再生核空間中一類偏微分方程的精確解

再生核空間中一類偏微分方程的精確解

0m=2時再生核優(yōu)化模型研究中的偏微分方程邊值問題。的求解,其中,m={1,2}。當(dāng)m=1時,方程(1)是熱傳導(dǎo)問題;當(dāng)m=2時,方程(1)是波動方程問題。許多實際問題可以歸結(jié)為該模型,有許多文獻(xiàn)研究該類方程的解法。近年來,再生核理論和方法被廣泛應(yīng)用于數(shù)值計算與方程求解。筆者在方程(1)的解是存在且唯一的假設(shè)下,構(gòu)造再生核空間,在該空間中給出方程(1)的精確解,精確解用級數(shù)形式表達(dá),并由精確解直接給出近似解。1再生核空間的定義定義1Wm[0,∞)={u(t)u(m)(t)是絕對連續(xù)實值函數(shù),u(m+1)(t)∈L2[0,∞),u(0)=0,(m-1)u(1)(t)=0}。內(nèi)積和范數(shù):<u,v>Wm=∫∞0(u(m)v(m)+u(m+1)v(m+1))dt;∥?∥Wm=√<?,?>Wm,其中,u(t),v(t)∈Wm[0,∞)?？梢宰C明Wm[0,∞)是再生核空間,再生核為Rmt(s)={12(e-t-s-e-|t-s|-|t-s|+t+s),m=1,16(3e-t+s-3e|t-s|+6(1+e2-e2-s-es)-1+e2-6et(-2+e2-s+es)2-2e2-6e-t(-2e2+e2-s+es)2-2e2,-6t-t3+3t2s-12(6+(t+s)2)(-t+s)+12(6+(t+s)2)|t-s|,m=2,對于t∈[0,∞),任意的u(s)∈Wm[0,∞),有<u(s),Rmt(s)>Wm=u(t)。定義2W3[0,1]={u(x)u(2)(x)是絕對連續(xù)實值函數(shù),u(3)(x)∈L2[0,1],u(0)=0,u(1)=0}。內(nèi)積和范數(shù):其中,u(x),v(x)∈W3[0,1]。可以證明W3[0,1]是再生核空間,再生核為對于x∈[0,1],任意的u(y)∈W3[0,1],有<u(y),R3x(y)>W3=u(x)。定義3W4[0,1]={u(x)u(x)是絕對連續(xù)實值函數(shù),u(1)(x)∈L2[0,1]}。內(nèi)積和范數(shù):其中u(x),v(x)∈W4[0,1]。參見文獻(xiàn)W4[0,1]是再生核空間,再生核為R4x(y)=12sinh(1)[cosh(x+y-1)+cosh(|x-y|-1)]。定義4W5[0,∞)={u(t)|u(t)是絕對連續(xù)實值函數(shù),u′(t)∈L2[0,∞)}。內(nèi)積和范數(shù):∥?∥W5=√<?,?>W5,其中,u(t),v(t)∈W5[0,∞)。可以證明W5[0,∞)是再生核空間,再生核為R5t(s)=12(e-t-s+e|t-s|)。設(shè)D=[0,1]×[0,∞),{pi(x)}∞i=1是W3[0,1]的完全正交系,{qi(t)}∞i=1是Wm[0,∞)的完全正交系。定義5W(D)={u(x,t)u(x,t)=∞∑i,j=1cijpi(x)qj(t),{cij}∈l2,u(0,t)=0,u(1,t)=0,u(x,0)=0,(m-1)ut(x,0)=0}。內(nèi)積和范數(shù):<u1,u2>W=∞∑i,j=1cijdij,∥?∥W=√<?,?>W,其中,u1(x,t)=∞∑i,j=1cijpi(x)qj(t),u2(x,t)=∞∑i,j=1dijpi(x)qj(t)∈W(D)。W(D)的再生核是K(x,t)(y,s)=R3x(y)Rmt(s),對于(x,t)∈D,任意的u(y,s)∈W(D),有<u(y,s),K(x,t)(y,s)>W=u(x,t)。性質(zhì)1如果u(x,t)=u1(x)u2(t),v(x,t)=v1(x)v2(t)∈W(D),則有<u(x,t),v(x,t)>W=<u1,u2>W3<v1,v2>Wm。類似的,設(shè){ri(x)}∞i=1是W4[0,1]的完全正交系,{si(t)}∞i=1是W5[0,∞)的完全正交系,可以定義再生核空間～W(D)。設(shè)?u(x,t)=u(x,t)+η(x,t),其中,η(x,t)滿足η(0,t)=-h1(t),η(1,t)=-h2(t),η(x,0)=-f(x),(m-1)ηt(x,0)=-mg(x),方程(1)經(jīng)齊次化并用u(x,t)表示?u(x,t),可得式中q(x,t)=?2η?x2-?mη?tm+p(x,t)。引入有界線性算子,令T(u)=?mu?tm-?2u?x2,則方程(2)等價于易證T:W(D)→～W(D)是有界線性算子,T-1存在,并且T*表示T的共軛算子,有引理:引理1設(shè)Mi=(xi,ti),若{Mi}∞i=1在D上稠密,φi(M)=KMi(M),ψi(M)=T*(φi(M)),則{ψi(M)}∞i=1是W(D)的完全系。證明由ψi(M)=T*(φi(M)),知ψi(M)=T*(φi(M))=<T*(φi(·)),KM(·)>W=<φi(·),T(KM(·))>W=T(KM(Mi)),顯然ψi(M)∈W(D)對每個固定的u(M)∈W(D),令<u(M),ψi(M)>W=0(i=1,2…),則<u(M),T*(φi(M))>W=<T(u(·)),φi(·)>W=T(u(Mi))=0。由{Mi}∞i=1在D上稠密,知T(u(M))=0,又T-1存在,故u≡0。證畢。{ψi(M)}∞i=1經(jīng)Gram-Schmidt正交化可得到W(D)的完全規(guī)范正交系{ˉψi(M)}∞i=1,ˉψi(Μ)=i∑k=1βikψk(Μ),其中,βik是正交化系數(shù)。2基于描述特征的無意義規(guī)則近似解定理1設(shè)方程(3)的解存在且唯一,若{Mi}∞i=1在D上稠密,則方程(3)的精確解可表示為u(Μ)=∞∑i=1i∑k=1βikq(Μk)ˉψi(Μ)。(4)證明由{ˉψi(M)}∞i=1是W(D)的完全規(guī)范正交系知,對任意u(M)∈W(D),有<u(M),φi(M)>W=u(Mi),因此u(Μ)=∞∑i=1<u(Μ),ˉψi(Μ)>Wˉψi(Μ)=∞∑i=1i∑k=1βik<u(Μ),Τ*φk(Μ)>Wˉψi(Μ)=∞∑i=1i∑k=1βik<Τ(u(Μ)),φk(Μ)>Wˉψi(Μ)=∞∑i=1i∑k=1βik<q(Μ),φk(Μ)>Wˉψi(Μ)=∞∑i=1i∑k=1βikq(Μk)ˉψi(Μ)。由定理1可知方程(3)的精確解表達(dá)式,該表達(dá)式是由初等函數(shù)組成的級數(shù)形式給出的,當(dāng)方程右端由離散形式q(Mk)(k=1,2,…)給出時,通過截斷精確解的級數(shù)表達(dá)式可以得到方程(3)的近似解。記un(Μ)=n∑i=1i∑k=1βikq(Μk)ˉψi(Μ),(5)εn(M)=u(M)-un(M),(6)稱式(5)為方程(3)的近似解,式(6)為截斷誤差。從un(M)的表達(dá)式可以看出,構(gòu)造近似解僅需要q(M)的有限多個值,并且截斷級數(shù)精確的滿足方程(3)。定理2若{Mi}∞i=1在D上稠密,u(M)是方程(3)的精確解,un(M)是方程(3)的近似解,則‖u-un‖W→0,‖u-un‖C→0,n→∞。證明因為W(D)是Hilbert空間,由式(4)和(5)易知‖u-un‖W→0,n→∞。又因為u(M)-un(M)=<u(·)-un(·),KM(·)>W,‖KM(·)‖W≤C,C是常數(shù),則|u(Μ)-un(Μ)|=|<u(?)-un(?),ΚΜ(?)>W|≤∥u-un∥W,∥ΚΜ(?)∥W,因此‖u-un‖C→0,n→∞。證畢。推論1若{Mi}∞i=1在D上稠密,u(M)是方程(3)的精確解,un(M)是方程(3)的近似解,則un(M)的導(dǎo)數(shù)一致收斂于u(M)的導(dǎo)數(shù)。證明注意到‖u-un‖W→0,n→∞和‖?2xxKM(·)‖W≤C1,有|?2xxu(Μ)-?2xxun(Μ)|=|?2xx(u(Μ)-un(Μ))|=|?2xx<u(?)-un(?),ΚΜ(?)>W|=|<u(?)-un(?),?2xxΚΜ(?)>W|≤∥u(?)-un(?)∥W∥?2xxΚΜ(?)∥W≤C1∥u-un∥W→0(n→∞),其中,C1為常數(shù)。同理可證:un(M)的其他導(dǎo)數(shù)一致收斂于u(M)的其他導(dǎo)數(shù)。證畢。定理3在空間W(D)范數(shù)意義下,有‖εn+1‖W≤‖εn‖W(n=1,2…),即εn(M)單調(diào)下降,并且‖εn‖W→0,n→∞。證明由式(6),有∥εn∥W2=∥u-un∥W2=∑i=n+1∞∑k=1iβikq(Μk)2,∥εn+1∥W2=∥u-un∥W2=∑i=n+2∞∑k=1iβikq(Μk)2,顯然,εn(M)單調(diào)下降。又因為∑i=1∞∑k=1iβikq(Μk)級數(shù)在空間W(D)范數(shù)意義下是收斂的,所以‖εn‖W→0,n→∞。證畢。3方法回用例1求解偏微分方程(1),其中,m=2,h1(t)=et,h2(t)=2et,f(x)=1+x2,g(x)=12(1+x2),p(x,t)=-2et+et(1+x2),精確解為u(x,t)=(1+x2)et。解應(yīng)用式(5)計算近似解un(M),u1(Μ)=β11q(Μ1)ψˉ1(Μ);u2(Μ)=β11q(Μ1)ψˉ1(Μ)+β21q(Μ1)ψˉ2(Μ)+β22q(M2)ψˉ2(M);?取n=900,利用Mathematica5.0計算,絕對誤差|u-un|,|?tu-?tun|,|?xu-?xun|見圖1。均方根誤差為:∑(u-un)2n=2.04332e-5,∑?x(u-un)2n=6.41437e-5,∑?t(u-un)2n=5.86885e-5,∑?tt2(u-un)2n=2.45478e-4,∑?xx2(u-un)2n=2.45477e-4。當(dāng)u(x,t)未知時,該方法仍然適用。例2求解偏微分方程{?2u?t2=?2u?x2+p(x,t),0≤x≤1,t>0,u(0,t)=0,u(1,t)=0,u(x