高考數(shù)學專題提能解析-(45)課件

第8講與三角函數(shù)有關的應用題考試要求1.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題(B級要求)；2.掌握三角函數(shù)模型的應用，會運用三角函數(shù)知識解決實際中的優(yōu)化問題.第8講與三角函數(shù)有關的應用題考試要求1.了解三角函數(shù)是描知

識

梳

理1.解三角函數(shù)模型應用問題的一般步驟是： (1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖. (2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標，建立數(shù)學模型. (3)求解：利用三角形，求得數(shù)學模型的解. (4)檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解.2.在建立三角函數(shù)模型求解與實際生活有關的優(yōu)化問題時，常以三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)、三角恒等變換以及正余弦定理等知識為載體，以不等式、導數(shù)為工具進行求解，但結果要符合實際意義.知識梳理1.解三角函數(shù)模型應用問題的一般步驟是：1.某人的血壓滿足函數(shù)關系式f(t)＝24sin160πt＋110，其中，f(t)為血壓，t為時間，則此人每分鐘心跳的次數(shù)是________.診

斷

自

測答案801.某人的血壓滿足函數(shù)關系式f(t)＝24sin160πt高考數(shù)學專題提能解析-(45)課件高考數(shù)學專題提能解析-(45)課件解(1)設∠OPQ＝α，在Rt△OAQ中，OA＝3，解(1)設∠OPQ＝α，在Rt△OAQ中，OA＝3，因為α為銳角，所以cosα≠0，因為α為銳角，所以cosα≠0，高考數(shù)學專題提能解析-(45)課件所以當θ＝θ0時，f(θ)最大，即tan∠OPQ最大，當θ∈(0，θ0)時，f′(θ)>0，f(θ)單調(diào)遞增；所以當θ＝θ0時，f(θ)最大，即tan∠OPQ最大，當θ考點一三角函數(shù)在物理中的應用(1)作出函數(shù)的圖象；(2)當單擺開始擺動(t＝0)時，離開平衡位置的距離是多少？(3)當單擺擺動到最右邊時，離開平衡位置的距離是多少？(4)單擺來回擺動一次需多長時間？考點一三角函數(shù)在物理中的應用(1)作出函數(shù)的圖象；解(1)利用“五點法”可作出其圖象(列表略).(3)離開平衡位置6cm.所以單擺來回擺動一次所需的時間為1s.解(1)利用“五點法”可作出其圖象(列表略).(3)離開平規(guī)律方法三角函數(shù)模型在物理中的應用主要體現(xiàn)在簡諧運動中，其中對彈簧振子和單擺的運動等有關問題考查最多，尤其要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法.規(guī)律方法三角函數(shù)模型在物理中的應用主要體現(xiàn)在簡諧運動中，其(1)開始時電壓；(2)電壓值重復出現(xiàn)一次的時間間隔；(3)電壓的最大值和第一次獲得最大值的時間.(1)開始時電壓；考點二三角函數(shù)在實際生活中的應用角度1以三角函數(shù)定義為載體的三角問題【例2－1】

如圖為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8m，圓上最低點與地面距離為0.8m，且60s轉(zhuǎn)動一圈，圖中OA與地面垂直，以OA為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB，設B點與地面間的距離為h.考點二三角函數(shù)在實際生活中的應用【例2－1】如圖為一個纜(1)求h與θ間關系的函數(shù)解析式；(2)設從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過ts后到達OB，求h與t之間的函數(shù)關系式，并求纜車到達最高點時用的最少時間是多少？解(1)以圓心O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系.(1)求h與θ間關系的函數(shù)解析式；答：纜車到達最高點時，用的最少時間為30s.到達最高點時，h＝10.4m.答：纜車到達最高點時，用的最少時間為30s.到達最高點時，角度2以三角函數(shù)圖象與性質(zhì)為載體的三角問題【例2－2】

海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后，在落潮時返回海洋，下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深的關系表：時刻水深(米)時刻水深(米)時刻水深(米)0：005.09：002.518：005.03：007.512：005.021：002.56：005.015：007.524：005.0角度2以三角函數(shù)圖象與性質(zhì)為載體的三角問題【例2－2】海(1)選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關系，并給出整點時的水深的近似數(shù)值(精確到0.001).(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙(船底與洋底的距離)，該船何時能進入港口？在港口能呆多久？(3)若某船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？(1)選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關系，解(1)以時間為橫坐標，水深為縱坐標，在直角坐標系中畫出散點圖，根據(jù)圖象，可以考慮用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋h來刻畫水深與時間之間的對應關系.從數(shù)據(jù)和圖象可以得出：解(1)以時間為橫坐標，水深為縱坐標，在直角坐標系中畫出散由上述關系式易得港口在整點時水深的近似值：時刻0：001：002：003：004：005：006：007：008：009：0010：0011：00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754時刻12：0013：0014：0015：0016：0017：0018：0019：0020：0021：0022：0023：00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754由上述關系式易得港口在整點時水深的近似值：時刻0：001：0(2)貨船需要的安全水深為4＋1.5＝5.5(米)，所以y≥5.5時就可以進港.解得xA≈0.3848，xB≈5.6152.(2)貨船需要的安全水深為4＋1.5＝5.5(米)，所以y≥因為x∈[0，24]，所以有函數(shù)周期性易得xC≈12＋0.3848＝12.3848xD≈12＋5.6152＝17.6152.因此，貨船可以在凌晨零時30分左右進港，早晨5時30分左右出港；或在中午12時30分左右進港，下午17時30分左右出港，每次可以在港口停留5小時左右.(3)設在時刻x船舶的安全水深為y，那么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)，在同一坐標系內(nèi)作出這兩個函數(shù)的圖象，可以看到在6時到7時之間兩個函數(shù)圖象有一個交點.因為x∈[0，24]，所以有函數(shù)周期性易得通過計算可得在6時的水深約為5米，此時船舶的安全水深約為4.3米；6.5時的水深約為4.2米，此時船舶的安全水深約為4.1米；7時的水深約為3.8米，而船舶的安全水深約為4米，因此為了安全，船舶最好在6時30分之前停止卸貨，將船舶駛向較深的水域.通過計算可得在6時的水深約為5米，此時船舶的安全水深約為4.角度3以三角恒等變換為載體的三角問題角度3以三角恒等變換為載體的三角問題(1)試用θ表示BD的長；(2)試確定點E的位置，使兩條棧道長度之和最大.解(1)連接DC.(1)試用θ表示BD的長；且BF＝4cos2θ，所以DE＝AF＝4－4cos2θ，所以當E與C重合時，兩條棧道長度之和最大.且BF＝4cos2θ，所以DE＝AF＝4－4cos2θ，所以角度4以解三角形為載體的三角問題角度4以解三角形為載體的三角問題(1)將三條船PO，PA，PB的長度之和表示為α的函數(shù)f(α)，并寫出此函數(shù)的定義域；(2)試確定α的值，使得f(α)最小.(1)將三條船PO，PA，PB的長度之和表示為α的函數(shù)f(α高考數(shù)學專題提能解析-(45)課件列表如下：列表如下：規(guī)律方法解三角函數(shù)應用問題的基本步驟規(guī)律方法解三角函數(shù)應用問題的基本步驟【訓練2】

(2018·江蘇卷)某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點)和線段MN構成.已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP，要求A，B均在線段MN上，C，D均在圓弧上.設OC與MN所成的角為θ.【訓練2】(2018·江蘇卷)某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，(1)用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sinθ的取值范圍；(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3，求當θ為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.解

(1)設PO的延長線交MN于H，則PH⊥MN，所以OH＝10.過O作OE⊥BC于E，則OE∥MN，所以∠COE＝θ，故OE＝40cosθ，EC＝40sinθ，(1)用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sin則矩形ABCD的面積為2×40cosθ(40sinθ＋10)＝800(4sinθcosθ＋cosθ)，過N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長線于G和K，則GK＝KN＝10.則矩形ABCD的面積為2×40cosθ(40sinθ＋1(2)