《經(jīng)濟數(shù)學(xué)》413-5（雷安平）教案 第10課 拉格朗日中值定理及函數(shù)的單調(diào)性

第課第課拉格朗日中值定理及函數(shù)的單調(diào)性10PAGE210拉格朗日中值定理及函數(shù)的單調(diào)性第課PAGE10拉格朗日中值定理及函數(shù)的單調(diào)性第課PAGE5

課題拉格朗日中值定理及函數(shù)的單調(diào)性課時2課時（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：（1）掌握拉格朗日中值定理（2）掌握函數(shù)的單調(diào)性思政育人目標(biāo)：通過拉格朗日中值定理及函數(shù)的單調(diào)性的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實事求是的科學(xué)態(tài)度。教學(xué)重難點教學(xué)重點：拉格朗日中值定理教學(xué)難點：函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計第1節(jié)課：課堂測驗（10min）第2節(jié)課：課堂測驗（15min）課堂小結(jié)（3min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】使用文旌課堂APP進(jìn)行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識講解

（33min）【教師】講解拉格朗日中值定理定理4-1（拉格朗日中值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得．拉格朗日中值定理的幾何意義是非常明顯的，如圖4-1所示，滿足條件的函數(shù)在閉區(qū)間上是一條連續(xù)曲線；在弧除端點處的每一點都有不垂直于軸的切線，則弧上除端點處至少存在一點，在這點處的切線平行于弦．若點的橫坐標(biāo)為，則切線的斜率為，而弦的斜率為，因而有．圖4-1例1驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性．證函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，且．又，令，即，解得．顯然，在區(qū)間內(nèi)，這就驗證了拉格朗日中值定理的正確性．由拉格朗日中值定理，可得到下面兩個推論．推論1若在內(nèi)恒等于零，則在內(nèi)必為某常數(shù)．推論2若在內(nèi)恒有，則有（其中為常數(shù)）．【學(xué)生】掌握拉格朗日中值定理學(xué)習(xí)拉格朗日中值定理，實現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗

（10min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生進(jìn)行測試【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（25min）【教師】講解函數(shù)的單調(diào)性前面已經(jīng)介紹了函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)的概念，下面利用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究．如圖4-2所示，函數(shù)單調(diào)增加（或減少）時，它的圖形是一條沿著x軸正向上升（或下降）的曲線，此時，曲線在各點的切線與x軸正向的夾角是銳角（或鈍角），所以切線的斜率（或）．由此可見，函數(shù)的單調(diào)性是和函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的符號緊密聯(lián)系在一起的．那能否通過函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號來判定函數(shù)的單調(diào)性呢？（a）（b）圖4-2定理4-2設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則（1）若在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)增加；（2）若在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)減少．證（1）在上任取兩點，且，由于在內(nèi)可導(dǎo)，從而在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)．由拉格朗日中值定理，有．因為，若，則，即．由定義可知，在上單調(diào)增加；若，也可證明在上單調(diào)減少．盡管有些函數(shù)在它的定義域區(qū)間上不是單調(diào)的，但對于在定義域區(qū)間有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，當(dāng)用導(dǎo)數(shù)等于零的點（稱為駐點）來劃分它的定義域區(qū)間以后，就可以使函數(shù)在每個部分區(qū)間內(nèi)都單調(diào)．如果函數(shù)在某些點處不可導(dǎo)，則劃分區(qū)間的分點還包括這些導(dǎo)數(shù)不存在的點．因此，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟如下：（1）求出的定義域區(qū)間；（2）求出；（3）求使的點和不存在的點；（4）用（3）中求出的點，把定義域區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在每個區(qū)間內(nèi)討論的正負(fù)，從而得到的單調(diào)性，可列表討論；（5）明確寫出的單調(diào)區(qū)間．例2確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得．令，解得．和把分成三個子區(qū)間：，，．由于導(dǎo)數(shù)在這三個區(qū)間內(nèi)的符號不再改變，我們只要分析在每個區(qū)間的符號即可．為了方便，列表分析在各個區(qū)間的符號，如表4-1所示．表4-1【學(xué)生】掌握函數(shù)的單調(diào)性學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性，邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗

（15min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生進(jìn)行測試【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象課堂小結(jié)

（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點本節(jié)課上大家掌握了微分的概念、幾何意義和運算法則、微分在經(jīng)濟與商務(wù)中的應(yīng)用和洛必達(dá)法則?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識點總結(jié)知識點，鞏固印象作業(yè)布置（2min）【教師】布置課后作業(yè)：完成課后習(xí)題4-1【學(xué)生】完成課后作業(yè)通過完成作業(yè)鞏固