高中數(shù)學(xué)人教A版2022新課程解讀（122張）

突出數(shù)學(xué)本質(zhì)重視研究過(guò)程

發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提綱對(duì)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解數(shù)學(xué)教材、數(shù)學(xué)教學(xué)中如何落實(shí)核心素養(yǎng)突出函數(shù)本質(zhì)，重視研究過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對(duì)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的理解著力推進(jìn)關(guān)鍵領(lǐng)域和主要環(huán)節(jié)改革（一）研究制訂學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。（二）修訂課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)。（三）編寫(xiě)、修訂高校和中小學(xué)相關(guān)學(xué)科教材。（四）改進(jìn)學(xué)科教學(xué)的育人功能。（五）加強(qiáng)考試招生和評(píng)價(jià)的育人導(dǎo)向。（六）強(qiáng)化教師育人能力培養(yǎng)。（七）完善各方參與的育人機(jī)制。（八）實(shí)施研究基地建設(shè)計(jì)劃。（九）整合和利用優(yōu)質(zhì)教育教學(xué)資源。（十）加強(qiáng)課程實(shí)施管理?！督逃筷P(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》——教基二4號(hào)2014年3月培養(yǎng)目標(biāo)評(píng)價(jià)體系課程內(nèi)容課堂教學(xué)管理機(jī)制教育方針學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)高考學(xué)考綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)新課程方案新課標(biāo)新教材校本課程教學(xué)方式課堂評(píng)價(jià)教學(xué)資源信息技術(shù)融合選課走班發(fā)展指導(dǎo)課程管理師資建設(shè)硬件設(shè)施關(guān)鍵領(lǐng)域和主要環(huán)節(jié)的改革培養(yǎng)目標(biāo)為誰(shuí)培養(yǎng)人？培養(yǎng)什么人？怎樣培養(yǎng)人？核心素養(yǎng)eyCompetencies是學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過(guò)程中，逐步形成的適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。培養(yǎng)什么人？——中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)連接黨的教育方針與教育教學(xué)實(shí)踐的橋梁三個(gè)方面六個(gè)要素十八個(gè)基本點(diǎn)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）一、課程性質(zhì)與基本理念二、學(xué)科核心素養(yǎng)與課程目標(biāo)三、課程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)依據(jù)、結(jié)構(gòu)、學(xué)分與選課四、課程內(nèi)容必修課程、選擇性必修課程、選修課程五、學(xué)業(yè)質(zhì)量學(xué)業(yè)質(zhì)量?jī)?nèi)涵、水平、與考試評(píng)價(jià)的關(guān)系六、實(shí)施建議教學(xué)與評(píng)價(jià)建議、命題建議、教材編寫(xiě)建議、地方與學(xué)校實(shí)施課程標(biāo)準(zhǔn)的建議附錄1：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分附錄2：教學(xué)與評(píng)價(jià)案例目錄課程性質(zhì)的變化數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能幫助學(xué)生掌握進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的基礎(chǔ)知識(shí)、技能、思想和方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界高中數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)：基礎(chǔ)性、選擇性、發(fā)展性數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)據(jù)分析課程目標(biāo)的變化空間想象抽象概括推理論證運(yùn)算求解數(shù)據(jù)處理應(yīng)用意識(shí)創(chuàng)新意識(shí)五大能力兩個(gè)意識(shí)義教10個(gè)核心概念數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)（一）數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)承接和深化繼承和發(fā)展數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，數(shù)學(xué)的思維就是推理，數(shù)學(xué)的語(yǔ)言就是模型。----史寧中ey

Laboratory

of

AOE

NortheastNormalUniversity六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的層次性：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模——核心的數(shù)學(xué)思想直觀想象（伴隨）數(shù)學(xué)運(yùn)算（特殊）和數(shù)據(jù)分析（特殊）三會(huì)（落實(shí)成學(xué)生的行為）：會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界——數(shù)學(xué)抽象直觀想象（數(shù)學(xué)的第一個(gè)特征：一般性）會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界——邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算（第二個(gè)特征：嚴(yán)謹(jǐn)性）會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界——數(shù)學(xué)建模數(shù)據(jù)分析（第三個(gè)特征：應(yīng)用的廣泛性）1通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來(lái)發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡(jiǎn)稱“四基”），提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力（簡(jiǎn)稱“四能”）。2在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。3通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)能力；樹(shù)立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神；不斷提高應(yīng)用能力實(shí)踐能力，提升創(chuàng)新意識(shí)；認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值。（二）2017年版高中數(shù)學(xué)課標(biāo)課程目標(biāo)課程目標(biāo)的變化數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)問(wèn)題提出問(wèn)題分析問(wèn)題解決問(wèn)題四基基礎(chǔ)知識(shí)基本技能基本思想基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)四能六素養(yǎng)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界情感態(tài)度價(jià)值觀興趣、自信心、學(xué)習(xí)習(xí)慣、科學(xué)精神應(yīng)用能力、實(shí)踐能力、創(chuàng)新意識(shí)科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值、審美價(jià)值*16雙基1952年三維目標(biāo)2001年學(xué)科核心素養(yǎng)2016年我國(guó)中小學(xué)課程目標(biāo)的發(fā)展102030教書(shū)育人不變的東西是什么？雙基關(guān)鍵能力數(shù)學(xué)思想方法課標(biāo)：“四基”是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的沃土，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體。把數(shù)學(xué)講好就是落實(shí)四基、培養(yǎng)四能、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)！要挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)在的教育價(jià)值，并把它們體現(xiàn)在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)教材、數(shù)學(xué)教學(xué)中如何落實(shí)核心素養(yǎng)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的教學(xué)建議1教學(xué)目標(biāo)制定要突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);2情境創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題設(shè)計(jì)要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；3整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)連續(xù)、階段性發(fā)展；4既要重視教，更要重視學(xué)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí);5重視信息技術(shù)運(yùn)用，提高數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效性把握數(shù)學(xué)本質(zhì)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境優(yōu)化教法學(xué)法信息技術(shù)融合理解數(shù)學(xué)理解教學(xué)理解學(xué)生理解技術(shù)理解數(shù)學(xué)：深入理解、整體把握教學(xué)內(nèi)容理解教學(xué)：要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)過(guò)程要從數(shù)學(xué)學(xué)科的整體結(jié)構(gòu)、核心內(nèi)容和重要思想上整體把握和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，完整地體現(xiàn)好數(shù)學(xué)的科學(xué)性、工具性、價(jià)值理性和人文性這些特質(zhì)，使數(shù)學(xué)教材成為一個(gè)融數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法、思想和精神于一體的整體。教給學(xué)生完整的數(shù)學(xué)，全面發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能。要深入理解、整體把握教學(xué)內(nèi)容理解數(shù)學(xué)對(duì)每一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，我們需要思考——這個(gè)教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)涵是什么？它在教材中處于什么位置？與本節(jié)、本章其他內(nèi)容有什么聯(lián)系？在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，這個(gè)教學(xué)內(nèi)容是如何產(chǎn)生的？它有什么作用？引入這一內(nèi)容后，原有的知識(shí)可以作出什么新的解釋？這個(gè)教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含什么數(shù)學(xué)思想方法？學(xué)習(xí)這一內(nèi)容可以培養(yǎng)學(xué)生什么數(shù)學(xué)能力？發(fā)展什么數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？這個(gè)教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含什么數(shù)學(xué)文化價(jià)值？對(duì)培養(yǎng)學(xué)生正確的價(jià)值觀念能起什么作用？重視數(shù)學(xué)對(duì)象的獲得過(guò)程，要注重?cái)?shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系，也要注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在的前后邏輯，從現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)事實(shí)出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納、概括事物本質(zhì)的過(guò)程，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問(wèn)題，這就是用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，也就是落實(shí)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、直觀想象的素養(yǎng)。理解教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的學(xué)習(xí)過(guò)程重視讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)對(duì)象的研究過(guò)程，從數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展規(guī)律和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)構(gòu)建研究問(wèn)題的思路重視以“一般觀念”為引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜想，證明結(jié)論，這就是用數(shù)學(xué)的思維思考世界，也是落實(shí)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。觀察——抽象——探索——猜測(cè)——論證在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程中，重視利用數(shù)學(xué)概念原理分析問(wèn)題，體現(xiàn)解決問(wèn)題的過(guò)程，學(xué)會(huì)分析數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中挖掘信息等。學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)。怎么經(jīng)歷過(guò)程？——問(wèn)題引領(lǐng)、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)通過(guò)有意義、適度、恰時(shí)恰點(diǎn)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷上述過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生自己概括出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，并使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中保持高水平的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。突出函數(shù)本質(zhì)，重視研究過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)突出函數(shù)本質(zhì)，重視研究過(guò)程，

發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一、突出函數(shù)所刻畫(huà)的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的本質(zhì)，滲透研究函數(shù)的思想方法二、重視相關(guān)概念的形成過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)三、從“一般觀念”出發(fā)研究函數(shù)性質(zhì)，體現(xiàn)研究方法的引導(dǎo)，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)四、重視背景和應(yīng)用，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)五、重視問(wèn)題引導(dǎo)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力六、重視融合信息技術(shù)，改變內(nèi)容呈現(xiàn)方式，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中聯(lián)系面廣、起統(tǒng)帥作用的、基礎(chǔ)的、重要的核心概念。初中：一般函數(shù)→正比例函數(shù)→一次函數(shù)→二次函數(shù)→反比例函數(shù)高中：一般函數(shù)→冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)→三角函數(shù)→數(shù)列→導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)對(duì)于這些函數(shù)內(nèi)容，我們要學(xué)習(xí)什么？怎么學(xué)習(xí)？有沒(méi)有一般的研究路徑和方法？函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具。用函數(shù)刻畫(huà)（某些特殊）變化，研究某些特殊的變化規(guī)律。一般到特殊：一般函數(shù)基本初等函數(shù)；連續(xù)函數(shù)離散函數(shù)。整體到局部：用導(dǎo)數(shù)刻畫(huà)局部變化規(guī)律。運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象函數(shù)的概念、表示函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的應(yīng)用特殊的函數(shù)（基本初等函數(shù)）概念：體現(xiàn)概念教學(xué)的一般過(guò)程。從典型豐富的具體例證中分析、歸納共性，概括出本質(zhì)的過(guò)程。性質(zhì)：值域、單調(diào)性、最值、奇偶性、周期性、特殊點(diǎn)取值。從事物的關(guān)系、規(guī)律等反映事物的特征。應(yīng)用：建立函數(shù)模型解決問(wèn)題。一、突出函數(shù)所刻畫(huà)的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的本質(zhì)，滲透研究函數(shù)的思想方法

突出函數(shù)所刻畫(huà)的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的本質(zhì)特征數(shù)學(xué)研究的數(shù)量關(guān)系和空間形式是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來(lái)的，無(wú)論數(shù)量關(guān)系中還是空間形式中都充滿了運(yùn)動(dòng)變化的問(wèn)題，函數(shù)就是對(duì)客觀事物從運(yùn)動(dòng)變化的角度進(jìn)行數(shù)量化研究的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具。高中階段對(duì)于函數(shù)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)從初中的“變量之間的單值對(duì)應(yīng)”提升到“數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”，但其刻畫(huà)運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的本質(zhì)特征沒(méi)有改變，變化與對(duì)應(yīng)也是研究函數(shù)的基本思想方法。函數(shù)刻畫(huà)了運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，基本初等函數(shù)刻畫(huà)了某一類具體的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象。一次函數(shù)——“勻速”變化二次函數(shù)——“勻變速”變化指數(shù)函數(shù)——“指數(shù)爆炸”的變化對(duì)數(shù)函數(shù)——“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”的變化三角函數(shù)——“周期往復(fù)”的變化分段函數(shù)——不同階段有不同變化例：三角函數(shù)的研究——突出三角函數(shù)作為描述周期變化的數(shù)學(xué)模型這一本質(zhì)。刻畫(huà)循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)律——周期性最簡(jiǎn)單——單位圓上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)用一個(gè)模型貫穿全章始終，串聯(lián)起不同的概念和內(nèi)容。針對(duì)具體知識(shí)，利用模型的變化，設(shè)計(jì)更加貼切的情景。誘導(dǎo)公式——三角函數(shù)的性質(zhì)由于三角函數(shù)是利用單位圓來(lái)定義的，因此利用單位圓的幾何性質(zhì)（對(duì)稱性），可以研究三角函數(shù)的性質(zhì)，從而得到三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式。直接得出同角三角函數(shù)的關(guān)系周期性——誘導(dǎo)公式一關(guān)于圓心中心對(duì)稱——誘導(dǎo)公式二關(guān)于軸對(duì)稱——誘導(dǎo)公式三關(guān)于y軸對(duì)稱——誘導(dǎo)公式四關(guān)于直線y=對(duì)稱——誘導(dǎo)公式五三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)一以貫之的圓周運(yùn)動(dòng)，突出三角函數(shù)刻畫(huà)“周期運(yùn)動(dòng)”的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的本質(zhì)特征刻畫(huà)圓周運(yùn)動(dòng)——任意角及性質(zhì)刻畫(huà)單位圓周運(yùn)動(dòng)——三角函數(shù)概念單位圓的對(duì)稱性——三角函數(shù)誘導(dǎo)公式三角函數(shù)的單位圓定義——三角函數(shù)圖象與性質(zhì)筒車、摩天輪——函數(shù)y=Asinωφ從運(yùn)算角度認(rèn)識(shí)函數(shù)，幫助學(xué)生抽象函數(shù)概念，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)代數(shù)的核心是數(shù)學(xué)運(yùn)算，運(yùn)算是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段。通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算（加法、乘法及其逆運(yùn)算），可以建立量和量之間的代數(shù)關(guān)聯(lián)，從而得到數(shù)量關(guān)系（代數(shù)式）、等量關(guān)系（方程）、變量關(guān)系（函數(shù)）。函數(shù)反映的是數(shù)量關(guān)系中的變量關(guān)系，因而運(yùn)算也是研究函數(shù)的基本手段。隨著人們對(duì)函數(shù)概念認(rèn)識(shí)的不斷深入，至函數(shù)的“關(guān)系說(shuō)”，函數(shù)概念中已經(jīng)沒(méi)有變量、甚至對(duì)應(yīng)的影子了，函數(shù)概念逐步擺脫了函數(shù)的物理背景，以“關(guān)系說(shuō)”的函數(shù)概念為基礎(chǔ)，可以通過(guò)運(yùn)算法則形式化地定義基本初等函數(shù)。體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算在建立函數(shù)概念中的作用指數(shù)函刻畫(huà)的變化規(guī)律（增長(zhǎng)率為定值）的發(fā)現(xiàn)觀察表格、畫(huà)出圖象年增加量不變VS年增加量越來(lái)越大線性增長(zhǎng)VS非線性增長(zhǎng)直觀觀察對(duì)數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算特點(diǎn)的分析

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，定量刻畫(huà)函數(shù)變化，滲透微積分思想導(dǎo)數(shù)是描述變化率的概念，從單調(diào)性到導(dǎo)數(shù)，就是從定性描述變化到定量描述變化的過(guò)程。函數(shù)的單調(diào)性是“整體”性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)是“局部”性質(zhì)。平均變化率描述了函數(shù)在某一范圍（區(qū)間）內(nèi)的變化，區(qū)間越小，越能精確地刻畫(huà)函數(shù)的變化。當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度趨近于0時(shí)，就是瞬時(shí)變化率，就是導(dǎo)數(shù)。從絕對(duì)變化到平均變化，再到瞬時(shí)變化的過(guò)程，體現(xiàn)了極限的思想。導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系反映了函數(shù)的局部性質(zhì)與整體性質(zhì)的關(guān)系。在一個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)在每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都大于0，則函數(shù)在該區(qū)間是單調(diào)遞增的；反之，在一個(gè)區(qū)間內(nèi)，單調(diào)遞增函數(shù)如果有導(dǎo)函數(shù)，那么每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)大于或等0。引入導(dǎo)數(shù)概念可以定量分析函數(shù)變化。例如，對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性，在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都大于1，利用導(dǎo)數(shù)可以知道這樣的函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的變化比函數(shù)y=要快。再如，利用函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0，再加上其在這一點(diǎn)左右的導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)，就可以確定這一點(diǎn)是否為函數(shù)的極值點(diǎn)。二、重視相關(guān)概念的形成過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，數(shù)學(xué)研究對(duì)象是從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象得到的，數(shù)學(xué)對(duì)象的獲得過(guò)程蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，因此對(duì)于函數(shù)及相關(guān)概念（基本初等函數(shù)、數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列、導(dǎo)數(shù)），都要從反映這些概念本質(zhì)特征的現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、其他學(xué)科情境等問(wèn)題情境出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納其共同特征、概括其本質(zhì)屬性的過(guò)程，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問(wèn)題，學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”，從而發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的素養(yǎng)。函數(shù)概念的抽象過(guò)程函數(shù)概念的發(fā)展歷史：變量說(shuō)對(duì)應(yīng)說(shuō)關(guān)系說(shuō)17世紀(jì)，笛卡兒：引入變量概念，并用代數(shù)關(guān)系式表達(dá)變化的量之間的關(guān)系。1673年，萊布尼茲：給出了函數(shù)的概念，用來(lái)表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng)的量。1748年，歐拉：一個(gè)變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何一種方式構(gòu)成的解析表達(dá)式。1755年,歐拉：如果某變量，以這樣的方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前者也隨之變化，則稱前面的變量是后面變量的函數(shù)。1821年，柯西：在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。1837年，狄里克萊：如果對(duì)于給定區(qū)間上的每一個(gè)的值，有唯一的y值同它對(duì)應(yīng)，那么y就是的一個(gè)函數(shù)，至于在整個(gè)區(qū)間上y是否按照一種或多種規(guī)律依賴于,或者y依賴于是否可用數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)表達(dá)，那都是無(wú)關(guān)緊要的。1851年，黎曼：假定是一個(gè)變量，它可以逐次取所有可能的實(shí)數(shù)值。如果對(duì)它的每一個(gè)值，都有未知量w的唯一的一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，則w稱為的函數(shù)。1939年，布爾巴基學(xué)派：設(shè)E和F是兩個(gè)集合，它們可以不同，也可以相同。E中的變?cè)虵中的變?cè)獃之間的一個(gè)關(guān)系稱為一個(gè)函數(shù)關(guān)系，如果對(duì)于每一個(gè)∈E，都存在唯一的y∈F，它滿足與給定的關(guān)系。稱這樣的運(yùn)算為函數(shù)，它以上述方式將與有給定關(guān)系的元素y∈F與每一個(gè)元素∈E相聯(lián)系。稱y是函數(shù)在元素處的值，函數(shù)值由給定的關(guān)系所確定。兩個(gè)等價(jià)的函數(shù)關(guān)系確定同一個(gè)函數(shù)?！边M(jìn)一步符號(hào)化：設(shè)F是定義在集合和Y上的一個(gè)二元關(guān)系，稱這個(gè)關(guān)系為函數(shù)，如果對(duì)于每一個(gè)∈，都存在唯一的y∈Y，使得（，y）∈F。為什么要研究函數(shù)概念發(fā)展歷史？初中函數(shù)概念分析在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量與y，并且對(duì)于的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們稱是自變量，y是的函數(shù)。變量間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，變量—對(duì)應(yīng)說(shuō)在具體的變量背景上定義函數(shù)，有利于學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)函數(shù)的本質(zhì)特征，但很難擺脫表達(dá)形式（表達(dá)式、表格、圖象）的束縛，因此很難一般地認(rèn)識(shí)函數(shù)，很難把握函數(shù)的本質(zhì)特征。根據(jù)這種定義很難判定兩個(gè)具有不同表達(dá)式的函數(shù)f（）=1和g（）=sin2cos2是否相同；這種方式定義的函數(shù)，很難建立函數(shù)的定義域和值域，因此也很難研究函數(shù)的性質(zhì)。

函數(shù)概念教學(xué)中的重點(diǎn)加強(qiáng)背景，從典型實(shí)例出發(fā)引出函數(shù)概念，體現(xiàn)函數(shù)刻畫(huà)運(yùn)動(dòng)變化的本質(zhì)特征，體現(xiàn)“函數(shù)模型”思想，在學(xué)生頭腦中形成豐富的函數(shù)例證。加強(qiáng)概念形成過(guò)程，讓學(xué)生自己歸納概括函數(shù)的本質(zhì)：?jiǎn)沃祵?duì)應(yīng)→數(shù)集之間的單值對(duì)應(yīng)；這個(gè)過(guò)程就是抽象素養(yǎng)落實(shí)的過(guò)程。感性具體理性具體理性一般

教學(xué)中可以設(shè)問(wèn)S是t的函數(shù)嗎？為什么？（用初中概念判斷）“根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系S=350t，這趟列車加速到350m∕h后，運(yùn)行1h就前進(jìn)了350m．”這個(gè)說(shuō)法正確嗎？（1）時(shí)間t的變化范圍是什么？相應(yīng)的，路程S的變化范圍是什么？（2）能根據(jù)現(xiàn)有條件回答“時(shí)對(duì)應(yīng)的距離是多少”嗎？你認(rèn)為應(yīng)該如何更準(zhǔn)確地描述S與t之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系？對(duì)于數(shù)集中的任一時(shí)刻t，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系s=350t，在數(shù)集中有唯一確定的路程s和它對(duì)應(yīng)。有解析式，提升點(diǎn)在于明確時(shí)間t和路程S的變化范圍．問(wèn)題2：某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過(guò)6天．如果公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認(rèn)為該怎樣確定一個(gè)工人每周的工資？一個(gè)工人的工資w（單位：元）是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？離散型函數(shù)與問(wèn)題1相比，解析式相同，但定義域不同，是不同的函數(shù)。非連續(xù)，進(jìn)一步體會(huì)關(guān)注自變量取值范圍的重要性。問(wèn)題3給出北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）變化圖．如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任一時(shí)刻th的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的值I？你認(rèn)為這里的I是t的函數(shù)嗎？I是t的函數(shù)嗎？為什么？這里的對(duì)應(yīng)關(guān)系是什么？?jī)H僅描述“因?yàn)槿我庖粋€(gè)時(shí)間t都有唯一一個(gè)AQI的值與之對(duì)應(yīng)”夠嗎？追問(wèn)：（1）“給定t的值”，怎么給？（2）“通過(guò)圖形能確定唯一的I與之對(duì)應(yīng)”，怎么找？從所給的圖中能回答“11月24日8:00的AQI值是多少”嗎？11月23日這一天AQI值的變化范圍是什么？（B集擴(kuò)大）這個(gè)函數(shù)有解析式嗎？怎么表示這個(gè)函數(shù)？模仿問(wèn)題1，你能用準(zhǔn)確的集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系描述這個(gè)問(wèn)題嗎？圖象形式表達(dá)的函數(shù)，為引入抽象符號(hào)f：A→B表示對(duì)應(yīng)關(guān)系埋下伏筆．

年份2006200720082009201020112012201320142015恩格爾系數(shù)%36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57歸納上述問(wèn)題的共同特征上述問(wèn)題1～問(wèn)題4中的函數(shù)有哪些共同特征？由此你能概括出函數(shù)概念的本質(zhì)特征嗎？都包含兩個(gè)非空數(shù)集，用A，B來(lái)表示；都有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系；盡管對(duì)應(yīng)關(guān)系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)數(shù)，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)．理性具體理性一般給出函數(shù)定義用新定義描述一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)構(gòu)建問(wèn)題情境，解釋函數(shù)y=10－的對(duì)應(yīng)關(guān)系經(jīng)歷概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)概念的引入——從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過(guò)程或解決實(shí)際問(wèn)題的需要引入概念；概念屬性的概括——提供典型豐富的具體例證，進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，概括共同本質(zhì)特征得到本質(zhì)屬性；概念的明確與表示——下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述（文字的、符號(hào)的）；概念的辨析——以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（恰當(dāng)使用反例）；概念的鞏固應(yīng)用——用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟；納入概念系統(tǒng)——建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。其他相關(guān)概念的形成過(guò)程——以數(shù)列為例數(shù)列：通過(guò)對(duì)一些數(shù)據(jù)按特定順序排列的方法來(lái)刻畫(huà)研究對(duì)象王芳同學(xué)從1歲到17歲的身高依次排成的一列數(shù)75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168兩河流域發(fā)掘的一塊泥板上表示一個(gè)月中從第一天到第15天每天月亮可見(jiàn)部分的一列數(shù)5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176192，208，224，240通過(guò)對(duì)這兩個(gè)例子的分析可以發(fā)現(xiàn)，這兩列數(shù)中的每個(gè)數(shù)都有確定的位置，也就是說(shuō)，整列數(shù)是按照確定的順序排列的，這就得到了數(shù)列的描述性定義。進(jìn)一步地，從這個(gè)共同特征中可以抽象出數(shù)列的一般形式a1，a2，…，an，…，這實(shí)際上從數(shù)學(xué)的角度揭示了數(shù)列的本質(zhì)特征——可以用正整數(shù)按照其中的每個(gè)數(shù)所處的位置編號(hào)，并按編號(hào)從小到大的次序排列的一列數(shù)。在此基礎(chǔ)上，建立數(shù)列的每一項(xiàng)和它的序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系n→an，從函數(shù)的角度看數(shù)列，將數(shù)列理解為定義在自然數(shù)集（或自然數(shù)集的有限子集）上的一類離散函數(shù)。最后，類比函數(shù)的表示方法，可以得到數(shù)列的三種表示方法——表格、圖象和通項(xiàng)公式。其中通項(xiàng)公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式。研究函數(shù)性質(zhì)的一般觀念為什么研究性質(zhì)：通過(guò)研究函數(shù)的變化規(guī)律來(lái)把握客觀世界中事物的變化規(guī)律。什么是函數(shù)的性質(zhì)：變化之中保持的“不變性”就是性質(zhì)；變化過(guò)程中出現(xiàn)的規(guī)律性就是性質(zhì)?，F(xiàn)實(shí)世界中的某些變化會(huì)隨著時(shí)間的推移而有增有減、有快有慢，有時(shí)達(dá)到最大值有時(shí)處于最小值……這些現(xiàn)象反映到數(shù)學(xué)中，就是函數(shù)值隨自變量的增加而增加還是減少、什么時(shí)候函數(shù)值最大、什么時(shí)候函數(shù)值最小……這就是我們要研究的函數(shù)性質(zhì)——“單調(diào)性”“最大值”“最小值”。三、從“一般觀念”出發(fā)研究函數(shù)性質(zhì)，體現(xiàn)研究方法的引導(dǎo)，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

怎么研究函數(shù)性質(zhì)利用圖象研究性質(zhì)特殊到一般三步曲觀察圖象，描述變化規(guī)律結(jié)合圖、表，用自然語(yǔ)言描述變化規(guī)律用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述變化規(guī)律

指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)“利用圖象研究性質(zhì)”不是“由圖象推導(dǎo)出性質(zhì)”。函數(shù)的性質(zhì)是其本身的固有屬性，不是由它的圖象決定的。要注意“回到解析式”，結(jié)合解析式用符號(hào)語(yǔ)言描述變化規(guī)律。也可以從函數(shù)定義出發(fā)研究性質(zhì)，再利用函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)的圖象，使學(xué)生對(duì)函數(shù)的性質(zhì)有更本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。函數(shù)關(guān)系是平面上點(diǎn)的集合，在很多情況下，函數(shù)是滿足一定條件的曲線。因此，與解析幾何、向量幾何一樣，函數(shù)也是數(shù)形結(jié)合的載體，函數(shù)的不同表示法（解析法、圖象法、表格法）也反映了函數(shù)數(shù)形結(jié)合的特征。從數(shù)形結(jié)合的角度理解函數(shù)，也使得我們既可以利用函數(shù)的圖形直觀，利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)；也可以從函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)，研究函數(shù)的圖象。

關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)兩個(gè)難點(diǎn)：“函數(shù)值隨自變量的增大而增大（減小）”轉(zhuǎn)化為定量的不等式語(yǔ)言；為什么要“?1，2∈D”。用“例—規(guī)”法教學(xué)效果不理想的原因：?jiǎn)握{(diào)性判斷規(guī)則本身的抽象性；定量化方法的構(gòu)造性。學(xué)生在此之前沒(méi)有學(xué)過(guò)類似的方法，他們的認(rèn)知準(zhǔn)備不充分。教材采用“規(guī)—例”法借助實(shí)例先給出單調(diào)性判斷規(guī)則以二次函數(shù)f=2畫(huà)出它的圖象

重視函數(shù)相關(guān)概念產(chǎn)生的背景，體現(xiàn)函數(shù)是刻畫(huà)運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具一個(gè)數(shù)學(xué)概念的引入，總有它的現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需要。教材中任何一個(gè)新概念的引入，都強(qiáng)調(diào)它的現(xiàn)實(shí)背景、數(shù)學(xué)理論發(fā)展的背景或數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上的背景，這樣才能使教材顯得自然、親切，讓學(xué)生感到知識(shí)的發(fā)展水到渠成而不是強(qiáng)加于人，也利于學(xué)生更好地理解其本質(zhì)。函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，理解函數(shù)概念，必須需要相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)變化的背景作為支撐。四、重視背景和應(yīng)用，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

一般的函數(shù)概念：“復(fù)興號(hào)”高鐵運(yùn)行、空調(diào)維修工人的工資、北京市某一天的空氣質(zhì)量、某市近十年的恩格爾系數(shù)四個(gè)問(wèn)題，從“感性具體”到“理性具體”再到“理性一般”，抽象得到函數(shù)概念。指數(shù)函數(shù)刻畫(huà)了呈現(xiàn)“指數(shù)增長(zhǎng)”的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象?，F(xiàn)實(shí)世界中，細(xì)胞分裂、人口增長(zhǎng)、放射性物質(zhì)的衰減等呈現(xiàn)了這種運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律；通過(guò)某景區(qū)游客人數(shù)增長(zhǎng)的問(wèn)題和碳14含量的衰減的問(wèn)題，引入指數(shù)函數(shù)的概念。三角函數(shù)刻畫(huà)周期運(yùn)動(dòng)。教科書(shū)在三角函數(shù)的開(kāi)篇語(yǔ)中列舉了大量現(xiàn)實(shí)世界中的周期變化現(xiàn)象，如晝夜交替、四季交替、月亮圓缺、朝夕變化、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的位置變化、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移變化、交變電流的變化等。在三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式、圖象、性質(zhì)的研究過(guò)程中，一以貫之的運(yùn)用勻速圓周運(yùn)動(dòng)這一最簡(jiǎn)單的周期變化的背景，以加深學(xué)生對(duì)三角函數(shù)刻畫(huà)周期運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)的理解。數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。教科書(shū)也是通過(guò)大量現(xiàn)實(shí)的、數(shù)學(xué)歷史發(fā)展中的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)列的“通過(guò)對(duì)一些數(shù)據(jù)按特定順序排列的方法來(lái)刻畫(huà)研究對(duì)象”的特征，等差數(shù)列、等比數(shù)列的“具有某些特殊變化情況的數(shù)列”的特征，進(jìn)而將數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列與函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)做類比，從而理解其本質(zhì)。導(dǎo)數(shù)是定量地、精確地刻畫(huà)運(yùn)動(dòng)變化的。教科書(shū)從研究“高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度”的問(wèn)題出發(fā)，結(jié)合刻畫(huà)其在跳水過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的快慢程度，從平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫(huà)其在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度；在此基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)拋物線的切線的研究，通過(guò)由割線逼近切線的過(guò)程，由割線的斜率逼近切線的斜率。從瞬時(shí)速度和切線斜率這兩個(gè)經(jīng)典的問(wèn)題引出導(dǎo)數(shù)概念，讓學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)刻畫(huà)函數(shù)某一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化的本質(zhì)特征。重視應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識(shí)通過(guò)應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，可以幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)如何刻畫(huà)客觀世界事物的變化規(guī)律，逐漸掌握建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程，體會(huì)函數(shù)的模型思想。函數(shù)的應(yīng)用（一）：個(gè)稅問(wèn)題、汽車行駛中速率的變化問(wèn)題。分段函數(shù)。函數(shù)的應(yīng)用（二）：馬爾薩斯人口模型、利用碳14推測(cè)良渚遺址年代、投資方案的選擇、獎(jiǎng)勵(lì)方案的制訂。既包括用已知模型解決實(shí)際問(wèn)題，也包括選擇合適的模型解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)觀察實(shí)際情景，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題中國(guó)茶文化博大精深．茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．那么在25℃室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感？通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建立茶水水溫關(guān)于時(shí)間的函數(shù)模型，將該茶水溫度的實(shí)測(cè)過(guò)程轉(zhuǎn)變?yōu)闀r(shí)間估計(jì)的問(wèn)題。使得不用時(shí)刻測(cè)試水溫，根據(jù)函數(shù)模型，通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算就可以知道大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感．收集數(shù)據(jù)秒表、溫度計(jì)計(jì)算機(jī)、數(shù)據(jù)采集器、溫度傳感器等信息技術(shù)工具實(shí)驗(yàn)環(huán)境、容器形狀、不同茶葉等影響，數(shù)據(jù)可能與教科書(shū)不一致，不同小組也可能不一致．時(shí)間/min012345水溫/℃85.0079.1974.7571.1968.1965.10分析數(shù)據(jù)、畫(huà)散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖的分布狀況呈遞減狀態(tài)，學(xué)生可能會(huì)提出各種遞減函數(shù)作為模型，結(jié)合幾類基本初等函數(shù)的變化特征，指導(dǎo)學(xué)生做出選擇．y＝a＋25為什么要加25？所選函數(shù)一般只能大致反應(yīng)茶水溫度變化的局部規(guī)律，難以做到準(zhǔn)確刻畫(huà)每一個(gè)具體數(shù)據(jù)，因此，建立模型之后需要對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)．建立和求解模型利用已知數(shù)據(jù)求y＝a＋25中的，a。a如何計(jì)算？能否直接將一組數(shù)據(jù)代入求a？（用比的均值求a）檢驗(yàn)?zāi)Ｐ彤?huà)出y＝60×09227＋25的圖象，檢驗(yàn)原始數(shù)據(jù)。求解問(wèn)題將y＝60代入y＝60×09227＋25，得≈66997，所以泡制一杯最佳口感茶水所需時(shí)間大約是7min。自主開(kāi)展建?；顒?dòng)選題應(yīng)在炒菜之前多長(zhǎng)時(shí)間將冰箱里的肉拿出來(lái)解凍？用微波爐或電磁爐燒一壺開(kāi)水，找到最省電的功率設(shè)定方法；估計(jì)閱讀一本書(shū)所需要的時(shí)間．活動(dòng)過(guò)程指導(dǎo)撰寫(xiě)活動(dòng)報(bào)告交流展示問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)在知識(shí)形成過(guò)程的“關(guān)鍵點(diǎn)”上，在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生解決問(wèn)題策略的“關(guān)節(jié)點(diǎn)”上，在數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”上，在數(shù)學(xué)問(wèn)題變式的“發(fā)散點(diǎn)”上，在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，提出恰當(dāng)?shù)?、?duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維有適度啟發(fā)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生的思考和探索活動(dòng)，使他們經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流、反思等理性思維的基本過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)研究方法、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力。五、重視問(wèn)題引導(dǎo)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力

在章、節(jié)開(kāi)篇，提出引導(dǎo)性問(wèn)題，整體構(gòu)建研究思路正文通過(guò)欄目和邊空提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思維活動(dòng)，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：結(jié)合誘導(dǎo)公式的來(lái)龍去脈，通過(guò)推廣、特殊化等環(huán)環(huán)相扣地給出了一條觀察事物（情景）、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的線索，使學(xué)生在獲得誘導(dǎo)公式的過(guò)程中，體會(huì)借助單位圓的對(duì)稱性研究三角函數(shù)性質(zhì)的思想方法。根據(jù)定義，直接得出“公式一”；探究：誘導(dǎo)公式一表明終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，那么終邊相同的角的三個(gè)三角函數(shù)值之間是否也有某種關(guān)系呢？——探究“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”；利用圓的幾何性質(zhì)，得到了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系．我們知道，圓的最重要的性質(zhì)是對(duì)稱性，而對(duì)稱性（如奇偶性）也是函數(shù)的重要性質(zhì)．由此想到，我們可以利用圓的對(duì)稱性，研究三角函數(shù)的對(duì)稱性?！T導(dǎo)公式的引導(dǎo)語(yǔ)探究1：如圖53-1

，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1．（1）作P1關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P2，以O(shè)P2為終邊的角β與角α有什么關(guān)系？角β，α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？（2）如果作P1關(guān)于軸（或y軸）的對(duì)稱點(diǎn)P3（或P4），那么又可以得到什么結(jié)論？——公式二（πα）、三（?α）、四（π?α）探究2：作P１關(guān)于直線y＝的對(duì)稱點(diǎn)P5，以O(shè)P5為終邊的角γ與角α有什么關(guān)系？角γ與角α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？——公式五（π/2?α）探究3：作P5關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，又能得到什么結(jié)論？——公式五（π/2α）三角恒等變換觀察誘導(dǎo)公式，可以發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角α的和（或差）的三角函數(shù)與這個(gè)任意角α的三角函數(shù)的恒等關(guān)系。如果把特殊角換為任意角β，那么任意角α與β的和（或差）的三角函數(shù)與α，β的三角函數(shù)會(huì)有什么關(guān)系？——三角恒等變換的導(dǎo)語(yǔ)探究：如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出αβ，α－β的正弦、余弦嗎？——兩角差的余弦探究：由公式Cα-β出發(fā)，你能推導(dǎo)出兩角和與差的三角函數(shù)的其他公式嗎？——兩角和的余弦探究：上面得到了兩角和與差的余弦公式．我們知道，用誘導(dǎo)公式五或六可以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化．你能根據(jù)Cαβ，Cα-β及誘導(dǎo)公式五或六，推導(dǎo)出用任意角α，β的正弦、余弦表示sinαβ，sinα－β的公式嗎？探究：你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關(guān)系，從Cα±β，Sα±β出發(fā)，推導(dǎo)出用任意角α，β的正切表示tanαβ，tanα－β的公式嗎？探究：和（差）角公式中，α，β都是任意角．如果令α，β為某些特殊角，就能得到許多有用的公式．你能從和（差）角公式出發(fā)推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式嗎？你還能得到哪些等式？探究：你能利用Sα±β，Cα±β，Tα±β推導(dǎo)出sin2α，cos2α，tan2α的公式嗎歸納：從和（差）角公式、倍角公式的推導(dǎo)過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，這些公式存在緊密的邏輯聯(lián)系，請(qǐng)你進(jìn)行歸納總結(jié)．小結(jié)以問(wèn)題形式總結(jié)全章內(nèi)容，深化對(duì)內(nèi)容的整體理解小結(jié)是對(duì)全章內(nèi)容的梳理，是對(duì)本章核心內(nèi)容及反映的主要思想方法和研究方法進(jìn)行歸納概括、去粗取精、由厚到薄的提煉過(guò)程?；仡櫯c思考：在回顧部分對(duì)本章進(jìn)行整體概述，闡述本章內(nèi)容之間、本章內(nèi)容與其他內(nèi)容之間的聯(lián)系，揭示本章內(nèi)容反映的思想方法、研究方法等?！八伎肌辈糠謩t強(qiáng)調(diào)問(wèn)題引導(dǎo)，加強(qiáng)學(xué)生的主動(dòng)思維，通過(guò)學(xué)生自己的獨(dú)立思考回憶、總結(jié)全章內(nèi)容，深化對(duì)本章核心內(nèi)容及其反映的