七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題01 有理數(shù)及其運(yùn)算 重難點(diǎn)題型-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難題型全歸納及技巧提升專項(xiàng)精練（人教版）（原卷版）

/專題01有理數(shù)及其運(yùn)算重難點(diǎn)題型題型1正負(fù)數(shù)意義及應(yīng)用【解題技巧】解決此類問(wèn)題關(guān)鍵是明確正負(fù)數(shù)在題目中的實(shí)際意義從而進(jìn)一步求解.1．（2021·南靖縣城關(guān)中學(xué)七年級(jí)月考）向東運(yùn)動(dòng)記作“+”，向西運(yùn)動(dòng)記作“—”，下列說(shuō)法正確的是（）A．－2表示向東運(yùn)動(dòng)了2米B．＋2表示向西運(yùn)動(dòng)了2米C．向西運(yùn)動(dòng)3米表示向東運(yùn)動(dòng)了－3米D．向西運(yùn)動(dòng)5米也可以記作向西運(yùn)動(dòng)－5米2．（2021·云南昆明市·九年級(jí)二模）2020年一季度，受新冠肺炎疫情影響，云南省外貿(mào)進(jìn)出口總值466.5億元，較上年同期下降6.3%．2021年一季度，云南省外貿(mào)進(jìn)出口總值達(dá)742.1億元，同比增長(zhǎng)59.7%．若下降6.3%，記作，則增長(zhǎng)59.7%應(yīng)記作（）A． B． C． D．3．（2020·北京初三一模）舉出一個(gè)數(shù)字“”表示正負(fù)之間分界點(diǎn)的實(shí)際例子，如__________．3．（2021·湖北宜昌市·中考真題）用正負(fù)數(shù)表示氣溫的變化量，上升為正，下降為負(fù)．登山隊(duì)攀登一座山峰，每登高氣溫的變化量為，攀登后，氣溫下降__________．4．（2021·四川成都·七年級(jí)期末）大米包裝袋上有的標(biāo)識(shí)，則下面幾袋大米重量合格的是（）A． B． C． D．5．（2022·遼寧沈陽(yáng)市·七年級(jí)期中）以下的五個(gè)時(shí)鐘顯示了同一時(shí)刻國(guó)外四個(gè)城市時(shí)間和北京時(shí)間，若表中給出的是國(guó)外四個(gè)城市與北京的時(shí)差，則這五個(gè)時(shí)鐘對(duì)應(yīng)的城市從左到右依次是（）城市紐約悉尼倫敦羅馬時(shí)差/h﹣13+2﹣8﹣7A．紐約、悉尼、倫敦、羅馬、北京 B．羅馬、北京、悉尼、倫敦、紐約C．倫敦、紐約、北京、羅馬、悉尼 D．北京、羅馬、倫敦、悉尼、紐約6．（2022·渠縣七年級(jí)月考）一次體育課，老師對(duì)七年級(jí)男生進(jìn)行了100米賽跑的測(cè)試，以跑13秒為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間用正數(shù)表示，不足標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間用負(fù)數(shù)表示，第一小組8人的成績(jī)?nèi)缦拢?0.2，－0.3，-0.4，0，0.1，－0.1，－0.5，1．（1）這8名同學(xué)實(shí)際各跑了多長(zhǎng)時(shí)間？（2）這個(gè)小組的達(dá)標(biāo)率是多少？題型2有理數(shù)的相關(guān)概念【方法點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題需理解并熟記有理數(shù)相關(guān)概念，如①整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；②正有理數(shù)、0和負(fù)有理數(shù)亦可稱為有理數(shù)；③只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)；④在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩旁，離開原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù)；⑤數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值；⑥一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0.1．（2021射洪縣射洪中學(xué)外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)月考）下列說(shuō)法正確的是（）A．正數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù) B．正整數(shù)包括自然數(shù)和零C．零是最小的整數(shù) D．非負(fù)數(shù)包括零和正數(shù)2．（2021·河南省初一期中）下列說(shuō)法中：①0是最小的整數(shù)；②有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③非負(fù)數(shù)就是正數(shù)；④不僅是有理數(shù)，而且是分?jǐn)?shù)；⑤是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以不是有理數(shù)；⑥無(wú)限小數(shù)不都是有理數(shù)；⑦正數(shù)中沒(méi)有最小的數(shù)，負(fù)數(shù)中沒(méi)有最大的數(shù)．其中錯(cuò)誤的說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）A．7個(gè) B．6個(gè) C．5個(gè) D．4個(gè)3.（2021?趙縣期中）下列說(shuō)法中，不正確的是（）①符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；②所有有理數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示③絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是正數(shù)；④兩數(shù)相加和一定大于任何一個(gè)加數(shù)⑤有理數(shù)可分為正數(shù)和負(fù)數(shù)A．①②③⑤ B．③④ C．①③④⑤ D．①④⑤4.（2021?嵊州市期中）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）（1）0是絕對(duì)值最小的有理數(shù)；（2）﹣1乘以任何數(shù)仍得這個(gè)數(shù)；（3）0除以任何數(shù)都等于0；（4）數(shù)軸上原點(diǎn)兩側(cè)的數(shù)互為相反數(shù)；（5）一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則這個(gè)數(shù)的立方也是正數(shù)；（6）一對(duì)相反數(shù)的平方也互為相反數(shù)A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)5.（2021?日照期中）下列說(shuō)法正確的是（）①任何一個(gè)有理數(shù)的平方都是正數(shù)②任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)③如果一個(gè)有理數(shù)的倒數(shù)等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是1④如果一個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是0．A．①④ B．②③ C．③④ D．②④6．（2021·山西省初一月考）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師把分別寫有，5，-2，0，的五張卡片分別發(fā)給五位同學(xué)，王老師要求同學(xué)們按照卡片上數(shù)字的特征挑選2人或者3人表演節(jié)目．（1）王老師先給同學(xué)們做了范例，他說(shuō)手拿卡片上數(shù)字為整數(shù)的同學(xué)表演節(jié)目，請(qǐng)你選出表演節(jié)目的同學(xué)；（2）如果讓你來(lái)挑選，你會(huì)按什么數(shù)字特征來(lái)選擇表演節(jié)目的同學(xué)？題型3數(shù)集問(wèn)題性質(zhì)：有理數(shù)的分類。注：數(shù)集關(guān)系中有包含關(guān)系時(shí)，數(shù)的分類不可重復(fù)解題技巧：此類題型是有理數(shù)分類題型的拓展，一般用框圖表示數(shù)據(jù)分類的集合關(guān)系，多會(huì)出現(xiàn)有重合甚至包含邏輯的框圖。此時(shí)，先填寫有重合和被包含部分的框圖，再填寫單一框圖部分的數(shù)據(jù)。1．（2021·寧夏銀川市·七年級(jí)期末）在0，3，－2，－3.6這四個(gè)數(shù)中，是負(fù)整數(shù)的為___．2．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·七年級(jí)期末）下列各數(shù)：﹣1，，1.01001…（每?jī)蓚€(gè)1之間依次多一個(gè)0），0，，3.14，其中有理數(shù)有_____個(gè)．3.（2021·重慶市璧山區(qū)正則中學(xué)七年級(jí)月考）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合里：1，，，0.5，，，，0，2014，20%，正數(shù)集合：負(fù)數(shù)集合：整數(shù)集合：正分?jǐn)?shù)集合：有理數(shù)集合：4.（2021?郫都區(qū)校級(jí)月考）把下列各數(shù)的序號(hào)填到相應(yīng)的括號(hào)中：①﹣0.3?；②3.1415；③﹣10；④0.28；⑤?27；⑥18；⑦0；⑧﹣2.3；（1）整數(shù)集合：{…}；（2）負(fù)數(shù)集合：{…}；（3）非正數(shù)集合：{…}；（4）分?jǐn)?shù)集合：{…}；（5）非負(fù)整數(shù)集合：{…}．5.（2021?合川區(qū)月考）將下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合內(nèi)．5，14，﹣3，?3正數(shù)集合{…}；負(fù)數(shù)集合{…}；自然數(shù)集合{…}；整數(shù)集合{…}；分?jǐn)?shù)集合{…}；負(fù)分?jǐn)?shù)集合{…}；非負(fù)數(shù)集合{…}；非正整數(shù)集合{…}；6.（2021?官渡區(qū)校級(jí)月考）將有理數(shù)﹣1，0，20，﹣1.25，134題型4利用數(shù)軸求兩點(diǎn)間距離注：距離沒(méi)有方向性，所以到某點(diǎn)的距離為a的點(diǎn)一般有兩個(gè)解題技巧：根據(jù)題干要求，先找出參考點(diǎn)位置；某點(diǎn)到參考點(diǎn)的距離為a，意味著這個(gè)點(diǎn)可以在參考點(diǎn)左邊距離為a的位置，也可在參考點(diǎn)右邊距離為a的位置。因此，此類題型一般有多解情況，請(qǐng)注意。最后根據(jù)畫出的數(shù)軸，讀出兩點(diǎn)之間的距離。1．（2021·四川廣元市·九年級(jí)一模）在數(shù)軸上，點(diǎn)，在原點(diǎn)的兩側(cè)，分別表示數(shù)，2，將點(diǎn)向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)．若，則的值為（）A． B． C．或 D．2．（2021·江蘇南通市·九年級(jí)一模）如圖，如果數(shù)軸上，兩點(diǎn)之間的距離是，且點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，那么點(diǎn)表示的數(shù)是（）A． B． C． D．3．（2020·浙江臺(tái)州市·七年級(jí)期中）已知，點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)都在數(shù)軸上，點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為2，且，點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)，則點(diǎn)C在數(shù)軸對(duì)應(yīng)的數(shù)為_______．4．（2021·湖南懷化市·中考真題）數(shù)軸上表示數(shù)5的點(diǎn)和原點(diǎn)的距離是（）A． B． C． D．5．（2021·浙江杭州市·七年級(jí)期末）數(shù)軸上有兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)M到點(diǎn)E的距離為2，點(diǎn)N到點(diǎn)E距離為6，則M、N之間的距離為________．6．（2021·江蘇初一課時(shí)練習(xí)）如圖，將一刻度尺放在數(shù)軸上.①若刻度尺上0cm和4cm對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)分別為1和5，則1cm對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是2；②若刻度尺上0cm和4cm對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)分別為1和9，則1cm對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是3；③若刻度尺上0cm和4cm對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)分別為-2和2，則1cm對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是-1；④若刻度尺上0cm和4cm對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)分別為-1和1，則1cm對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是-0.5.上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④題型5有理數(shù)的大小比較解題技巧：（1）正數(shù)與正數(shù)比較，易于比較；（2）正數(shù)與負(fù)數(shù)比較，正數(shù)＞0＞負(fù)數(shù)；（3）負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小；（4）如果要比較的數(shù)比較多，建議在數(shù)軸上將每個(gè)數(shù)表示出來(lái)，在數(shù)軸上，從左至右，數(shù)值一次增大。當(dāng)有字母時(shí)，且暫時(shí)無(wú)法理清大小關(guān)系，可以用特值法進(jìn)行比較。1．（2021·吉林白城市·七年級(jí)期末）比較大?。篲_______．2．（2021·山東臨沂市·九年級(jí)二模）在0，1，，-1四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．0 B．1 C． D．-13．（2020·山東省中考真題）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，那么這三個(gè)數(shù)中絕對(duì)值最大的是（）A．a(chǎn) B．b C．c D．無(wú)法確定4．（2021·江蘇常州市·七年級(jí)月考）已知a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，將a、b、﹣a、﹣b從小到大排列正確的一組是（）A．﹣a＜﹣b＜a＜b B．﹣b＜﹣a＜a＜b C．﹣b＜a＜b＜﹣a D．a(chǎn)＜﹣b＜b＜﹣a5.（2021·河北滄州市·七年級(jí)期末）a，b是有理數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上的位置如圖所示．把a(bǔ)，b，﹣a，﹣b按照從小到大的順序排列，正確的是（）A．B．C．D．6．（2022·浙江·七年級(jí)期末）表示，兩數(shù)中的最小者，表示，兩數(shù)中的較大者，如，，則是（）A． B． C． D．題型6相反數(shù)的性質(zhì)與求法性質(zhì)：a.除0外，一組相反數(shù)一定是一正一負(fù)。b.一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面加一個(gè)負(fù)號(hào)（負(fù)號(hào)的意義就是表示相反量）。c.一組相反數(shù)的和為0。解題技巧：（1）此類題型多為利用相反數(shù)的性質(zhì)求解含字母數(shù)的相反數(shù)。利用性質(zhì)b，直接在這個(gè)數(shù)前面添加“﹣”號(hào)，在利用多重符號(hào)化簡(jiǎn)的方法化簡(jiǎn)即可。（2）已知兩個(gè)含有字母的數(shù)為相反數(shù)，利用性質(zhì)c，將兩個(gè)數(shù)相加和為0，表示成方程的形式，直接解方程即可。1．（2021·河北保定市·九年級(jí)一模）計(jì)算﹣1?1＝0，則“?”表示的運(yùn)算符號(hào)是（）A．+ B．﹣ C．× D．÷2．（2022·貴州畢節(jié)·七年級(jí)期末）下列各對(duì)數(shù)中，互為相反數(shù)的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和3.（2021·河南安陽(yáng)市·七年級(jí)期中）的相反數(shù)（）A． B． C． D．4.（2021·廣西貴港市·七年級(jí)期末）若a，b，c，m都是不為零的有理數(shù)，且，，則b與c的關(guān)系是（）A．互為相反數(shù) B．互為倒數(shù) C．相等 D．無(wú)法確定5．（2021·山東七年級(jí)月考）若與互為相反數(shù)，則的值為________________．6．（2022·河北保定·七年級(jí)期末）若與-3互為相反數(shù)，則m的值為______________．題型7由數(shù)求絕對(duì)值與由絕對(duì)值求數(shù)1)由數(shù)求絕對(duì)值：一定為非負(fù)數(shù)，即2)由絕對(duì)值求數(shù)a.絕對(duì)值為0的數(shù)僅有1個(gè)，即0；絕對(duì)值為正數(shù)的數(shù)有2個(gè)，其互為相反數(shù)；絕對(duì)值為負(fù)的數(shù)不存在。b.絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)，可能相等，也可能互為相反數(shù)。（建議用數(shù)軸區(qū)分，可能會(huì)有多解）1．（2022·四川成都市·成都七中七年級(jí)期中）若|5﹣x|＝1，則x＝_____．3．（2022·合肥市七年級(jí)月考）已知，且，則x=_______，y=_________．4．（2022·全國(guó)初一課時(shí)練習(xí)）小麥做這樣一道題“計(jì)算”、其中“□”是被墨水污染看不清的一個(gè)數(shù)，他翻開后面的答案，得知該題計(jì)算結(jié)果是8，那么”□”表示的數(shù)是()A．5 B．-5 C．11 D．-5或115．（2022·湖北襄陽(yáng)·七年級(jí)期末）已知|a|＝8，|a|>a，則a等于_________．6.（2022·貴州黔東南·七年級(jí)期末）先閱讀下列解題過(guò)程，然后解答后面兩個(gè)問(wèn)題．解方程：．解：當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得．所以原方程的解是或．(1)利用上述方法解方程：．(2)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，關(guān)于的方程，①無(wú)解；②只有一個(gè)解；③有兩個(gè)解．題型8絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用性質(zhì)：，即非負(fù)性，注：a為任意實(shí)數(shù)解題技巧：根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為0”，即若a+b=0，則a1.（2021·黑龍江大慶市·九年級(jí)一模）若與互為相反數(shù)，則的值為（）A．1 B．-1 C．5 D．-52.（2022·浙江初一課時(shí)練習(xí)）若|x＋1|＋|y－2|＝0，則x－y＝________．3.（2022?達(dá)孜區(qū)期末）已知|x﹣4|+|5﹣y|＝0，則12（x+y）的值為4.（2021?江岸區(qū)校級(jí)月考）若|2x﹣4|與|y﹣3|互為相反數(shù)，求3x﹣y的值．5．（2021·廣東茂名市·七年級(jí)期末）若，則的值為______．6．（2022·河北唐山·七年級(jí)期末）已知，則的值為（）A．2019 B． C． D．1題型9有理數(shù)加減法乘除再認(rèn)識(shí)解題技巧：該類題型的實(shí)質(zhì)是有理數(shù)加減乘除法的計(jì)算，通過(guò)理解題干條件，利用有理數(shù)加減乘除法運(yùn)算規(guī)律逐一判別即可。1．（2021·四川射洪縣七年級(jí)月考）如果、是有理數(shù)，則下列各式子成立的是（）A．如果，，那么B．如果，，那么C．如果，，那么D．如果，，且，那么2．（2022·長(zhǎng)沙市開福區(qū)七年級(jí)月考）在數(shù)軸上有、兩個(gè)有理數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中，正確的是（）A．B．C．D．3．（2021·北京二中七年級(jí)期末）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B． C． D．4．（2022·吉林白城市·七年級(jí)期末）已知數(shù)在數(shù)軸上表示的點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．5．（2022·廣東省初一期中）已知,,且,則的值是（

）A．7 B．3 C．―3或－7 D．3或76．（2021·河西區(qū)·天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，有理數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A，B，C，D，若，則（）A．大于5 B．小于5 C．等于5 D．不能確定題型10有理數(shù)加、減法運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用解題技巧：與利用正負(fù)數(shù)求平均數(shù)方法類似。（1）選擇合適的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)，超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的記為正數(shù)，不足的記為負(fù)數(shù)；（2）對(duì)處理后的正負(fù)數(shù)進(jìn)行加法運(yùn)算；（3）最后還需要將處理后的正負(fù)數(shù)還原為實(shí)際數(shù)。（4）根據(jù)題意列出算式；（5）進(jìn)行有理數(shù)加減法運(yùn)算，可利用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)算；（6）比較結(jié)果，得出結(jié)論。1．（2021·北京九年級(jí)一模）中國(guó)人最先使用負(fù)數(shù)，數(shù)學(xué)家劉徽在“正負(fù)數(shù)”的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）正放表示正數(shù)，斜放表示負(fù)數(shù)．根據(jù)劉微的這種表示法，圖①表示算式，則圖②表示算式__________．2．（2022·浙江杭州市·七年級(jí)期末）記運(yùn)入倉(cāng)庫(kù)的大米噸數(shù)為正，則表示（）A．先運(yùn)入大米3.5噸，后運(yùn)入大米2.5噸B．先運(yùn)出大米3.5噸，后運(yùn)入大米2.5噸C．先運(yùn)入大米3.5噸，后運(yùn)出大米2.5噸D．先運(yùn)出大米3.5噸，后運(yùn)出大米2.5噸3．（2021·貴州銅仁市·九年級(jí)月考）兩小朋友在玩上樓梯游戲，規(guī)定一步只能上一級(jí)或二級(jí)臺(tái)階，玩著玩著兩人發(fā)現(xiàn)：當(dāng)樓梯的臺(tái)級(jí)數(shù)為一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)、…逐步增加時(shí)，樓梯的上法依次為：1，2，3，5，8，13，21，…（這就是著名的斐波拉契數(shù)列），請(qǐng)你認(rèn)真觀察這一列數(shù)規(guī)律，探究一下，上11級(jí)臺(tái)階共有_____種上法．4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·七年級(jí)期末）我市某日的最高溫度是7℃，最低溫度是﹣1℃，則當(dāng)天的最高溫度比最低溫度高_(dá)____℃．5．（2022·河北省初一期中）在抗洪搶險(xiǎn)中，解放軍戰(zhàn)士的沖鋒舟加滿油沿東西方向的河流搶救災(zāi)民，早晨從地出發(fā)，晚上到達(dá)地，約定向東為正方向，當(dāng)天的航行路程記錄如下（單位：千米）：，，，，，，，．（1）請(qǐng)你幫忙確定地位于地的什么方向，距離地多少千米？（2）若沖鋒舟每千米耗油升，郵箱容量為升，求沖鋒舟當(dāng)天救災(zāi)過(guò)程中至少還需補(bǔ)充多少升油？6．（2021·成都市棕北中學(xué)七年級(jí)期中）在2020年抗洪搶險(xiǎn)中，解放軍戰(zhàn)士的沖鋒舟加滿汽油后沿東西方向的河流搶救災(zāi)民，早晨從A地出發(fā)，晚上到達(dá)B地，約定向東為正方向，當(dāng)天的航行路程記錄如下（單位：千米）：+15，﹣8，+9，﹣6，+14，﹣5，+13，﹣10．（1）B地位于A地的什么方向？距離A地多少千米？（2）若沖鋒舟每千米耗油0.6升，油箱容量為30升，求沖鋒舟當(dāng)天救災(zāi)過(guò)程中至少還需補(bǔ)充多少升油？（3）救災(zāi)過(guò)程中，沖鋒舟離出發(fā)點(diǎn)A最遠(yuǎn)時(shí)，距A地多少千米？題型11.有理數(shù)的乘除法在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用解題技巧：（1）根據(jù)題意列出算式；（2）進(jìn)行有理數(shù)乘除法運(yùn)算，可利用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)算；（3）比較結(jié)果，得出結(jié)論。對(duì)原本無(wú)數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題巧妙的賦某些特定值，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)量問(wèn)題，然后通過(guò)對(duì)整數(shù)的正負(fù)號(hào)進(jìn)行討論，使問(wèn)題得到解決。用賦值法解決此類問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)操作過(guò)程中的某一個(gè)量進(jìn)行賦值（通常為±1），通過(guò)對(duì)操作過(guò)程的量化，討論理數(shù)正負(fù)號(hào)變化規(guī)律，最終求解出具體問(wèn)題。1．（2021·山西臨汾·七年級(jí)期中）天干地支紀(jì)年法是上古文明的產(chǎn)物，又稱節(jié)氣歷或中國(guó)陽(yáng)歷．天干地支紀(jì)年法共有十天干與十二地支，具體情況如下表.其算法是：先用年份的尾數(shù)查出天干，再用年份除以12的余數(shù)查出地支．如2008年，尾數(shù)8為戊，2008除以12余數(shù)為4，4為子，那么2008年就是戊子年．2021年是偉大、光榮、正確的中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，則2021年是________年．（用天干地支紀(jì)年法表示）天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸4567890123地支子丑寅卯辰巳午未申酉戊亥4567891011121232.（2022·四川成都·七年級(jí)期末）元旦節(jié)期間，某商場(chǎng)對(duì)顧客實(shí)行這樣的優(yōu)惠政策：若一次購(gòu)物不超過(guò)200元，則不予折扣；若一次購(gòu)物超過(guò)200元不超過(guò)500元，則按標(biāo)價(jià)給予八折優(yōu)惠：若一次購(gòu)物超過(guò)500元，其中500元按上述八折優(yōu)惠外，超過(guò)500元的部分給予七折優(yōu)惠．小明的媽媽兩次購(gòu)物分別付款192元和384元，如果她合起來(lái)一次性購(gòu)買同樣多的商品，那么她可以節(jié)約______元．3．（2022四川成都市·麓山師大一中七年級(jí)月考）在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的混合運(yùn)算后，小明和小剛玩算“24點(diǎn)”游戲游戲規(guī)則：從一副撲克牌（去掉大，小王）中任意抽取4張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算（每張牌必須用一次且只能用一次，可以加括號(hào)），使得運(yùn)算結(jié)果為24或－24．其中紅色撲克牌代表負(fù)數(shù)，黑色撲克代表正數(shù)，J，Q，K分別代表11，12，13．小明抽到的四張牌分別是黑桃1，黑桃3，梅花4，梅花6（都是黑色撲克牌），小明湊成的等式為，小亮抽到的四張牌分別是紅桃5、黑桃5、方塊5、梅花1，請(qǐng)寫出小亮湊成的“24點(diǎn)”等式_______．4.（2021·浙江杭州市·七年級(jí)期中）小王和小李兩人在進(jìn)行100米跑訓(xùn)練，小王說(shuō)：“我跑到終點(diǎn)時(shí)，你離終點(diǎn)還有20米”，小李說(shuō)：“我跑到終點(diǎn)時(shí)，你才比我快了2.5秒”．（1）求小王和小李的速度．（2）若小李從起點(diǎn)先跑2秒后小王再開始跑，求小王起跑后幾秒追上小李．（3）若小李從起點(diǎn)起跑，小王在起點(diǎn)后20米同時(shí)起跑，小王在起跑時(shí)不慎摔了一跤，爬起來(lái)后繼續(xù)按原速度跑，在跑的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)某一時(shí)刻兩人相距只有2米，求小王摔倒最多耽擱幾秒時(shí)間？5．（2021·吉林·長(zhǎng)春市第八十七中學(xué)七年級(jí)期末）大商超市對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠購(gòu)物，優(yōu)惠規(guī)定如下：A如果一次性購(gòu)物在500元以內(nèi)，按標(biāo)價(jià)給予九折優(yōu)惠；B如果一次性購(gòu)物超過(guò)500元，其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過(guò)500元部分給予八折優(yōu)惠．（1）李叔叔在該超市購(gòu)買了一臺(tái)標(biāo)價(jià)為780元的洗衣機(jī)，他應(yīng)付多少元錢？（2）王阿姨先后兩次去該超市購(gòu)物，分別付款198元和554元，如果王阿姨一次性購(gòu)買，只需要付款多少元？能節(jié)省多少元？6．（2021·浙江臺(tái)州市·中考真題）小華輸液前發(fā)現(xiàn)瓶中藥液共250毫升，輸液器包裝袋上標(biāo)有“15滴/毫升”．輸液開始時(shí)，藥液流速為75滴/分鐘．小華感覺(jué)身體不適，輸液10分鐘時(shí)調(diào)整了藥液流速，輸液20分鐘時(shí)，瓶中的藥液余量為160毫升．（1）求輸液10分鐘時(shí)瓶中的藥液余量；（2）求小華從輸液開始到結(jié)束所需的時(shí)間．題型12新定義運(yùn)算解題技巧：該類題型會(huì)定義一種我們未學(xué)習(xí)過(guò)的運(yùn)算規(guī)則，我們只需要照定義的運(yùn)算規(guī)則，將題干寫成有理數(shù)之間的運(yùn)算即可。然后在直接按照有理數(shù)的運(yùn)算法則求解最終答案。1．（2022·北京十二中初一期中）設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，計(jì)算_______.2．（2021·湖北省初一期中）把夏禹時(shí)代的“洛書”用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來(lái)就是一個(gè)三階幻方，其實(shí)際數(shù)學(xué)意義就是它的每行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)之和均相等，則幻方中a的值是（）A．6 B．12 C．18 D．243．（2021·沈陽(yáng)市第一二六中學(xué)初一月考）定義新運(yùn)算：對(duì)有理數(shù)、，有，如，那么的值是（）A． B． C． D．4．（2022·廣西百色市·七年級(jí)期中）1930年，德國(guó)漢堡大學(xué)的學(xué)生考拉茲，曾經(jīng)提出過(guò)這樣一個(gè)數(shù)學(xué)猜想：對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則對(duì)它乘3再加1；如果它是偶數(shù)，則對(duì)它除以2．如此循環(huán)，最終都能夠得到1．這一猜想后來(lái)成為著名的“考拉茲猜想”，又稱“奇偶?xì)w一猜想”．雖然這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上還沒(méi)有得到證明，但舉例驗(yàn)證都是正確的，例如：取正整數(shù)5，最少經(jīng)過(guò)下面5步運(yùn)算可得1，即：，如果正整數(shù)最少經(jīng)過(guò)6步運(yùn)算可得到1，則的值為（）A．10 B．32 C．64 D．10或645．（2020·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)七年級(jí)期中）用表示，例1995！=，那么的個(gè)位數(shù)字是_____________．6．（2022·浙江金華市·七年級(jí)開學(xué)考試）已知：=3，=10，=15，…，觀察上面的計(jì)算過(guò)程，尋找規(guī)律并計(jì)算：=___．7．（2022·北京海淀區(qū)·七年級(jí)期中）我們知道，正整數(shù)按照能否被2整除可以分成兩類：正奇數(shù)和正偶數(shù)，小浩受此啟發(fā)，按照一個(gè)正整數(shù)被3除的余數(shù)把正整數(shù)分成了三類：如果一個(gè)正整數(shù)被3除余數(shù)為1，則這個(gè)正整數(shù)屬于A類，例如1，4，7等；如果一個(gè)正整數(shù)被3除余數(shù)為2，則這個(gè)正整數(shù)屬于B類，例如2，5，8等；如果一個(gè)正整數(shù)被3整除，則這個(gè)正整數(shù)屬于C類，例如3，6，9等．（1）2020屬于類（填A(yù)，B或C）；（2）①?gòu)腁類數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則它們的和屬于類（填A(yù)，B或C）；②從A類數(shù)中任意取出15個(gè)數(shù)，從B類數(shù)中任意取出16個(gè)數(shù)，從C類數(shù)中任意取出17個(gè)數(shù)，把它們都加起來(lái)，則最后的結(jié)果屬于類（填A(yù)，B或C）；（3）從A類數(shù)中任意取出m個(gè)數(shù)，從B類數(shù)中任意取出n個(gè)數(shù)，把它們都加起來(lái)，若最后的結(jié)果屬于C類，則下列關(guān)于m，n的敘述中正確的是（填序號(hào)）．①m+2n屬于C類；②|m﹣n|屬于B類；③m屬于A類，n屬于C類；④m，n屬于同一類．題型13有理數(shù)的簡(jiǎn)算解題技巧：（1）有理數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算一般運(yùn)用加法（乘法）的運(yùn)算律或減法（除法）的性質(zhì)，達(dá)到簡(jiǎn)便運(yùn)算的目的。（2）利用乘方的運(yùn)算性質(zhì)，將可以湊整的部分先放在一起簡(jiǎn)化運(yùn)算，再求湊整后部分的乘方運(yùn)算。1．（2022·湖南廣益實(shí)驗(yàn)中學(xué)）計(jì)算：0.252019×42020＝_____．2．（2021·江蘇蘇州市·七年級(jí)月考）計(jì)算等于（）．A． B． C． D．3．（2022·江蘇無(wú)錫市·七年級(jí)月考）閱讀第（1）小題的計(jì)算方法，再用這種方法計(jì)算第（2）小題．（1）計(jì)算：

（解析）原式====，上面這種解題方法叫做拆項(xiàng)法．（2）計(jì)算：4．（2022·安岳縣石羊鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)七年級(jí)月考）計(jì)算題（1）5＋（－6）＋（＋3）＋（－4）（2）－3－4+19－10（3）－2.4＋＋（－）＋（－1.6）（4）（5）|－3|+（－5）－|－4|+3+|－（+5）|（6）5．（2022·浙江七年級(jí)期中）先計(jì)算，再閱讀材料，解決問(wèn)題：（1）計(jì)算：．（2）認(rèn)真閱讀材料，解決問(wèn)題：計(jì)算：．分析：利用通分計(jì)算的結(jié)果很麻煩，可以采用以下方法進(jìn)行計(jì)算：解：原式的倒數(shù)是：．故原式．請(qǐng)你根據(jù)對(duì)所提供材料的理解，選擇合適的方法計(jì)算：．6．（2022·全國(guó)七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：（1）；（2）．7．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)七年級(jí)期中）觀察下面算式的演算過(guò)程：……（1）根據(jù)上面的規(guī)律，直接寫出下面結(jié)果：______________．____________．_________________．（為正整數(shù)）（2）根據(jù)規(guī)律計(jì)算：．題型14乘方的應(yīng)用解題技巧：（1）末尾數(shù)字問(wèn)題：此類題型通常乘方運(yùn)算種的冪比較大，且無(wú)簡(jiǎn)單計(jì)算方法，直接計(jì)算幾乎無(wú)法進(jìn)行。但此類題型也并非需要求解出最終的結(jié)果，往往只需要求解這組數(shù)的末尾數(shù)字。因此，在解這類時(shí)，我們只需要關(guān)注末位數(shù)字，通過(guò)多計(jì)算幾組末尾數(shù)字，找出末尾數(shù)字的變化規(guī)律。最后依舊變化規(guī)律，分析出最終結(jié)果。（2）此類題型的難點(diǎn)在于分析問(wèn)題，建立乘方的數(shù)學(xué)模型。基本步驟為：首先從特殊情形入手，逐步分析、歸納，找出變化規(guī)律；然后根據(jù)規(guī)律寫出乘方數(shù)學(xué)模型；最后根據(jù)題干要求計(jì)算結(jié)果。1．（2021·山東濰坊市·七年級(jí)期末）觀察下列等式：，，，，，，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是__________．2．（2021·甘肅白銀市·七年級(jí)期末）觀察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出22020的末位數(shù)字是()A．2 B．4 C．6 D．83．（2021·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)七年級(jí)開學(xué)考試）定義一種關(guān)于整數(shù)的“”運(yùn)算：（1）當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為；（2）當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果是（其中是使是奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如：取，第一次經(jīng)運(yùn)算是29，第二次經(jīng)運(yùn)算是92，第三次經(jīng)運(yùn)算是23，第四次經(jīng)運(yùn)算是；若，則第2017次運(yùn)算結(jié)果是（）A．1 B．2 C．7 D．84．（2021·西安同仁中學(xué)初三模擬）利用如圖1的二維碼可以進(jìn)行身份識(shí)別.某校建立了一個(gè)身份識(shí)別系統(tǒng)，圖2是某個(gè)學(xué)生的識(shí)別圖案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.將第一行數(shù)字從左到右依次記為，，，，那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級(jí)序號(hào)，其序號(hào)為.如圖2第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，序號(hào)為，表示該生為5班學(xué)生.表示6班學(xué)生的識(shí)別圖案是（）A． B． C． D．5．（2022·湖北黃石市·七年級(jí)月考）計(jì)算機(jī)利用的是二進(jìn)制數(shù)，它共有兩個(gè)數(shù)碼0、1，將一個(gè)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制，只需把該數(shù)寫出若干2n數(shù)的和，依次寫出1或0即可．如：為二進(jìn)制下的五位數(shù)．則十進(jìn)制數(shù)1027是二進(jìn)制下的（）．A．九位數(shù) B．十位數(shù) C．十一位數(shù) D．十二位數(shù)6．（2022·湖北隨州市·八年級(jí)期末）觀察下列各式:1+2=22-11+2+22=23-1,1+2+22+23=24-1,...(1)請(qǐng)直接寫出1+2+22+23+24=1+2+22+23+24+25=_;(2)根據(jù)(①)的規(guī)律,猜想1+2+22+...+2n=_，并給出證明；(3)設(shè)250=a,根據(jù)(2)中的結(jié)論，化簡(jiǎn)250+251+252+...+299+2100(用含a的式子表示).題型15新定義運(yùn)算（乘方）【解題技巧】正確地理解新定義的算式含義，然后嚴(yán)格按照新定義的計(jì)算程序，將數(shù)值代入，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的有理數(shù)混合運(yùn)算算式進(jìn)行計(jì)算.1．（2021·江蘇省初一期中）已知m≥2，n≥2，且m、n均為正整數(shù)，如果將mn進(jìn)行如圖所示的“分解”，那么下列四個(gè)敘述中正確的有（）①在25的“分解”結(jié)果是15和17兩個(gè)數(shù)．②在42的“分解”結(jié)果中最大的數(shù)是9．③若m3的“分解”結(jié)果中最小的數(shù)是23，則m＝5．④若3n的“分解”結(jié)果中最小的數(shù)是79，則n＝5．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2022·漣水金城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校初一期中）規(guī)定兩數(shù)之間的一種運(yùn)算，記作：如果，那么．例如：因?yàn)?，所以．?）根據(jù)上述規(guī)定，填空：__________，__________，=__________；（2）小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：，小明給出了如下的證明：設(shè)，則，即，所以，即，所以，請(qǐng)你嘗試運(yùn)用這種方法證明下面這個(gè)等式：3．（2021·全國(guó)七年級(jí)）請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面材料，并解答下列問(wèn)題．如果a（a＞0，a≠1）的b次冪等于N，即指數(shù)式ab＝N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)式記作：logaN＝b．例如：①因?yàn)橹笖?shù)式22＝4，所以以2為底4的對(duì)數(shù)是2，對(duì)數(shù)式記作：log24＝2；②因?yàn)橹笖?shù)式42＝16，所以以4為底16的對(duì)數(shù)是2，對(duì)數(shù)式記作：log416＝2.（1）請(qǐng)根據(jù)上面閱讀材料將下列指數(shù)式改為對(duì)數(shù)式：①62＝36；②43＝64；（2）將下列對(duì)數(shù)式改為指數(shù)式：①log525＝2；②log327＝3；（3）計(jì)算：log2324．（2022·銀川市第三中學(xué)初一期中）閱讀理解與計(jì)算：（1）用“”定義新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)，都有．例如：．則①填空：