新高考一輪復(fù)習(xí)講義：第34講 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page1414頁(yè)，共=sectionpages1414頁(yè)第34講數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，可得，從而有恒成立，由，可求得的取值范圍.【詳解】解：由題意得：由數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，即，即（）恒成立，又因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以.故選：C.2．（2022·北京·北大附中三模）已知數(shù)列滿足，其中，則數(shù)列（

）A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)【答案】A【分析】求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再分析數(shù)列的單調(diào)性即可【詳解】依題意，因?yàn)?，其中，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，兩式相除有，易得隨著的增大而減小，故，且，故最小項(xiàng)為，最大項(xiàng)為故選：A3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．5 D．【答案】B【分析】直接由遞推關(guān)系式得出數(shù)列的周期，再利用周期性即可求解.【詳解】由題意得：，則數(shù)列的周期為3，則.故選：B.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，利用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，得到，再利用累乘法求解.【詳解】解：由①②，①②得：，即：，所以，所以故選：．5．（2022·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則（

）A．50 B．75 C．100 D．150【答案】A【分析】由已知得，，兩式相減得，由此代入可求得答案.【詳解】解：∵，∴，.兩式相減得.則，，…，，∴，故選：A.6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2024【答案】C【分析】利用化簡(jiǎn)可得出，則可求出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得，兩式相減可得，即，所以，可得，所以.故選：C.7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)的和滿足，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是常數(shù)列B．若，則是遞增數(shù)列C．若，則D．若，則的最小項(xiàng)的值為【答案】D【分析】由題設(shè)可得且()，進(jìn)而可知時(shí)偶數(shù)項(xiàng)、奇數(shù)項(xiàng)的值分別相等，再結(jié)合各項(xiàng)的描述判斷正誤.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，而不一定成立，故不一定是常數(shù)列，A錯(cuò)誤；由，顯然且，即不單調(diào)，B錯(cuò)誤；若，則，，故，偶數(shù)項(xiàng)為3，奇數(shù)項(xiàng)為，而，C錯(cuò)誤；若，則，，故，偶數(shù)項(xiàng)為，奇數(shù)項(xiàng)為2，故的最小項(xiàng)的值為，D正確.故選：D8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，則此數(shù)列的第21項(xiàng)是（

）A．200 B．210 C．220 D．242【答案】C【分析】由數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的前幾項(xiàng)可歸納出奇數(shù)項(xiàng)上的通項(xiàng)公式，從而得到答案.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列的前10項(xiàng)依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，其中奇數(shù)項(xiàng)為0、4、12、24、40，有故其奇數(shù)項(xiàng)上的通項(xiàng)公式為故，故選：C9．（多選）（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)題意可得，從而可得數(shù)列是等比數(shù)列，從而可求得數(shù)列的通項(xiàng)，再根據(jù)分組求和法即可求出，即可得出答案.【詳解】解：∵，可得，又∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故B正確；則，∴，故C錯(cuò)誤；則，故A正確；∴，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10．（多選）（2022·江蘇南京·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，則（

）A．≥2 B．是遞增數(shù)列C．{-4}是遞增數(shù)列 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)所給的遞推公式，結(jié)合選項(xiàng)構(gòu)造對(duì)應(yīng)的表達(dá)式推導(dǎo)即可【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，故，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B，由A可得為正數(shù)數(shù)列，且，則，故為遞增數(shù)列，且，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，為遞增數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，由，由題意，，即可知不是遞增數(shù)列；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，所以，?故選：ABD11．（多選）（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，為其前n項(xiàng)和，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)條件依次可得，，，，，…，，然后可得，，，然后可逐一判斷.【詳解】因?yàn)?，，，，，…，，所以，，，累加得，∴，，因?yàn)?，，所以，故選：ABC．12．（多選）（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)首項(xiàng)判斷A，由遞推關(guān)系式可推出數(shù)列為遞減數(shù)列，據(jù)此放縮后可判斷D，再由放縮可得，據(jù)此可判斷BC.【詳解】由知，A錯(cuò)；∵，，∴，，∴，時(shí)，；時(shí)，，D對(duì)；，∴，∴，∴，∴，∴；，∴，∴，∴，∴時(shí)，，，B對(duì)．，C對(duì)．故選：BCD13．（2022·福建·廈門雙十中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，，則的值為__________.【答案】【分析】根據(jù)條件求出數(shù)列的周期即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，，，所以?shù)列是周期為的周期數(shù)列，所以.故答案為：.14．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則使得取得最小值時(shí)的值為________.【答案】16【分析】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，即可判斷的最小時(shí)的值.【詳解】由得,當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，所以當(dāng)時(shí)，最小.故答案為：1615．（2022·福建·莆田八中高三開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足：①先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增：②當(dāng)時(shí)取得最小值．寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式_________．【答案】【分析】利用數(shù)列單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷，從而得到數(shù)列的最值.【詳解】設(shè)，則，，當(dāng)，數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)，數(shù)列單調(diào)遞增，即，可得當(dāng)時(shí)數(shù)列取得最小值，故答案為：16．（2022·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則___________，若的前n項(xiàng)和為，則___________．【答案】

【分析】根據(jù)（）即可得到，再對(duì)分奇偶兩種情況討論，即可得到，從而得解；【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，由得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則，即當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則，即當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．所以，，所以．故答案為：；17．（2022·廣東廣州·高三開學(xué)考試）已知集合，，將A與B中的所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列（若有相同元素，按重復(fù)方式計(jì)入排列）為1，3，3，5，7，9，9，11，….,設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)若，求m的值；(2)求的值.【解】（1）因?yàn)?，所以?shù)列中前項(xiàng)中含有A中的元素為1，3，5，7，9，…，27，共有14項(xiàng)，數(shù)列中前項(xiàng)中含有B中的元素為3，9，27，共有3項(xiàng)，排列后為1，3,3,，5，7，9，9，…，27，27，29，…，所以或17.（2）因?yàn)椋?，，所以?shù)列中前50項(xiàng)中含有B中的元素為3，9，27，81共有4項(xiàng)，它們都是正奇數(shù)，均屬于A，所以數(shù)列中前50項(xiàng)中含有A中的元素為1，3，5，7，9，…，27，29，…，79，81，83，…，，共有46項(xiàng)，所以.18．（2022·湖北·宜城市第二高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，（其中）(1)判斷并證明數(shù)列的單調(diào)性；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【解】（1）單調(diào)遞減，理由如下：．∵，∴，∴數(shù)列單調(diào)遞減；（2）∵，，，∴，又，則.∵，，∴，則，當(dāng)，累加可得，則，則，則，∴，則．【素養(yǎng)提升】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通過(guò)遞推關(guān)系式確定除去，其他項(xiàng)都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．【詳解】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．

2．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列{}滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由判斷出是遞增數(shù)列且，再由結(jié)合累加法求得；再由結(jié)合累加法求得，即可求解.【詳解】由，得，，所以，又，所以數(shù)列是遞增數(shù)列且，，所以，所以，所以，.當(dāng)，得，由得，則，同上由累加法得，所以，所以，則.故選：C.3．（多選）（2022·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足：對(duì)，若，則，稱數(shù)列為“鯉魚躍龍門數(shù)列”.下列數(shù)列是“鯉魚躍龍門數(shù)列”的有（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】舉特例，可說(shuō)明A不符合題意，同理可說(shuō)明C不符合題意；依據(jù)“鯉魚躍龍門數(shù)列”的定義，可說(shuō)明B,D.【詳解】對(duì)于A,不妨取，但，不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,,對(duì)，若,則，則,即，故B正確；對(duì)于C，不妨取，但，不滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,,對(duì)，若,則，則，故，即，故D正確；故選：BD4．（2022·上海長(zhǎng)寧·二模）已知數(shù)列滿足：對(duì)任意，都有，．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為__________．【答案】【分析】先說(shuō)明中不可能存在相鄰兩項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，可