新高考一輪復(fù)習(xí)講義：第30講 平面向量的概念及線性運(yùn)算（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page55頁，共=sectionpages55頁第30講平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________【基礎(chǔ)鞏固】1.給出下列說法:①兩個(gè)有共同起點(diǎn)的相等向量,其終點(diǎn)必相同;②兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量,一定是共線向量;③非零向量AB與非零向量CD是共線向量,則點(diǎn)A,B,C,D必在同一條直線上;④有向線段就是向量,向量就是有向線段.其中錯(cuò)誤說法的個(gè)數(shù)是 ()A.1 B.2 C.3 D.4C[解析]對(duì)于①,相等向量是大小相等,方向相同的向量,故兩個(gè)有共同起點(diǎn)的相等向量,其終點(diǎn)必相同,故①正確;對(duì)于②,共線向量是指方向相同或相反的向量,兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量,其方向可能既不相同又不相反,故②錯(cuò)誤;對(duì)于③,共線向量是指方向相同或相反的向量,向量AB與向量CD是共線向量,則線段AB和CD平行或共線,故③錯(cuò)誤;對(duì)于④,有向線段是向量的表示形式,不能等同于向量,故④錯(cuò)誤.4個(gè)說法中有3個(gè)錯(cuò)誤,故選C.2.下列各式不能化簡為PQ的是 ()A.AB+(PA+BQ)B.(AB+PC)+(BA-QC)C.QC-QP+CQD.PA+AB-BQD[解析]對(duì)于A,AB+(PA+BQ)=AQ+PA=PQ;對(duì)于B,(AB+PC)+(BA-QC)=PC-QC=PQ;對(duì)于C,QC-QP+CQ=-QP=PQ.故選D.3.在△ABC中,D是AB邊上的中點(diǎn),則CB= ()A.2CD+CA B.CD-2CAC.2CD-CA D.CD+2CAC[解析]∵在△ABC中,D是AB邊上的中點(diǎn),∴CB=CD+DB=CD+AD=CD+(AC+CD)=2CD-CA.故選C.4.在四邊形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-3b,CD=-5a-5b,則四邊形ABCD的形狀是 ()A.矩形 B.平行四邊形C.梯形 D.以上都不對(duì)C[解析]∵AD=AB+BC+CD=-8a-6b,∴AD=2BC,∴AD∥BC,且AD≠BC,∴四邊形ABCD是梯形.故選C.5.已知向量a,b不共線,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,則一定共線的三點(diǎn)是 ()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,DA[解析]∵BD=BC+CD=2a+4b,∴BD=2AB,又BD,AB有公共點(diǎn)B,∴A,B,D三點(diǎn)共線.故選A.6.[2022·新鄉(xiāng)二模]在△ABC中,AE=310·(AB+AC),D為BC邊的中點(diǎn),則 (A.3AE=7ED B.7AE=3EDC.2AE=3ED D.3AE=2EDC[解析]因?yàn)镈為BC邊的中點(diǎn),所以AB+AC=2AD,因?yàn)锳E=310(AB+AC),所以AE=35AD,則2AE=3ED.7.2020年10月27日,在距離長江口南支航道0.7海里的風(fēng)機(jī)塔上,東海航海保障中心上海航標(biāo)處順利完成臨港海上風(fēng)電場(chǎng)AIS(船舶自動(dòng)識(shí)別系統(tǒng))基站的新建工作,該基站也是我國首個(gè)海上風(fēng)機(jī)塔AIS基站.已知風(fēng)機(jī)的每個(gè)轉(zhuǎn)子葉片的長度為20米,每兩個(gè)葉片之間的夾角相同,風(fēng)機(jī)塔(桿)的長度為60米,葉片隨風(fēng)轉(zhuǎn)動(dòng),假設(shè)葉片與風(fēng)機(jī)塔在同一平面內(nèi),如圖所示,則|OA+OB+OM|的最小值為 ()A.40 B.207C.2010 D.80A[解析]由題知,OA+OB+OC=0,即OA+OB=CO,則OA+OB+OM=CO+OM=CM,則當(dāng)葉片OC旋轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí),|CM|最小,且其值為60-20=40.8.如圖,在△ABC中,AD=3DB,P為CD上一點(diǎn),且AP=mAC+12AB,則m的值為 (A.12 B.13 C.14 B[解析]∵AD=3DB,∴AB=43AD,又AP=mAC+12AB,∴AP=mAC+23AD,又C,P,D三點(diǎn)共線,∴m+23=1,9.(多選)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E為BC邊上一點(diǎn),且BC=3EC,F為線段AE的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是 ()A.BC=-12ABB.AF=13ABC.BF=-23ABD.CF=16ABABC[解析]連接BD(圖略),∵AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,∴BC=BD+DC=BA+AD+DC=-AB+AD+12AB=-12AB+AD,A正確;∵BC=3EC,∴BE=23BC=23×-12AB+AD=-13AB+23AD,∴AE=AB+BE=AB+-13AB+23AD=23AB+23AD,又F為線段AE的中點(diǎn),∴AF=12AE=13AB+13AD,B正確;BF=BA+AF=-AB+1310.(多選)設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),則下列說法正確的是 ()A.若AM=12AB+12AC,則點(diǎn)B.若AM=2AB-AC,則點(diǎn)M在邊BC的延長線上C.若AM=-BM-CM,則點(diǎn)M是△ABC的重心D.若2CM=CA+CB,則△MBC的面積是△ABC面積的1ACD[解析]若AM=12AB+12AC,則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),故A正確;若AM=2AB-AC,則AM-AB=AB-AC,即BM=CB,則點(diǎn)M在邊CB的延長線上,故B錯(cuò)誤;若AM=-BM-CM,即AM+BM+CM=0,則點(diǎn)M是△ABC的重心,故C正確;由2CM=CA+CB,可得M為邊AB的中點(diǎn),則△MBC的面積是△ABC面積的12,故D11.已知向量a與b的方向相反,|a|=1,|b|=2,則|a-2b|=.

5[解析]因?yàn)橄蛄縜與b的方向相反,所以|a-2b|=|a|+2|b|=1+4=5.12.已知△ABC所在的平面上有一點(diǎn)D滿足AD=3AB+AC4,且BD=λCD(λ∈R),-13[解析]由AD=3AB+AC4,可得4AD=3AB+AC,所以3AD+AD=3AB+AC,則3(AD-AB)=AC-AD,所以3BD=DC,故BD=-113.[2022·河北五個(gè)一聯(lián)盟二模]點(diǎn)M在△ABC的內(nèi)部,且滿足2MA+3MB+4MC=0,則S△MAC∶S△MAB=.

3∶4[解析]根據(jù)題意,分別延長MA至D,MB至E,MC至F,使得MD=2MA,ME=3MB,MF=4MC,如圖所示:由2MA+3MB+4MC=0,得MD+ME+MF=0,連接DE,DF,EF,所以點(diǎn)M是△DEF的重心,所以S△MDE=S△MEF=S△MFD,設(shè)S△MDE=1,則S△MAB=12×13×1=16,S△MAC=12×14×1=18,所以S△MAC∶S△MAB=1814.已知兩個(gè)非零向量a和b不共線,OA=2a-3b,OB=a+2b,OC=ka+12b.(1)若2OA-3OB+OC=0,求k的值;(2)若A,B,C三點(diǎn)共線,求k的值.解:(1)∵2OA-3OB+OC=0,∴2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0,又a≠0,∴k+1=0,∴k=-1.(2)∵A,B,C三點(diǎn)共線,∴設(shè)BC=λAB,即OC-OB=λ(OB-OA),∴(k-1)a+10b=-λa+5λb,又a,b不共線,∴k-1=-λ,10=515.已知點(diǎn)G是△ABO的重心,M是AB邊的中點(diǎn).(1)求GA+GB+GO;(2)若PQ過△ABO的重心G,且OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,求證:1m+1n=解:(1)連接GM(圖略),因?yàn)镚A+GB=2GM,2GM=-GO,所以GA+GB+GO=-GO+GO=0.(2)證明:易知OM=12(a+b因?yàn)镚是△ABO的重心,所以O(shè)G=23OM=13(由P,G,Q三點(diǎn)共線,設(shè)QG=tQP,所以O(shè)G-OQ=t(OP-OQ),即OG=tOP+(1-t)OQ,即13a+13b=mta+(1-t)n由a,b不共線,得mt所以1m+1n=【素養(yǎng)提升】1.已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),AB+PB+PC=0,|AB|=|PB|=|PC|=2,則△ABC的面積為 ()A.3 B.23 C.33 D.43B[解析]設(shè)BC邊的中點(diǎn)為D,AC邊的中點(diǎn)為M,連接PD,MD,BM(圖略),則有PB+PC=2PD.由AB+PB+PC=0,得AB=-2PD,又D為BC邊的中點(diǎn),M為AC邊的中點(diǎn),所以AB=-2DM,則PD=DM,則P,D,M三點(diǎn)共線且D為線段PM的中點(diǎn).又D為BC邊的中點(diǎn),所以四邊形CPBM為平行四邊形.因?yàn)閨AB|=|PB|=|PC|=2,所以|MC|=|BP|=2,則AC=4,且BM=PC=2,所以△AMB為等邊三角形,所以∠BAC=60°,則S△ABC=12×2×4×32=23.故選2.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P為矩形ABCD所在平面上一點(diǎn),且PB⊥PD,則|PA|的最大值是,|PA+PC|=