水工鋼結(jié)構(gòu)中雙懸臂工字梁穩(wěn)定性分析

水工鋼結(jié)構(gòu)中雙懸臂工字梁穩(wěn)定性分析

1梁總穩(wěn)定能量法的總結(jié)1.1縱向平面內(nèi)梁內(nèi)荷載雙臂承受鋼梁的承載方法與文獻(xiàn)規(guī)范處理方法相同。它由梁和墻柱承受。通常，按照一端固定損壞，另一端移動(dòng)損壞。縱向平面在兩支承處存在構(gòu)造約束,考慮按鉸支處理。設(shè)作用于豎向?qū)ΨQ平面內(nèi)梁中軸線上荷載如圖1所示,懸臂段長(zhǎng)為l0,中跨段長(zhǎng)為l。梁橫截面高h(yuǎn),翼緣寬為b,厚度(平均厚度)為t。坐標(biāo)系如圖1所示。當(dāng)作用于工字形鋼梁豎向平面yoz上的荷載達(dá)到極限值時(shí),工字形鋼梁將喪失平面彎曲的穩(wěn)定平衡狀態(tài),發(fā)生側(cè)向傾覆失穩(wěn)破壞,在此過(guò)程中工字形鋼梁發(fā)生了側(cè)向彎曲和扭轉(zhuǎn)變形。1.2鋼梁側(cè)向彎曲扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能及力學(xué)性能根據(jù)材料力學(xué)能量法求解臨界荷載,梁的扭轉(zhuǎn)與彎曲的微分方程如下:EΙxv″=-Μx;EΙyv″=-Μy;GΙtφ′-EΙwφ?=ΜΤ。(1)根據(jù)圖1(b),在小變形情況下近似有My=βMx,MT=Mxu′,因此(1)式變?yōu)镋Ιxv″=-Μx;EΙyu″=-βΜx;GΙtφ′-EΙwφ?=Μxu′。(2)當(dāng)達(dá)到臨界荷載時(shí),梁豎向彎曲勢(shì)能增量為零,而且因豎向彎曲剛度EIx遠(yuǎn)大于側(cè)向彎曲剛度EIy,可以略去豎向彎曲能量。因此,梁屈曲時(shí)存儲(chǔ)梁內(nèi)的應(yīng)變能只有兩部分組成,即對(duì)y軸彎曲的應(yīng)變能與對(duì)z軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)變能。對(duì)薄壁桿來(lái)說(shuō),后者又包括圣維南扭轉(zhuǎn)和翹曲扭轉(zhuǎn)。對(duì)稱工字形鋼梁側(cè)向彎曲扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為U=12EΙy∫10(d2udz2)2dz+12GΙt∫10(dβdz)2dz+12EΙw∫10(d2βdz2)2dz。(3)對(duì)雙軸對(duì)稱工字形截面,剪切中心與截面形心重合,側(cè)向彎曲扭轉(zhuǎn)時(shí)只有My做功。根據(jù)能量法,外力勢(shì)能應(yīng)在數(shù)值上與外荷載做功相等,符號(hào)相反,得外力荷載勢(shì)能為V=-∫Μ2xβ2EΙydz。(4)根據(jù)式(2)、(3)、(4)得到系統(tǒng)的總勢(shì)能∏=U+V=12EΙy∫10(d2udz2)2dz+12GΙt∫10(dβdz)2dz+12EΙw∫10(d2βdz2)2dz-∫10Μ2xβ2EΙydz=12GΙt∫10(dβdz)2dz+12EΙw∫10(d2βdz2)2dz-12EΙy∫10Μ2xβ2dz?(5)駐值條件為δП=0。(6)若假設(shè)滿足邊界條件的位移為β=B1sinπzl(簡(jiǎn)支梁),β=B2cosπz2l(懸臂梁)?將以上兩式分別代入式(5),(6)可等效為對(duì)B1(B2)的偏導(dǎo)數(shù),即?Π?B=0,由此就可求出各種情況的臨界荷載。簡(jiǎn)支梁臨界荷載通式GΙt∫01(π2l)2cos2πz2ldz+EΙw∫01(π2l)2sin2πz2ldz=1EΙy∫01Μcr2sin2πz2ldz；(7)懸臂梁臨界荷載通式GΙt∫01(π24l)2sin2πz2ldz+ELw∫01(π24l)2cos2πz2ldz=1EΙy∫01Μcr2cos2πz2ldz。(8)2雙懸臂鋼梁側(cè)向彎扭變形規(guī)律在集中荷載、均布荷載及其組合形式作用下,雙懸臂工字形鋼梁的臨界荷載計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖1所示。當(dāng)荷載及懸臂段長(zhǎng)度滿足某種關(guān)系時(shí),該雙懸臂工字形鋼梁就會(huì)發(fā)生側(cè)向彎扭變形。該結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)取決于懸臂段與中跨段先達(dá)到臨界狀態(tài)者,故該結(jié)構(gòu)的臨界荷載就應(yīng)是這兩段臨界荷載的最小值。2.1懸臂段的臨界荷載2.1.1懸臂梁荷載修正由于構(gòu)造約束的作用,雙懸臂梁在支座處扭轉(zhuǎn)角β(z)=0。因此,懸臂段的臨界荷載計(jì)算可采用組合荷載作用在懸臂梁的臨界荷載(8)式計(jì)算。前面推導(dǎo)臨界彎矩過(guò)程中忽略了最大剛度平面內(nèi)的彎曲勢(shì)能,根據(jù)理論分析,懸臂梁要用荷載修正系數(shù)γ修正。γ隨不同荷載形式取不同值。當(dāng)集中荷載P作用在懸臂梁端部時(shí),系數(shù)γ=1.08;當(dāng)均布荷載q作用時(shí),γ=1.21。考慮荷載修正后,懸臂梁在任意截面處的彎矩為Μx=Ρ*z+12q*z2=Ρ1zγ1+qz2γ2,代入公式(8)簡(jiǎn)化為Ρ12+0.1(ql0)2+0.6Ρ1(ql0)=16.17GΙtEΙyl04(1+π2EΙw4l02GΙt)。(9)若令n=l0l,則上式可化簡(jiǎn)為Ρ12+0.1n2(ql)2+0.6nΡ1(ql)=16.17GΙtEΙyn4l4(1+π2EΙw4n2l2GΙt)。(9a)2.1.2teyl2e2ew3.2et將q=0,p=0分別代入式(9),得懸臂梁在集中荷載和均布荷載作用的臨界荷載計(jì)算公式:Ρ1=4.02GΙtEΙyl021+π2EΙw4l02GΙt;(10)q=12.72GΙtEΙyl021+π2EΙw4l2GΙt。(11)將Iw=0分別代入(9),(10),(11)式就可求得在組合荷載、集中荷載及均布荷載作用下狹窄矩形截面懸臂梁的臨界荷載,經(jīng)與有關(guān)規(guī)范及文獻(xiàn)比較誤差很小。2.2中距離噪聲2.2.1計(jì)算簡(jiǎn)單圖中跨段臨界荷載的計(jì)算可按簡(jiǎn)支梁在組合荷載作用下的臨界荷載式(7)計(jì)算,其荷載作用形式如圖2所示。2.2.22q2q22,2.2q2.2.23.2.23.2.3s22,5.2q122,5.2q122,5.2.3.22,5.2.3.2.3.23.22,5.2.3.23.2.3.22,5.2.3.22,5.2.3.2.3.2.3.2.3.2.3.23.20.4中跨段任意截面彎矩為Μz={Ρ22z+ql2(z-z2l)-Μ0＜z＜12Ρ22(l-z)+ql2(z-z2l)-Μl2＜z＜l。將上式代入式(7)化簡(jiǎn)得Ρ22+0.36(1-32.6Μql2)Ρ2(ql)+0.36(1+84Μ2q2l4-18Μ2ql2)(ql)2=294.6GΙtEΙyl4(1+π2EΙwl2GΙt)。(12)若令n=2Μql2,則上式可化簡(jiǎn)為Ρ22+0.36(1-16.3n2)Ρ2(ql)+0.36(1+21n4-9n2)(ql)2=294.6GΙtEΙyl4(1+π2EΙwl2GΙt)。(12a)2.2.3臨界荷載的計(jì)算將M=0代入(12)式,得組合荷載作用下簡(jiǎn)支對(duì)稱工字形鋼梁的臨界荷載計(jì)算公式:Ρcr2+0.36Ρcr(ql)cr+0.36(ql)cr2=294.6GΙtEΙyl4(1+π2EΙwl2GΙt)。(13)將q=0,P2=0分別代入(13)式得集中荷載和均布荷載對(duì)稱工字形鋼梁的臨界荷載計(jì)算公式:Ρcr=17.6GΙtEΙyl21+π2EΙwl2GΙt,(14)qcr=28.6GΙtEΙwl3(1+π2EΙwl2GΙt)。(15)將Iw=0分別代入(13),(14),(15)式就可求得在組合荷載、集中荷載、均布荷載作用下狹窄矩形截面簡(jiǎn)支梁的臨界荷載關(guān)系及臨界荷載,經(jīng)與有關(guān)規(guī)范及文獻(xiàn)比較誤差很小。將Iw=0代入式(12)得組合荷載作用下狹窄矩形截面雙懸臂鋼梁的臨界荷載計(jì)算公式:Ρ22+0.36(1-32.6Μql2)Ρ2(ql)+0.36(1+84Μ2q2l4-18Μ2ql2)(ql)2=294.6GΙtEΙyl4。(16)當(dāng)Μx=12ql02,Ρ1=Ρ2=0代入式(12)得均布荷載作用下雙懸臂對(duì)稱工字形鋼梁的臨界荷載計(jì)算公式:qcr=28.6l3EΙyGΙt1-9n2+21n41+π2EΙwl2GΙt?(17)其中n=l0l。2.3臨界荷載的計(jì)算在組合荷載作用下,雙懸臂工字形鋼梁整體穩(wěn)定性應(yīng)為懸臂段及中跨段臨界荷載之中的最小值。若以P為縱坐標(biāo),以ql為橫坐標(biāo),以n為參數(shù),則式(9a)及(12a)均為n參數(shù)的兩條橢圓曲線,而實(shí)際工字形鋼梁的臨界荷載即為這兩條橢圓曲線的下輪廓線。即參數(shù)n已知時(shí),外荷載P,ql落在下輪廓以內(nèi),則該雙懸臂工字形鋼梁整體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定,不會(huì)發(fā)生側(cè)向傾覆失穩(wěn),否則結(jié)構(gòu)失穩(wěn)。圖3給出的是懸臂段與中跨段臨界荷載關(guān)系曲線。顯然該臨界荷載總圖按特點(diǎn)可分為2個(gè)區(qū)間,第Ⅰ區(qū)間穩(wěn)定性由懸臂段控制,應(yīng)用公式(9a)計(jì)算臨界荷載;第Ⅱ區(qū)間穩(wěn)定性由中跨段控制,應(yīng)用公式(12a)計(jì)算臨界荷載。另外,臨界荷載的大小與它作用點(diǎn)的位置有關(guān)。很明顯,將荷載作用于梁軸線的上方將減小其值,而作用在梁軸線的下方將產(chǎn)生相反的影響。這種影響的大小可以很容易地用能量法來(lái)得到,只須考慮當(dāng)梁側(cè)向屈曲時(shí)由于中間截面的旋轉(zhuǎn)而使荷載位置的額外下降。若β0為轉(zhuǎn)角而a為荷載的作用點(diǎn)至截面中心的垂直距離(向上為正),于是荷載位置的額外降低為a(1-cosβ0)≈aβ02?？梢园押奢d在其位置額外降低距離上所做的功及扭轉(zhuǎn)勢(shì)能加到前面所敘的勢(shì)能方程中求解臨界荷載。由于額外做功很小,扭轉(zhuǎn)變形勢(shì)能更小,對(duì)勢(shì)能方程為一很小的修正。令X=1+π2EΙwly2GΙt,m=γ2aπXEΙyGΙt?u=m+X1+m2；則P=uPcr,q=uqcr。其中:簡(jiǎn)支梁ly=l;懸臂梁ly=2l;簡(jiǎn)支梁跨中集中荷載作用γ2=0.55;簡(jiǎn)支梁均布荷載γ2=0.45;懸臂梁自由端集中荷載γ2=0.64;P,q為作用點(diǎn)不在中性軸的臨界荷載,Pcr,qcr為荷載作用在中性軸的臨界荷載。其它的修正值可以參考文獻(xiàn)。集中荷載作用在不同位置時(shí)臨界荷載將不同,本文公式中集中荷載的位置是臨界荷載最小的控制截面,即中跨段為跨中點(diǎn),懸臂段為自由端端點(diǎn),這也是工程中最常見(jiàn)的控制工況。3均布荷載作用下的傾覆穩(wěn)定性根據(jù)式(11)、式(17)繪制懸臂段及中跨段臨界荷載變化曲線,如圖4所示。臨界荷載應(yīng)為兩條曲線的下輪廓線,根據(jù)特點(diǎn)可分為2個(gè)區(qū)間。第Ⅰ區(qū)間穩(wěn)定性由中跨段控制,第Ⅱ區(qū)間穩(wěn)定性由懸臂段控制?？梢钥闯?均布荷載雙懸臂工字形鋼梁的臨界荷載隨著l0l變化有上升段和下降段。上升段表明懸臂段負(fù)彎矩增強(qiáng)了該結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性;下降段表明懸臂段負(fù)彎矩過(guò)大引起屈曲,削弱了該結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。由此可見(jiàn),適當(dāng)調(diào)整支座位置或荷載組合,便可提高其穩(wěn)定性。由上面分析可知,恰當(dāng)?shù)剡x擇l0l能有效地提高雙懸臂工字形鋼梁的傾覆穩(wěn)定性。由圖4及計(jì)算可知,均布荷載作用下,當(dāng)l0l=0.404時(shí),無(wú)量綱臨界荷載最大值為97.36,這也是雙懸臂工字形鋼梁的合理懸臂長(zhǎng)度及最大臨界荷載。其值為現(xiàn)規(guī)范按簡(jiǎn)支梁考慮的建議值28.3的3.5倍。對(duì)其它荷載組合也可同樣處理,以得到合理布置參數(shù)及最大臨界荷載。4試驗(yàn)測(cè)梁的整體彈性穩(wěn)定性一雙懸臂工字形截面組合梁,懸臂段l0=3m,中跨跨度l=9m,承受次梁傳給的集中荷載P2、兩端懸臂段承受托梁傳來(lái)集中荷載P1及滿跨分布荷載q,如圖5所示。假定梁的中點(diǎn)及兩端有側(cè)向支承,鋼材為Q235B,試驗(yàn)算分析此梁整體彈性穩(wěn)定性。已知:根據(jù)工字梁截面特性A=14880mm2,Ix=6550cm4,Iy=20800cm4,Wx=4502cm3,Iw=13619808cm6,E=20600kN/mm2,fy=235N/mm2,μ=0.3,It=522.22cm4,G=14714kN/mm2,q=18kN/m。4.1對(duì)本文件的評(píng)論根據(jù)式(9)、式(12)及已知條件求解臨界荷載:Pcr1=128.17kN,Pcr2=560.40kN。4.2集中處理總體荷載與均布荷載規(guī)范中公式均不能直接驗(yàn)證組合荷載作用雙懸臂梁的穩(wěn)定性。規(guī)范處理這類(lèi)問(wèn)題的方法有兩種,即在保證控制彎矩相等的前提下將荷載等效。一種是將集中荷載等效為均布荷載;另一種是將均布荷載等效為集中荷載。懸臂段本文公式解為Mcr=465.50kN·m。將集中荷載轉(zhuǎn)化為均布荷載,Mcr1=673kN·m,比Mcr大45%,很不安全;將均布荷載轉(zhuǎn)化為集中處理,Mcr2=420kN·m,比Mcr小10%,不太經(jīng)濟(jì)。中跨段按本文公式解為Mcr=815.66kN·m。將集中荷載轉(zhuǎn)化為均布荷載,Mcr1=413kN·m,比Mcr小49%,太不經(jīng)濟(jì);將均布荷載轉(zhuǎn)化為集中處理,Mcr2=495kN·m,比Mcr小40%,也不經(jīng)濟(jì)。4.3梁的中跨段與懸臂段通過(guò)對(duì)4.1,4.2兩種方法的計(jì)算結(jié)果比較,相同的參數(shù)有截然不同判斷結(jié)果。這是由于文獻(xiàn)各種近似處理誤差很大所致。對(duì)雙懸臂梁的中跨段簡(jiǎn)單處理為簡(jiǎn)支梁及將組合荷載的等效簡(jiǎn)化,均使臨界荷載太小,對(duì)懸臂段第一種處理太不安全,第二種處理太不經(jīng)濟(jì),而且不能反映各種荷載的組合關(guān)系。本文各公式考慮規(guī)范與文獻(xiàn)的以上不足,以圖3與圖4宏觀反映雙懸臂對(duì)稱工字形鋼梁在組合荷載下傾覆時(shí)的各控制段的情況,提供各控制段的計(jì)算公式,同時(shí)公式能反映各組合荷載作用下的組合關(guān)系,并對(duì)合理懸臂長(zhǎng)度的確定進(jìn)行了探討。5工字形鋼梁傾覆穩(wěn)定性臨界荷載通用公式(1)通過(guò)分析給出的雙懸臂對(duì)稱工字形鋼梁在組合荷