雙曲線題型歸納含答案

#三、典型例題選講（一）考查雙曲線的概念X2丫2? 八 八 例1設(shè)尸是雙曲線———二=1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x-2y=0,F、FTOC\o"1-5"\h\z〃2 9 1 2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).若IPF1=3,則IPF1=（ ）2A.1或5 B.6 C.7 D.9分析：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程寫出漸近線方程，兩個(gè)方程對(duì)比求出。的值，利用雙曲線的定義求出IPFI的值.2X2Y2 , 3解：???雙曲線——-2-=1漸近線方程為尸土一X，由已知漸近線為3X—2y=0,a2 9 a:.a=±2,「.IIPFI-1PFII=4,「.IPFI=±4+IPFI.1 2 2 1?.?IPFI=3,IPFI>0,「IPFI=7.1 2 2故選C.歸納小結(jié)：本題考查雙曲線的定義及雙曲線的漸近線方程的表示法.（二）基本量求解一. X2 y2例2（2009山東理）設(shè)雙曲線一-^―=1的一條漸近線與拋物線y=X2+1只有一個(gè)公共a2b2點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）,一一，X2y2 、一，，,b，、一，y=—x,, ,解析：雙曲線———=1的一條漸近線為y=-X,由方程組<'a,消去y,得

a2b2 a 1y=x2+1b y八 b ,八x2--x+1=0有唯一解，所以△=(一"-4=0,\o"CurrentDocument"a a~b、cv'a2+b2 b力、所以一=2,e=—= =i1+(—)2=\'5，故選D.a aava歸納小結(jié)：本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念，以及直線與拋物線的位置關(guān)系，只有一個(gè)公共點(diǎn)，則解方程組有唯一解.本題較好地考查了基本概念、基本方法和基本技能.

? ?X2y2r ,,例3（2009全國(guó)I理）設(shè)雙曲線--J=1（a>0,b>0）的漸近線與拋物線y=x2+1相切，。2匕2則該雙曲線的離心率等于（B.2C.55解析：設(shè)切點(diǎn)P（%,yo）則切線的斜率為yl/=2x0? ?X2y2r ,,例3（2009全國(guó)I理）設(shè)雙曲線--J=1（a>0,b>0）的漸近線與拋物線y=x2+1相切，。2匕2則該雙曲線的離心率等于（B.2C.55解析：設(shè)切點(diǎn)P（%,yo）則切線的斜率為yl/=2x0.由題意有?二2x0.0又有y=x2+L聯(lián)立兩式解得：x2=1,二.一=2,e=i11+(—)20 0 0aaa因此選C.xx x2例4（2009江西）設(shè)F和F為雙曲線一一y2 ~ —八b二1（心0,40）的兩個(gè)焦點(diǎn)，若勺，P（0,2b）是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)則雙曲線的離心率為（ ）B.2兀解析：由tan—62b3 a兀cv,3體現(xiàn)數(shù)形結(jié)歸納小結(jié)：注意等邊三角形及雙曲線的幾何特征，從而得出tan%二5二-，合思想的應(yīng)用.體現(xiàn)數(shù)形結(jié)（三）求曲線的方程例5（2009,北京）已知雙曲線C：上—y2―1（a>0,b>0）的離心率為、高，右準(zhǔn)線方程a2b2(1)求雙曲線。的方程；(2)已知直線X-y+機(jī)=。與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)在圓X2+J2=5上，求機(jī)的值.分析：(1)由已知條件列出凡仇C的關(guān)系，求出雙曲線。的方程；(2)將直線與雙曲線方程聯(lián)立，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及點(diǎn)在圓上求出機(jī)的值.工=立解：(1)由題意，得〈C3,解得a=1,c=33.-=V3【〃TOC\o"1-5"\h\z, 一 - V2~b2=c2-a2=2，二所求雙曲線C的方程為X2--=1.(2)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(X,y),(X,y)，線段AB的中點(diǎn)為MG,y),1 1 2 2 0 0y21X2— = 1 — — ，八2 得X2-2mx-m2-2=0(判別式A>0),x+y+m=0\o"CurrentDocument"x+x ,x=-a 3-=m,y=x+m=2m,0 2 0 0???點(diǎn)M(x,y)在圓x2+y2=5上，0 0(2m)2=5,另解：設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(\，乂)，(x2,y2)，線段AB的中點(diǎn)為MG。，y0)，x2-里=1 11 2 、1/由1 ，兩式相減得(x+x)(x-x)--(y+y)(y-y)=0.y2 121221212x2— =1[2 2x+xy+y -由直線的斜率為1,x=12，y=12代入上式，得y=2x.0 2 0 2 0 0又M(y，x)在圓上，得y2+x2=5，又M(y，x)在直線上，可求得m的值.0 0 0 0 0 0歸納小結(jié)：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力.x2 y2例6過M(1,1)的直線交雙曲線7-*―x2 y2例6過M(1,1)的直線交雙曲線7-*―1于a,b兩點(diǎn)，若M為弦AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程.分析：求過定點(diǎn)M的直線方程，只需要求出它的斜率.為此可設(shè)其斜率是k，利用M為弦AB的中點(diǎn)，即可求得k的值，由此寫出直線AB的方程.也可設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)用“點(diǎn)差法”求解．解法一：顯然直線AB不垂直于x軸，設(shè)其斜率是k，則方程為y-1=k(x-1).x2_y2_- 14 2消去y得(1-2k2)x2-4k(1-k)x-2k2+4k-6=0 ①y-1—k(x-1)設(shè)A(xy),B(x,y)，由于M為弦AB的中點(diǎn)，1,1x+x所以1 2222k(1-k)1顯然，當(dāng)k=-時(shí)方程①的判別式大于零.所以直線AB的方程為y-1=1(x-1),即x-2y+1=0.解法二：設(shè)A(xy),B(X,y)，則1,22x2y2--4=14 2x2 x2 y2Cc■21 21 21 21 2①一②得(x-x)(x+x)-2(y-y)(y+y)=0.1 21 21 21 2又因?yàn)閤1+x2=2+y2=2，所以xJx2=2(yJy2).若x1=若x1=x2,則八二y2,由x+x=2,y+y=2得x=x12 12—1,y—y—1．2 12y-y所以k=則點(diǎn)A、By-y所以k=-A x-x1所以直線AB的方程為y-1=1(x-1),即x-2y+1=0.經(jīng)檢驗(yàn)直線X—2y+1=0符合題意，故所求直線為X—2y+1=0.解法三：設(shè)A（x,經(jīng)檢驗(yàn)直線X—2y+1=0符合題意，故所求直線為X—2y+1=0.解法三：設(shè)A（x,y）,由于4B關(guān)于點(diǎn)M（1,1）對(duì)稱，所以B的坐標(biāo)為（2—x,2—y）,三—Z2=14 2則《 4 2 消去平方項(xiàng)，得X—2y+1=0.(2-y)21I—― =1.即點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程④，同理點(diǎn)B的坐標(biāo)也滿足方程④.故直線AB的方程為X-2y+1=0.歸納總結(jié)：由于雙曲線（拋物線）不是“封閉”的曲線,以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦不一定存在,所以在求雙曲線（拋物線）中點(diǎn)弦方程時(shí),必須判斷滿足條件的直線是否存在．（四）軌跡問題X2y2例7已知點(diǎn)股dy0）為雙曲線正一二一b為正常數(shù)）上任一點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，過P作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為A,連接FA并延長(zhǎng)交y軸于P.求線段PP的中點(diǎn)P的1軌跡E的方程.12分析：求軌跡問題有多種方法，如相關(guān)點(diǎn)法等，本題注意到點(diǎn)P是線段PP2的中點(diǎn)，可利用相關(guān)點(diǎn)法．8解：由已知得F（3bm號(hào)b，y0），則直線FA的方程為：y=-令X=0得y=9y，即P(0,9y).20設(shè)P(x,y)X“寸y+9yy=一^V=5y0X=2X0y0X2y2y代入-才— 8b2b25=1得：4X2y2醞25b^=1，X2 y2即P的軌跡E的方程為近一=1.(xeR)歸納小結(jié)：將幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系是解析幾何常用方法.(五)突出幾何性質(zhì)的考查例8(2006江西)尸是雙曲線匚-二二1的右支上一點(diǎn)，M,N分別是圓(了+5)2+y2=49 16和(1-5)2+y2=1上的點(diǎn)，則IPMI-1PNI的最大值為( )A.6 B.7C.8A.6 B.7C.8D.9解析：雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F(—5,0)與F(5,0)恰好是兩圓的圓心，欲使IPMI-1PNI的值最大，當(dāng)且僅當(dāng)IPMI最大且IPNI最小，由平面幾何性質(zhì)知，點(diǎn)M在線段尸々的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N是線段PF2與圓的交點(diǎn)時(shí)所求的值最大.例9(2009重慶)已知以原點(diǎn)O為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為了=噂，離心率e=；5.(1)求該雙曲線的方程;(2)如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-/5,0)，B是圓了2+(y-<5)2=1上的點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線右支上，求|M4|+|MB|的最小值，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo).分析：（1）比較基礎(chǔ)，利用所給條件可求得雙曲線的方程;（2）利用雙曲線的定義將|加山、|胸轉(zhuǎn)化為其它線段，再利用不等式的性質(zhì)求解.解：（1）由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在1軸上，故可設(shè)雙曲線的方程為上一；=1（?>0,Z?>0）,設(shè)。=夜2+兒,由準(zhǔn)線方程為x= 得藝二走，a2b2 5c5由e=y/5得—=>/5.a解得a=l,c=#.從而b=2,該雙曲線的方程為X2--=14（2）設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（耳,0）,則點(diǎn)A、。為雙曲線的焦點(diǎn),貝（jIM4I—IMD1=2a=2所以IA￡4I+1MB1=2+1 I+12WD|三2+1BQI.因?yàn)?是圓工2+（y—/）2=1上的點(diǎn)，其圓心為。（0,褥），半徑為1,故閆C0I—1=M+1,從而IMAI+IA/8I三2+I IN加+1.當(dāng)M