《線性代數(shù)》-李興華 教案全套 第1-7章 行列式-線性空間與線性變換

1-線性代數(shù)教案第1章行列式計劃學時理論學時,習題課1學時教學基本要求1.了解行列式的定義及相關概念，掌握二階、三階行列式的對角線法則及三角行列式的值.2.理解和掌握行列式的性質，能應用行列式的性質計算行列式的值.3.理解全排列的逆序數(shù)，了解對換的概念.4.理解和掌握行列式的展開定理，能應用行列式的展開定理計算有關行列式的值，會利用范德蒙德行列式計算.5.會利用克拉默法則解方程組及判定方程組解的情況.思政目標培養(yǎng)學生的科學思維，求實創(chuàng)新，培養(yǎng)團隊合作精神等.教學重點二階、三階行列式，n階行列式的定義.2．n階行列式的定義,行列式的性質.3．行列式按行（列）展開.4．克拉默法則.教學難點1.行列式的概念與性質.2.行列式的計算.3.行列式按行（列）展開.4.克拉默法則.支撐課程目標課程目標1，2，3支撐畢業(yè)目標畢業(yè)目標1，2，4，12教學內容§1.1二階、三階行列式§1.2n階行列式的定義§1.3行列式的性質§1.4行列式按行（列）展開§1.5克拉默法則，習題課§1.1二階與三階行列式，§1.2n階行列式計劃學時2學時教學目標理解二階、三階行列式.理解n階行列式的定義（由特殊到一般）思政目標培養(yǎng)學生利用循序漸進的方法認識、分析問題的能力。樹立凡事腳踏實地，從基礎做起，舉一反三；從點滴做起，積跬步以至千里的理念。項目內 容解決措施教學重點了解行列式的定義及相關概念，掌握二階、三階行列式的對角線法則及三角行列式的值1、通過實例引出二階行列式定義進而理解二階的概念.2、類比二階行列式定義出三階行列及計算問題。3、借助實例理解對角線法則教學難點n階行列式定義及相關概念1、詳細介紹全排列和逆序幫助理解n階行列式教學方法講授式教學，探究式教學，同伴教學教學背景線性方程組教學內容教學實施流程課程導入：行列式的理論是人們從解線性方程組的需要中建立和發(fā)展起來的，是線性代數(shù)中的一個基本概念，它在線性代數(shù)、其他數(shù)學分支以及在自然科學的許多領域中都有著廣泛的應用。在本課程中，行列式是研究線性方程組的求解理論與矩陣理論的重要工具。講授新課：利用行列式可以計算面積和體積．考察平行四邊形面積與坐標之間的關系．平面直角坐標系中的兩點以為邊構造平行四邊形，求平行四邊形的面積．過做垂直于軸的垂線，交軸于，過做平行于軸的直線與過平行于軸的直線交，則有圖1A(a圖1A(a1,b1)B(a2,b2)OxyCED為了書寫方便，將記為=．對于二元一次方程組(1)利用消元法，將第一個方程的倍減去第二個方程的倍，得當時，有同理可得引入記號表示數(shù)，稱它為二階行列式，即數(shù)稱為行列式的元素或元.元素的第一個下標稱為行標，表明該元素位于第行，第二個下標稱為列標，表明該元素位于第列.位于第行第列的元素稱為行列式的元.有了二階行列式，方程組(1.1.1)的解可表示成，(2)其中，，.例1解方程組解計算二階行列式由式(1.1.2)知，，所以，.類似地，在解三元一次線性方程組(3)中，引入記號稱其為三階行列式．其中為三階行列式的第行第列上的元素．顯然方程組(3)的解與該三階行列式密切相關，稱此行列式為線性方程組(3)的系數(shù)行列式．對于二階行列式，把的連線稱為二階行列式的主對角線，把的連線稱為副對角線，那么二階行列式的值就可以用對角線法則來表示，即其值等于主對角線上元的乘積減去副對角線上元的乘積.三階行列式也可用對角線法則來表示（圖2），即三條實線上元素積之和減去三條虛線上元素積之和．+————++————+圖2圖2例2計算行列式解從二階和三階行列式的定義可以看出，行列式的值是一些“項”的代數(shù)和．例如在三階行列式中，每一項都是三個數(shù)的連乘積，總項數(shù)及每一項的符號與下標的排列有關．用幾何觀點來看，二階行列式的數(shù)值是平行四邊形的有向面積．若這個平行四邊形是由OA沿逆時針方向轉到OB而得到的，面積取正值（圖1）；若這個平行四邊形是由OA沿順時針方向轉到OB而得到的，面積取負值．類似地，三階行列式的值表示平行六面體的有向體積．練習1．利用對角線法則計算下列三階行列式:(1)(2)(3)(4)2．求解方程.排列與逆序定義1由個不同的正整數(shù)組成的一個有序數(shù)組，稱為一個元排列．例如13245，21453都是5元排列．元排列是個不同元素的全排列，因此元排列總共有個．在所有元排列中，有一個元排列中的所有數(shù)是按從小到大的順序排列而成的，稱它為自然排列或標準排列．除此之外，其余的排列中都會出現(xiàn)較大的數(shù)排在較小的數(shù)之前的情況．比如在5元排列15423中，5排在2之前，4排在3之前，為此給出下述定義：定義2在元排列中，如果一個大的數(shù)排在一個小的數(shù)之前，就稱這兩個數(shù)構成一個逆序．這個排列中所有逆序的總個數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)．記為．根據(jù)逆序數(shù)的定義，我們可以得到逆序數(shù)的計算方法有兩種:后面比小的數(shù)的個數(shù)后面比小的數(shù)的個數(shù)后面比小的數(shù)的個數(shù);(2)前面比大的數(shù)的個數(shù)前面比大的數(shù)的個數(shù)前面比大的數(shù)的個數(shù)．例1求下列排列的逆序數(shù)(1)4321576(2)．解(1)在排列4321576中，4前面沒有數(shù)，因此逆序數(shù)為0；3前面有1個比它大的數(shù)，因此逆序數(shù)為1；2前面有2個比它大的數(shù)，因此逆序數(shù)為2；1前面有3個比它大的數(shù)，因此逆序數(shù)為3；5前面沒有數(shù)比它大，因此逆序數(shù)為0；7前面沒有數(shù)比它大，因此逆序數(shù)為0；6前面有1個比它大的數(shù)，因此逆序數(shù)為1;因此這個排列的逆序數(shù)．同樣的辦法，可得．逆序數(shù)是偶數(shù)的排列稱為偶排列．逆序數(shù)是奇數(shù)的排列稱為奇排列．比如排列4321576的逆序數(shù)是7，為奇排列；3421576的逆序數(shù)為6，為偶排列．定義3在一個排列中，將某兩個元素對調位置而其余元素保持不變的操作稱為對換．定理1對換一次改變排列的奇偶性．證(1)若對換的兩數(shù)相鄰，則設排列為其逆序數(shù)為，將相鄰兩數(shù)和對換，得到新排列記該排列的逆序數(shù)為，于是當時，，而當時，，故一次相鄰對換改變排列的奇偶性．(2)一般情形．設排列為(1.2.1)將與對換，得新排列(1.2.2)排列(1.2.2)可看作是由排列(1.2.1)把依次與對換，即作次相鄰對換得到排列(1.2.3)再將排列(1.2.3)中依次與作次相鄰對換得到.這樣由排列(1.2.1)經次相鄰對換可得排列(1.2.2)，于是由(1)知，排列(1.2.2)與排列(1.2.1)的奇偶性不同．由于標準排列的逆序數(shù)為0，故由定理1.2.1我們有:推論1奇排列變成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列變成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)．由于個不同元素的全排列總數(shù)為，故由定理1.2.1我們還有:推論2在個不同元素的全排列中，奇偶排列各占一半，均為個．1.2.2階行列式的定義仔細觀察三階行列式不難發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律:(1)三階行列式的右端是形如的6個乘積項的代數(shù)和，且每項均為來自不同行不同列的三個數(shù)的乘積.這里第一個下標(行標)排成自然順序123，而第二個下標(列標)組成3元排列，當取遍由1，2，3構成所有3元排列時，它正好對應上式右端的6個乘積項.(2)每個乘積項前面都帶有一定的符號，它是由排列的奇偶性決定的.當為奇排列時，帶負號；當為偶排列時，帶正號.因而，三階行列式可表成其中表示對1，2，3的所有排列6項求和.根據(jù)上述規(guī)律，我們給出階行列式的定義:定義4由個數(shù)組成的記號稱為階行列式，它表示所有可能取自不同行不同列的個元素乘積的代數(shù)和，共有項.把每一項這個元素的行標按自然順序排列后，當列標所成排列是偶排列時，對應項取正號，奇排列時，對應項取負號，即其中是一個元排列，表示對的所有排列求和.行列式有時簡記為或.當時，一階行列式，注意不要與絕對值符號相混淆.當時，由此定義得到的二、三階行列式與用對角線法則求得的結果一致．雖然二、三階行列式滿足對角線法則，有直觀的解釋，但四階及其以上的行列式卻沒有.例2(1)在六階行列式中，項應帶什么符號?寫出四階行列式中帶負號且包含因子和的項．解(1)適當調整該項元素位置，使6個元素的行下標按自然順序排列，即，則列下標排列為431265，其逆序數(shù)，故該項前應取正號.由行列式的定義可知，包含因子和的項必為和，其列下標排列的逆序數(shù)分別為和.又所求項帶負號，故取列下標為奇排列的.例3證明(1).(2).其中“”表示連乘號.證(1)我們關心的是的展開式中可能不為零的項.由于第行除外其余元素都為零，所以行列式通項中第個元只能取，而第個元不能取，這是因為展開式的每項不能存在兩個同列元，故只能選取，，依此類推第一行只能選取，從而(2)類似于(1)中推理，行列式的展開式中可能不為零的項也只有一項，即.行列式主對角線以下的元素全為0，因而稱它為上三角形行列式.同樣地，將主對角線以上的元素全為0的行列式稱為下三角形行列式.上三角形行列式與下三角形行列式統(tǒng)稱為三角形行列式.主對角線以外全為0的行列式稱為對角行列式.無論是三角形行列式還是對角行列式，它們的值都等于主對角線上元素的乘積.即第二個行列式中，未寫出的元素都為0.例4計算行列式.解由行列式的定義可知，此行列式的非零項只有兩項，即和，故定理2階行列式的一般項可以記為(1.2.4)其中與均為元排列.證由定理1.2.1知，式(1.2.4)經過次互換兩個因子的次序變成(1.2.5)其中是一個元排列，同時行標排列與列標排列分別經過次對換變到與，它們的奇偶性分別改變了次，總共改變了偶數(shù)次，故這說明(1.2.4)是行列式的一般項.由定理2,行列式中項的因子順序也可按列標的自然順序排列.即有下述推論:推論3階行列式也可定義為其中是一個元排列，表示對的所有排列求和.習題1.用定義計算下列行列式:(1)(2)2.求下列排列的逆序數(shù)，并確定排列的奇偶性:(1)(2)(3)(4)(5)3.確定下列五階行列式中的項所帶的符號:(1)(2)4.寫出四階行列式中含有的項．通過導語指出：行列式在數(shù)學研究方程組求解中的重要作用，激發(fā)學生學習熱情.平行四邊形的面積和二元一次方程組的解寫法相對復雜，水到渠成的引入新的符號行列式。注意：行列式結果為一個“數(shù)”通過具體實例掌握二階行列式定義及二元一次方程組的求解公式利用類比法自然引出三階行列式詳細介紹對角線法則，讓學生學會舉一反三通過具體例子理解排列的定義重難點：逆序是學習n階行列式定義的重難點，舉例細講通過實例加強理解奇偶排列定義為n階行列式定義做鋪墊理解奇偶排列和全排列的總數(shù)通過二三階行列式的對角線法則，找出行列式計算規(guī)律進而引出n階行列式與排列之間的關系課程思政：從簡到繁、從易到難、從特殊到一般，循序漸進。注意：（1）由于個不同元素的全排列總數(shù)為，行列式的展開項總和為；（2）每列的系數(shù)與奇偶排列有關通過實例掌握理解n階行列式中各項符號問題借助行列式的計算公式通過例題定義和理解特殊行列式：三角行列式為后期行列式的計算鋪墊注意：三角性行列式的寫法與格式，對角元以下或以上元素全為0利用行列式定義計算§1.3行列式的性質計劃學時2學時教學目標熟練運用行列式的性質計算行列式的值思政目標培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W觀以及不斷進取鉆研的精神項目內 容解決措施教學重點理解行列式的性質及其應用通過行列式的定義證明行列式的各個性質2、借助于例題更好理解行列式的性質教學難點運用行列式的性質計算行列式的值通過實例應用行列式的性質化簡行列式的計算教學方法案例講解法；講練結合教學背景行列式的計算教學內容教學實施流程課程回顧：二階行列式計算：三階行列式計算：階行列式計算：課程導入：行列式的計算是行列式的重點，由行列式的定義可知，對于低階行列式以及零元較多的行列式，用定義計算是可行的.但當較大時，應用行列式定義計算是很繁瑣且困難的．因此討論行列式的性質，以便利用行列式的性質簡化行列式的計算，并且這些性質對行列式的理論研究也有重要意義。講授新課：設將的行與列互換，得到新的行列式，記為行列式稱為行列式的轉置行列式.性質1行列式與它的轉置行列式相等，即轉置不改變行列式的值.證令，則由行列式的定義和上節(jié)推論3可得性質1說明，行列式的行和列的地位是對稱的，因此凡對行成立的性質對列也成立，反之亦然．鑒于此，下面將著重以行來介紹行列式的性質.性質2任意互換行列式的兩行（列），行列式變號.證互換行列式的第行與第行所得到的行列式為由于經過一次對換改變排列的奇偶性，根據(jù)行列式定義可得推論1如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證互換相同的兩行，有，故.以下幾個性質容易用行列式定義加以證明，因此只列出有關結論，請讀者自己證之.性質3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式．即.推論2行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面.性質4行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零.性質5若行列式的第行（列）的每一個元素都可表示為兩個數(shù)之和，則該行列式可表示為兩個行列式之和，即該性質表明，當某一行（列）的元素為兩數(shù)之和時，行列式關于該行（列）可分解成兩個行列式．若階行列式每個元素都可表示成兩個數(shù)之和，則它可分解成個行列式.性質6把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）對應的元素上去，行列式不變.例如：以數(shù)乘第行的所有元素然后加到第行的對應元素上去，有在計算行列式時，為了使計算過程清晰醒目，約定如下記號:交換行列式的第行（列）與第行（列），簡記為.給第行（列）同乘以數(shù)，簡記為.把第行（列）的倍加到第行（列），簡記為.性質2，性質3，性質6介紹了行列式關于行和列的三種運算，即，，和，，，利用這些運算可簡化行列式的計算，特別是利用運算（或）可以把行列式中許多元素化為0．計算行列式常用的一種方法就是利用運算（或）把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．例1計算行列式.解.上述解法中，先用了，其目的是把換成1，從而利用運算，即可把變?yōu)?.例2計算行列式解例3計算行列式解這個行列式的特點是各行元素之和都相等，分別把第列加到第一列，再提出第一列的公因子，得例4計算行列式解.例5簡化行列式解由行列式的性質1.3.5，有上述諸例中都用到把幾個運算寫在一起的省略寫法，這里要注意各個運算的次序一般不能顛倒，這是由于后一次運算是作用在前一次運算結果上的緣故．例如:；，可見兩次運算當次序不同時所得結果不同.忽視后一次運算是作用在前一次運算的結果上，就會出錯，例如:這樣的運算是錯誤的，出錯的原因在于第二次運算找錯了對象．此外還要注意運算與的區(qū)別，記號不能寫作（這里不能套用加法的交換律）．上述諸例都是利用運算把行列式化為上三角形行列式，用歸納法不難證明任何階行列式總能利用運算化為上三角形行列式或化為下三角形行列式.類似地，利用列運算，也可把行列式化為上三角形行列式或下三角形行列式．課程思政：人生沒有近路可走，但我們走的每一步，都是算數(shù)的?！皸l條大路通羅馬”，通過不同類型行列式之間的相互關系與轉化過程，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W觀以及不斷進取鉆研的精神。習題1．計算下列行列式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2．求方程的根.回顧上節(jié)課學的行列式的定義簡單計算，由定義計算的復雜性引出學習性質的利用例子來理解轉置行列式的概念.行與列互換不影響行列式的值記憶理解行列式的各性質通過1.3.4和1.3.5幫助理解此性質，詳細講解，幫助后續(xù)行列式計算應用此性質通過實例應用性質化簡為三角行列式求行列式的值§1.4行列式按行（列）展開計劃學時2學時教學目標1、理解和掌握行列式的展開定理，能應用行列式的展開定理計算有關行列式的值2、會利用范德蒙德行列式計算.思政目標培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W觀以及不斷進取鉆研的精神項目內容解決措施教學重點理解、掌握和利用行列式的展開定理計算有關行列式的值；會用范德蒙德行列式計算1、借助于行列式的定義引出余子式和代數(shù)余子式.進而得出行列式的展開定理2、結合實例理解和應用行列式的展開定理3、根據(jù)行列式的性質和展開定理推導出范德蒙德行列式教學難點行列式的展開定理、范德蒙德行列式1、借助于行列式的定義引出余子式和代數(shù)余子式.進而得出行列式的展開定理2、結合實例理解和應用行列式的展開定理3、根據(jù)行列式的性質和展開定理推導出范德蒙德行列式教學方法講授式教學，探究式教學教學背景行列式計算教學內容教學實施流程課程導入：在行列式定義里，學習了三階行列式的計算不難發(fā)現(xiàn)：三階行列式可以轉化為三個二階行列式，那么我們思考一個階行列式是否可以轉化為若干階行列式來計算？對于高階行列式是否都可用較低階的行列式來表示呢？為了回答這個問題，先介紹余子式和代數(shù)余子式的概念進而引出按行展開式講授新課：定義1在階行列式中，劃去元素所在的第行和第列后，余下的元素按原來的次序構成的階行列式，稱為元素的余子式，記作；稱為元素的代數(shù)余子式.顯然，階行列式的每一個元素的余子式實際上就是該行列式的一個階子式．例如，在行列式中，元素的余子式和代數(shù)余子式分別為定理1階行列式等于它的任一行（列）的所有元素與其所對應的代數(shù)余子式乘積之和.即(1)或證只證式(1)，分三步完成.（1）按行列式的定義（2）設行列式中第行除外其余元素都是零.把第行依次與第行第1行交換，然后再把第列依次與第列第1列交換，由行列式的性質，有由（1）的結果，得（3）一般情形利用行列式性質5，把第行拆開，就有在計算時直接利用定理1展開行列式，通常并不能減少計算量，除非行列式中某一行（列）含有較多的零元，因此在具體計算時，我們總是先運用行列式的性質，將某一行（列）的元素盡可能地化為零，然后再利用定理1，將該行列式展開.例1計算行列式.解根據(jù)行列式的特點，可以多次使用行列式展開定理來計算.例2計算行列式解按第一行展開于是有及從上兩式消去，得例3證明階范德蒙德（Vandermonde）行列式.證用數(shù)學歸納法證明，當時結論成立，假定結論對階范德蒙德行列式成立，要證結論對階也成立.由第行開始，自下而上，依次用下一行減去上一行的倍，得然后按第一列展開，并提取各列元素的公因子，得上式右端的行列式是階范德蒙德行列式，根據(jù)歸納假設它等于所有因子的乘積，其中，故例4計算行列式解其中最后一個等號用了三階范德蒙德行列式的結論．例5證明證設，為中元素的余子式，為的代數(shù)余子式.對用數(shù)學歸納法.當時，上式就變成即結論成立.假定時結論成立，則為階時，按第一列展開，有.定理2階行列式的某一行（列）元素與另一行（列）對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即，或.證兩邊行列式都按第行展開，得移項化簡，得同理可證另一式.將定理1和定理2結合起來，便得下面的重要公式:(2)例6設求(1)(2).其中為行列式中元素的代數(shù)余子式.解(1)因，它們恰好是行列式的第1列的元素與第2列的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和，所以由定理1.4.2得.(2)為的第4行元素的代數(shù)余子式，而中沒有一行的元素全為1，因此我們構造一個行列式與僅第4行元素不同，因此它們第4行對應元素的代數(shù)余子式是相同的;又的第4行元素全為1，所以對按第4行展開，有我們計算出，所以.注記：范德蒙德（A.T.Vandermonde，1735-1795）法國數(shù)學家，就對行列式本身而言，他是這門理論的奠基人.在行列式的發(fā)展史上，他是把行列式理論與線性方程組求解相分離的第一人，給出了二階子式和他們的余子式來展開行列式的法則.1772年，法國數(shù)學家拉普拉斯（Laplace，1749-1827）在一篇論文中證明了范德蒙德提出的一些規(guī)則，推廣了他的展開行列式的方法.習題1．試用范德蒙德行列式計算:2．計算行列式，其中未寫出的元素都是(提示：應用例1.4.5).3.設，求的值，其中為元素的代數(shù)余子式.4．已知5階行列式求和，其中為的第四行第個元素的代數(shù)余子式.通過復習三階行列式的計算化簡成按行站開始的計算方法引出較一般的展開式通過具體例子理解余子式與代數(shù)余子式利用展開式定理依次降階計算行列式注意：讓學生首先知道數(shù)學歸納法內容和應用通過具體例子理解和應用范德蒙德行列式根據(jù)范德蒙德行列式的證明方法推導出拆分法培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W觀以及不斷進取鉆研的精神§1.5克拉默法則計劃學時1學時教學目標掌握利用克拉默法則求線性方程組的方法思政目標培養(yǎng)學生刻苦專研的精神項目內容解決措施教學重點利用克拉默法則求線性方程組的解1.借助于行列式的展開定理證明出克拉默法則2.利用實例理解和應用克拉默法則；3、通過克拉默法則得出方程組解的存在條件教學難點克拉默法則1.借助于行列式的展開定理證明出克拉默法則2.利用實例理解和應用克拉默法則；教學方法講授式教學，探究式教學教學背景線性方程組的解教學內容教學實施流程課程回顧：對于二元一次方程組引入記號在解三元一次線性方程組中，引入記號并根據(jù)行列式得出了方程組解的結構課程導入：既然二、三階線性方程組可以用二、三階行列式求解。在此基礎上我們要研究用n階行列式來解含n個未知量的n個方程的線性方程組講授新課：定理1[克拉默（Cramer法則）]如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式則方程組(1)有唯一解(2)其中是用常數(shù)項替換中第列所得的行列式，即(3)證首先證明式(2)是方程組(1)的解.將按第列展開其中是系數(shù)行列式中元素的代數(shù)余子式.將代入方程組(1)的第個方程的左端，得到因而是方程組(1)的解.再證唯一性.若方程組(1)有解則在上面?zhèn)€恒等式兩端，分別依次乘以系數(shù)行列式的第列元素的代數(shù)余子式，然后再把這個等式的兩端相加，得由上節(jié)定理1和定理2知，故于是方程組(1)的解是唯一的.例1解線性方程組解因為系數(shù)行列式所以方程組有唯一解.于是得.例2已知多項式函數(shù)在處的值分別為，試求.解將代入函數(shù)，由題設得到關于的線性方程組它的系數(shù)行列式是范德蒙德行列式的轉置行列式類似計算得，由克拉默法則，得從而.當方程組(1)右端的常數(shù)項全為零時，即(4)稱它為齊次線性方程組.常數(shù)項不全為零時，式(1)稱為非齊次線性方程組．顯然，齊次線性方程組(4)總有解，就是其一組解，這個解叫做齊次線性方程組(4)的零解.若一組解不全為0，則稱它為(4)的非零解．齊次線性方程組(4)一定有零解，但不一定有非零解．由克拉默法則，可得下述定理:定理2如果線性方程組(1)無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.定理3如果齊次線性方程組(4)的系數(shù)行列式，則其沒有非零解.定理4如果齊次線性方程組(4)有非零解，則它的系數(shù)行列式.定理4說明，系數(shù)行列式是齊次線性方程組(4)有非零解的必要條件.在后面的章節(jié)，讀者還會看到這個條件不僅是必要的，而且也是充分的.例3已知齊次線性方程組有非零解，問取何值?解由定理4知，該齊次線性方程組的系數(shù)行列式，即所以應取2或-4.注記：克拉默（G.Cramer,1704-1752）瑞士數(shù)學家.1750年，克拉默在其著作《線性代數(shù)分析引論》中，對行列式的定義和展開法則給出了比較完整的敘述，并給出了解線性方程組的克拉默法則.稍后，法國數(shù)學家貝祖（E.Bezout，1730-1783）將確定行列式的每一項符號的方法進行了系統(tǒng)化，指出了如何利用系數(shù)行列式判斷一個齊次線性方程組有非零解.習題1．用克拉默法則解下列方程組:(1)(2)(3)2．齊次線性方程組只有零解，則應滿足什么條件.課程思政：培養(yǎng)學生利用循序漸進的方法認識、分析問題的能力。樹立凡事腳踏實地，從基礎做起，舉一反三；從點滴做起，積跬步以至千里的理念。人生沒有近路可走，但我們走的每一步，都是算數(shù)的?！皸l條大路通羅馬”，通過不同類型行列式之間的相互關系與轉化過程，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W觀以及不斷進取鉆研的精神。通過回顧二三階行列式的定義來源引出行列式和線性方程組求解的關系，進而引出克拉默法則的一般應用克拉默法則只適用于方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相等的線性方程組．注意：法則包含三個結論：（1）方程組有解（2）解是唯一的；（3）解可以由方程組的系數(shù)和常數(shù)項表出利用實例應用克拉默法則幫助理解注意理解克拉默法則得出線性方程組的解的存在條件課程思政：培養(yǎng)學生刻苦專研的精神課程思政：引導學生樹立正確的人生觀，認識到只有從基礎做起,從點滴做起，日積月累，才能大踏步向前習題課(1學時)知識點總結行列式是研究線性方程組、矩陣及向量組的線性相關性的一種重要工具．本章主要介紹了階行列式的定義及其性質；行列式的計算；求解一類非齊次線性方程組的克拉默（Cramer）法則，以及由此得到方程個數(shù)與未知量個數(shù)相同的齊次線性方程組有非零解的必要條件．一、階行列式的定義其中是一個元排列，表示其逆序，表示對的所有排列求和．定義的特點：1.由于級排列的總數(shù)為個，故展開項有個；2.每項是來自不同行不同列的個元素乘積；3.每項前的符號取決于個元素下標所組成排列的奇偶性．需要注意的是，雖然二階、三階行列式滿足對角線法則，但四階及其以上的行列式卻沒有直觀的解釋．行列式的計算1．幾種常用的方法：(1).利用定義計算:只適用于一些特殊的行列式或者大多數(shù)元素為零的行列式的計算．(2).利用性質計算:利用行列式的基本性質將行列式化為上（下）三角形行列式來計算，這是計算行列式最常用的方法．(3).降階法：利用按行（列）展開公式將高階行列式化為低階行列式來計算．(4).遞推公式法:利用行列式的性質或展開公式把一個階行列式表示為具有相同結構的較低階行列式的線性關系式，再根據(jù)此關系式遞推，求得所給階行列式的值．(5).拆分法:將行列式適當?shù)夭鸱殖扇舾蓚€同階行列式之和，然后求出各行列式的值．(6).利用已知行列式進行計算:其中最重要的已知行列式是范德蒙德行列式．(7).利用數(shù)學歸納法進行計算或證明．2．幾個特殊行列式的值上（下）三角行列式對角行列式反對角行列式分塊行列式范德蒙德行列式克拉默（Cramer）法則如果線性方程組(1.6.1)的系數(shù)行列式，則方程組(1．6．1)有唯一解其中是用常數(shù)項替換中第列所得的行列式．注:（1）克拉默法則只適用于方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相等的線性方程組．(2)元非齊次線性方程組，當系數(shù)行列式時有唯一解；當系數(shù)行列式時，克拉默法則失效，方程組可能有解也可能無解．（3）元齊次線性方程組，當系數(shù)行列式時，有唯一零解，當系數(shù)行列式時，齊次線性方程組有非零解（無窮多解）．行列式在解析幾何以及數(shù)學的其他分支中都扮演著很重要的角色．但如今，由于計算機和計算機軟件的發(fā)展，在常見的高階行列式計算中，行列式的數(shù)值意義已經不是很大．第2章空間解析幾何與向量代數(shù)計劃學時理論8學時教學基本要求1.理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示2.掌握向量的加法、減法、數(shù)量積、向量積的運算.3.會運用向量坐標來判斷和表達向量之間的關系及計算有關的問題.4.掌握兩個向量之間的夾角的計算和兩向量平行、垂直的條件及單位向量、方向余弦表達式.5.掌握平面方程和直線方程，平面、直線相互關系（平行、垂直、相交）的條件和夾角公式，會求點到平面、點到直線的距離.6.理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面方程及其圖形，會求母線平行于坐標軸的柱面方程和以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面的方程.7.了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，以及空間曲線在坐標平面上的投影方程.思政目標培養(yǎng)學生的科學思維、數(shù)學之美.教學重點1.向量的線性運算及其性質.2．向量的坐標及向量的代數(shù)運算.3．數(shù)量積與向量積的代數(shù)運算.4．平面的點法式方程與空間直線的對稱式方程.5.旋轉曲面與柱面與曲線的參數(shù)方程.教學難點1.向量的分解及坐標表達式.2.向量與數(shù)的乘法運算及其性質.3.向量積的概念及運算.4.旋轉曲面與二次曲面.支撐課程目標課程目標1，2，3支撐畢業(yè)目標畢業(yè)目標1，2，4教學內容§2.1空間直角坐標系§2.2向量及其線性運算§2.3向量的數(shù)量積和向量積§2.4平面與直線§2.5曲面與曲線§2.6二次曲面§2.1空間直角坐標系、§2.2向量及其線性運算計劃學時2學時教學目標了解空間直角坐標系的相關概念，理解向量的概念，理解向量的線性運算及其性質，掌握向量的坐標及其運算，了解向量的投影.思政目標培養(yǎng)學生的愛國情懷，增強民族自豪感與自信心。項目內 容解決措施教學重點向量的線性運算向量的坐標及其向量的代數(shù)運算通過幾何圖形或實例來理解向量的線性運算、向量的坐標及其代數(shù)運算.教學難點向量的分解及坐標表達式向量的投影1、通過幾何圖形推導向量的分解及坐標表達式.通過幾何圖形來理解向量的投影及相關的定理.教學方法講授式教學，探究式教學，同伴教學教學背景力，速度，平面的法向量，直線的方向向量等教學內容教學實施流程講授新課：空間直角坐標系過空間一個定點,作三條互相垂直的數(shù)軸,分別叫做軸(橫軸)、軸(縱軸)和軸(豎軸).這三條數(shù)軸都以為原點且有相同的單位長度,它們的正方向符合右手規(guī)則,即以右手握住軸,當右手的四個手指從軸的正向轉過角度后指向軸的正向時,豎起的大拇指的指向就是軸的正向(如圖2.1.1).由此組成了空間直角坐標系,稱為直角坐標系,點稱為該坐標系的原點.圖2.1.1圖2.1.2兩個坐標軸三個坐標面坐標面,有坐標面,有坐標面八個卦限空間坐標設是空間的一點,過作三個平面分別垂直于軸、軸和軸并交軸、軸和軸于三點、、,點、、分別稱為點在軸、軸和軸上的投影.設這三個投影在軸、軸和軸上的坐標依次為、和,于是空間點唯一地確定了一個三元有序數(shù)組.反過來,對于給定的有序數(shù)組,可以在軸上取坐標為的點,在軸上取坐標為的點,在軸上取坐標為的點,過點分別作垂直于軸、軸和軸的三個平面,這三個平面的交點就是由有序數(shù)組確定的唯一的點(如圖2.1.3).這樣,空間的點與三元有序數(shù)組之間就建立了一一對應的關系.這個三元有序數(shù)組稱為點的坐標,分別稱、、圖2.1.3為點的橫坐標、縱坐標和豎坐標,并記為.空間直角坐標系中兩點間的距離在空間直角坐標系中點和點的距離為向量的概念與表示方法既有大小又有方向的量稱為向量或矢量.常用有向線段來表示向量記為,點稱為起點,點稱為終點,其中箭頭的指向確定了向量的方向.線段的長度確定了向量的大小,稱為向量的模,記為.有時也用一個黑體字母(書寫時,在字母上面加箭頭)來表示向量.例如或等.單位向量零向量負向量向量與的夾角記為平行垂直向量的線性運算定義1設有兩個向量,任意選定一點,作,(如圖2.2.1所示),則向量稱為與的和,記為,即.將定義1確定的向量加法運算法則稱為三角形法則.由實際應用可知,向量的加法運算圖2.2.1圖2.2.2還有平行四邊形法則(如圖2.2.2所示).向量加法運算的一些性質(為任意向量):(1)(加法交換律);(2)(加法結合律);(3);(4).定義2向量與的負向量的和稱為向量與的差,記為,即.定義3設是一個實數(shù),是向量,如果存在一個向量,使得,并且當時,與的方向相同;當時,與的方向相反,則稱向量為實數(shù)與向量的乘積,簡稱數(shù)乘,記為.當時,.特別地,對任意的非零向量,有的方向與相同,且的模為1.故是與同方向的單位向量,記為,即.由定義3可得數(shù)乘運算的性質:(1)對任意的實數(shù)及任意向量,有∥,且;(2)對任意的實數(shù)及任意向量,有(數(shù)乘結合律);(3)對任意的實數(shù)及任意向量,有(數(shù)乘分配律).定理1設與是任意給定的向量,如果,則向量與向量平行的充分必要條件是存在唯一的實數(shù),使得.向量的坐標表示在空間中建立直角坐標系后,選取分別與軸、軸、軸的正方向相同的單位向量,并稱它們?yōu)樽鴺讼迪碌幕締挝幌蛄?把空間中任意向量的起點放在坐標原點,終點對應的坐標記為.作以為對角線,并且有三邊分別落在三個坐標軸上的長方體(如圖2.2.3).則于是由∥,∥,∥,并利用定理2.2.1得由此得上式稱為向量按基本單位向量的分解式，圖2.2.3其中分別稱為向量在軸、軸、軸上的分向量.稱有序數(shù)組為向量的坐標,記為,也稱為向量的坐標表達式.由此可知,對于任意一個向量,存在唯一一點,使得;反之,對于任意一點,可以唯一確定一個以為起點,以為終點的向量,記為,向量稱為點的位置向量或向徑.利用向量坐標表達式的線性運算,可以將幾何問題轉化為代數(shù)問題.對任意的向量,任意實數(shù),利用向量的線性運算法則得由此可將定理2.2.1改寫為如下形式.定理1對于給定的兩個向量,如果,則下列條件等價:(1)向量與向量平行,即∥;(2)存在實數(shù),使得;(3)向量與向量對應的坐標成比例,即.在上式中約定:當分母為零時,分子也是零.向量的模與方向余弦對于空間直角坐標系中的任意一個向量,其模長為.如果,則向量的方向可以用它與軸,軸和軸的正向之間的夾角(規(guī)定)來確定(如圖2.2.4所示),稱為向量的方向角,,稱為向量的方向余弦.由向量的坐標表達式可以推得從而有,圖2.2.4并且.向量在軸上的投影設軸的原點為,單位向量為,記,過點作與軸垂直的平面,該平面與軸相交于點,稱點為點在軸上的投影,稱向量為向量在軸上的分向量.若,則稱實數(shù)為向量在軸上的投影,記為或.若向量,則.性質1,其中為向量與軸的夾角;性質2;性質3.小結圖2.2.5建立空間直角坐標系，從而建立空間點的坐標，用三維有序數(shù)組（或者說三維向量）來表示空間的點，為空間幾何的理論進行鋪墊.借助于幾何圖形引導學生理解向量的加法與減法的概念及運算法則.討論探究式方法引導學生借助于幾何圖形推導向量的分解式與坐標表達式通過向量的線性運算法則引導學生推導向量的坐標運算，為向量的代數(shù)運算提供保證借助于投影定理推導向量的方向角與方向余弦的計算公式.§2.3向量的數(shù)量積和向量積計劃學時2學時教學目標理解向量的數(shù)量積、向量積的概念及其性質，掌握它們在坐標表達式下的代數(shù)運算，會求兩向量的夾角，了解兩向量平行與垂直的條件.思政目標培養(yǎng)學生的愛國情懷，增強民族自豪感與自信心。項目內 容解決措施教學重點數(shù)量積與向量積的概念與性質數(shù)量積與向量積的代數(shù)運算1、通過案例理解數(shù)量積的概念.2、通過理解向量積的大小與方向兩個要素，從而理解向量積的概念3、通過實例掌握數(shù)量積與向量積的代數(shù)運算.教學難點向量積的概念向量積的代數(shù)運算1、通過幾何圖形推導向量的分解及坐標表達式.通過幾何圖形來理解向量的投影及相關的定理.教學方法講授式教學，探究式教學，同伴教學教學背景物體沿直線移動所做的功，剛體繞軸旋轉時某一點的線速度教學內容教學實施流程課程回顧向量的坐標運算：設，則課程導入：一質點在恒力的作用下,由點沿直線移動到點(如圖2.3.1所示),此時物體的位移為.如果與的夾角為,則由物理學知識得到力所做的功為.圖2.3.1由這個物理問題可知,有時候要研究向量的一種運算,運算的結果是一個數(shù),這個數(shù)等于向量的模與它們夾角的余弦的乘積.下面根據(jù)這一表達式來給出向量的數(shù)量積的定義.講授新課：一、向量的數(shù)量積定義1對于給定的向量與,稱實數(shù)為向量與的數(shù)量積,也稱為內積,記為,即注：1.零向量與任何向量的數(shù)量積為零.2..向量的數(shù)量積的性質(為任意向量,為任意實數(shù)):,且(非負性);(2)充分必要條件是;(3)(交換律);(4)(結合律);(5)(分配律).基本單位向量之間的數(shù)量積有如下結論:.因此,對任意的向量,,即向量與的數(shù)量積等于它們對應坐標乘積之和.利用數(shù)量積的坐標表示式,向量的數(shù)量積還有如下性質(任意的向量與):(1);(2)當時,有;(3).二、向量的向量積定義2向量與的向量積滿足下列條件(如圖2.3.2所示):(1)與向量都垂直;(2)構成右手系;(3)(為以向量和為鄰邊的平行四邊形的面積).設向量與,有如下結論:(1);(2)∥.向量積的性質(是任意向量,是任意實數(shù)):(1)(向量積不滿足交換律);(2)(數(shù)乘結合律);(3)(分配律).圖2.3.2在空間直角坐標系中,由向量積的定義可知,對應的基本單位向量之間的向量積有如下結論:由此可得,對任意的向量,利用向量積的性質得為了幫助記憶,上式可以寫成例1設的三個頂點坐標分別為,,,求的面積及邊上的高.解由向量的坐標表示式可知,,,因為于是的面積為.邊上的高為.小結通過案例導入引導學生初步了解兩個向量的數(shù)量積的概念講解兩個向量的數(shù)量積的概念，引導學生理解數(shù)量積與向量投影之間的關系，從而推導數(shù)量積的運算法則借助于數(shù)量積的運算法則及向量的坐標表達式引導學生推導數(shù)量積的代數(shù)運算，并導出兩向量的夾角公式探究式方法講解兩個向量的向量積的概念，引導學生理解向量積是一個向量，掌握向量的大小與方向的概念.給出兩個向量平行的條件.根據(jù)向量積的定義引導學生推導向量積的運算法則，并由此推導向量積的坐標運算.通過實例理解向量積的代數(shù)運算通過向量積的概念引導學生掌握平行四邊形與三角形的面積計算公式.§2.4平面與直線計劃學時2學時教學目標掌握平面與直線的方程及其求法,會求兩平面的夾角、兩直線的夾角及直線與平面的夾角，掌握點到平面的距離公式，掌握平面束方程及其應用.思政目標培養(yǎng)學生的愛國情懷，增強民族自豪感與自信心。項目內 容解決措施教學重點平面的點法式方程直線的對稱式方程借助于圖形與具體實例的訓練來加深理解和掌握平面的點法式方程與直線的對稱式方程.教學難點平面及直線方程的求法直線與平面的綜合問題的解法借助于具體實例的重復訓練來理解平面與直線的方程，掌握平面與直線綜合的解法教學方法講授式教學，探究式教學，同伴教學教學背景空間曲線的切線，曲面的切平面等教學內容教學實施流程課程回顧向量的數(shù)量積：向量的向量積：向量與的向量積是一個向量，記為，且大小：方向：與向量都垂直，構成右手系;課程導入：在實際計算中,經常會遇到各種曲面,例如汽車大燈的反光鏡的鏡面,上下水管道的外表面以及建筑工人師傅用的鉛垂的側面等.平面和直線是空間中最簡單的幾何圖形,本節(jié)利用向量和坐標的相關知識將平面、直線與方程聯(lián)系起來,建立空間中平面和直線方程,再通過方程研究它們的幾何性質、位置關系及相關問題.講授新課：一、平面方程法向量：垂直于平面的非零向量稱為平面的法向量,通常用向量來表示.設平面過點,且是平面的一個法向量(如圖2.4.1所示).則對于平面上的任意一點有,即.由于,,所以圖2.4.1.稱上面方程為平面的點法式方程.在上面方程中,令,則方程可寫成三元一次方程.(2.4.1)稱方程(2.4.1)為平面的一般方程.例1求過點且以為法向量的平面方程.例2已知平面過點,并且,求平面的方程.解設所求平面的法向量為,則根據(jù)題意可知,,即可取,于是由點在平面上可知,對于平面上的任意一點,由平面的點法式方程(2.4.2),得所求平面方程是,即.于是所求平面的方程為.(2.4.2)稱方程(2.4.2)為平面的截距式方程.一般地,如果不共線的三點,,在平面上,則對于平面上的任意一點,有.上式稱為平面的三點式方程.例3設平面方程為,點不在平面上,求點到平面的距離.解過點作平面的垂線且垂足記為(如圖2.4.2所示),則向量的模就是點到平面的距離.平面的法向量為,則對于平面圖2.4.2上的任意一點,由∥及數(shù)量積的定義可得,于是由點在平面上及可知,,且故點到平面的距離為.(2.4.3)稱(2.4.3)式為點到平面的距離公式,稱點為點在平面上的投影.例2.4.4求點到平面的距離.解利用公式(2.4.3)可得.二、直線方程空間中任意一條直線可以看作不平行的兩個平面的交線(如圖2.4.3所示).即方程組(2.4.4)方程組(2.4.4)稱為空間直線的一般方程.由圖2.4.3可知,法向量,同時垂直于直線,即平行于直線.與已知直線平行的非零向量稱為該圖2.4.3直線的方向向量,通常記為(或).如果已知直線經過一個已知點,且與一個已知非零向量平行,則對于直線上的任意一點,有∥.于是由兩個向量平行的充分必要條件可得.(2.4.4)(2.4.4)式稱為空間直線的對稱式方程或點向式方程.其中與空間直線平行的非零向量稱為該直線的方向向量稱為直線的參數(shù)式方程(參數(shù)方程).例5設空間直線的一般方程為求直線的對稱式方程.解令,代入直線的一般方程得解得.所以點在直線上.由已知所給兩個平面的法向量分別為,,并且直線在這兩個平面上,所以直線的方向向量可以取.于是空間直線的對稱式方程為.例6設通過點的直線的方程為,如果點不在直線上,求點到直線的距離.解過點作直線的垂線且交直線于點,則向量的模是點到直線的距離.設直線的方向向量為,則由點在直線上可知,,且∥,于是由向量積的定義可得.所以點到直線的距離為.上式稱為點到直線的距離公式,點稱為點在直線上的投影.三、平面與平面、直線與直線、直線與平面的位置關系(1)平面與平面的位置關系.設平面與的一般方程為平面與的法向量分別為,兩平面與的夾角為,則.平面與之間的位置關系有如下結論:(Ⅰ)平面與重合的充分必要條件為;(Ⅱ)平面∥的充分必要條件為;(Ⅲ)平面與相交的充分必要條件為,即中至少有兩個不相等.例7求平面與平面的夾角.解由已知兩平面的法向量分別為,則于是所求兩平面的夾角為.例8設平面通過軸,并且與面的夾角為,求平面的方程.解設平面的法向量為,方程為,則由平面通過軸可知,點在平面上,于是將這兩個點代入平面的方程可得.已知平面與面的夾角為,而平面的法向量為,所以.從而由上式可解得或.綜上所述,所求平面的方程為或.直線與直線的位置關系.在空間中的任意兩條直線的位置關系有異面、相交、平行和重合四種情形.設兩條直線與的方向向量分別為,稱分別以向量為法向量的兩個平面的夾角為直線與的夾角(如圖2.4.4所示),即此外,當兩直線與重合或平行時,規(guī)定直線與的夾角為.特別地,當時,稱直線與垂直,進而直線與垂直的充要條件是.設直線與的方程為、分別為直線、上的點,、分別為直線、的方向向量,直線與的夾角為,則.直線與之間的位置關系有如下結論:(Ⅰ)直線與異面的充分必要條件為;(Ⅱ)直線與相交的充分必要條件為,且;(Ⅲ)直線與平行的充分必要條件為,且;(Ⅳ)直線與重合的充分必要條件為,且,即三個向量,共線.例9設直線與的方程分別為證明直線與相交,并求出交點.證由已知直線、的方向向量分別為、,直線與分別過點,,則,并且,且,于是直線與相交.設直線與的交點為,則的坐標滿足直線與的方程,于是將代入直線與的方程可得方程組解上述方程組得,即直線與的交點為.由解出的唯一交點也可得證.直線與平面的位置關系.在空間中的任意一條直線與任意一個平面的位置關系有直線在平面上、直線與平面平行、直線與平面相交三種情況.設直線與平面的方程分別為其中直線的方向向量為,為直線上的一點,平面的法向量為,直線與平面的夾角為,則.直線與平面之間的位置關系有如下結論:(Ⅰ)直線在平面上的充分必要條件為,且;(Ⅱ)直線與平面平行的充分必要條件為,且;(Ⅲ)直線與平面相交的充分必要條件為.下面研究兩條異面直線的距離.由可知,過點以為法向量的平面的方程為,于是直線在過點以為法向量的平面上,直線平行于平面.于是點到平面的距離就是直線與的距離,即回顧向量的數(shù)量積與向量積的相關結論，為本節(jié)課的平面與直線的方程的建立進行知識準備.借助于幾何圖形和向量建立平面的點法式方程，引導學生通過例題的解答熟練掌握平面點法式方程的結構特點給出了點到平面的距離公式通過平面方程給出空間直線方程.由直線的對稱式方程給出直線的參數(shù)式方程直線的一般式方程向對稱式方程轉化點到直線的距離公式通過例題理解線線關系§2.5曲面與曲線§2.6二次曲面計劃學時2學時教學目標理解曲面方程的概念，了解曲線的參數(shù)方程和一般方程，會求以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程，會求空間曲線在坐標面的投影曲線，了解二次曲面的方程及其圖形.思政目標培養(yǎng)學生的愛國情懷，增強民族自豪感與自信心。項目內 容解決措施教學重點曲面方程及旋轉曲面與柱面方程的建立空間曲線的參數(shù)方程及空間曲線在坐標面的投影.通過幾何圖形和具體實例來加深理解曲面方程和曲線方程的建立方法.教學難點旋轉曲面方程的建立二次曲面借助于圖形與探究式方法來建立旋轉曲面的方程.借助于圖形來理解和掌握二次曲面.教學方法講授式教學，探究式教學，同伴教學教學背景拋物面天線，旋轉曲面，兩立體的相貫線等教學內容教學實施流程課程回顧空間直線的一般方程空間直線的參數(shù)方程課程導入：在上一節(jié)中已經給出了曲面方程的概念,并在空間直角坐標系中討論了平面與直線,本節(jié)將介紹曲面中的柱面和旋轉曲面,以及空間曲線的方程和空間曲線在坐標面上的投影,以及二次曲面.曲面和曲線的討論,總是圍繞著兩個問題進行:(1)根據(jù)曲面或曲線的幾何特征來建立方程;(2)根據(jù)給定方程的特點,討論該方程所表示的曲面或曲線的形狀.講授新課：一、曲面方程曲面的一般方程是一個三元方程.設曲面的方程為,則對于變量取值范圍內任意的一組代入,都能確定出曲面上的一點,于是曲面的方程為上面的曲面方程稱為曲面的參數(shù)方程.例1建立以點為球心,半徑為的球面方程.例2方程表示怎樣的曲面.例3已知點到軸的距離等于4,求動點的軌跡所滿足的參數(shù)方程.二、空間曲線方程空間曲線可以看成是兩個相交曲面的交線,該曲線的方程也可以表示成由兩個相交曲面的方程組成的方程組.空間曲線的一般方程空間曲線的參數(shù)方程.對于給定的一條空間曲線及方程組例4設曲線是平面上的圓,且過點.求曲線的方程.例5將空間曲線的方程化為參數(shù)方程.三、柱面、旋轉曲面(1)柱面一條動直線沿著給定的空間曲線且平行于一定直線移動所形成的曲面稱為柱面,動直線稱為柱面的母線,定直線的方向向量稱為母線方向,定曲線稱為柱面的準線.設柱面的母線方向為,準線為,則對于柱面上的任意一點,將點所在的母線與準線的交點記為(如圖2.5.1所示),于是由∥可知,過點的母線方程為圖2.5.1點的坐標代入準線的方程得于是由上述方程組消去參數(shù)得所求柱面的一般方程.母線平行于軸的三種柱面形狀如下圖所示：橢圓柱面拋物柱面雙曲柱面空間曲線在坐標面上的投影.對于給定的空間曲線,以為準線,母線平行于(或或)軸的柱面稱為曲線沿(或或)軸的投影柱面,投影柱面與(或或)坐標面的交線稱為曲線在(或或)坐標面上的投影曲線,簡稱投影.例6求曲線在各坐標面上的投影曲線方程,其中曲線的方程為(2)旋轉曲面一條已知平面曲線繞一條定直線旋轉一周所得的曲面稱為旋轉曲面,定直線稱為軸,平面曲線稱為母線.設旋轉曲面的母線為,軸為,其中的方程為對于旋轉曲面上的任意一點,過點作垂直于軸的平面交母線于點(如圖2.5.2圖2.5.2所示),則與都在平面上,且由在軸上得于是點和的坐標滿足方程組如果母線的方程由式確定,則點滿足的方程,于是由方程組消去即得到所求旋轉曲面的一般方程.由旋轉曲面的定義可知,過軸的半平面與旋轉曲面的交線可以作為母線,我們常以坐標軸作為旋轉曲面的軸,以過該坐標軸的坐標面與旋轉曲面的交線作為母線.例如,旋轉曲面的軸為軸,其方程為母線在坐標面上(如圖2.5.3所示),其方程為則點和滿足方程組圖2.5.3于是由上面的方程組消去得到所求旋轉曲面的方程..類似地,母線繞軸旋轉所得的旋轉曲面方程為.平面上的曲線繞軸旋轉所得的旋轉曲面方程為.繞軸旋轉所得的旋轉曲面方程為.平面上的曲線繞軸旋轉所得的旋轉曲面方程為.繞軸旋轉所得的旋轉曲面方程為.例7平面上的拋物線繞軸旋轉所得的旋轉曲面方程為稱為旋轉拋物面.四、二次曲面橢球面2.雙曲面方程表示的曲面都稱為單葉雙曲面,其方程稱為單葉雙曲面的標準方程,其中.方程所表示的曲面都稱為雙葉雙曲面,其方程稱為雙葉雙曲面的標準方程,其中.3.拋物面方程表示的曲面都稱為橢圓拋物面,其方程稱為橢圓拋物面的標準方程,其中,是任意非零常數(shù).方程表示的曲面都為雙曲拋物面,上面方程稱為雙曲拋物面的標準方程,其中,是任意非零常數(shù).小結給出空間曲線在坐標面上的投影曲線的概念，引導學生通過實例來理解空間曲線在坐標面上的投影，掌握投影曲線的求法探究式方法引導學生借助于圖形推導和建立旋轉曲面的方程，并掌握旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面的方程.通過實例引導學生對旋轉曲面方程加深理解介紹了幾個常用的二次曲面，引導學生借助于圖形和截痕法來分析各種曲面的圖形，要求學生掌握各種曲面圖形的簡單繪制方法，并具有一定空間想象能力，為以后的學習進行鋪墊.注意區(qū)分單葉雙曲面和雙葉雙曲面的方程及圖形的差別.第3章矩陣計劃學時理論12學時,習題課2學時教學基本要求1.理解矩陣的概念及特殊矩陣.2.熟練掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置、方陣的行列式、伴隨矩陣及其運算律.3.理解逆矩陣的概念及性質，熟練掌握矩陣可逆的充要條件，熟練掌握伴隨矩陣法求逆矩陣.4.了解矩陣的分塊法及幾種特殊的分塊法.5.理解矩陣的初等變換和矩陣等價的概念.6.熟練將矩陣化成行階梯形、行最簡形、標準型.7.理解初等矩陣的定義及性質、理解初等變換與初等矩陣的關系.8.會利用初等變換求逆矩陣和解矩陣方程.9.理解和掌握矩陣秩的定義及性質，并會用它們解題.10.熟練利用矩陣的初等行變換求矩陣的秩.11.掌握消元法解線性方程組的方法，會判斷線性方程組解的情況，會用初等變換求線性方程組的解.思政目標培養(yǎng)學生的科學思維，求實創(chuàng)新，家國情懷，數(shù)學之美等.教學重點1.矩陣的乘法及運算律，方陣行列式的運算律，伴隨矩陣的定義及性質.2．逆矩陣的性質及其應用，解矩陣方程.3．會將矩陣化為行最簡形.4．會求矩陣的秩.5.初等變換求解線性方程組的方法.教學難點1.矩陣的乘法及運算律.2.逆矩陣的性質及其應用，解矩陣方程.3.將矩陣化為行最簡形.4.對矩陣秩的理解5.線性方程組通解的求法.支撐課程目標課程目標1，2，3支撐畢業(yè)目標畢業(yè)目標1，2，4教學內容§3.1矩陣的概念§3.2矩陣的運算§3.3逆矩陣§3.4分塊矩陣§3.5矩陣的初等變換與初等矩陣§3.6矩陣的秩§3.7線性方程組的解§3.1矩陣的概念、§3.2矩陣的計算計劃學時2學時教學目標1.理解矩陣的概念、認識特殊矩陣.2.理解矩陣的線性運算、掌握矩陣的乘法、矩陣的轉置、方陣的行列式、伴隨矩陣及其運算律.思政目標培養(yǎng)學生的愛國情懷，增強民族自豪感與自信心。項目內 容解決措施教學重點矩陣的乘法及運算律，方陣行列式的運算律，伴隨矩陣的定義及性質1、通過矩陣乘法的幾何意義來理解矩陣乘法的概念.2、借助于實例來理解矩陣乘法的運算律、方陣行列式的運算律、伴隨矩陣.教學難點矩陣的乘法及運算律1、通過矩陣乘法的幾何意義來理解矩陣乘法的概念.借助于實例來理解矩陣乘法的運算律.教學方法講授式教學，探究式教學，同伴教學教學背景數(shù)據(jù)表格教學內容教學實施流程課程導入：矩陣是線性代數(shù)的主要研究對象之一，它在數(shù)學的其它分支以及自然科學、現(xiàn)代經濟學、管理學和工程技術領域等方面具有廣泛的應用。在本課程中，矩陣是研究線性變換、線性方程組求解的有力且不可替代的工具,在線性代數(shù)中具有重要地位。例：某企業(yè)月份、產品、產量與數(shù)表的關系：某生產部門生產甲，乙，丙，丁四種產品，1～3月份生產數(shù)量如下表（單位：噸）我們把表中的數(shù)據(jù)按照原來的位置排列出來，就把產量表簡寫成一個“矩形數(shù)表”的形式：…………這就是矩陣。課程思政：凝心聚力，眾志成城。在三年的疫情抗擊過程中，我們展現(xiàn)了堅不可摧的“中國力量”。回顧最初武漢最早發(fā)現(xiàn)新冠病毒時，一方有難，八方支援。據(jù)當時的衛(wèi)健委及新聞報道：累計派出344支國家醫(yī)療隊（含中醫(yī)、含軍隊，下同；其中中醫(yī)17支,軍隊3支），42322名醫(yī)務人員（其中中醫(yī)739人，軍隊3844人），醫(yī)生總數(shù)11416人（其中中醫(yī)217人，軍隊900人）、護士總數(shù)28679人（其中中醫(yī)505人，軍隊2158人）.各?。▍^(qū)、市）馳援湖北醫(yī)務人員數(shù)量如下：北京1215人、天津1289人、河北1090人、山西1509人、內蒙古798人、遼寧2045人、吉林1179人、黑龍江1534人、上海1608人、江蘇2757人、浙江1985人、安徽1324人、福建1366人、江西1201人、山東1782人、河南1262人、湖南1458人、廣東2452人、廣西961人、海南843人、重慶1614人、四川1458人、貴州1401人、云南1132人、陜西919人、甘肅776人、青海239人、寧夏787人、新疆387人、兵團107人，共38478人.這段新聞，用列表的方式表達更加清晰明了：中醫(yī)軍隊其他總數(shù)國家醫(yī)療隊173324344醫(yī)護人員73938443773942322醫(yī)生2179001029911416護士50521582601628679上面的表格也可用矩陣的形式表示出來。由此可以看出，面對大量的數(shù)據(jù)時，列表的優(yōu)勢所在。講授新課：矩陣的概念定義1：設有個數(shù)排成行列的矩形陣表，記做如下形式：行標行標列標列標元素元素稱為一個矩陣。其中：——稱為第行、第列元素。通常用大寫字母表示矩陣。為表明矩陣的行數(shù)和列數(shù)，矩陣也可簡記為：或幾點說明①若，，且，則稱兩矩陣同型；②若，，且，則稱兩矩陣相等。舉例：兩矩陣同型兩矩陣同型兩矩陣相等兩矩陣相等二、幾種特殊矩陣零矩陣——個元素全為零的矩陣，稱為零矩陣。記作：或注意：不同的零矩陣未必相等的！行矩陣——只有一行的矩陣，稱為行矩陣，記作：列矩陣——只有一列的矩陣，稱為列矩陣，記作：方陣——行數(shù)和列數(shù)都等于的矩陣，稱為階矩陣或階方陣，記作：主對角線主對角線說明：其中元素稱為階方陣的主對角元素，過元素的直線稱為階方陣的主對角線。5、單位矩陣——主對角線上的所有元素全為1，其余元素全為零的階方陣稱為階單位矩陣，即：，且：記作：,簡記：全為1全為16、對稱矩陣與反對稱矩陣若n階方陣滿足，則稱A為對稱矩陣。若，則稱A為反對稱矩陣。7、對角矩陣主對角線上元素為任意常數(shù)，其余元素全為零的方陣。8、數(shù)量矩陣若對角矩陣中主對角線上的元素相等，則此對角矩陣稱為數(shù)量矩陣。9、三角矩陣主對角線下方元素全為零的方陣稱為上三角矩陣；主對角線上方元素全為零的方陣稱為下三角矩陣，上下三角矩陣統(tǒng)稱三角矩陣。三、矩陣的線性運算矩陣的加、減法定義2：設有兩個矩陣，，，將它們的對應位置的元素相加，所得到的矩陣，稱為矩陣A與矩陣B的和，記作：，注意：只有同型矩陣才能進行加法運算。矩陣加法滿足的運算律：⑴(交換律);⑵(結合律);⑶;⑷;⑸(減法)。2、數(shù)乘矩陣定義3：用數(shù)乘矩陣的每一個元素所得的矩陣，稱為數(shù)與矩陣的積，記作：注意：數(shù)乘矩陣是數(shù)去乘中的每一個元素。數(shù)乘矩陣滿足的運算律⑴;⑵;⑶;⑷；說明：以上矩陣的加法與數(shù)乘矩陣合稱為矩陣的線性運算。四、矩陣的乘法(重點)矩陣的乘法定義4：設矩陣，矩陣，即：，，則定義與的乘積是一個的矩陣，記作：其中，（等于左的第行的所有元素與右的第列的對應元素乘積的和。）幾點說明①相乘條件：左矩陣Ａ的列數(shù)等于右矩陣Ｂ的行數(shù)；②相乘方法：乘積矩陣的元素等于左Ａ的第行與右Ｂ的第列的對應元素乘積的和）；③相乘結果：乘積C矩陣的行列數(shù)，分別取自左Ａ的行數(shù)，右B的列數(shù)。例1：已知，，求：，。此例說明：①；②,，但。例2：已知，，求：，。解：因為矩陣的列數(shù)為2，矩陣的行數(shù)為3，所以不符合矩陣乘法的條件，故不存在。此例說明：兩個矩陣，若存在，也不一定存在。例3：設矩陣，，，求：，。此例說明：，一般也不能導出：例4：設矩陣驗證：一般地，對任意矩陣，只要有意義，一定有：矩陣乘法滿足的運算律⑴結合律:;⑵分配律:;⑶對任意常數(shù),有:⑷(矩陣起到數(shù)“0”的作用)；⑸(矩陣起到數(shù)“1”的作用)。矩陣乘法的三大特征⑴無交換律即：;⑵無消去律即：⑶若或。學生自練1：已知：，，求：，。此例看出：與矩陣的乘積為一階方陣，即一個數(shù)；而與矩陣的乘積是一個階方陣。五、方陣的冪定義定義5：設是階方陣，（為自然數(shù)），則個連乘所得到的積仍是階方陣，稱為方陣的次冪，記作：。規(guī)定：說明：①只有方陣才有冪運算?、谥荒苁钦麛?shù)。方陣冪運算滿足運算律⑴;⑵六、矩陣的轉置轉置的定義定義6：將矩陣的行與列互換，得到的矩陣，稱為矩陣的轉置矩陣，記作：或即設則則轉置滿足的運算律⑴;⑵；⑶;⑷例5：已知：，，求。七、方陣的行列式定義7設為方陣，則行列式稱為矩陣的行列式，記為，或。性質n階方陣A，B的行列式的運算規(guī)律（設A，B為n階方陣，為數(shù)）：（1）（2）（3）例設，的行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構成的矩陣稱為方陣的伴隨矩陣。例：設時，求。注：八、共軛矩陣定義8當為復矩陣時，用表示的共軛復數(shù)，記稱為的共軛矩陣。性質共軛矩陣滿足下列運算規(guī)律（設為復矩陣，為復數(shù)，且運算都是可行的）：（1）（2）（3）思考與小結：小結：本節(jié)課的重點是矩陣的運算，這節(jié)課概念多、性質多，需要在理解基礎上記憶并應用。思考：1.兩個同階對角矩陣的乘積是怎樣的矩陣？請給出一般結論。2.證明：通過導語指出：矩陣在數(shù)學研究中的重要作用，引起學生學習興趣.課程思政：在疫情抗擊戰(zhàn)中，全國人民所體現(xiàn)的凝聚力讓世界刮目相看，“中國力量”如此強大，使學生充分感受到民族自豪感與自信心。不同階數(shù)的零矩陣是不同的，提醒學生“透過現(xiàn)象看本質”.介紹特殊矩陣的相關概念，為矩陣的后期應用做鋪墊.注意：反對稱矩陣主對角線元全為“0”.此處可用對比法將“數(shù)乘矩陣”與“數(shù)乘行列式”對比著來記.矩陣的乘法是矩陣的一個非常重要的運算，要細講.矩陣相乘其幾何意義就是兩個線性變換復合比如A矩陣表示旋轉變換，B矩陣表示伸長變換，那么AB就是伸長加旋轉的總變換.強調矩陣可乘的條件即:兩個非零矩陣的乘積可能等于零矩陣?。ù瞬煌跀?shù)字乘積的規(guī)律）通過具體實例來理解矩陣乘法的概念.無法計算！不滿足消去律！單位矩陣起著數(shù)“1”的作用！行矩陣乘列矩陣是“數(shù)”.和（4）可推廣到多個矩陣的情況.（4）稱為“穿脫原理”.性質（2）的應用是學生最容易錯的??！§3.3逆矩陣、§3.4分塊矩陣計劃學時2學時教學目標1.理解逆矩陣的概念及性質，熟練掌握矩陣可逆的充要條件，熟練掌握伴隨矩陣法求逆矩陣.2.了解矩陣的分塊法及幾種特殊的分塊法.思政目標掌握類比歸納的數(shù)學思想，學以致用項目內 容解決措施教學重點理解逆矩陣的概念及性質，熟練掌握矩陣可逆的充要條件，熟練掌握伴隨矩陣法求逆矩陣,解矩陣方程.1、通過實例幫助理解矩陣可逆的概念和性質.2、借助于例題的證明來理解矩陣可逆.教學難點矩陣可逆的充要條件，用伴隨矩陣法求逆矩陣,解矩陣方程.1、通過實例幫助理解矩陣可逆的充要條件.2、借助于例題來理解怎樣解矩陣方程.教學方法講授式教學，探究式教學，對比教學法，同伴教學教學背景加密原理，圖形的伸縮變換教學內容教學實施流程課程回顧：矩陣的乘法：設矩陣，矩陣，即：，，則定義與的乘積是一個的矩陣，記作：其中，伴隨矩陣的定義：設，的行