所以數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，即.②由①得，，所以，所以,即.（2）證明當(dāng)時，，則.因為，所以.又因為與不能同時成立，所以上式等號不成立，即對，.22.（1）解