第07章微分方程7 4一階線性

Lineardifferentialequationoffirstorder§7.4一階線性微分方程高等數(shù)學安徽財經(jīng)大學AnhuiUniversityofFinance&Economics1959一、線性方程二、伯努利方程§7.4一階線性微分方程一、線性方程1.1、定義1.2、線性齊次方程解法1.3、線性非齊次方程解法二、伯努利方程2.1、伯努利生平及成就2.3、伯努利方程的解法三、小結(jié)1、齊次方程2、線性非齊次方程3、伯努利方程思考題求微分方程的通解.作業(yè)P3151⑹；2⑷；3；7⑵。2.2、標準形式1.1、定義

如果微分方程中未知函數(shù)及其導數(shù)均是一次的稱為線性微分方程，簡稱為線性方程。一階線性微分方程的標準形式:上方程稱為齊次的。上方程稱為非齊次的。例如線性的；非線性的。一、線性方程1.2、線性齊次方程的解法(使用分離變量法)將原方程化為分離變量，得：兩邊積分得：齊次方程的通解為——公式一、線性方程例1.

求通解解：012=+-xydxdy故得通解為：一、線性方程1.3、線性非齊次方程解法⑴討論首先比較與齊次方程可以看出:等式左邊一模一樣,右邊一為0,一為Q(x).后者通解為：有理由猜想前者解為即C不再是常數(shù)，而可能是某個函數(shù)C(x)，因此可用待定函數(shù)法求其通解ò-=dxxPexCy)()(一、線性方程把齊次方程通解中的C換成x的未知函數(shù)C(x),即(C(x)為待定函數(shù))⑴常數(shù)變易法驗證:將代入中先求出同時代入方程兩邊，得：ò-ò--=dxxPdxxPexCxPexCy)()()()()(′′)()()()()()(

)()()(xQexCxPexCxPexCdxxPdxxPdxxP=+-ò-ò-ò-)()(')(xQexCdxxP=Tò-ò=TdxxPexQxC)()()(′積分得：故得原方程的通解為ò+=TòCdxexQxCdxxP)()()(])([)()(ò+=òò-CdxexQeydxxPdxxP一、線性方程④寫出原方程的通解.對應(yīng)齊次方程為①求出對應(yīng)的齊次方程的通解②將該通解中的任意常數(shù)C變易為函數(shù)C(x);③代入原方程確定C(x);即設(shè)為原方程的解;⑵常數(shù)變易法步驟)()(xQyxPdxdy=+0.)(=+yxPdxdy一、線性方程解

將原方程化為標準方程例2.

用常數(shù)變易法及公式法分別求寫方程的通解.2y

+2xy-xe-x=02y

+2xy=xe-x⑴常數(shù)變易法原方程對應(yīng)的齊次方程為y

+2xy=0其通解為22xxdxCeCey-ò-==由常數(shù)變易法，設(shè)原方程的解為2)(xexCy-=兩邊求導,得：22xx2xC(x)ey=C

(x)e---將y、y

代入原方程,得：2222)(2)(2)(′xxxxxeexxCexxCexC----=+-CxxCxxC+=T=T221)()('故通解為)21(22Cxeyx+=-一、線性方程⑵公式法原方程為：2y

+2xy=xe-x2)(,2)(xxexQxxP-==代入公式,得：])([)()(ò+=òò-CdxexQeydxxPdxxP][222ò+=ò-ò-Cdxexeexdxxxdx][222ò+=--Cdxexeexxx]21[22Cxex+=-一、線性方程例3、求微分方程的通解。先觀察什么型的？解：原方程化為標準型：一階線性非齊次方程212xexxyy

-=+21)(,2)(xexxQxxP-==代入公式,得：])([)()(ò+=òò-CdxexQeydxxPdxxP]1[222ò+ò=--Cdxeexexdxxx]1[222ò+=--Cdxeexexxx][ln2Cxex+=-一、線性方程yyxydydxcos22=-例4、求方程(2x+y3cosy)dy-ydx=0的通解。解：先將原方程化為正規(guī)型yyxydxdycos23+=分析:不是分離變量?不是齊次方程?不是線性方程?將上式改寫為代入通解公式,即得：這是以y為自變量,以x為未知函數(shù)的一階線性齊次方程.其中yyyQyyPcos)(,2)(2=-=一、線性方程例5、求方程(y2-6x)dy-2ydx=0的通解。解：先將原方程化為正規(guī)型將上式改寫為(同上例)xyydxdy622-=xyyyxydydx32262-=-=23yxydydx=+即2)(,3)(yyQyyP==)101(]2[5333CyyCdyeyedyydyy+=+=-òò-ò一、線性方程例6、已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式求f(x).解：求導得ò+=xxdt.tfexf0)()()()(′xfexfx+=xexfxf′=-T)()(記f(x)=y,有y

-y=ex,其中P(x)=-1,Q(x)=ex即][)1()1(ò+=ò-ò--Cdxeee∴ydxxdx][ò+=-Cdxeeexxx][Cxex+=][Cxeyx+=由原方程,得：代入通解,得：即C=1故]1[)(+=xexfx]0[10Ce+=1)()0(000=+=òdttfef即為所求。一、線性方程解：例7、求xy

+y=sinx在下的特解。0)2(=pf原方程化為y

+xxyxsin11=一階線性非齊次方程x.xxQxxPsin1)(,1)(==xxycos-=]sin[11Cdxexxeydxxdxx+òò=\ò-]sin[lnlnCdxexxexx+=ò-]sin[1Cxdxx+=ò]cos[1Cxx+-=代入初始條件0)2(=pf得：∴C=0故所求解為：一、線性方程(高階微分方程,可看作未知函數(shù)y

的一階線性微分方程)解：將原方程改寫為例8、求微分方程的通解。xy

xy

=

-1x(y

)x(y

)

=-1xxQxxP=-=)(,1)(其中][1)1()1(Cdxexey?dxxdxx+òò=\---ò][lnlnC1dxexexx+=-ò對以上結(jié)果兩邊積分,得：再積分一次,得：此即為原方程的通解.一、線性方程

伯努利,D.(DanielBernoulli1700～1782)瑞士物理學家、數(shù)學家、醫(yī)學家。1700年2月8日生于荷蘭格羅寧根。著名的伯努利家族中最杰出的一位。他是數(shù)學家J．伯努利的次子，和他的父輩一樣，違背家長要他經(jīng)商的愿望，堅持學醫(yī)，他曾在海得爾貝格、斯脫思堡和巴塞爾等大學學習哲學、論理學、醫(yī)學。1721年取得醫(yī)學碩士學位。努利在25歲時(1725)就應(yīng)聘為圣彼得堡科學院的數(shù)學院士。8年后回到瑞士的巴塞爾，先任解剖學教授，后任動力學教授，1750年成為物理學教授。

在1725～1749年間.伯努利曾十次榮獲法國科學院的年度獎。1782年3月17日，伯努利在瑞士巴塞爾逝世，終年82歲。二、伯努利方程2.1、伯努利生平及成就⑴伯努利生平簡介⑵科學成就伯努利的貢獻涉及到醫(yī)學、力學、數(shù)學等各個方面。①在物理學上的貢獻有：a)1938年出版了《流體動力學》一書，共13章。這是他最重要的著作。書中用能量守恒定律解決流體的流動問題，寫出了流體動力學的基本方程，后人稱之為“伯努利方程”，提出了“流速增加、壓強降低”的伯努利原理。b)他還提出把氣壓看成氣體分子對容器壁表面撞擊而生的效應(yīng)，建立了分子運動理論和熱學的基本概念，并指出了壓強和分子運動隨溫度增高而加強的事實。c)從1728年起,他和歐拉還共同研究柔韌而有彈性的鏈和梁的力學問題,包括這些物體的平衡曲線,還研究了弦和空氣柱的振動d)他曾因天文測量、地球引力、潮汐、磁學、洋流、船體航行的穩(wěn)定、土星和木星的不規(guī)則運動和振動理論等成果而獲獎。二、伯努利方程②在數(shù)學方面，有關(guān)微積分、微分方程和概率論等，他也做了大量而重要的工作。伯努利(Bernoulli)方程的標準形式方程為線性微分方程.2.2、伯努利方程的標準形式

方程為非線性微分方程即Bernoulli方程.二、伯努利方程求出通解后，將代入即得代入上式解法:需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.2.3、伯努利方程的解法二、伯努利方程解例9二、伯努利方程例10

用適當?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為二、伯努利方程解分離變量法得所求通解為二、伯努利方程解代入原式分離變量法得所求通解為另解二、伯努利方程1、若則f(x)=__________

2、設(shè)函數(shù)f(t)在[0,+∞)上連續(xù),且滿足方程求f(t).解釋:1、利用微分法消去可變上限積分,使方程變?yōu)槲⒎址匠?再求解.解：方程兩邊對x求導,得：f

(x)=f(x)(2x)

=2f(x)記f(x)=y,則上式為：2,ln)2()(20+=òdttfxfxdxdyyxfetftyxtòò￡+++=22224224)21()(pydxdy2=分離變量,得：dxydy2