充分條件必要條件

充分條件、必要條件一、充分條件與必要條件“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關(guān)系p?qp?q條件關(guān)系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件定理關(guān)系判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件【注意】（1）前提p?q，有方向，條件在前，結(jié)論在后；（2）p是q的充分條件或q是p的必要條件；（3）改變說法：“p是q的充分條件”還可以換成q的一個(gè)充分條件是p；“q是p的必要條件”還可以換成“p的一個(gè)必要條件是q”．二、充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件1、充分不必要條件：如果且，則稱是的充分不必要條件；2、必要不充分條件：如果且，則稱是的必要不充分條件；3、充要條件：如果且，則稱是的充分必要條件，簡稱充要條件；4、既不充分也不必要條件：如果且，則稱是的既不充分也不必要條件三、充分必要條件與集合的關(guān)系若條件p，q以集合的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則由A?B可得，p是q的充分條件，①若AB，則p是q的充分不必要條件；②若A?B，則p是q的必要條件；③若AB，則p是q的必要不充分條件；④若A＝B，則p是q的充要條件；⑤若A?B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．充分必要條件判斷精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要不充分條件；若兩個(gè)集合范圍一樣，就是充要條件的關(guān)系；四、充分條件、必要條件的判斷方法1、定義法：首先分清條件和結(jié)論，然后判斷p?q和q?p是否成立，最后得出結(jié)論．2、命題判斷法①如果命題：“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件；②如果命題：“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時(shí)q也不是p的必要條件.3、集合法：對于涉及取值范圍的判斷題，可從集合的角度研究，若兩個(gè)集合具有包含關(guān)系，則小范圍?大范圍，大范圍推不出小范圍.4、傳遞法：由推式的傳遞性：p1?p2?p3?…?pn，則pn是p1的必要條件.五、探求充要條件的兩種方法1、先尋找必要條件，即將探求充要條件的對象視為結(jié)論，尋找使之成立的條件；再證明此條件是該對象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明．2、將原命題進(jìn)行等價(jià)變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時(shí)也是證明的過程，因?yàn)樘角筮^程的每一步都是等價(jià)的，所以不需要將充分性和必要性分開來證．題型一充分、必要條件的判斷【例1】（2022秋·湖北黃岡·高一?？计谥校啊笔恰啊钡模ǎ〢．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，不一定成立，如，故是的充分不必要條件，故選：A．【變式11】（2023秋·江西新余·高一新余市第一中學(xué)校考開學(xué)考試）“”是“且”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)，此時(shí)滿足，但且不成立，所以充分性不成立；反之：若且，可得成立，所以必要性成立，所以“”是“且”必要不充分條件.故選：B.【變式12】（2022秋·云南曲靖·高一校考階段練習(xí)）荀子曰：“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”這句話闡述了做事情不一點(diǎn)一點(diǎn)積累，就永遠(yuǎn)無法達(dá)成目標(biāo)的哲理．由此可得，“積跬步”是“至千里”的條件．（填條件關(guān)系，例如充分不必要條件、充要條件等等．）【答案】必要不充分條件.【解析】故不積跬步，無以至千里，等價(jià)于“積跬步”不一定“至千里”，但“至千里”必須“積跬步”，所以“積跬步”是“至千里”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分條件【變式13】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法不正確的是．（只填序號）①是的必要條件；②是的充分不必要條件；③是且的充分條件；④是的充分不必要條件．【答案】①③【解析】①中，命題：若是的必要條件的逆否命題為若是的必要條件，由，可得或，所以是的充分條件，所以①不正確；②中，若，則成立，即充分性成立；反之：若，則不一定成立，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件，所以②正確；③中，由，可得或，所以是且的必要條件，所以③不正確；④中，由，可得，所以是的充分不必要條件，所以④正確.故選：①③【變式14】（2023春·湖南岳陽·高一湖南省岳陽縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）（多選）已知是成立的必要條件，是成立的充要條件，是成立的充分條件，是成立的不充分條件，則下列說法不正確的是（）A．是成立的充要條件B．是成立的必要不充分條件C．是成立的充分不必要條件D．是成立的必要不充分條件【答案】ACD【解析】依題意得，，，，由，得，但不一定能推出，故A不正確；由，得，又，所以是成立的必要不充分條件，故B正確；因?yàn)椴灰欢芡瞥觯灰欢芡瞥?，所以C不正確；因?yàn)?，，所以，又，所以是成立的充分不必要條件，故D不正確.故選：ACD題型二探求充要條件【例2】（2022秋·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，則“”的一個(gè)充要條件是（）A．a(chǎn)，b都為2B．a(chǎn)，b都不為2C．a(chǎn)，b中至少有一個(gè)為2D．a(chǎn)，b都不為0【答案】C【解析】或中至少有一個(gè)為.故選：C【變式21】（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則“”的充要條件是（）A．a(chǎn)，b都為B．a(chǎn)，b不都為C．a(chǎn)，b中至少有一個(gè)為D．a(chǎn)，b都不為0【答案】C【解析】，，于是得或，因此a，b中至少有一個(gè)為，反之當(dāng)a，b中至少有一個(gè)為時(shí)，，“a，b中至少有一個(gè)為”是“”的充要條件，C正確；而“或”可以是“a，b中只有為”，A不正確；“或”可以是“a，b都為”，B不正確；“或”可以是“a，b中一個(gè)為，另一個(gè)為0”，D不正確.故選：C【變式22】（2021·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，，則“且”成立的充要條件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可知且，則且，即.所以“且”的充要條件為．故選：D【變式23】（2023·全國·高一專題練習(xí)）（多選）設(shè)全集為，在下列條件中，是的充要條件的有（）A．B．C．D．【答案】ABCD【解析】對于A，若，則；反過來，若，則，故互為充要條件，故正確；對于B，如下Venn圖，若，則，若，則，故正確；選項(xiàng)C中，若，則；反過來，若，則，故互為充要條件，故正確；選項(xiàng)D中，若，則，故；反過來，若，則，故，故互為充要條件，故正確.故選：ABCD.題型三充分必要條件的證明【例3】（2022秋·四川成都·高一?？茧A段練習(xí)）已知a＋b≠0，證明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要條件是a＋b＝1.【答案】證明見解析.【解析】證明：先證充分性：若a＋b＝1則a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立．必要性：若a2＋b2－a－b＋2ab＝0則(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0因?yàn)閍＋b≠0，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1，成立綜上a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要條件是a＋b＝1.【變式31】（2023春·河南周口·高一周口恒大中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合．（1）判斷8、9、10是否屬于集合A；（2）已知，證明：“”的充分非必要條件是“”．【答案】（1），，；（2）證明見解析【解析】（1）∵，，∴，，假設(shè)，m，，則，且，∵，或，顯然均無整數(shù)解，∴，∴，，.（2）∵集合，則恒有，∴，∴即一切奇數(shù)都屬于A，又∵，，∴“”的充分不必要條件是“”.【變式32】（2023·全國·高一假期作業(yè)）證明：“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件.【答案】證明見解析【解析】充分性：若，則關(guān)于的方程有一正一負(fù)根，證明如下：當(dāng)時(shí)，，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)兩根分別為，，則，所以方程有一正一負(fù)根，故充分性成立，必要性：若“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”，則，證明如下：設(shè)方程一正一負(fù)根分別為，，則，所以，所以若“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”，則，故必要性成立，所以“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件.【變式33】（2022秋·湖北武漢·高一武漢市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)a，b，c分別是三角形的三條邊長，且，請利用邊長a，b，c給出為銳角三角形的一個(gè)充要條件，并證明之．【答案】，證明見解析.【解析】.證明如下：充分性：∵，不是直角三角形，假設(shè)△ABC是鈍角三角形，，最大，即，，過點(diǎn)A作BC的垂線，交BC的延長線于點(diǎn)D，由勾股定理，得，與已知矛盾，△ABC為銳角三角形.必要性：∵△ABC為銳角三角形，，°，過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為D，由勾股定理知，得.綜上，為銳角三角形的一個(gè)充要條件為.題型四根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)【例4】（2023秋·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知集合,若是的充分條件,則a可以是（）A．1B．0C．1D．2【答案】AB【解析】因?yàn)槭堑某浞謼l件，所以,所以有.故選:AB【變式41】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知p：或，q：或．若p是q的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】∵p是q的必要條件，∴，則有，解得.則實(shí)數(shù)a的取值范圍為故答案為：【