新高考一輪復(fù)習(xí)講義：第40講 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page99頁(yè)，共=sectionpages99頁(yè)第40講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．(2022·遂寧市射洪中學(xué)月考)下列命題中正確的是()A．經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．經(jīng)過(guò)兩條平行直線確定一個(gè)平面C．經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面D．四邊形確定一個(gè)平面解析：選B.對(duì)于選項(xiàng)A：經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B：兩條平行直線唯一確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C：經(jīng)過(guò)一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榭臻g四邊形不在一個(gè)平面內(nèi)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選B.2．已知α，β，γ是平面，a，b，c是直線，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b＝P，則()A．P∈c B.P?cC．c∩a＝? D.c∩β＝?解析：選A.因?yàn)棣痢搔拢絘，β∩γ＝b，所以a?α，b?γ，由a∩b＝P，可得P∈a且P∈b，所以P∈α且P∈γ，因?yàn)棣谩搔粒絚，所以P∈c，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；因?yàn)镻∈c，P∈a，所以c，a有公共點(diǎn)P，故選項(xiàng)C不正確；因?yàn)镻∈b，b?β，所以P∈β，因?yàn)镻∈c，所以c與β有公共點(diǎn)P，故選項(xiàng)D不正確；故選A.3．在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，若EF∩HG＝P，則點(diǎn)P()A．一定在直線BD上B．一定在直線AC上C．在直線AC或BD上D．不在直線AC上，也不在直線BD上解析：選B.如圖，因?yàn)镋F?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.故選B.4．(2020·高考浙江卷)已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線l，m，n.“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的()A．充分不必要條件 B.必要不充分條件C．充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析：選B.由m，n，l在同一平面內(nèi)，可能有m，n，l兩兩平行，所以m，n，l可能沒(méi)有公共點(diǎn)，所以不能推出m，n，l兩兩相交．由m，n，l兩兩相交且m，n，l不經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，可設(shè)l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A?n，所以點(diǎn)A和直線n確定平面α，而B(niǎo)，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m?α，所以m，n，l在同一平面內(nèi)，故選B.5.(2022·江蘇省鎮(zhèn)江市·月考試卷)設(shè)a，b為兩條直線，，為兩個(gè)平面，則下列說(shuō)法正確的是.(

)A.若，，則 B.若，，則

C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】解：對(duì)于A，若，，則a，b平行或異面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若，，則或，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若，，則在內(nèi)一定存在直線c使得，那么，又，則，故C正確；

對(duì)于D，若，，則或，故D錯(cuò)誤.

故選6.(2022·廣州檢測(cè))我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)·商功》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱(chēng)為“塹堵”.在如圖所示的“塹堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分別是BB1和A1C1的中點(diǎn)，則平面AMN截“塹堵”ABC－A1B1C1所得截面圖形的面積為()A.eq\f(2\r(21),3) B.eq\f(4\r(21),3) C.eq\f(2\r(7),3) D.eq\f(4\r(7),3)答案A解析延長(zhǎng)AN，與CC1的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則P∈平面BB1C1C，連接PM，與B1C1交于點(diǎn)E，連接NE，得到的四邊形AMEN是平面AMN截“塹堵”ABC－A1B1C1所得截面圖形，由題意解三角形可得NE＝ME＝eq\f(\r(17),3)，AM＝AN＝eq\r(5)，MN＝eq\r(6).∴△AMN中MN邊上的高h(yuǎn)1＝eq\r(（\r(5)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(14),2)，△EMN中MN邊上的高h(yuǎn)2＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(17),3)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(14),6).∴AMN截“塹堵”ABC－A1B1C1所得截面圖形的面積S＝S△AMN＋S△EMN＝eq\f(1,2)MN·(h1＋h2)＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(14),2)＋\f(\r(14),6)))＝eq\f(2\r(21),3).7.(多選)下圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有()答案BD解析圖A中，直線GH∥MN；圖B中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，N?GH，因此直線GH與MN異面；圖C中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖D中，G，M，N共面，但H?平面GMN，G?MN，因此GH與MN異面.8.(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是()A.A，M，O三點(diǎn)共線 B.A，M，O，A1共面C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面答案ABC解析∵M(jìn)∈A1C，A1C?平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M(jìn)∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1與平面A1ACC1的交線AO上，即A，M，O三點(diǎn)共線，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故選A，B，C.9.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為_(kāi)_______.答案4解析因?yàn)锳B∥CD，由圖可以看出EF平行于正方體左右兩個(gè)側(cè)面，與另外四個(gè)側(cè)面相交.10.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O是底面ABCD的中心，過(guò)O點(diǎn)作一條直線l與A1D平行，設(shè)直線l與直線OC1的夾角為θ，則cosθ＝________.答案eq\f(\r(3),6)解析如圖所示，設(shè)正方體的表面ABB1A1的中心為P，容易證明OP∥A1D，所以直線l即為直線OP，角θ即∠POC1.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則OP＝eq\f(1,2)A1D＝eq\r(2)，OC1＝eq\r(6)，PC1＝eq\r(6)，則cos∠POC1＝eq\f(2＋6－6,2×\r(2)×\r(6))＝eq\f(1,2\r(3))＝eq\f(\r(3),6).11.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，平面α經(jīng)過(guò)直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長(zhǎng)為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為_(kāi)_______.答案eq\f(9,2)解析如圖，過(guò)點(diǎn)B作BM∥C1E交B1C1于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作BD的平行線，交C1D1于點(diǎn)N，連接DN，則平面BDNM即為符合條件的平面α，由圖可知M，N分別為B1C1，C1D1的中點(diǎn)，故BD＝2eq\r(2)，MN＝eq\r(2)，且BM＝DN＝eq\r(5)，∴等腰梯形MNDB的高為h＝eq\r(（\r(5)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(2),2)，∴梯形MNDB的面積為eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(9,2).(2022·湖北省·模擬考試)如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，G?分別是棱?的中點(diǎn).證明：A?M?G?共面；求四邊形的周長(zhǎng).解：證明：連接，如下圖：在正方體中，且，四邊形是平行四邊形，，又

G?分別是棱?的中點(diǎn)，，

，共面.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，

所以，，則四邊形的周長(zhǎng)13.(2022·河南省·模擬題)如圖，在長(zhǎng)方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點(diǎn)．

證明：E，F(xiàn)，D，B四點(diǎn)共面；

證明：BE，DF，三線共點(diǎn)．證明：如圖，連接EF，BD，，

是的中位線，，

與平行且相等，四邊形是平行四邊形，

，，

，F(xiàn)，D，B四點(diǎn)共面；

，且，直線BE和DF相交，

延長(zhǎng)BE，DF，設(shè)它們相交于點(diǎn)P，

直線BE，直線平面，平面，

直線DF，直線平面，平面，

平面平面，，

，DF，三線共點(diǎn)．

【素養(yǎng)提升】1.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為棱AB，A1D1，C1D1的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的平面被正方體所截，則截面圖形的面積為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(3\r(3),4) C.1 D.2答案B解析如圖，分別取BC，AA1，CC1的中點(diǎn)為H，M，N，連接EH，HN，GN，F(xiàn)M，ME，容易得出FG∥EH，GN∥ME，HN∥FM，則點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M，N共面，且FG＝EH＝GN＝ME＝HN＝FM＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，即經(jīng)過(guò)E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的截面圖形為正六邊形EHNGFM.連接MN，EG，F(xiàn)H，且相交于點(diǎn)O，因?yàn)镸N＝AC＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以O(shè)E＝OH＝ON＝OG＝OF＝OM＝eq\f(\r(2),2)，則截面圖形的面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(\r(2),2)×\f(\r(2),2)sin60°))×6＝eq\f(3\r(3),4).2．平面α過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,3)解析：選A.如圖所示，設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，因?yàn)棣痢纹矫鍯B1D1，則m1∥m，又因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥m1，所以B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m，n所成角的大小與B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大?。忠?yàn)锽1C＝B1D1＝CD1(均為面對(duì)角線)，所以∠CD1B1＝eq\f(π,3)，得sin∠CD1B1＝eq\f(\r(3),2)，故選A.3．(多選)(2022·濰坊模擬)已知平面α∩平面β＝直線l，點(diǎn)A，C∈平面α，點(diǎn)B，D∈平面β，且A，B，C，D?l，點(diǎn)M，N分別是線段AB，CD的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．當(dāng)CD＝2AB時(shí)，M，N不可能重合B．M，N可能重合，但此時(shí)直線AC與l不可能相交C．當(dāng)直線AB，CD相交，且AC∥l時(shí)，BD可與l相交D．當(dāng)直線AB，CD異面時(shí)，MN可能與l平行解析：選ACD.A選項(xiàng)，當(dāng)CD＝2AB時(shí)，若A，B，C，D四點(diǎn)共面且AC∥BD時(shí)，M，N兩點(diǎn)能重合，可知A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，若M，N重合，則AC∥BD，則AC∥平面β，故AC∥l，此時(shí)直線AC與直線l不可能相交，可知B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)AB與CD相交，且AC∥l時(shí)，直線BD與l平行，可知C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)AB與CD是異面直線時(shí)，MN不可能與l平行，可知D錯(cuò)誤．故選ACD.4.已知球O是正三棱錐(底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心)A－BCD的外接球，BC＝3，AB＝2eq\r(3)，點(diǎn)E在線段BD上，且BD＝3BE，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則所得的截面中面積最小的截面圓的面積是________.答案2π解析如圖，設(shè)△BDC的中心為O1，球O的半徑為R，連接AO1，O1D，OD，