一動一靜彈性碰撞公式

一動一靜彈性碰撞公式由于彈性碰撞后的速度公式不好推導(dǎo)，該公式又比較繁雜不好記。因此導(dǎo)致這類考題的得分率一直較低。下面探討一下該公式的巧記方法。一、“一動碰一靜”的彈性碰撞公式問題：如圖1所示，在光滑水平面上，質(zhì)量為叫的小球，以速度*與原來靜止的質(zhì)量為m2的小球發(fā)生對心彈性碰撞，試求碰撞后它們各自的速度？*、、、、、、&、圖1設(shè)碰撞后它們的速度分別為*'和，2‘，在彈性碰撞過程中，分別根據(jù)動量守恒定律、機械能（動能）守恒定律得：TOC\o"1-5"\h\zm1v1=m1v1f+m2v2/ ①2 13疽,2\o"CurrentDocument"2 2 ②由①嗎腳-￥）二嗎由 ③由②派應(yīng)-討卜嚀f ④由④/③月用=由聯(lián)立①⑤解得曜1+%七= V]處f ⑦上面⑥⑦式的右邊只有分子不同，但記憶起來容易混。為此可做如下分析：當(dāng)兩球碰撞至球心相距最近時，兩球達到瞬時的共同速度V共，由動量守恒定律得：m1v1=（m1+m2）v共解出v共=m1v1/（m1+m2）。而兩球從球心相距最近到分開過程中，球m2繼續(xù)受到向前的彈力作用，因此速度會更大，根據(jù)對稱可猜想其速度恰好增大一倍即嗎+楸』，而這恰好是⑦式，因此⑦式就可上述推理輕松記住，⑥式也就不難寫出了。如果⑥式的分子容易寫成m2-m1,則可根據(jù)質(zhì)量m1的乒乓球以速度v1去碰原來靜止的鉛球m2,碰撞后乒乓球被反彈回，因此vj應(yīng)當(dāng)是負(fù)的（vj<0），故分子寫成m1-m2才行。在“驗證動量守恒定律”的實驗中，.哪一件七二——h要求入射球的質(zhì)量m1大于被碰球的質(zhì)量m2,也可由⑥式 咧+他解釋。因為只有m1>m2,才有*'>0。否則，若*'<0,即入射球m1返回，由于摩擦，入射球m1再回來時速度已經(jīng)變小了，不再是原來的*'了。另外，若將上面的⑤式變形可得:，即碰撞前兩球相互靠近的相對速度*—0等于碰撞后兩球相互分開的相對速度”；-*。由此可輕松記住⑤式。再結(jié)合①式也可很容易解得⑥⑦式。二、“一動碰一動”的彈性碰撞公式問題：如圖2所示，在光滑水平面上，質(zhì)量為m1、m2的兩球發(fā)生對心彈性碰撞，碰撞前速度分別為/和，2,求兩球碰撞后各自的速度？圖2設(shè)碰撞后速度變?yōu)?'和，2‘，在彈性碰撞過程中，分別根據(jù)動量守恒定律、機械能守恒定律得：TOC\o"1-5"\h\zmv+mv=mv'+mv' ①].]2^2]，] 2^2 /②由① = ③由②My?頃卜泓朋f?） ④由④/③料+巧=仍+巧⑤由③⑤式可以解出vf=（網(wǎng)1_的81+2橢洸,L %+% ⑥W=〔輪_幌》2+2毗33" F嗎 ⑦要記住上面⑥⑦式更是不容易的，而且推導(dǎo)也很費時間。如果采用下面等效的方法則可輕松記住。m1、m2兩球以速度*和v2發(fā)生的對心彈性碰撞，可等效成m1以速度v1去碰靜止的m2球，再同時加上m2球以速度％碰靜止的m1球。因此由前面“一動碰一靜”的彈性碰撞公式，可得兩球碰撞后各自的速度對二（?的）V]初什 2沖〔％—洛iM1 四+峰+^f；料=簪+的+明+嗎，即可得到上面的⑥⑦式。另外，若將上面的⑤式變形可得：vfFf，即碰撞前兩球相互靠近的相對速度v1-v2等于碰撞后兩球相互分開的相對速度活F。由此可輕松記?、菔?，再結(jié)合①式可解得⑥⑦式。例題：如圖3所示，有大小兩個鋼球，下面一個的質(zhì)量為m2，上面一個的質(zhì)量為m1，m2=3m1。它們由地平面上高h(yuǎn)處下落。假定大球在和小球碰撞之前，先和地面碰撞反彈再與正下落的小球碰撞，而且所有的碰撞均是彈性的，這兩個球的球心始終在一條豎直線上，則碰后上面m1球?qū)⑸仙淖畲蟾叨仁嵌嗌?？解?：設(shè)兩球下落h后的速度大小為。，則TOC\o"1-5"\h\zv12=2gh ①選向上為正方向，m2球與地面碰撞后以速度v1反彈并與正在以速度一v1下落的m1球發(fā)生彈性碰撞，設(shè)m1和m2兩球碰撞后瞬間的速度分別變?yōu)関j和v；，在彈性碰撞過程中，分別根據(jù)動量守恒定律、機械能（動能）守恒定律得：m(—v)+mv=mv'+mv' ②1 [ 2ki]‘] 2^2」 ■ 」 」 r?將m2=3m1代入，得2v"+3v/ ④4寸=心褶 ⑤由④⑤式消去v2'得：0=v；2-3vlvJ+即故解出v1'=v1（舍去，因為該解就是m1球碰前瞬間的速度）v1'=2v1 ⑥設(shè)碰后上面球m1上升的最大高度為h',則0—v1'2=—2gh' ⑦聯(lián)立①⑥⑦式解出h'=4h。解法2：在解法1中，列出②③式后，可根據(jù)前面介紹的用等效法得到的“一動碰一動”的彈性碰撞公式，求出m1球碰撞后瞬間的速度v1'o選向上為正方向，m1、m2兩球分別以速度一*和v1發(fā)生對心彈性碰撞，可等效成m1以速度一v1去碰靜止的m2球，再同時加上m2球以速度v1碰靜止的誠二鬲-昭）（-席翊巧m1球。因此m1球碰撞后的速度' *1+嗎 +昭+的將m2=3m1代入得vj=2v1。以下同解法1。解法3：在解法1中，列出②③式后，也可根據(jù)前面介紹的用等效法得到的“一動碰一動”的彈性碰撞公式，求出m2球碰撞后瞬間的速度v2。選向上為正方向，m「m2兩球以速度一v】和v1發(fā)生的對心彈性碰撞，可等效成m1以速度一v】去碰靜止的m2球，再同時加上m2球以速度v1碰靜止的m1球。因此碰撞后m2球的速度初（Fg-漁1*此二％+瑪+嗎+嗎將m2=3m1代入解得v2,=0。從m1球開始下落到m1球上升的最大高度，對m「m2兩球組成的系統(tǒng)，由能量守恒得：(m1+m2)gh=m1ghf故解出hf=4h。解法4：設(shè)兩球下落h后的速度大小為*，則v12=2gh ①選向上為正方向，m2球與地面碰撞后以速度v1反彈并與正在以速度一v1下落的m1球發(fā)生彈性碰撞，若以m2球為參考系，則m1球以相對m2球為一2v1的速度去碰靜止的m2球，由“一動碰一靜”的彈性碰撞公式得：（咐一峰）（一2此）+嗎由于碰前m2球?qū)Φ氐木?/p>