安徽省合肥市2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題A卷含解析

Page17安徽省合肥市2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題(A卷)考生注意:1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍:人教A版必修第二冊(cè)到第八章8.4.一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位）的虛部是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)得答案．【詳解】解：，故復(fù)數(shù)的虛部為，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.2.與向量平行的單位向量是（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】與向量平行的單位向量是，即可求解.【詳解】因?yàn)榕c向量平行的單位向量是，,所以,故選：D3.異面直線是指（）A.不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線B.平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線C.分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線D.空間中兩條不相交的直線【答案】A【解析】【分析】利用定義可以判斷選項(xiàng)A正確,借助空間想象力判斷選項(xiàng)BCD錯(cuò)誤.【詳解】解：A.異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，所以該選項(xiàng)正確；B.平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線，可能平行、異面和相交，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線，不一定是異面直線，也有可能平行、異面和相交，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.空間中兩條不相交的直線，可能異面或者平行，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A4.數(shù)學(xué)家歐拉通過(guò)研究，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系，得到著名的歐拉公式(為虛數(shù)單位)，此公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由題可知對(duì)應(yīng)在復(fù)平面的點(diǎn)為，由可判斷和的正負(fù)，進(jìn)而得到答案.【詳解】由題，，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,因?yàn)橹?，，，所以點(diǎn)第二象限，故選：B5.在中，，，分別是，，的對(duì)邊，且，則的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，?于是，因?yàn)?，所?故選：C6.已知向量，，且與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由與的夾角為鈍角得，且不共線，再按照向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且與夾角為鈍角，由上述條件得，，且，不反向，由得，，.當(dāng)，共線時(shí)有，，.此時(shí)，反向，因此實(shí)數(shù)的取值范圍.故選:D7.設(shè)直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，，，且底面的面積為，則此直三棱柱外接球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角形面積公式求得，由正弦定理求得底面三角形外接圓半徑，設(shè)分別是和的外接圓圓心，則的中點(diǎn)是三棱柱的外接球球心，求球半徑后可得表面積．【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，，而，所?于是是外接圓的半徑)，，即，如圖，設(shè)分別是和的外接圓圓心，由直棱柱的性質(zhì)知的中點(diǎn)是三棱柱的外接球球心，，所以外接球?yàn)?于是球的表面積為.故選：C.8.的外接圓的圓心為，滿足且，，，則（）．A.36 B.24 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，在兩邊分別乘以向量和，可以得到①，②，再根據(jù)、①②和①②，得到，聯(lián)立兩式即可求出.【詳解】如圖，設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，外接圓圓心為和垂直平分線的交點(diǎn)，則，同理，在兩邊分別乘以向量和，，即①，②，①②得，，即③，①②得，，即④，聯(lián)立③④，解得.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的計(jì)算、三角形外心的概念和向量的運(yùn)算，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.二、多項(xiàng)選擇題；本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.在中，是中線，則下列等式中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】延長(zhǎng)至，使，根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則，即可判斷A是否正確；由題意可知，結(jié)合，根據(jù)共線定理即可求出，即可判斷B,D是否正確；由于，同底，以及，結(jié)合相似關(guān)系，可得，即可判斷C是否正確.【詳解】延長(zhǎng)至，使，如下圖所示，則是平行四邊形，所以，故A正確；因?yàn)?，故B正確，D錯(cuò)誤；分別故作邊的垂線，垂足分別為，如下圖所示：則，又，所以，所以與高之比為，又，的底均為，所以，故C正確.故選:ABC.10.下列命題中，正確的有（）A.若與是共線向量，則、、、四點(diǎn)共線B.若，則，，三點(diǎn)共線C.對(duì)非零向量，若，則D.平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以用另外兩個(gè)不共線向量表示【答案】CD【解析】【分析】可以舉反例說(shuō)明選項(xiàng)AB錯(cuò)誤，可以利用數(shù)乘向量的性質(zhì)和平面向量基本定理判斷選項(xiàng)CD正確.【詳解】對(duì)A，因?yàn)楣簿€向量所在直線可以平行，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B，，，可以組成三角形，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)?，，所以，即，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)D，根據(jù)平面向量基本定理，可以判斷該選項(xiàng)正確，所以選項(xiàng)D正確.故選：CD.11.設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】CD【解析】【分析】舉反例證明選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；利用一般情況證明選項(xiàng)C，D正確.【詳解】對(duì)A，取，，有，但，且，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，取，，且，但，所以B錯(cuò)誤；對(duì)C，設(shè)，則，因此，所以C正確；對(duì)D，設(shè)，，則由得，，，，因此，所以D正確.故選：CD.12.如圖，用小刀切一塊長(zhǎng)方體橡皮的一個(gè)角，在棱、、上的截點(diǎn)分別是，，，則截面可以是（）A.等邊三角形 B.鈍角三角形 C.銳角三角形 D.直角三角形【答案】AC【解析】【分析】結(jié)合長(zhǎng)方體的性質(zhì)，法1：設(shè)，，，由勾股定理可得，，，根據(jù)余弦定理可判斷內(nèi)角均為銳角，而當(dāng)時(shí)，這個(gè)銳角三角形是等邊三角形，即可得到答案；法2：由，，根據(jù)的正負(fù)可判斷是銳角，同理判斷其他內(nèi)角也為銳角，而當(dāng)時(shí)，這個(gè)銳角三角形是等邊三角形，即可得到答案.【詳解】法1(余弦定理)：由題，如圖，設(shè)，，，則，，，在中，，所以是銳角，同理得到，，都是銳角，故C對(duì).特別地，當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，故A對(duì)，故選：AC法2(向量法)：因?yàn)?，，所以，因此是銳角，同理得到，都是銳角，故C對(duì)，特別地，當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，故A對(duì)，故選：AC三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若向量，，且，則實(shí)數(shù)的值是______.【答案】1【解析】【分析】由可知，即，進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，即，解得，故答案為：114.設(shè)是虛數(shù)單位，如果復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離是______.【答案】【解析】【分析】整理，由實(shí)部與虛部相等可得，則，進(jìn)而求解.【詳解】由題，，則，所以，因此，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離是，故答案為：15.用半徑為1的半圓形紙板卷成一個(gè)圓錐筒，則該圓錐筒內(nèi)切球的體積是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得圓錐的母線長(zhǎng)是1，根據(jù)半圓的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，得到圓錐底面的半徑，再利用軸截面的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積等于三角形的周長(zhǎng)乘以三角形內(nèi)切圓半徑的一半，求得圓錐內(nèi)切球的半徑，利用球的體積公式求得結(jié)果.【詳解】圓錐筒的母線長(zhǎng)是1.設(shè)圓錐筒的底面半徑是，內(nèi)切球的半徑是，則，.由，.故該圓錐筒內(nèi)切球的體積是，故答案為：.16.在中，，，若中線的長(zhǎng)為，邊的長(zhǎng)為，則與的函數(shù)關(guān)系式是______，中線長(zhǎng)的最小值是______.【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)，則，利用這兩個(gè)角結(jié)合余弦定理，整理可得與的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)三角形中兩邊之和大于第三邊可得的范圍，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求得的最小值.【詳解】由題，設(shè)，則，因?yàn)?，則，如圖所示，在中，由余弦定理得①在中，②①+②得，，由，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的最小值為，故答案為：；四、解答題:共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.直角梯形的一個(gè)底角為，上底長(zhǎng)為下底長(zhǎng)的一半.將這個(gè)梯形繞下底所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的表面積為（1）求直角梯形的下底長(zhǎng)；（2）求這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由題畫(huà)出梯形，可得出各邊關(guān)系，且可知旋轉(zhuǎn)體為一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的組合體，則，進(jìn)而即可求解；（2）由（1）結(jié)合圓錐和圓柱的體積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】如圖，在直角梯形中，，，，設(shè)，，則，，旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的組合體，所以，即，解得，故直角梯形的下底長(zhǎng)為2.【小問(wèn)2詳解】由（1），因?yàn)閳A柱的體積是，圓錐的體積是，所以這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積為.18.已知復(fù)數(shù)滿足，其中是數(shù)單位，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（1）求復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的相等及乘法運(yùn)算可求解；（2）由純虛數(shù)的概念建立等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，，則，就是，即.于是，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】.此為純虛數(shù)，所以，即，因此.19.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，，（1）當(dāng)時(shí)，試判斷，，三點(diǎn)是否共線，寫(xiě)出理由；（2）若，，三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，求實(shí)數(shù)的值【答案】（1）共線，理由見(jiàn)解析（2）或【解析】【分析】（1）利用向量共線的條件進(jìn)行運(yùn)算求解即可；（2）分三種情況分別計(jì)算數(shù)量積為0時(shí)，實(shí)數(shù)k的值即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?,所以，且有公共點(diǎn)A,故，，三點(diǎn)共線.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，，，若，則，即，.若，則，即，若，則，即，，無(wú)實(shí)根.故實(shí)數(shù)的值為或.20.設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，向量與向量平行.（1）確定角和角之間的關(guān)系；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量共線坐標(biāo)所滿足的關(guān)系，建立等量關(guān)系式，利用余弦倍角公式，結(jié)合角的范圍，得到；（2）結(jié)合正弦定理，以及（1）的結(jié)論和正弦倍角公式得到，根據(jù)銳角三角形，得到，進(jìn)而求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由得，即，因?yàn)椋?，所以?【小問(wèn)2詳解】.由是銳角三角形得，解得于是，，故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角和向量的綜合題目，在解題的過(guò)程中，注意利用向量共線建立等量關(guān)系式，注意根據(jù)三角函數(shù)值相等得到角的關(guān)系時(shí)，一定注意角的范圍，最后得范圍時(shí)要注意根據(jù)銳角三角形正確求得角的范圍.21.一次機(jī)器人足球比賽中，甲隊(duì)1號(hào)機(jī)器人在點(diǎn)處，2號(hào)機(jī)器人在點(diǎn)處，3號(hào)機(jī)器人在點(diǎn)處，且，，米，如圖所示（1）求1號(hào)機(jī)器人和2號(hào)機(jī)器人之間的距離；（2）若2號(hào)機(jī)器人發(fā)現(xiàn)足球在點(diǎn)處向點(diǎn)作勻速直線動(dòng)，2號(hào)機(jī)器人則立刻以足球滾動(dòng)速度的一半作勻速直線運(yùn)動(dòng)去攔截足球.若已知米，忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，則2號(hào)機(jī)器人最快可在何處截住足球？【答案】（1）米（2）可在線段上離點(diǎn)7米的點(diǎn)處截住足球【解析】分析】（1）直接由正弦定理即可得結(jié)果；（2）設(shè)2號(hào)機(jī)器人最快可在點(diǎn)處截住足球，利用余弦定理解出即可.小問(wèn)1詳解】在中，由正弦定理得，即，故1號(hào)機(jī)器人和2號(hào)機(jī)器人之間的距離為米【小問(wèn)2詳解】如圖，設(shè)2號(hào)機(jī)器人最快可在點(diǎn)處截住足球，點(diǎn)在線段上設(shè)米.由題意，米.米在中，由余弦定理得，整理得.解得，.所以，或