數(shù)值分析07線性代數(shù)方程組的直接法

第七章線性方程組的直接解法AX=b（3.1）

線性方程組數(shù)值解法的分類

直接法（適用于中等規(guī)模的n階線性方程組）

◆Gauss消去法及其變形

◆矩陣的三角分解法

迭代法（適用于高階線性方程組）

◆Jacobi迭代法

◆

Gauss-Seidel迭代法

◆逐次超松弛法

◆共軛斜量法§1高斯消去法1．三角形方程組的解法---回代法（3.2）（3.3）

2．順序高斯消去法

基本思想：通過消元將上述方程組化為三角形方程組進(jìn)行求解。消元公式回代公式順序Gauss消去法可執(zhí)行的前提定理1

給定線性方程組，如果n階方陣的所有順序主子式都不為零，即則按順序Gauss消去法所形成的各主元素均不為零，從而Gauss

消去法可順利執(zhí)行。注：當(dāng)線性方程組的系數(shù)矩陣為對(duì)稱正定或嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣時(shí)，按Gauss消去法計(jì)算是穩(wěn)定的。3、列主元Gauss消去法計(jì)算步驟：1、輸入矩陣階數(shù)n，增廣矩陣

A(n,n+1);2、對(duì)于(1)按列選主元：選取l使

(2)如果，交換A(n,n+1)的第k行與第l

行元素(3)

消元計(jì)算：3、回代計(jì)算4．無回代過程的主元消去法算法：第一步：選主元，在第一列中選絕對(duì)值最大的元素，設(shè)第k行為主元行，將主元行換至第一行，將第一個(gè)方程中x1的系數(shù)變?yōu)?，并從其余n–1個(gè)方程中消去x1。第二步：在第二列后n–1個(gè)元素中選主元，將第二個(gè)方程中x2的系數(shù)變?yōu)?，并從其它n–1個(gè)方程中消去x2。第k步：在第k列后n–k個(gè)元素中選主元，換行，將第k個(gè)方程xk的系數(shù)變?yōu)?，從其它n-1個(gè)方程中消去變量xk，…………消元公式為：對(duì)k=1,2,…,按上述步驟進(jìn)行到第n步后，方程組變?yōu)椋杭礊樗蟮慕庾ⅲ簾o回代的Gauss消元法實(shí)際上就是將方程組的系數(shù)矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣。5．無回代消去法的應(yīng)用（1）解線性方程組系設(shè)要解的線性方程組系為：AX=b1,AX=b2,…AX=bm上述方程組系可以寫為AX=B=(b1,…,bm)因此 X=A-1B即為線性方程組系的解。

在計(jì)算機(jī)上只需要增加幾組右端常數(shù)項(xiàng)的存貯單元，其結(jié)構(gòu)和解一個(gè)方程組時(shí)一樣。行系數(shù)右端（2）求逆矩陣設(shè)A=(aij)n

n是非奇矩陣，

A

0，且令由于AA-1=AX=I因此，求A-1的問題相當(dāng)于解下列線性方程組相當(dāng)于（1）中m=n,

B=I的情形。

（3）求行列式的值用高斯消去法將

A

化成§2解三對(duì)角方程組的追趕法§3矩陣的三角分解法

高斯消元法的矩陣形式

每一步消去過程相當(dāng)于左乘初等變換矩陣LkA

的

LU

分解(LUfactorization)定理2：（矩陣的三角分解）設(shè)A為n

n實(shí)矩陣，如果解AX=b用高斯消去法能夠完成（限制不進(jìn)行行的交換，即），則矩陣A可分解為單位下三角矩陣L與上三角知陣U的乘積。

A=LU且這種分解是唯一的。注：（1）L為單位下三角陣而U為一般上三角陣的分解稱為Doolittle

分解（2）L為一般下三角陣而U為單位上三角陣的分解稱為Crout分解。

Doolittle分解法：通過比較法直接導(dǎo)出L和U的計(jì)算公式。思路LU分解求解線性方程組直接三角分解法解AX=b的計(jì)算公式對(duì)于r=2,3,…,n計(jì)算（2）計(jì)算U的第r行元素

（3）計(jì)算L的第r列元素(r

n)(1)(4)(5)§4平方根法1．矩陣的LDR分解定理3：如果n階矩陣A的所有順序主子式均不等于零，則矩陣A存在唯一的分解式A=LDR其中L和R分別是n階單位下三角陣和單位上三角陣，D是n階對(duì)角元素的不為零的對(duì)角陣，上述分解也稱為A的LDR分解。2．平方根法

如果A為對(duì)稱正定矩陣，則存在一個(gè)實(shí)的非奇異下三

角矩陣，使A=LLT，且當(dāng)限定的對(duì)角元素為正時(shí)，這種分解是唯一的。定理4：（對(duì)稱正定矩陣的三角分解）將對(duì)稱

正定陣

A做LU

分解U=uij=u11uij/uii111u22unn記為

A對(duì)稱即記D1/2=則仍是下三角陣，且有用平方根法解線性代數(shù)方程組的算法（1）對(duì)矩陣A進(jìn)行Cholesky分解，即A=LLT，由矩陣乘法：對(duì)于i=1,2,…,n計(jì)算（2）求解下三角形方程組

（3）求解LTX=y3．改進(jìn)平方根法

其中改進(jìn)平方根法解對(duì)稱正定方程組的算法令LTX=y，先解下三角形方程組LDY=b得解上三角形方程組LTX=Y得§5向量和矩陣的范數(shù)

1．向量的范數(shù)定義1：設(shè)X

Rn，

Ｘ

表示定義在Rn上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)，稱之為X的范數(shù)，它具有下列性質(zhì)：（3）三角不等式：即對(duì)任意兩個(gè)向量X、Y

Rn，恒有

(1)非負(fù)性：即對(duì)一切X

Rn，X

0,

Ｘ

>0(2)齊次性：即對(duì)任何實(shí)數(shù)a

R，X

Rn，

設(shè)X=(x1,x2,…,xn