高考數(shù)學一輪總復習課件第4章數(shù)列第3講等比數(shù)列及其前n項和（含解析）

第三講等比數(shù)列及其前n

項和課標要求考情分析1.通過生活中的實例，理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義.2.探索并掌握等比數(shù)列的前n項和公式，理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關系.3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關系，并解決相應的問題.4.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系1.本講主要考查等比數(shù)列的基本運算、基本性質，等比數(shù)列的證明也是考查的熱點.2.本節(jié)內(nèi)容在高考中既可以以選擇題、填空題的形式進行考查，也可以以解答題的形式進行考查.解答題往往與數(shù)列的計算、證明、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等問題綜合考查.屬于中低檔題1.等比數(shù)列的定義

如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示.2.等比數(shù)列的通項公式設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項3.等比中項若G2＝a·b(ab≠0)，則G叫做a與b的等比中項.公式為an＝a1·qn－1.

4.等比數(shù)列的常用性質(4)已知等比數(shù)列{an}，①若首項a1>0，公比q>1或首項a1<0，公比0<q<1，則數(shù)列{an}單調遞增；②若首項a1>0，公比0<q<1或首項a1<0，公比q>1，則數(shù)列{an}單調遞減；③若公比q＝1，則數(shù)列{an}為常數(shù)列；④若公比q<0，則數(shù)列{an}為擺動數(shù)列.

5.等比數(shù)列的前n項和公式

(1)設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q(q≠0)，其前n項和為Sn. (2)前n項和公式：6.等比數(shù)列前n項和的性質若q≠－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍是等比數(shù)列.【名師點睛】(1)在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1

與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導致解題失誤.(2)等比數(shù)列{an}中任何一項an≠0.題組一走出誤區(qū)1.(多選題)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，下列數(shù))列中一定是等比數(shù)列的有(答案：AB題組二走進教材2.(教材改編題)設等比數(shù)列的前n項、前2n項、前3n)項的和分別為A，B，C，則( A.A＋B＝C

B.B2＝AC

C.(A＋B)－C＝B2

D.A2＋B2＝A(B＋C)

答案：D

3.(教材改編題)在3與192中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為________.

答案：1248

題組三真題展現(xiàn)

4.(2021年全國甲)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若S2＝4，S4＝6，則S6＝(

)A.7B.8C.9D.10答案：A答案：B

考點一等比數(shù)列基本量的運算1.(2021年晉城模擬)設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2＝3，S4＝15，則公比q等于(

)A.5C.3B.4D.2解析：因為S2＝3，S4＝15，S4－S2＝12，q2＝4，因為數(shù)列是正項等比數(shù)列，所以q＝2.故選D.答案：D2.(2021年五華月考)已知遞增等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＞0，a2a4＝64，a1＋a3＝10，Sn＝126，則n＝(

)A.4C.6B.5D.7答案：C【題后反思】等比數(shù)列基本量的求法

等比數(shù)列的計算涉及五個量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根據(jù)條件列出關于a1，q的方程組求解，體現(xiàn)了方程思想的應用.

特別提醒：在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，q的值除非題目中給出，否則要根據(jù)公比q的情況進行分類討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式.考點二等比數(shù)列的判定及應用定義法非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列中項公式法若數(shù)列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列通項公式法若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列前n項和公式法若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列【題后反思】等比數(shù)列的四種常用判定方法【變式訓練】答案：AD

考點三等比數(shù)列性質的應用A.1B.2C.4D.8答案：C

(2)(2021年長春質檢)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S6＝30，S9＝70，則S3＝________.

解析：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質，若Sn是等比數(shù)列的和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍是等比數(shù)列，得到(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，解得S3＝10，或S3＝90(舍).答案：10【題后反思】等比數(shù)列常見性質的應用(1)通項公式的變形.(2)等比中項的變形.(3)前n項和公式的變形.根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.【變式訓練】A.8C.32B.16D.64答案：B⊙等比數(shù)列的實際應用

[例3](2021年衡陽模擬)中國古代數(shù)學名著《九章算術》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬.”馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還，他們各應償還多少？此問題中1斗為10升，則牛主人應償還多少升粟？()答案：D

【反思感悟】以數(shù)學文化為背景的等比數(shù)列模型題的求解關鍵：一是會透過數(shù)學文化的“表象”看“本質”；二是構建模型，即盯準題眼，構建等比數(shù)列的模型；三是解模，即把文字語言轉化為求等比數(shù)列的相關問題，如求指定項、公比或項數(shù)、通項公式或前n項和等.

【高分訓練】

1.(2021年荊州一模)十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堉發(fā)明的.十二平均律的數(shù)學意義是：在1和2之間插入11個正數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，依此規(guī)則，插入的第四個數(shù)應為()答案：B

2.一個病毒研究所為了更好地研究某種病毒，計劃改建十個實驗室，每個實驗室的改建費用分為裝修費和設備費，每個實驗室的裝修費都一樣，設備費從第