《線性代數(shù)》-李興華 教案全套 第1-7章 行列式-線性空間與線性變換

1-線性代數(shù)教案第1章行列式計(jì)劃學(xué)時(shí)理論學(xué)時(shí),習(xí)題課1學(xué)時(shí)教學(xué)基本要求1.了解行列式的定義及相關(guān)概念，掌握二階、三階行列式的對(duì)角線法則及三角行列式的值.2.理解和掌握行列式的性質(zhì)，能應(yīng)用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式的值.3.理解全排列的逆序數(shù)，了解對(duì)換的概念.4.理解和掌握行列式的展開(kāi)定理，能應(yīng)用行列式的展開(kāi)定理計(jì)算有關(guān)行列式的值，會(huì)利用范德蒙德行列式計(jì)算.5.會(huì)利用克拉默法則解方程組及判定方程組解的情況.思政目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維，求實(shí)創(chuàng)新，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作精神等.教學(xué)重點(diǎn)二階、三階行列式，n階行列式的定義.2．n階行列式的定義,行列式的性質(zhì).3．行列式按行（列）展開(kāi).4．克拉默法則.教學(xué)難點(diǎn)1.行列式的概念與性質(zhì).2.行列式的計(jì)算.3.行列式按行（列）展開(kāi).4.克拉默法則.支撐課程目標(biāo)課程目標(biāo)1，2，3支撐畢業(yè)目標(biāo)畢業(yè)目標(biāo)1，2，4，12教學(xué)內(nèi)容§1.1二階、三階行列式§1.2n階行列式的定義§1.3行列式的性質(zhì)§1.4行列式按行（列）展開(kāi)§1.5克拉默法則，習(xí)題課§1.1二階與三階行列式，§1.2n階行列式計(jì)劃學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)理解二階、三階行列式.理解n階行列式的定義（由特殊到一般）思政目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生利用循序漸進(jìn)的方法認(rèn)識(shí)、分析問(wèn)題的能力。樹(shù)立凡事腳踏實(shí)地，從基礎(chǔ)做起，舉一反三；從點(diǎn)滴做起，積跬步以至千里的理念。項(xiàng)目?jī)?nèi) 容解決措施教學(xué)重點(diǎn)了解行列式的定義及相關(guān)概念，掌握二階、三階行列式的對(duì)角線法則及三角行列式的值1、通過(guò)實(shí)例引出二階行列式定義進(jìn)而理解二階的概念.2、類比二階行列式定義出三階行列及計(jì)算問(wèn)題。3、借助實(shí)例理解對(duì)角線法則教學(xué)難點(diǎn)n階行列式定義及相關(guān)概念1、詳細(xì)介紹全排列和逆序幫助理解n階行列式教學(xué)方法講授式教學(xué)，探究式教學(xué)，同伴教學(xué)教學(xué)背景線性方程組教學(xué)內(nèi)容教學(xué)實(shí)施流程課程導(dǎo)入：行列式的理論是人們從解線性方程組的需要中建立和發(fā)展起來(lái)的，是線性代數(shù)中的一個(gè)基本概念，它在線性代數(shù)、其他數(shù)學(xué)分支以及在自然科學(xué)的許多領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。在本課程中，行列式是研究線性方程組的求解理論與矩陣?yán)碚摰闹匾ぞ?。講授新課：利用行列式可以計(jì)算面積和體積．考察平行四邊形面積與坐標(biāo)之間的關(guān)系．平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)以為邊構(gòu)造平行四邊形，求平行四邊形的面積．過(guò)做垂直于軸的垂線，交軸于，過(guò)做平行于軸的直線與過(guò)平行于軸的直線交，則有圖1A(a圖1A(a1,b1)B(a2,b2)OxyCED為了書(shū)寫(xiě)方便，將記為=．對(duì)于二元一次方程組(1)利用消元法，將第一個(gè)方程的倍減去第二個(gè)方程的倍，得當(dāng)時(shí)，有同理可得引入記號(hào)表示數(shù)，稱它為二階行列式，即數(shù)稱為行列式的元素或元.元素的第一個(gè)下標(biāo)稱為行標(biāo)，表明該元素位于第行，第二個(gè)下標(biāo)稱為列標(biāo)，表明該元素位于第列.位于第行第列的元素稱為行列式的元.有了二階行列式，方程組(1.1.1)的解可表示成，(2)其中，，.例1解方程組解計(jì)算二階行列式由式(1.1.2)知，，所以，.類似地，在解三元一次線性方程組(3)中，引入記號(hào)稱其為三階行列式．其中為三階行列式的第行第列上的元素．顯然方程組(3)的解與該三階行列式密切相關(guān)，稱此行列式為線性方程組(3)的系數(shù)行列式．對(duì)于二階行列式，把的連線稱為二階行列式的主對(duì)角線，把的連線稱為副對(duì)角線，那么二階行列式的值就可以用對(duì)角線法則來(lái)表示，即其值等于主對(duì)角線上元的乘積減去副對(duì)角線上元的乘積.三階行列式也可用對(duì)角線法則來(lái)表示（圖2），即三條實(shí)線上元素積之和減去三條虛線上元素積之和．+————++————+圖2圖2例2計(jì)算行列式解從二階和三階行列式的定義可以看出，行列式的值是一些“項(xiàng)”的代數(shù)和．例如在三階行列式中，每一項(xiàng)都是三個(gè)數(shù)的連乘積，總項(xiàng)數(shù)及每一項(xiàng)的符號(hào)與下標(biāo)的排列有關(guān)．用幾何觀點(diǎn)來(lái)看，二階行列式的數(shù)值是平行四邊形的有向面積．若這個(gè)平行四邊形是由OA沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到OB而得到的，面積取正值（圖1）；若這個(gè)平行四邊形是由OA沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到OB而得到的，面積取負(fù)值．類似地，三階行列式的值表示平行六面體的有向體積．練習(xí)1．利用對(duì)角線法則計(jì)算下列三階行列式:(1)(2)(3)(4)2．求解方程.排列與逆序定義1由個(gè)不同的正整數(shù)組成的一個(gè)有序數(shù)組，稱為一個(gè)元排列．例如13245，21453都是5元排列．元排列是個(gè)不同元素的全排列，因此元排列總共有個(gè)．在所有元排列中，有一個(gè)元排列中的所有數(shù)是按從小到大的順序排列而成的，稱它為自然排列或標(biāo)準(zhǔn)排列．除此之外，其余的排列中都會(huì)出現(xiàn)較大的數(shù)排在較小的數(shù)之前的情況．比如在5元排列15423中，5排在2之前，4排在3之前，為此給出下述定義：定義2在元排列中，如果一個(gè)大的數(shù)排在一個(gè)小的數(shù)之前，就稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序．這個(gè)排列中所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)．記為．根據(jù)逆序數(shù)的定義，我們可以得到逆序數(shù)的計(jì)算方法有兩種:后面比小的數(shù)的個(gè)數(shù)后面比小的數(shù)的個(gè)數(shù)后面比小的數(shù)的個(gè)數(shù);(2)前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù)前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù)前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù)．例1求下列排列的逆序數(shù)(1)4321576(2)．解(1)在排列4321576中，4前面沒(méi)有數(shù)，因此逆序數(shù)為0；3前面有1個(gè)比它大的數(shù)，因此逆序數(shù)為1；2前面有2個(gè)比它大的數(shù)，因此逆序數(shù)為2；1前面有3個(gè)比它大的數(shù)，因此逆序數(shù)為3；5前面沒(méi)有數(shù)比它大，因此逆序數(shù)為0；7前面沒(méi)有數(shù)比它大，因此逆序數(shù)為0；6前面有1個(gè)比它大的數(shù)，因此逆序數(shù)為1;因此這個(gè)排列的逆序數(shù)．同樣的辦法，可得．逆序數(shù)是偶數(shù)的排列稱為偶排列．逆序數(shù)是奇數(shù)的排列稱為奇排列．比如排列4321576的逆序數(shù)是7，為奇排列；3421576的逆序數(shù)為6，為偶排列．定義3在一個(gè)排列中，將某兩個(gè)元素對(duì)調(diào)位置而其余元素保持不變的操作稱為對(duì)換．定理1對(duì)換一次改變排列的奇偶性．證(1)若對(duì)換的兩數(shù)相鄰，則設(shè)排列為其逆序數(shù)為，將相鄰兩數(shù)和對(duì)換，得到新排列記該排列的逆序數(shù)為，于是當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，故一次相鄰對(duì)換改變排列的奇偶性．(2)一般情形．設(shè)排列為(1.2.1)將與對(duì)換，得新排列(1.2.2)排列(1.2.2)可看作是由排列(1.2.1)把依次與對(duì)換，即作次相鄰對(duì)換得到排列(1.2.3)再將排列(1.2.3)中依次與作次相鄰對(duì)換得到.這樣由排列(1.2.1)經(jīng)次相鄰對(duì)換可得排列(1.2.2)，于是由(1)知，排列(1.2.2)與排列(1.2.1)的奇偶性不同．由于標(biāo)準(zhǔn)排列的逆序數(shù)為0，故由定理1.2.1我們有:推論1奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)．由于個(gè)不同元素的全排列總數(shù)為，故由定理1.2.1我們還有:推論2在個(gè)不同元素的全排列中，奇偶排列各占一半，均為個(gè)．1.2.2階行列式的定義仔細(xì)觀察三階行列式不難發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律:(1)三階行列式的右端是形如的6個(gè)乘積項(xiàng)的代數(shù)和，且每項(xiàng)均為來(lái)自不同行不同列的三個(gè)數(shù)的乘積.這里第一個(gè)下標(biāo)(行標(biāo))排成自然順序123，而第二個(gè)下標(biāo)(列標(biāo))組成3元排列，當(dāng)取遍由1，2，3構(gòu)成所有3元排列時(shí)，它正好對(duì)應(yīng)上式右端的6個(gè)乘積項(xiàng).(2)每個(gè)乘積項(xiàng)前面都帶有一定的符號(hào)，它是由排列的奇偶性決定的.當(dāng)為奇排列時(shí)，帶負(fù)號(hào)；當(dāng)為偶排列時(shí)，帶正號(hào).因而，三階行列式可表成其中表示對(duì)1，2，3的所有排列6項(xiàng)求和.根據(jù)上述規(guī)律，我們給出階行列式的定義:定義4由個(gè)數(shù)組成的記號(hào)稱為階行列式，它表示所有可能取自不同行不同列的個(gè)元素乘積的代數(shù)和，共有項(xiàng).把每一項(xiàng)這個(gè)元素的行標(biāo)按自然順序排列后，當(dāng)列標(biāo)所成排列是偶排列時(shí)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)取正號(hào)，奇排列時(shí)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)取負(fù)號(hào)，即其中是一個(gè)元排列，表示對(duì)的所有排列求和.行列式有時(shí)簡(jiǎn)記為或.當(dāng)時(shí)，一階行列式，注意不要與絕對(duì)值符號(hào)相混淆.當(dāng)時(shí)，由此定義得到的二、三階行列式與用對(duì)角線法則求得的結(jié)果一致．雖然二、三階行列式滿足對(duì)角線法則，有直觀的解釋，但四階及其以上的行列式卻沒(méi)有.例2(1)在六階行列式中，項(xiàng)應(yīng)帶什么符號(hào)?寫(xiě)出四階行列式中帶負(fù)號(hào)且包含因子和的項(xiàng)．解(1)適當(dāng)調(diào)整該項(xiàng)元素位置，使6個(gè)元素的行下標(biāo)按自然順序排列，即，則列下標(biāo)排列為431265，其逆序數(shù)，故該項(xiàng)前應(yīng)取正號(hào).由行列式的定義可知，包含因子和的項(xiàng)必為和，其列下標(biāo)排列的逆序數(shù)分別為和.又所求項(xiàng)帶負(fù)號(hào)，故取列下標(biāo)為奇排列的.例3證明(1).(2).其中“”表示連乘號(hào).證(1)我們關(guān)心的是的展開(kāi)式中可能不為零的項(xiàng).由于第行除外其余元素都為零，所以行列式通項(xiàng)中第個(gè)元只能取，而第個(gè)元不能取，這是因?yàn)檎归_(kāi)式的每項(xiàng)不能存在兩個(gè)同列元，故只能選取，，依此類推第一行只能選取，從而(2)類似于(1)中推理，行列式的展開(kāi)式中可能不為零的項(xiàng)也只有一項(xiàng)，即.行列式主對(duì)角線以下的元素全為0，因而稱它為上三角形行列式.同樣地，將主對(duì)角線以上的元素全為0的行列式稱為下三角形行列式.上三角形行列式與下三角形行列式統(tǒng)稱為三角形行列式.主對(duì)角線以外全為0的行列式稱為對(duì)角行列式.無(wú)論是三角形行列式還是對(duì)角行列式，它們的值都等于主對(duì)角線上元素的乘積.即第二個(gè)行列式中，未寫(xiě)出的元素都為0.例4計(jì)算行列式.解由行列式的定義可知，此行列式的非零項(xiàng)只有兩項(xiàng)，即和，故定理2階行列式的一般項(xiàng)可以記為(1.2.4)其中與均為元排列.證由定理1.2.1知，式(1.2.4)經(jīng)過(guò)次互換兩個(gè)因子的次序變成(1.2.5)其中是一個(gè)元排列，同時(shí)行標(biāo)排列與列標(biāo)排列分別經(jīng)過(guò)次對(duì)換變到與，它們的奇偶性分別改變了次，總共改變了偶數(shù)次，故這說(shuō)明(1.2.4)是行列式的一般項(xiàng).由定理2,行列式中項(xiàng)的因子順序也可按列標(biāo)的自然順序排列.即有下述推論:推論3階行列式也可定義為其中是一個(gè)元排列，表示對(duì)的所有排列求和.習(xí)題1.用定義計(jì)算下列行列式:(1)(2)2.求下列排列的逆序數(shù)，并確定排列的奇偶性:(1)(2)(3)(4)(5)3.確定下列五階行列式中的項(xiàng)所帶的符號(hào):(1)(2)4.寫(xiě)出四階行列式中含有的項(xiàng)．通過(guò)導(dǎo)語(yǔ)指出：行列式在數(shù)學(xué)研究方程組求解中的重要作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.平行四邊形的面積和二元一次方程組的解寫(xiě)法相對(duì)復(fù)雜，水到渠成的引入新的符號(hào)行列式。注意：行列式結(jié)果為一個(gè)“數(shù)”通過(guò)具體實(shí)例掌握二階行列式定義及二元一次方程組的求解公式利用類比法自然引出三階行列式詳細(xì)介紹對(duì)角線法則，讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三通過(guò)具體例子理解排列的定義重難點(diǎn)：逆序是學(xué)習(xí)n階行列式定義的重難點(diǎn)，舉例細(xì)講通過(guò)實(shí)例加強(qiáng)理解奇偶排列定義為n階行列式定義做鋪墊理解奇偶排列和全排列的總數(shù)通過(guò)二三階行列式的對(duì)角線法則，找出行列式計(jì)算規(guī)律進(jìn)而引出n階行列式與排列之間的關(guān)系課程思政：從簡(jiǎn)到繁、從易到難、從特殊到一般，循序漸進(jìn)。注意：（1）由于個(gè)不同元素的全排列總數(shù)為，行列式的展開(kāi)項(xiàng)總和為；（2）每列的系數(shù)與奇偶排列有關(guān)通過(guò)實(shí)例掌握理解n階行列式中各項(xiàng)符號(hào)問(wèn)題借助行列式的計(jì)算公式通過(guò)例題定義和理解特殊行列式：三角行列式為后期行列式的計(jì)算鋪墊注意：三角性行列式的寫(xiě)法與格式，對(duì)角元以下或以上元素全為0利用行列式定義計(jì)算§1.3行列式的性質(zhì)計(jì)劃學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)熟練運(yùn)用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式的值思政目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)觀以及不斷進(jìn)取鉆研的精神項(xiàng)目?jī)?nèi) 容解決措施教學(xué)重點(diǎn)理解行列式的性質(zhì)及其應(yīng)用通過(guò)行列式的定義證明行列式的各個(gè)性質(zhì)2、借助于例題更好理解行列式的性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)運(yùn)用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式的值通過(guò)實(shí)例應(yīng)用行列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)行列式的計(jì)算教學(xué)方法案例講解法；講練結(jié)合教學(xué)背景行列式的計(jì)算教學(xué)內(nèi)容教學(xué)實(shí)施流程課程回顧：二階行列式計(jì)算：三階行列式計(jì)算：階行列式計(jì)算：課程導(dǎo)入：行列式的計(jì)算是行列式的重點(diǎn)，由行列式的定義可知，對(duì)于低階行列式以及零元較多的行列式，用定義計(jì)算是可行的.但當(dāng)較大時(shí)，應(yīng)用行列式定義計(jì)算是很繁瑣且困難的．因此討論行列式的性質(zhì)，以便利用行列式的性質(zhì)簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算，并且這些性質(zhì)對(duì)行列式的理論研究也有重要意義。講授新課：設(shè)將的行與列互換，得到新的行列式，記為行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即轉(zhuǎn)置不改變行列式的值.證令，則由行列式的定義和上節(jié)推論3可得性質(zhì)1說(shuō)明，行列式的行和列的地位是對(duì)稱的，因此凡對(duì)行成立的性質(zhì)對(duì)列也成立，反之亦然．鑒于此，下面將著重以行來(lái)介紹行列式的性質(zhì).性質(zhì)2任意互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào).證互換行列式的第行與第行所得到的行列式為由于經(jīng)過(guò)一次對(duì)換改變排列的奇偶性，根據(jù)行列式定義可得推論1如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證互換相同的兩行，有，故.以下幾個(gè)性質(zhì)容易用行列式定義加以證明，因此只列出有關(guān)結(jié)論，請(qǐng)讀者自己證之.性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式．即.推論2行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面.性質(zhì)4行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零.性質(zhì)5若行列式的第行（列）的每一個(gè)元素都可表示為兩個(gè)數(shù)之和，則該行列式可表示為兩個(gè)行列式之和，即該性質(zhì)表明，當(dāng)某一行（列）的元素為兩數(shù)之和時(shí)，行列式關(guān)于該行（列）可分解成兩個(gè)行列式．若階行列式每個(gè)元素都可表示成兩個(gè)數(shù)之和，則它可分解成個(gè)行列式.性質(zhì)6把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變.例如：以數(shù)乘第行的所有元素然后加到第行的對(duì)應(yīng)元素上去，有在計(jì)算行列式時(shí)，為了使計(jì)算過(guò)程清晰醒目，約定如下記號(hào):交換行列式的第行（列）與第行（列），簡(jiǎn)記為.給第行（列）同乘以數(shù)，簡(jiǎn)記為.把第行（列）的倍加到第行（列），簡(jiǎn)記為.性質(zhì)2，性質(zhì)3，性質(zhì)6介紹了行列式關(guān)于行和列的三種運(yùn)算，即，，和，，，利用這些運(yùn)算可簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算，特別是利用運(yùn)算（或）可以把行列式中許多元素化為0．計(jì)算行列式常用的一種方法就是利用運(yùn)算（或）把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．例1計(jì)算行列式.解.上述解法中，先用了，其目的是把換成1，從而利用運(yùn)算，即可把變?yōu)?.例2計(jì)算行列式解例3計(jì)算行列式解這個(gè)行列式的特點(diǎn)是各行元素之和都相等，分別把第列加到第一列，再提出第一列的公因子，得例4計(jì)算行列式解.例5簡(jiǎn)化行列式解由行列式的性質(zhì)1.3.5，有上述諸例中都用到把幾個(gè)運(yùn)算寫(xiě)在一起的省略寫(xiě)法，這里要注意各個(gè)運(yùn)算的次序一般不能顛倒，這是由于后一次運(yùn)算是作用在前一次運(yùn)算結(jié)果上的緣故．例如:；，可見(jiàn)兩次運(yùn)算當(dāng)次序不同時(shí)所得結(jié)果不同.忽視后一次運(yùn)算是作用在前一次運(yùn)算的結(jié)果上，就會(huì)出錯(cuò)，例如:這樣的運(yùn)算是錯(cuò)誤的，出錯(cuò)的原因在于第二次運(yùn)算找錯(cuò)了對(duì)象．此外還要注意運(yùn)算與的區(qū)別，記號(hào)不能寫(xiě)作（這里不能套用加法的交換律）．上述諸例都是利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，用歸納法不難證明任何階行列式總能利用運(yùn)算化為上三角形行列式或化為下三角形行列式.類似地，利用列運(yùn)算，也可把行列式化為上三角形行列式或下三角形行列式．課程思政：人生沒(méi)有近路可走，但我們走的每一步，都是算數(shù)的?！皸l條大路通羅馬”，通過(guò)不同類型行列式之間的相互關(guān)系與轉(zhuǎn)化過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)觀以及不斷進(jìn)取鉆研的精神。習(xí)題1．計(jì)算下列行列式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2．求方程的根.回顧上節(jié)課學(xué)的行列式的定義簡(jiǎn)單計(jì)算，由定義計(jì)算的復(fù)雜性引出學(xué)習(xí)性質(zhì)的利用例子來(lái)理解轉(zhuǎn)置行列式的概念.行與列互換不影響行列式的值記憶理解行列式的各性質(zhì)通過(guò)1.3.4和1.3.5幫助理解此性質(zhì)，詳細(xì)講解，幫助后續(xù)行列式計(jì)算應(yīng)用此性質(zhì)通過(guò)實(shí)例應(yīng)用性質(zhì)化簡(jiǎn)為三角行列式求行列式的值§1.4行列式按行（列）展開(kāi)計(jì)劃學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)1、理解和掌握行列式的展開(kāi)定理，能應(yīng)用行列式的展開(kāi)定理計(jì)算有關(guān)行列式的值2、會(huì)利用范德蒙德行列式計(jì)算.思政目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)觀以及不斷進(jìn)取鉆研的精神項(xiàng)目?jī)?nèi)容解決措施教學(xué)重點(diǎn)理解、掌握和利用行列式的展開(kāi)定理計(jì)算有關(guān)行列式的值；會(huì)用范德蒙德行列式計(jì)算1、借助于行列式的定義引出余子式和代數(shù)余子式.進(jìn)而得出行列式的展開(kāi)定理2、結(jié)合實(shí)例理解和應(yīng)用行列式的展開(kāi)定理3、根據(jù)行列式的性質(zhì)和展開(kāi)定理推導(dǎo)出范德蒙德行列式教學(xué)難點(diǎn)行列式的展開(kāi)定理、范德蒙德行列式1、借助于行列式的定義引出余子式和代數(shù)余子式.進(jìn)而得出行列式的展開(kāi)定理2、結(jié)合實(shí)例理解和應(yīng)用行列式的展開(kāi)定理3、根據(jù)行列式的性質(zhì)和展開(kāi)定理推導(dǎo)出范德蒙德行列式教學(xué)方法講授式教學(xué)，探究式教學(xué)教學(xué)背景行列式計(jì)算教學(xué)內(nèi)容教學(xué)實(shí)施流程課程導(dǎo)入：在行列式定義里，學(xué)習(xí)了三階行列式的計(jì)算不難發(fā)現(xiàn)：三階行列式可以轉(zhuǎn)化為三個(gè)二階行列式，那么我們思考一個(gè)階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干階行列式來(lái)計(jì)算？對(duì)于高階行列式是否都可用較低階的行列式來(lái)表示呢？為了回答這個(gè)問(wèn)題，先介紹余子式和代數(shù)余子式的概念進(jìn)而引出按行展開(kāi)式講授新課：定義1在階行列式中，劃去元素所在的第行和第列后，余下的元素按原來(lái)的次序構(gòu)成的階行列式，稱為元素的余子式，記作；稱為元素的代數(shù)余子式.顯然，階行列式的每一個(gè)元素的余子式實(shí)際上就是該行列式的一個(gè)階子式．例如，在行列式中，元素的余子式和代數(shù)余子式分別為定理1階行列式等于它的任一行（列）的所有元素與其所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和.即(1)或證只證式(1)，分三步完成.（1）按行列式的定義（2）設(shè)行列式中第行除外其余元素都是零.把第行依次與第行第1行交換，然后再把第列依次與第列第1列交換，由行列式的性質(zhì)，有由（1）的結(jié)果，得（3）一般情形利用行列式性質(zhì)5，把第行拆開(kāi)，就有在計(jì)算時(shí)直接利用定理1展開(kāi)行列式，通常并不能減少計(jì)算量，除非行列式中某一行（列）含有較多的零元，因此在具體計(jì)算時(shí)，我們總是先運(yùn)用行列式的性質(zhì)，將某一行（列）的元素盡可能地化為零，然后再利用定理1，將該行列式展開(kāi).例1計(jì)算行列式.解根據(jù)行列式的特點(diǎn)，可以多次使用行列式展開(kāi)定理來(lái)計(jì)算.例2計(jì)算行列式解按第一行展開(kāi)于是有及從上兩式消去，得例3證明階范德蒙德（Vandermonde）行列式.證用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，假定結(jié)論對(duì)階范德蒙德行列式成立，要證結(jié)論對(duì)階也成立.由第行開(kāi)始，自下而上，依次用下一行減去上一行的倍，得然后按第一列展開(kāi)，并提取各列元素的公因子，得上式右端的行列式是階范德蒙德行列式，根據(jù)歸納假設(shè)它等于所有因子的乘積，其中，故例4計(jì)算行列式解其中最后一個(gè)等號(hào)用了三階范德蒙德行列式的結(jié)論．例5證明證設(shè)，為中元素的余子式，為的代數(shù)余子式.對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時(shí)，上式就變成即結(jié)論成立.假定時(shí)結(jié)論成立，則為階時(shí)，按第一列展開(kāi)，有.定理2階行列式的某一行（列）元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即，或.證兩邊行列式都按第行展開(kāi)，得移項(xiàng)化簡(jiǎn)，得同理可證另一式.將定理1和定理2結(jié)合起來(lái)，便得下面的重要公式:(2)例6設(shè)求(1)(2).其中為行列式中元素的代數(shù)余子式.解(1)因，它們恰好是行列式的第1列的元素與第2列的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和，所以由定理1.4.2得.(2)為的第4行元素的代數(shù)余子式，而中沒(méi)有一行的元素全為1，因此我們構(gòu)造一個(gè)行列式與僅第4行元素不同，因此它們第4行對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式是相同的;又的第4行元素全為1，所以對(duì)按第4行展開(kāi)，有我們計(jì)算出，所以.注記：范德蒙德（A.T.Vandermonde，1735-1795）法國(guó)數(shù)學(xué)家，就對(duì)行列式本身而言，他是這門(mén)理論的奠基人.在行列式的發(fā)展史上，他是把行列式理論與線性方程組求解相分離的第一人，給出了二階子式和他們的余子式來(lái)展開(kāi)行列式的法則.1772年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Laplace，1749-1827）在一篇論文中證明了范德蒙德提出的一些規(guī)則，推廣了他的展開(kāi)行列式的方法.習(xí)題1．試用范德蒙德行列式計(jì)算:2．計(jì)算行列式，其中未寫(xiě)出的元素都是(提示：應(yīng)用例1.4.5).3.設(shè)，求的值，其中為元素的代數(shù)余子式.4．已知5階行列式求和，其中為的第四行第個(gè)元素的代數(shù)余子式.通過(guò)復(fù)習(xí)三階行列式的計(jì)算化簡(jiǎn)成按行站開(kāi)始的計(jì)算方法引出較一般的展開(kāi)式通過(guò)具體例子理解余子式與代數(shù)余子式利用展開(kāi)式定理依次降階計(jì)算行列式注意：讓學(xué)生首先知道數(shù)學(xué)歸納法內(nèi)容和應(yīng)用通過(guò)具體例子理解和應(yīng)用范德蒙德行列式根據(jù)范德蒙德行列式的證明方法推導(dǎo)出拆分法培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)觀以及不斷進(jìn)取鉆研的精神§1.5克拉默法則計(jì)劃學(xué)時(shí)1學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)掌握利用克拉默法則求線性方程組的方法思政目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生刻苦專研的精神項(xiàng)目?jī)?nèi)容解決措施教學(xué)重點(diǎn)利用克拉默法則求線性方程組的解1.借助于行列式的展開(kāi)定理證明出克拉默法則2.利用實(shí)例理解和應(yīng)用克拉默法則；3、通過(guò)克拉默法則得出方程組解的存在條件教學(xué)難點(diǎn)克拉默法則1.借助于行列式的展開(kāi)定理證明出克拉默法則2.利用實(shí)例理解和應(yīng)用克拉默法則；教學(xué)方法講授式教學(xué)，探究式教學(xué)教學(xué)背景線性方程組的解教學(xué)內(nèi)容教學(xué)實(shí)施流程課程回顧：對(duì)于二元一次方程組引入記號(hào)在解三元一次線性方程組中，引入記號(hào)并根據(jù)行列式得出了方程組解的結(jié)構(gòu)課程導(dǎo)入：既然二、三階線性方程組可以用二、三階行列式求解。在此基礎(chǔ)上我們要研究用n階行列式來(lái)解含n個(gè)未知量的n個(gè)方程的線性方程組講授新課：定理1[克拉默（Cramer法則）]如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式則方程組(1)有唯一解(2)其中是用常數(shù)項(xiàng)替換中第列所得的行列式，即(3)證首先證明式(2)是方程組(1)的解.將按第列展開(kāi)其中是系數(shù)行列式中元素的代數(shù)余子式.將代入方程組(1)的第個(gè)方程的左端，得到因而是方程組(1)的解.再證唯一性.若方程組(1)有解則在上面?zhèn)€恒等式兩端，分別依次乘以系數(shù)行列式的第列元素的代數(shù)余子式，然后再把這個(gè)等式的兩端相加，得由上節(jié)定理1和定理2知，故于是方程組(1)的解是唯一的.例1解線性方程組解因?yàn)橄禂?shù)行列式所以方程組有唯一解.于是得.例2已知多項(xiàng)式函數(shù)在處的值分別為，試求.解將代入函數(shù)，由題設(shè)得到關(guān)于的線性方程組它的系數(shù)行列式是范德蒙德行列式的轉(zhuǎn)置行列式類似計(jì)算得，由克拉默法則，得從而.當(dāng)方程組(1)右端的常數(shù)項(xiàng)全為零時(shí)，即(4)稱它為齊次線性方程組.常數(shù)項(xiàng)不全為零時(shí)，式(1)稱為非齊次線性方程組．顯然，齊次線性方程組(4)總有解，就是其一組解，這個(gè)解叫做齊次線性方程組(4)的零解.若一組解不全為0，則稱它為(4)的非零解．齊次線性方程組(4)一定有零解，但不一定有非零解．由克拉默法則，可得下述定理:定理2如果線性方程組(1)無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.定理3如果齊次線性方程組(4)的系數(shù)行列式，則其沒(méi)有非零解.定理4如果齊次線性方程組(4)有非零解，則它的系數(shù)行列式.定理4說(shuō)明，系數(shù)行列式是齊次線性方程組(4)有非零解的必要條件.在后面的章節(jié)，讀者還會(huì)看到這個(gè)條件不僅是必要的，而且也是充分的.例3已知齊次線性方程組有非零解，問(wèn)取何值?解由定理4知，該齊次線性方程組的系數(shù)行列式，即所以應(yīng)取2或-4.注記：克拉默（G.Cramer,1704-1752）瑞士數(shù)學(xué)家.1750年，克拉默在其著作《線性代數(shù)分析引論》中，對(duì)行列式的定義和展開(kāi)法則給出了比較完整的敘述，并給出了解線性方程組的克拉默法則.稍后，法國(guó)數(shù)學(xué)家貝祖（E.Bezout，1730-1783）將確定行列式的每一項(xiàng)符號(hào)的方法進(jìn)行了系統(tǒng)化，指出了如何利用系數(shù)行列式判斷一個(gè)齊次線性方程組有非零解.習(xí)題1．用克拉默法則解下列方程組:(1)(2)(3)2．齊次線性方程組只有零解，則應(yīng)滿足什么條件.課程思政：培養(yǎng)學(xué)生利用循序漸進(jìn)的方法認(rèn)識(shí)、分析問(wèn)題的能力。樹(shù)立凡事腳踏實(shí)地，從基礎(chǔ)做起，舉一反三；從點(diǎn)滴做起，積跬步以至千里的理念。人生沒(méi)有近路可走，但我們走的每一步，都是算數(shù)的?！皸l條大路通羅馬”，通過(guò)不同類型行列式之間的相互關(guān)系與轉(zhuǎn)化過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)觀以及不斷進(jìn)取鉆研的精神。通過(guò)回顧二三階行列式的定義來(lái)源引出行列式和線性方程組求解的關(guān)系，進(jìn)而引出克拉默法則的一般應(yīng)用克拉默法則只適用于方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相等的線性方程組．注意：法則包含三個(gè)結(jié)論：（1）方程組有解（2）解是唯一的；（3）解可以由方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)表出利用實(shí)例應(yīng)用克拉默法則幫助理解注意理解克拉默法則得出線性方程組的解的存在條件課程思政：培養(yǎng)學(xué)生刻苦專研的精神課程思政：引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立正確的人生觀，認(rèn)識(shí)到只有從基礎(chǔ)做起,從點(diǎn)滴做起，日積月累，才能大踏步向前習(xí)題課(1學(xué)時(shí))知識(shí)點(diǎn)總結(jié)行列式是研究線性方程組、矩陣及向量組的線性相關(guān)性的一種重要工具．本章主要介紹了階行列式的定義及其性質(zhì)；行列式的計(jì)算；求解一類非齊次線性方程組的克拉默（Cramer）法則，以及由此得到方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同的齊次線性方程組有非零解的必要條件．一、階行列式的定義其中是一個(gè)元排列，表示其逆序，表示對(duì)的所有排列求和．定義的特點(diǎn)：1.由于級(jí)排列的總數(shù)為個(gè)，故展開(kāi)項(xiàng)有個(gè)；2.每項(xiàng)是來(lái)自不同行不同列的個(gè)元素乘積；3.每項(xiàng)前的符號(hào)取決于個(gè)元素下標(biāo)所組成排列的奇偶性．需要注意的是，雖然二階、三階行列式滿足對(duì)角線法則，但四階及其以上的行列式卻沒(méi)有直觀的解釋．行列式的計(jì)算1．幾種常用的方法：(1).利用定義計(jì)算:只適用于一些特殊的行列式或者大多數(shù)元素為零的行列式的計(jì)算．(2).利用性質(zhì)計(jì)算:利用行列式的基本性質(zhì)將行列式化為上（下）三角形行列式來(lái)計(jì)算，這是計(jì)算行列式最常用的方法．(3).降階法：利用按行（列）展開(kāi)公式將高階行列式化為低階行列式來(lái)計(jì)算．(4).遞推公式法:利用行列式的性質(zhì)或展開(kāi)公式把一個(gè)階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式的線性關(guān)系式，再根據(jù)此關(guān)系式遞推，求得所給階行列式的值．(5).拆分法:將行列式適當(dāng)?shù)夭鸱殖扇舾蓚€(gè)同階行列式之和，然后求出各行列式的值．(6).利用已知行列式進(jìn)行計(jì)算:其中最重要的已知行列式是范德蒙德行列式．(7).利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行計(jì)算或證明．2．幾個(gè)特殊行列式的值上（下）三角行列式對(duì)角行列式反對(duì)角行列式分塊行列式范德蒙德行列式克拉默（Cramer）法則如果線性方程組(1.6.1)的系數(shù)行列式，則方程組(1．6．1)有唯一解其中是用常數(shù)項(xiàng)替換中第列所得的行列式．注:（1）克拉默法則只適用于方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相等的線性方程組．(2)元非齊次線性方程組，當(dāng)系數(shù)行列式時(shí)有唯一解；當(dāng)系數(shù)行列式時(shí)，克拉默法則失效，方程組可能有解也可能無(wú)解．（3）元齊次線性方程組，當(dāng)系數(shù)行列式時(shí)，有唯一零解，當(dāng)系數(shù)行列式時(shí)，齊次線性方程組有非零解（無(wú)窮多解）．行列式在解析幾何以及數(shù)學(xué)的其他分支中都扮演著很重要的角色．但如今，由于計(jì)算機(jī)和計(jì)算機(jī)軟件的發(fā)展，在常見(jiàn)的高階行列式計(jì)算中，行列式的數(shù)值意義已經(jīng)不是很大．第2章空間解析幾何與向量代數(shù)計(jì)劃學(xué)時(shí)理論8學(xué)時(shí)教學(xué)基本要求1.理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示2.掌握向量的加法、減法、數(shù)量積、向量積的運(yùn)算.3.會(huì)運(yùn)用向量坐標(biāo)來(lái)判斷和表達(dá)向量之間的關(guān)系及計(jì)算有關(guān)的問(wèn)題.4.掌握兩個(gè)向量之間的夾角的計(jì)算和兩向量平行、垂直的條件及單位向量、方向余弦表達(dá)式.5.掌握平面方程和直線方程，平面、直線相互關(guān)系（平行、垂直、相交）的條件和夾角公式，會(huì)求點(diǎn)到平面、點(diǎn)到直線的距離.6.理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面方程及其圖形，會(huì)求母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程和以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.7.了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，以及空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影方程.思政目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維、數(shù)學(xué)之美.教學(xué)重點(diǎn)1.向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì).2．向量的坐標(biāo)及向量的代數(shù)運(yùn)算.3．?dāng)?shù)量積與向量積的代數(shù)運(yùn)算.4．平面的點(diǎn)法式方程與空間直線的對(duì)稱式方程.5.旋轉(zhuǎn)曲面與柱面與曲線的參數(shù)方程.教學(xué)難點(diǎn)1.向量的分解及坐標(biāo)表達(dá)式.2.向量與數(shù)的乘法運(yùn)算及其性質(zhì).3.向量積的概念及運(yùn)算.4.旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面.支撐課程目標(biāo)課程目標(biāo)1，2，3支撐畢業(yè)目標(biāo)畢業(yè)目標(biāo)1，2，4教學(xué)內(nèi)容§2.1空間直角坐標(biāo)系§2.2向量及其線性運(yùn)算§2.3向量的數(shù)量積和向量積§2.4平面與直線§2.5曲面與曲線§2.6二次曲面§2.1空間直角坐標(biāo)系、§2.2向量及其線性運(yùn)算計(jì)劃學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)了解空間直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念，理解向量的概念，理解向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)，掌握向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算，了解向量的投影.思政目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷，增強(qiáng)民族自豪感與自信心。項(xiàng)目?jī)?nèi) 容解決措施教學(xué)重點(diǎn)向量的線性運(yùn)算向量的坐標(biāo)及其向量的代數(shù)運(yùn)算通過(guò)幾何圖形或?qū)嵗齺?lái)理解向量的線性運(yùn)算、向量的坐標(biāo)及其代數(shù)運(yùn)算.教學(xué)難點(diǎn)向量的分解及坐標(biāo)表達(dá)式向量的投影1、通過(guò)幾何圖形推導(dǎo)向量的分解及坐標(biāo)表達(dá)式.通過(guò)幾何圖形來(lái)理解向量的投影及相關(guān)的定理.教學(xué)方法講授式教學(xué)，探究式教學(xué)，同伴教學(xué)教學(xué)背景力，速度，平面的法向量，直線的方向向量等教學(xué)內(nèi)容教學(xué)實(shí)施流程講授新課：空間直角坐標(biāo)系過(guò)空間一個(gè)定點(diǎn),作三條互相垂直的數(shù)軸,分別叫做軸(橫軸)、軸(縱軸)和軸(豎軸).這三條數(shù)軸都以為原點(diǎn)且有相同的單位長(zhǎng)度,它們的正方向符合右手規(guī)則,即以右手握住軸,當(dāng)右手的四個(gè)手指從軸的正向轉(zhuǎn)過(guò)角度后指向軸的正向時(shí),豎起的大拇指的指向就是軸的正向(如圖2.1.1).由此組成了空間直角坐標(biāo)系,稱為直角坐標(biāo)系,點(diǎn)稱為該坐標(biāo)系的原點(diǎn).圖2.1.1圖2.1.2兩個(gè)坐標(biāo)軸三個(gè)坐標(biāo)面坐標(biāo)面,有坐標(biāo)面,有坐標(biāo)面八個(gè)卦限空間坐標(biāo)設(shè)是空間的一點(diǎn),過(guò)作三個(gè)平面分別垂直于軸、軸和軸并交軸、軸和軸于三點(diǎn)、、,點(diǎn)、、分別稱為點(diǎn)在軸、軸和軸上的投影.設(shè)這三個(gè)投影在軸、軸和軸上的坐標(biāo)依次為、和,于是空間點(diǎn)唯一地確定了一個(gè)三元有序數(shù)組.反過(guò)來(lái),對(duì)于給定的有序數(shù)組,可以在軸上取坐標(biāo)為的點(diǎn),在軸上取坐標(biāo)為的點(diǎn),在軸上取坐標(biāo)為的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作垂直于軸、軸和軸的三個(gè)平面,這三個(gè)平面的交點(diǎn)就是由有序數(shù)組確定的唯一的點(diǎn)(如圖2.1.3).這樣,空間的點(diǎn)與三元有序數(shù)組之間就建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.這個(gè)三元有序數(shù)組稱為點(diǎn)的坐標(biāo),分別稱、、圖2.1.3為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo),并記為.空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離在空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)和點(diǎn)的距離為向量的概念與表示方法既有大小又有方向的量稱為向量或矢量.常用有向線段來(lái)表示向量記為,點(diǎn)稱為起點(diǎn),點(diǎn)稱為終點(diǎn),其中箭頭的指向確定了向量的方向.線段的長(zhǎng)度確定了向量的大小,稱為向量的模,記為.有時(shí)也用一個(gè)黑體字母(書(shū)寫(xiě)時(shí),在字母上面加箭頭)來(lái)表示向量.例如或等.單位向量零向量負(fù)向量向量與的夾角記為平行垂直向量的線性運(yùn)算定義1設(shè)有兩個(gè)向量,任意選定一點(diǎn),作,(如圖2.2.1所示),則向量稱為與的和,記為,即.將定義1確定的向量加法運(yùn)算法則稱為三角形法則.由實(shí)際應(yīng)用可知,向量的加法運(yùn)算圖2.2.1圖2.2.2還有平行四邊形法則(如圖2.2.2所示).向量加法運(yùn)算的一些性質(zhì)(為任意向量):(1)(加法交換律);(2)(加法結(jié)合律);(3);(4).定義2向量與的負(fù)向量的和稱為向量與的差,記為,即.定義3設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù),是向量,如果存在一個(gè)向量,使得,并且當(dāng)時(shí),與的方向相同;當(dāng)時(shí),與的方向相反,則稱向量為實(shí)數(shù)與向量的乘積,簡(jiǎn)稱數(shù)乘,記為.當(dāng)時(shí),.特別地,對(duì)任意的非零向量,有的方向與相同,且的模為1.故是與同方向的單位向量,記為,即.由定義3可得數(shù)乘運(yùn)算的性質(zhì):(1)對(duì)任意的實(shí)數(shù)及任意向量,有∥,且;(2)對(duì)任意的實(shí)數(shù)及任意向量,有(數(shù)乘結(jié)合律);(3)對(duì)任意的實(shí)數(shù)及任意向量,有(數(shù)乘分配律).定理1設(shè)與是任意給定的向量,如果,則向量與向量平行的充分必要條件是存在唯一的實(shí)數(shù),使得.向量的坐標(biāo)表示在空間中建立直角坐標(biāo)系后,選取分別與軸、軸、軸的正方向相同的單位向量,并稱它們?yōu)樽鴺?biāo)系下的基本單位向量.把空間中任意向量的起點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn),終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)記為.作以為對(duì)角線,并且有三邊分別落在三個(gè)坐標(biāo)軸上的長(zhǎng)方體(如圖2.2.3).則于是由∥,∥,∥,并利用定理2.2.1得由此得上式稱為向量按基本單位向量的分解式，圖2.2.3其中分別稱為向量在軸、軸、軸上的分向量.稱有序數(shù)組為向量的坐標(biāo),記為,也稱為向量的坐標(biāo)表達(dá)式.由此可知,對(duì)于任意一個(gè)向量,存在唯一一點(diǎn),使得;反之,對(duì)于任意一點(diǎn),可以唯一確定一個(gè)以為起點(diǎn),以為終點(diǎn)的向量,記為,向量稱為點(diǎn)的位置向量或向徑.利用向量坐標(biāo)表達(dá)式的線性運(yùn)算,可以將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題.對(duì)任意的向量,任意實(shí)數(shù),利用向量的線性運(yùn)算法則得由此可將定理2.2.1改寫(xiě)為如下形式.定理1對(duì)于給定的兩個(gè)向量,如果,則下列條件等價(jià):(1)向量與向量平行,即∥;(2)存在實(shí)數(shù),使得;(3)向量與向量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例,即.在上式中約定:當(dāng)分母為零時(shí),分子也是零.向量的模與方向余弦對(duì)于空間直角坐標(biāo)系中的任意一個(gè)向量,其模長(zhǎng)為.如果,則向量的方向可以用它與軸,軸和軸的正向之間的夾角(規(guī)定)來(lái)確定(如圖2.2.4所示),稱為向量的方向角,,稱為向量的方向余弦.由向量的坐標(biāo)表達(dá)式可以推得從而有,圖2.2.4并且.向量在軸上的投影設(shè)軸的原點(diǎn)為,單位向量為,記,過(guò)點(diǎn)作與軸垂直的平面,該平面與軸相交于點(diǎn),稱點(diǎn)為點(diǎn)在軸上的投影,稱向量為向量在軸上的分向量.若,則稱實(shí)數(shù)為向量在軸上的投影,記為或.若向量,則.性質(zhì)1,其中為向量與軸的夾角;性質(zhì)2;性質(zhì)3.小結(jié)圖2.2.5建立空間直角坐標(biāo)系，從而建立空間點(diǎn)的坐標(biāo)，用三維有序數(shù)組（或者說(shuō)三維向量）來(lái)表示空間的點(diǎn)，為空間幾何的理論進(jìn)行鋪墊.借助于幾何圖形引導(dǎo)學(xué)生理解向量的加法與減法的概念及運(yùn)算法則.討論探究式方法引導(dǎo)學(xué)生借助于幾何圖形推導(dǎo)向量的分解式與坐標(biāo)表達(dá)式通過(guò)向量的線性運(yùn)算法則引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，為向量的代數(shù)運(yùn)算提供保證借助于投影定理推導(dǎo)向量的方向角與方向余弦的計(jì)算公式.§2.3向量的數(shù)量積和向量積計(jì)劃學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)理解向量的數(shù)量積、向量積的概念及其性質(zhì)，掌握它們?cè)谧鴺?biāo)表達(dá)式下的代數(shù)運(yùn)算，會(huì)求兩向量的夾角，了解兩向量平行與垂直的條件.思政目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷，增強(qiáng)民族自豪感與自信心。項(xiàng)目?jī)?nèi) 容解決措施教學(xué)重點(diǎn)數(shù)量積與向量積的概念與性質(zhì)數(shù)量積與向量積的代數(shù)運(yùn)算1、通過(guò)案例理解數(shù)量積的概念.2、通過(guò)理解向量積的大小與方向兩個(gè)要素，從而理解向量積的概念3、通過(guò)實(shí)例掌握數(shù)量積與向量積的代數(shù)運(yùn)算.教學(xué)難點(diǎn)向量積的概念向量積的代數(shù)運(yùn)算1、通過(guò)幾何圖形推導(dǎo)向量的分解及坐標(biāo)表達(dá)式.通過(guò)幾何圖形來(lái)理解向量的投影及相關(guān)的定理.教學(xué)方法講授式教學(xué)，探究式教學(xué)，同伴教學(xué)教學(xué)背景物體沿直線移動(dòng)所做的功，剛體繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)某一點(diǎn)的線速度教學(xué)內(nèi)容教學(xué)實(shí)施流程課程回顧向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則課程導(dǎo)入：一質(zhì)點(diǎn)在恒力的作用下,由點(diǎn)沿直線移動(dòng)到點(diǎn)(如圖2.3.1所示),此時(shí)物體的位移為.如果與的夾角為,則由物理學(xué)知識(shí)得到力所做的功為.圖2.3.1由這個(gè)物理問(wèn)題可知,有時(shí)候要研究向量的一種運(yùn)算,運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)數(shù),這個(gè)數(shù)等于向量的模與它們夾角的余弦的乘積.下面根據(jù)這一表達(dá)式來(lái)給出向量的數(shù)量積的定義.講授新課：一、向量的數(shù)量積定義1對(duì)于給定的向量與,稱實(shí)數(shù)為向量與的數(shù)量積,也稱為內(nèi)積,記為,即注：1.零向量與任何向量的數(shù)量積為零.2..向量的數(shù)量積的性質(zhì)(為任意向量,為任意實(shí)數(shù)):,且(非負(fù)性);(2)充分必要條件是;(3)(交換律);(4)(結(jié)合律);(5)(分配律).基本單位向量之間的數(shù)量積有如下結(jié)論:.因此,對(duì)任意的向量,,即向量與的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積之和.利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示式,向量的數(shù)量積還有如下性質(zhì)(任意的向量與):(1);(2)當(dāng)時(shí),有;(3).二、向量的向量積定義2向量與的向量積滿足下列條件(如圖2.3.2所示):(1)與向量都垂直;(2)構(gòu)成右手系;(3)(為以向量和為鄰邊的平行四邊形的面積).設(shè)向量與,有如下結(jié)論:(1);(2)∥.向量積的性質(zhì)(是任意向量,是任意實(shí)數(shù)):(1)(向量積不滿足交換律);(2)(數(shù)乘結(jié)合律);(3)(分配律).圖2.3.2在空間直角坐標(biāo)系中,由向量積的定義可知,對(duì)應(yīng)的基本單位向量之間的向量積有如下結(jié)論:由此可得,對(duì)任意的向量,利用向量積的性質(zhì)得為了幫助記憶,上式可以寫(xiě)成例1設(shè)的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,,求的面積及邊上的高.解由向量的坐標(biāo)表示式可知,,,因?yàn)橛谑堑拿娣e為.邊上的高為.小結(jié)通過(guò)案例導(dǎo)入引導(dǎo)學(xué)生初步了解兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念講解兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)量積與向量投影之間的關(guān)系，從而推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算法則借助于數(shù)量積的運(yùn)算法則及向量的坐標(biāo)表達(dá)式引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的代數(shù)運(yùn)算，并導(dǎo)出兩向量的夾角公式探究式方法講解兩個(gè)向量的向量積的概念，引導(dǎo)學(xué)生理解向量積是一個(gè)向量，掌握向量的大小與方向的概念.給出兩個(gè)向量平行的條件.根據(jù)向量積的定義引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)向量積的運(yùn)算法則，并由此推導(dǎo)向量積的坐標(biāo)運(yùn)算.通過(guò)實(shí)例理解向量積的代數(shù)運(yùn)算通過(guò)向量積的概念引導(dǎo)學(xué)生掌握平行四邊形與三角形的面積計(jì)算公式.§2.4平面與直線計(jì)劃學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)掌握平面與直線的方程及其求法,會(huì)求兩平面的夾角、兩直線的夾角及直線與平面的夾角，掌握點(diǎn)到平面的距離公式，掌握平面束方程及其應(yīng)用.思政目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷，增強(qiáng)民族自豪感與自信心。項(xiàng)目?jī)?nèi) 容解決措施教學(xué)重點(diǎn)平面的點(diǎn)法式方程直線的對(duì)稱式方程借助于圖形與具體實(shí)例的訓(xùn)練來(lái)加深理解和掌握平面的點(diǎn)法式方程與直線的對(duì)稱式方程.教學(xué)難點(diǎn)平面及直線方程的求法直線與平面的綜合問(wèn)題的解法借助于具體實(shí)例的重復(fù)訓(xùn)練來(lái)理解平面與直線的方程，掌握平面與直線綜合的解法教學(xué)方法講授式教學(xué)，探究式教學(xué)，同伴教學(xué)教學(xué)背景空間曲線的切線，曲面的切平面等教學(xué)內(nèi)容教學(xué)實(shí)施流程課程回顧向量的數(shù)量積：向量的向量積：向量與的向量積是一個(gè)向量，記為，且大?。悍较颍号c向量都垂直，構(gòu)成右手系;課程導(dǎo)入：在實(shí)際計(jì)算中,經(jīng)常會(huì)遇到各種曲面,例如汽車(chē)大燈的反光鏡的鏡面,上下水管道的外表面以及建筑工人師傅用的鉛垂的側(cè)面等.平面和直線是空間中最簡(jiǎn)單的幾何圖形,本節(jié)利用向量和坐標(biāo)的相關(guān)知識(shí)將平面、直線與方程聯(lián)系起來(lái),建立空間中平面和直線方程,再通過(guò)方程研究它們的幾何性質(zhì)、位置關(guān)系及相關(guān)問(wèn)題.講授新課：一、平面方程法向量：垂直于平面的非零向量稱為平面的法向量,通常用向量來(lái)表示.設(shè)平面過(guò)點(diǎn),且是平面的一個(gè)法向量(如圖2.4.1所示).則對(duì)于平面上的任意一點(diǎn)有,即.由于,,所以圖2.4.1.稱上面方程為平面的點(diǎn)法式方程.在上面方程中,令,則方程可寫(xiě)成三元一次方程.(2.4.1)稱方程(2.4.1)為平面的一般方程.例1求過(guò)點(diǎn)且以為法向量的平面方程.例2已知平面過(guò)點(diǎn),并且,求平面的方程.解設(shè)所求平面的法向量為,則根據(jù)題意可知,,即可取,于是由點(diǎn)在平面上可知,對(duì)于平面上的任意一點(diǎn),由平面的點(diǎn)法式方程(2.4.2),得所求平面方程是,即.于是所求平面的方程為.(2.4.2)稱方程(2.4.2)為平面的截距式方程.一般地,如果不共線的三點(diǎn),,在平面上,則對(duì)于平面上的任意一點(diǎn),有.上式稱為平面的三點(diǎn)式方程.例3設(shè)平面方程為,點(diǎn)不在平面上,求點(diǎn)到平面的距離.解過(guò)點(diǎn)作平面的垂線且垂足記為(如圖2.4.2所示),則向量的模就是點(diǎn)到平面的距離.平面的法向量為,則對(duì)于平面圖2.4.2上的任意一點(diǎn),由∥及數(shù)量積的定義可得,于是由點(diǎn)在平面上及可知,,且故點(diǎn)到平面的距離為.(2.4.3)稱(2.4.3)式為點(diǎn)到平面的距離公式,稱點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的投影.例2.4.4求點(diǎn)到平面的距離.解利用公式(2.4.3)可得.二、直線方程空間中任意一條直線可以看作不平行的兩個(gè)平面的交線(如圖2.4.3所示).即方程組(2.4.4)方程組(2.4.4)稱為空間直線的一般方程.由圖2.4.3可知,法向量,同時(shí)垂直于直線,即平行于直線.與已知直線平行的非零向量稱為該圖2.4.3直線的方向向量,通常記為(或).如果已知直線經(jīng)過(guò)一個(gè)已知點(diǎn),且與一個(gè)已知非零向量平行,則對(duì)于直線上的任意一點(diǎn),有∥.于是由兩個(gè)向量平行的充分必要條件可得.(2.4.4)(2.4.4)式稱為空間直線的對(duì)稱式方程或點(diǎn)向式方程.其中與空間直線平行的非零向量稱為該直線的方向向量稱為直線的參數(shù)式方程(參數(shù)方程).例5設(shè)空間直線的一般方程為求直線的對(duì)稱式方程.解令,代入直線的一般方程得解得.所以點(diǎn)在直線上.由已知所給兩個(gè)平面的法向量分別為,,并且直線在這兩個(gè)平面上,所以直線的方向向量可以取.于是空間直線的對(duì)稱式方程為.例6設(shè)通過(guò)點(diǎn)的直線的方程為,如果點(diǎn)不在直線上,求點(diǎn)到直線的距離.解過(guò)點(diǎn)作直線的垂線且交直線于點(diǎn),則向量的模是點(diǎn)到直線的距離.設(shè)直線的方向向量為,則由點(diǎn)在直線上可知,,且∥,于是由向量積的定義可得.所以點(diǎn)到直線的距離為.上式稱為點(diǎn)到直線的距離公式,點(diǎn)稱為點(diǎn)在直線上的投影.三、平面與平面、直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系(1)平面與平面的位置關(guān)系.設(shè)平面與的一般方程為平面與的法向量分別為,兩平面與的夾角為,則.平面與之間的位置關(guān)系有如下結(jié)論:(Ⅰ)平面與重合的充分必要條件為;(Ⅱ)平面∥的充分必要條件為;(Ⅲ)平面與相交的充分必要條件為,即中至少有兩個(gè)不相等.例7求平面與平面的夾角.解由已知兩平面的法向量分別為,則于是所求兩平面的夾角為.例8設(shè)平面通過(guò)軸,并且與面的夾角為,求平面的方程.解設(shè)平面的法向量為,方程為,則由平面通過(guò)軸可知,點(diǎn)在平面上,于是將這兩個(gè)點(diǎn)代入平面的方程可得.已知平面與面的夾角為,而平面的法向量為,所以.從而由上式可解得或.綜上所述,所求平面的方程為或.直線與直線的位置關(guān)系.在空間中的任意兩條直線的位置關(guān)系有異面、相交、平行和重合四種情形.設(shè)兩條直線與的方向向量分別為,稱分別以向量為法向量的兩個(gè)平面的夾角為直線與的夾角(如圖2.4.4所示),即此外,當(dāng)兩直線與重合或平行時(shí),規(guī)定直線與的夾角為.特別地,當(dāng)時(shí),稱直線與垂直,進(jìn)而直線與垂直的充要條件是.設(shè)直線與的方程為、分別為直線、上的點(diǎn),、分別為直線、的方向向量,直線與的夾角為,則.直線與之間的位置關(guān)系有如下結(jié)論:(Ⅰ)直線與異面的充分必要條件為;(Ⅱ)直線與相交的充分必要條件為,且;(Ⅲ)直線與平行的充分必要條件為,且;(Ⅳ)直線與重合的充分必要條件為,且,即三個(gè)向量,共線.例9設(shè)直線與的方程分別為證明直線與相交,并求出交點(diǎn).證由已知直線、的方向向量分別為、,直線與分別過(guò)點(diǎn),,則,并且,且,于是直線與相交.設(shè)直線與的交點(diǎn)為,則的坐標(biāo)滿足直線與的方程,于是將代入直線與的方程可得方程組解上述方程組得,即直線與的交點(diǎn)為.由解出的唯一交點(diǎn)也可得證.直線與平面的位置關(guān)系.在空間中的任意一條直線與任意一個(gè)平面的位置關(guān)系有直線在平面上、直線與平面平行、直線與平面相交三種情況.設(shè)直線與平面的方程分別為其中直線的方向向量為,為直線上的一點(diǎn),平面的法向量為,直線與平面的夾角為,則.直線與平面之間的位置關(guān)系有如下結(jié)論:(Ⅰ)直線在平面上的充分必要條件為,且;(Ⅱ)直線與平面平行的充分必要條件為,且;(Ⅲ)直線與平面相交的充分必要條件為.下面研究?jī)蓷l異面直線的距離.由可知,過(guò)點(diǎn)以為法向量的平面的方程為,于是直線在過(guò)點(diǎn)以為法向量的平面上,直線平行于平面.于是點(diǎn)到平面的距離就是直線與的距離,即回顧向量的數(shù)量積與向量積的相關(guān)結(jié)論，為本節(jié)課的平面與直線的方程的建立進(jìn)行知識(shí)準(zhǔn)備.借助于幾何圖形和向量建立平面的點(diǎn)法式方程，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)例題的解答熟練掌握平面點(diǎn)法式方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)給出了點(diǎn)到平面的距離公式通過(guò)平面方程給出空間直線方程.由直線的對(duì)稱式方程給出直線的參數(shù)式方程直線的一般式方程向?qū)ΨQ式方程轉(zhuǎn)化點(diǎn)到直線的距離公式通過(guò)例題理解線線關(guān)系§2.5曲面與曲線§2.6二次曲面計(jì)劃學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)理解曲面方程的概念，了解曲線的參數(shù)方程和一般方程，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程，會(huì)求空間曲線在坐標(biāo)面的投影曲線，了解二次曲面的方程及其圖形.思政目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷，增強(qiáng)民族自豪感與自信心。項(xiàng)目?jī)?nèi) 容解決措施教學(xué)重點(diǎn)曲面方程及旋轉(zhuǎn)曲面與柱面方程的建立空間曲線的參數(shù)方程及空間曲線在坐標(biāo)面的投影.通過(guò)幾何圖形和具體實(shí)例來(lái)加深理解曲面方程和曲線方程的建立方法.教學(xué)難點(diǎn)旋轉(zhuǎn)曲面方程的建立二次曲面借助于圖形與探究式方法來(lái)建立旋轉(zhuǎn)曲面的方程.借助于圖形來(lái)理解和掌握二次曲面.教學(xué)方法講授式教學(xué)，探究式教學(xué)，同伴教學(xué)教學(xué)背景拋物面天線，旋轉(zhuǎn)曲面，兩立體的相貫線等教學(xué)內(nèi)容教學(xué)實(shí)施流程課程回顧空間直線的一般方程空間直線的參數(shù)方程課程導(dǎo)入：在上一節(jié)中已經(jīng)給出了曲面方程的概念,并在空間直角坐標(biāo)系中討論了平面與直線,本節(jié)將介紹曲面中的柱面和旋轉(zhuǎn)曲面,以及空間曲線的方程和空間曲線在坐標(biāo)面上的投影,以及二次曲面.曲面和曲線的討論,總是圍繞著兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行:(1)根據(jù)曲面或曲線的幾何特征來(lái)建立方程;(2)根據(jù)給定方程的特點(diǎn),討論該方程所表示的曲面或曲線的形狀.講授新課：一、曲面方程曲面的一般方程是一個(gè)三元方程.設(shè)曲面的方程為,則對(duì)于變量取值范圍內(nèi)任意的一組代入,都能確定出曲面上的一點(diǎn),于是曲面的方程為上面的曲面方程稱為曲面的參數(shù)方程.例1建立以點(diǎn)為球心,半徑為的球面方程.例2方程表示怎樣的曲面.例3已知點(diǎn)到軸的距離等于4,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡所滿足的參數(shù)方程.二、空間曲線方程空間曲線可以看成是兩個(gè)相交曲面的交線,該曲線的方程也可以表示成由兩個(gè)相交曲面的方程組成的方程組.空間曲線的一般方程空間曲線的參數(shù)方程.對(duì)于給定的一條空間曲線及方程組例4設(shè)曲線是平面上的圓,且過(guò)點(diǎn).求曲線的方程.例5將空間曲線的方程化為參數(shù)方程.三、柱面、旋轉(zhuǎn)曲面(1)柱面一條動(dòng)直線沿著給定的空間曲線且平行于一定直線移動(dòng)所形成的曲面稱為柱面,動(dòng)直線稱為柱面的母線,定直線的方向向量稱為母線方向,定曲線稱為柱面的準(zhǔn)線.設(shè)柱面的母線方向?yàn)?準(zhǔn)線為,則對(duì)于柱面上的任意一點(diǎn),將點(diǎn)所在的母線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)記為(如圖2.5.1所示),于是由∥可知,過(guò)點(diǎn)的母線方程為圖2.5.1點(diǎn)的坐標(biāo)代入準(zhǔn)線的方程得于是由上述方程組消去參數(shù)得所求柱面的一般方程.母線平行于軸的三種柱面形狀如下圖所示：橢圓柱面拋物柱面雙曲柱面空間曲線在坐標(biāo)面上的投影.對(duì)于給定的空間曲線,以為準(zhǔn)線,母線平行于(或或)軸的柱面稱為曲線沿(或或)軸的投影柱面,投影柱面與(或或)坐標(biāo)面的交線稱為曲線在(或或)坐標(biāo)面上的投影曲線,簡(jiǎn)稱投影.例6求曲線在各坐標(biāo)面上的投影曲線方程,其中曲線的方程為(2)旋轉(zhuǎn)曲面一條已知平面曲線繞一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所得的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面,定直線稱為軸,平面曲線稱為母線.設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線為,軸為,其中的方程為對(duì)于旋轉(zhuǎn)曲面上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的平面交母線于點(diǎn)(如圖2.5.2圖2.5.2所示),則與都在平面上,且由在軸上得于是點(diǎn)和的坐標(biāo)滿足方程組如果母線的方程由式確定,則點(diǎn)滿足的方程,于是由方程組消去即得到所求旋轉(zhuǎn)曲面的一般方程.由旋轉(zhuǎn)曲面的定義可知,過(guò)軸的半平面與旋轉(zhuǎn)曲面的交線可以作為母線,我們常以坐標(biāo)軸作為旋轉(zhuǎn)曲面的軸,以過(guò)該坐標(biāo)軸的坐標(biāo)面與旋轉(zhuǎn)曲面的交線作為母線.例如,旋轉(zhuǎn)曲面的軸為軸,其方程為母線在坐標(biāo)面上(如圖2.5.3所示),其方程為則點(diǎn)和滿足方程組圖2.5.3于是由上面的方程組消去得到所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程..類似地,母線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程為.平面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程為.繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程為.平面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程為.繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程為.例7平面上的拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程為稱為旋轉(zhuǎn)拋物面.四、二次曲面橢球面2.雙曲面方程表示的曲面都稱為單葉雙曲面,其方程稱為單葉雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程,其中.方程所表示的曲面都稱為雙葉雙曲面,其方程稱為雙葉雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程,其中.3.拋物面方程表示的曲面都稱為橢圓拋物面,其方程稱為橢圓拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程,其中,是任意非零常數(shù).方程表示的曲面都為雙曲拋物面,上面方程稱為雙曲拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程,其中,是任意非零常數(shù).小結(jié)給出空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線的概念，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)例來(lái)理解空間曲線在坐標(biāo)面上的投影，掌握投影曲線的求法探究式方法引導(dǎo)學(xué)生借助于圖形推導(dǎo)和建立旋轉(zhuǎn)曲面的方程，并掌握旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.通過(guò)實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)曲面方程加深理解介紹了幾個(gè)常用的二次曲面，引導(dǎo)學(xué)生借助于圖形和截痕法來(lái)分析各種曲面的圖形，要求學(xué)生掌握各種曲面圖形的簡(jiǎn)單繪制方法，并具有一定空間想象能力，為以后的學(xué)習(xí)進(jìn)行鋪墊.注意區(qū)分單葉雙曲面和雙葉雙曲面的方程及圖形的差別.第3章矩陣計(jì)劃學(xué)時(shí)理論12學(xué)時(shí),習(xí)題課2學(xué)時(shí)教學(xué)基本要求1.理解矩陣的概念及特殊矩陣.2.熟練掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置、方陣的行列式、伴隨矩陣及其運(yùn)算律.3.理解逆矩陣的概念及性質(zhì)，熟練掌握矩陣可逆的充要條件，熟練掌握伴隨矩陣法求逆矩陣.4.了解矩陣的分塊法及幾種特殊的分塊法.5.理解矩陣的初等變換和矩陣等價(jià)的概念.6.熟練將矩陣化成行階梯形、行最簡(jiǎn)形、標(biāo)準(zhǔn)型.7.理解初等矩陣的定義及性質(zhì)、理解初等變換與初等矩陣的關(guān)系.8.會(huì)利用初等變換求逆矩陣和解矩陣方程.9.理解和掌握矩陣秩的定義及性質(zhì)，并會(huì)用它們解題.10.熟練利用矩陣的初等行變換求矩陣的秩.11.掌握消元法解線性方程組的方法，會(huì)判斷線性方程組解的情況，會(huì)用初等變換求線性方程組的解.思政目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維，求實(shí)創(chuàng)新，家國(guó)情懷，數(shù)學(xué)之美等.教學(xué)重點(diǎn)1.矩陣的乘法及運(yùn)算律，方陣行列式的運(yùn)算律，伴隨矩陣的定義及性質(zhì).2．逆矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用，解矩陣方程.3．會(huì)將矩陣化為行最簡(jiǎn)形.4．會(huì)求矩陣的秩.5.初等變換求解線性方程組的方法.教學(xué)難點(diǎn)1.矩陣的乘法及運(yùn)算律.2.逆矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用，解矩陣方程.3.將矩陣化為行最簡(jiǎn)形.4.對(duì)矩陣秩的理解5.線性方程組通解的求法.支撐課程目標(biāo)課程目標(biāo)1，2，3支撐畢業(yè)目標(biāo)畢業(yè)目標(biāo)1，2，4教學(xué)內(nèi)容§3.1矩陣的概念§3.2矩陣的運(yùn)算§3.3逆矩陣§3.4分塊矩陣§3.5矩陣的初等變換與初等矩陣§3.6矩陣的秩§3.7線性方程組的解§3.1矩陣的概念、§3.2矩陣的計(jì)算計(jì)劃學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)1.理解矩陣的概念、認(rèn)識(shí)特殊矩陣.2.理解矩陣的線性運(yùn)算、掌握矩陣的乘法、矩陣的轉(zhuǎn)置、方陣的行列式、伴隨矩陣及其運(yùn)算律.思政目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷，增強(qiáng)民族自豪感與自信心。項(xiàng)目?jī)?nèi) 容解決措施教學(xué)重點(diǎn)矩陣的乘法及運(yùn)算律，方陣行列式的運(yùn)算律，伴隨矩陣的定義及性質(zhì)1、通過(guò)矩陣乘法的幾何意義來(lái)理解矩陣乘法的概念.2、借助于實(shí)例來(lái)理解矩陣乘法的運(yùn)算律、方陣行列式的運(yùn)算律、伴隨矩陣.教學(xué)難點(diǎn)矩陣的乘法及運(yùn)算律1、通過(guò)矩陣乘法的幾何意義來(lái)理解矩陣乘法的概念.借助于實(shí)例來(lái)理解矩陣乘法的運(yùn)算律.教學(xué)方法講授式教學(xué)，探究式教學(xué)，同伴教學(xué)教學(xué)背景數(shù)據(jù)表格教學(xué)內(nèi)容教學(xué)實(shí)施流程課程導(dǎo)入：矩陣是線性代數(shù)的主要研究對(duì)象之一，它在數(shù)學(xué)的其它分支以及自然科學(xué)、現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域等方面具有廣泛的應(yīng)用。在本課程中，矩陣是研究線性變換、線性方程組求解的有力且不可替代的工具,在線性代數(shù)中具有重要地位。例：某企業(yè)月份、產(chǎn)品、產(chǎn)量與數(shù)表的關(guān)系：某生產(chǎn)部門(mén)生產(chǎn)甲，乙，丙，丁四種產(chǎn)品，1～3月份生產(chǎn)數(shù)量如下表（單位：噸）我們把表中的數(shù)據(jù)按照原來(lái)的位置排列出來(lái)，就把產(chǎn)量表簡(jiǎn)寫(xiě)成一個(gè)“矩形數(shù)表”的形式：…………這就是矩陣。課程思政：凝心聚力，眾志成城。在三年的疫情抗擊過(guò)程中，我們展現(xiàn)了堅(jiān)不可摧的“中國(guó)力量”。回顧最初武漢最早發(fā)現(xiàn)新冠病毒時(shí)，一方有難，八方支援。據(jù)當(dāng)時(shí)的衛(wèi)健委及新聞報(bào)道：累計(jì)派出344支國(guó)家醫(yī)療隊(duì)（含中醫(yī)、含軍隊(duì)，下同；其中中醫(yī)17支,軍隊(duì)3支），42322名醫(yī)務(wù)人員（其中中醫(yī)739人，軍隊(duì)3844人），醫(yī)生總數(shù)11416人（其中中醫(yī)217人，軍隊(duì)900人）、護(hù)士總數(shù)28679人（其中中醫(yī)505人，軍隊(duì)2158人）.各?。▍^(qū)、市）馳援湖北醫(yī)務(wù)人員數(shù)量如下：北京1215人、天津1289人、河北1090人、山西1509人、內(nèi)蒙古798人、遼寧2045人、吉林1179人、黑龍江1534人、上海1608人、江蘇2757人、浙江1985人、安徽1324人、福建1366人、江西1201人、山東1782人、河南1262人、湖南1458人、廣東2452人、廣西961人、海南843人、重慶1614人、四川1458人、貴州1401人、云南1132人、陜西919人、甘肅776人、青海239人、寧夏787人、新疆387人、兵團(tuán)107人，共38478人.這段新聞，用列表的方式表達(dá)更加清晰明了：中醫(yī)軍隊(duì)其他總數(shù)國(guó)家醫(yī)療隊(duì)173324344醫(yī)護(hù)人員73938443773942322醫(yī)生2179001029911416護(hù)士50521582601628679上面的表格也可用矩陣的形式表示出來(lái)。由此可以看出，面對(duì)大量的數(shù)據(jù)時(shí)，列表的優(yōu)勢(shì)所在。講授新課：矩陣的概念定義1：設(shè)有個(gè)數(shù)排成行列的矩形陣表，記做如下形式：行標(biāo)行標(biāo)列標(biāo)列標(biāo)元素元素稱為一個(gè)矩陣。其中：——稱為第行、第列元素。通常用大寫(xiě)字母表示矩陣。為表明矩陣的行數(shù)和列數(shù)，矩陣也可簡(jiǎn)記為：或幾點(diǎn)說(shuō)明①若，，且，則稱兩矩陣同型；②若，，且，則稱兩矩陣相等。舉例：兩矩陣同型兩矩陣同型兩矩陣相等兩矩陣相等二、幾種特殊矩陣零矩陣——個(gè)元素全為零的矩陣，稱為零矩陣。記作：或注意：不同的零矩陣未必相等的！行矩陣——只有一行的矩陣，稱為行矩陣，記作：列矩陣——只有一列的矩陣，稱為列矩陣，記作：方陣——行數(shù)和列數(shù)都等于的矩陣，稱為階矩陣或階方陣，記作：主對(duì)角線主對(duì)角線說(shuō)明：其中元素稱為階方陣的主對(duì)角元素，過(guò)元素的直線稱為階方陣的主對(duì)角線。5、單位矩陣——主對(duì)角線上的所有元素全為1，其余元素全為零的階方陣稱為階單位矩陣，即：，且：記作：,簡(jiǎn)記：全為1全為16、對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣若n階方陣滿足，則稱A為對(duì)稱矩陣。若，則稱A為反對(duì)稱矩陣。7、對(duì)角矩陣主對(duì)角線上元素為任意常數(shù)，其余元素全為零的方陣。8、數(shù)量矩陣若對(duì)角矩陣中主對(duì)角線上的元素相等，則此對(duì)角矩陣稱為數(shù)量矩陣。9、三角矩陣主對(duì)角線下方元素全為零的方陣稱為上三角矩陣；主對(duì)角線上方元素全為零的方陣稱為下三角矩陣，上下三角矩陣統(tǒng)稱三角矩陣。三、矩陣的線性運(yùn)算矩陣的加、減法定義2：設(shè)有兩個(gè)矩陣，，，將它們的對(duì)應(yīng)位置的元素相加，所得到的矩陣，稱為矩陣A與矩陣B的和，記作：，注意：只有同型矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算。矩陣加法滿足的運(yùn)算律：⑴(交換律);⑵(結(jié)合律);⑶;⑷;⑸(減法)。2、數(shù)乘矩陣定義3：用數(shù)乘矩陣的每一個(gè)元素所得的矩陣，稱為數(shù)與矩陣的積，記作：注意：數(shù)乘矩陣是數(shù)去乘中的每一個(gè)元素。數(shù)乘矩陣滿足的運(yùn)算律⑴;⑵;⑶;⑷；說(shuō)明：以上矩陣的加法與數(shù)乘矩陣合稱為矩陣的線性運(yùn)算。四、矩陣的乘法(重點(diǎn))矩陣的乘法定義4：設(shè)矩陣，矩陣，即：，，則定義與的乘積是一個(gè)的矩陣，記作：其中，（等于左的第行的所有元素與右的第列的對(duì)應(yīng)元素乘積的和。）幾點(diǎn)說(shuō)明①相乘條件：左矩陣Ａ的列數(shù)等于右矩陣Ｂ的行數(shù)；②相乘方法：乘積矩陣的元素等于左Ａ的第行與右Ｂ的第列的對(duì)應(yīng)元素乘積的和）；③相乘結(jié)果：乘積C矩陣的行列數(shù)，分別取自左Ａ的行數(shù)，右B的列數(shù)。例1：已知，，求：，。此例說(shuō)明：①；②,，但。例2：已知，，求：，。解：因?yàn)榫仃嚨牧袛?shù)為2，矩陣的行數(shù)為3，所以不符合矩陣乘法的條件，故不存在。此例說(shuō)明：兩個(gè)矩陣，若存在，也不一定存在。例3：設(shè)矩陣，，，求：，。此例說(shuō)明：，一般也不能導(dǎo)出：例4：設(shè)矩陣驗(yàn)證：一般地，對(duì)任意矩陣，只要有意義，一定有：矩陣乘法滿足的運(yùn)算律⑴結(jié)合律:;⑵分配律:;⑶對(duì)任意常數(shù),有:⑷(矩陣起到數(shù)“0”的作用)；⑸(矩陣起到數(shù)“1”的作用)。矩陣乘法的三大特征⑴無(wú)交換律即：;⑵無(wú)消去律即：⑶若或。學(xué)生自練1：已知：，，求：，。此例看出：與矩陣的乘積為一階方陣，即一個(gè)數(shù)；而與矩陣的乘積是一個(gè)階方陣。五、方陣的冪定義定義5：設(shè)是階方陣，（為自然數(shù)），則個(gè)連乘所得到的積仍是階方陣，稱為方陣的次冪，記作：。規(guī)定：說(shuō)明：①只有方陣才有冪運(yùn)算?、谥荒苁钦麛?shù)。方陣冪運(yùn)算滿足運(yùn)算律⑴;⑵六、矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置的定義定義6：將矩陣的行與列互換，得到的矩陣，稱為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，記作：或即設(shè)則則轉(zhuǎn)置滿足的運(yùn)算律⑴;⑵；⑶;⑷例5：已知：，，求。七、方陣的行列式定義7設(shè)為方陣，則行列式稱為矩陣的行列式，記為，或。性質(zhì)n階方陣A，B的行列式的運(yùn)算規(guī)律（設(shè)A，B為n階方陣，為數(shù)）：（1）（2）（3）例設(shè)，的行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的矩陣稱為方陣的伴隨矩陣。例：設(shè)時(shí)，求。注：八、共軛矩陣定義8當(dāng)為復(fù)矩陣時(shí)，用表示的共軛復(fù)數(shù)，記稱為的共軛矩陣。性質(zhì)共軛矩陣滿足下列運(yùn)算規(guī)律（設(shè)為復(fù)矩陣，為復(fù)數(shù)，且運(yùn)算都是可行的）：（1）（2）（3）思考與小結(jié)：小結(jié)：本節(jié)課的重點(diǎn)是矩陣的運(yùn)算，這節(jié)課概念多、性質(zhì)多，需要在理解基礎(chǔ)上記憶并應(yīng)用。思考：1.兩個(gè)同階對(duì)角矩陣的乘積是怎樣的矩陣？請(qǐng)給出一般結(jié)論。2.證明：通過(guò)導(dǎo)語(yǔ)指出：矩陣在數(shù)學(xué)研究中的重要作用，引起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.課程思政：在疫情抗擊戰(zhàn)中，全國(guó)人民所體現(xiàn)的凝聚力讓世界刮目相看，“中國(guó)力量”如此強(qiáng)大，使學(xué)生充分感受到民族自豪感與自信心。不同階數(shù)的零矩陣是不同的，提醒學(xué)生“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”.介紹特殊矩陣的相關(guān)概念，為矩陣的后期應(yīng)用做鋪墊.注意：反對(duì)稱矩陣主對(duì)角線元全為“0”.此處可用對(duì)比法將“數(shù)乘矩陣”與“數(shù)乘行列式”對(duì)比著來(lái)記.矩陣的乘法是矩陣的一個(gè)非常重要的運(yùn)算，要細(xì)講.矩陣相乘其幾何意義就是兩個(gè)線性變換復(fù)合比如A矩陣表示旋轉(zhuǎn)變換，B矩陣表示伸長(zhǎng)變換，那么AB就是伸長(zhǎng)加旋轉(zhuǎn)的總變換.強(qiáng)調(diào)矩陣可乘的條件即:兩個(gè)非零矩陣的乘積可能等于零矩陣?。ù瞬煌跀?shù)字乘積的規(guī)律）通過(guò)具體實(shí)例來(lái)理解矩陣乘法的概念.無(wú)法計(jì)算！不滿足消去律！單位矩陣起著數(shù)“1”的作用！行矩陣乘列矩陣是“數(shù)”.和（4）可推廣到多個(gè)矩陣的情況.（4）稱為“穿脫原理”.性質(zhì)（2）的應(yīng)用是學(xué)生最容易錯(cuò)的??！§3.3逆矩陣、§3.4分塊矩陣計(jì)劃學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)1.理解逆矩陣的概念及性質(zhì)，熟練掌握矩陣可逆的充要條件，熟練掌握伴隨矩陣法求逆矩陣.2.了解矩陣的分塊法及幾種特殊的分塊法.思政目標(biāo)掌握類比歸納的數(shù)學(xué)思想，學(xué)以致用項(xiàng)目?jī)?nèi) 容解決措施教學(xué)重點(diǎn)理解逆矩陣的概念及性質(zhì)，熟練掌握矩陣可逆的充要條件，熟練掌握伴隨矩陣法求逆矩陣,解矩陣方程.1、通過(guò)實(shí)例幫助理解矩陣可逆的概念和性質(zhì).2、借助于例題的證明來(lái)理解矩陣可逆.教學(xué)難點(diǎn)矩陣可逆的充要條件，用伴隨矩陣法求逆矩陣,解矩陣方程.1、通過(guò)實(shí)例幫助理解矩陣可逆的充要條件.2、借助于例題來(lái)理解怎樣解矩陣方程.教學(xué)方法講授式教學(xué)，探究式教學(xué)，對(duì)比教學(xué)法，同伴教學(xué)教學(xué)背景加密原理，圖形的伸縮變換教學(xué)內(nèi)容教學(xué)實(shí)施流程課程回顧：矩陣的乘法：設(shè)矩陣，矩陣，即：，，則定義與的乘積是一個(gè)的矩陣，記作：其中，伴隨矩陣的定義：設(shè)，的行