第06講向量法求空間角（含探索性問題）（原卷版）

第06講向量法求空間角1．異面直線所成的角設(shè)異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2．直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3．平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).一．異面直線所成的角例1．在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，，，，為中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求異面直線與所成角的余弦值．例2．如圖所示，設(shè)有底面半徑為的圓錐．已知圓錐的側(cè)面積為，為中點(diǎn)，．(1)求圓錐的體積；(2)求異面直線與所成角．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)求異面直線所成角的思路：①選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系．②求出兩直線的方向向量v1，v2.③代入公式|cos〈v1，v2〉|＝eq\f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解．(2)兩異面直線所成角的關(guān)注點(diǎn)：兩異面直線所成角的范圍是θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，兩向量的夾角α的范圍是[0，π]，當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是該異面直線的夾角；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直線的夾角．二．直線與平面所成的角例3．如圖，在多面體中，已知是正方形，，平面分別是的中點(diǎn)，且．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．例4．已知平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）的各條棱長(zhǎng)均為2，且有．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)利用向量求直線與平面所成的角有兩個(gè)思路：①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)．②通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．(2)若直線l與平面α的夾角為θ，直線l的方向向量l與平面α的法向量n的夾角為β，則θ＝eq\f(π,2)－β或θ＝β－eq\f(π,2)，故有sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|l·n|,|l||n|).三．平面與平面的夾角例5．如圖，已知六面體ABCDPE的面ABCD為梯形，，，，，棱平面ABCD，，，，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的大?。?．如圖，平面四邊形為矩形，平面，平面，．(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．(2)利用向量法求二面角的大小的關(guān)鍵是確定平面的法向量，求法向量的方法主要有兩種：①求平面的垂線的方向向量．②利用法向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積為零，列方程組求解．四．立體幾何中的探索性問題例7．已知正方形的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以EF為棱將正方形ABCD折成如圖所示的60°的二面角，點(diǎn)M在線段AB上．(1)若M為AB的中點(diǎn)，且直線MF與由A，D，E三點(diǎn)所確定平面的交點(diǎn)為O，試確定點(diǎn)O的位置，并證明直線OD∥平面EMC；(2)是否存在點(diǎn)M，使得直線DE與平面EMC所成的角為60°；若存在，求此時(shí)二面角M－EC－F的余弦值，若不存在，說明理由．例8．如圖1，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于點(diǎn)E，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如圖2.(1)求證：A1E⊥平面BCDE；(2)求二面角E－A1D－B的余弦值；(3)在線段BD上是否存在點(diǎn)P，使平面A1EP⊥平面A1BD？若存在，求eq\f(BP,BD)的值；若不存在，說明理由．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè)．1．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于，則直線l與平面所成的角等于（

）A． B． C． D．2．在三棱錐中，平面，，，則直線與夾角的余弦值是（

）A．B．C．D．3．如圖，在正方體中，E為棱上一點(diǎn)且，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．4．在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)線段最短時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．在四棱錐中，底面，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．7．在三棱錐中，兩兩垂直，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．如圖：正三棱錐中，分別在棱上，，且，則的余弦值為（

）A． B． C． D．9．已知點(diǎn)是平行四邊形所在平面外的一點(diǎn)，，，，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則（

）A．直線與直線所成角的余弦值為 B．是平面的法向量C． D．10．如圖，過邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段平面AC，若EA＝1，則平面ADE與平面BCE所成的二面角的大小是（

）A．120° B．45° C．150° D．60°11．在平行四邊形中，角，將三角形沿翻折到三角形，使平面平面.記線段的中點(diǎn)為，那么直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．12．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，，為的中點(diǎn)，則面與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．13．如圖，在多面體中，側(cè)面四邊形，，是三個(gè)全等且兩兩垂直的正方形，平面平面，是棱的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．14．如圖，在正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，直線與平面所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為（

）A．1 B．2 C．3 D．415．在三棱錐中，面ABC，，，且，若G為△PAB的重心，則CG與平面ABC所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．16．如圖，在四面體ABCD中，，，若，，，，則平面ABD與平面CBD的夾角為（

）A． B． C． D．17．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在鱉臑中，平面，，且，為的中點(diǎn)，則二面角的正弦值為（

）A． B． C． D．18．已知梯形如圖（1）所示，其中，為線段的中點(diǎn)，四邊形為正方形，現(xiàn)沿進(jìn)行折疊，使得平面平面，得到如圖（2）所示的幾何體．已知當(dāng)上一點(diǎn)滿足時(shí)，平面平面，則的值為（

）A． B． C． D．19．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)D是棱的中點(diǎn)，則平面與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．20．已知菱形中，，沿對(duì)角線AC折疊之后，使得平面平面，則二面角的余弦值為（

）A．2 B． C． D．21．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，書中將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如下圖，四面體PABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，則二面角APCB的余弦值為__________．22．已知E?F?G?H分別是正方體，邊AB，CD，，的中點(diǎn)，則異面直線EH與GF所成角的余弦值為___________.23．手工課可以提高學(xué)生的動(dòng)手能力、反應(yīng)能力、創(chuàng)造力，使學(xué)生在德、智、體、美、勞各方面得到全面發(fā)展，某小學(xué)生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一個(gè)直三棱柱和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合圖形，其直觀圖如圖所示，，，P，Q，M，N分別是棱AB，，，的中點(diǎn)，則異面直線PQ與MN所成角的余弦值是______．24．在菱形ABCD中，，將沿BD折疊，使平面ABD⊥平面BCD，則AD與平面ABC所成角的正弦值為___________.25．已知三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2，D為的中點(diǎn)，若，則異面直線與所成角的余弦值為______．26．如圖所示，在四棱錐PABCD中，，且，若，，則二面角APBC的余弦值為______．27．如圖，在正三棱柱中，、分別是、D是線段上的（包括兩個(gè)端點(diǎn)）動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成角的余弦值為，則線段的長(zhǎng)為_______.28．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，則λ的值為________.29．如圖所示，點(diǎn)、、分別在空間直角坐標(biāo)系的三條坐標(biāo)軸上，，平面的一個(gè)法向量為，平面與平面的夾角為，則________.30．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是___________.①直線平面，②三棱錐的體積為定值，③異面直線與所成角的取值范圍是④直線與平面所成角的正弦值的最大值為31．如圖：在多面體中，底面是正方形，，．底面．(1)證明：平面．(2)求異面直線與所成角的余弦值．32．已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，半徑為．（1）設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，求圓錐的體積；（2）設(shè)，、是底面半徑，且，為線段的中點(diǎn)，如圖．求異面直線與所成的角的余弦值．33．如圖，三棱錐的底面為等腰直角三角形，，，，．，分別為，的中點(diǎn)，平面，點(diǎn)在線段上．(1)求證：面面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．34．如圖，已知直三棱柱中，，為中點(diǎn)，，再?gòu)臈l件①，條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，完成以下問題：(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．35．如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，，垂足為.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面的夾角.36．如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，平面.(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.37．如圖所示，在直四棱柱ABCD中，底面ABCD為菱形，，，E為線段上一點(diǎn).(1)求證：；(2)若平面與平面ABCD的夾角的余弦值為，求直線BE與平面所成角的正弦值.38．如圖，四棱錐的底面是梯形．，，，．(1)證明：；(2)求平面APB和平面APC所成角的正弦值．39．如圖所示，在直角三角形中，，，，，將沿折起到的位置，使平面平面，點(diǎn)滿足.(1)證明：；(2)求二面角的余弦值.40．如圖，四面體，為上的點(diǎn)，且與平面所成角為，(1)求三棱錐的體積；(2)求二面角的余弦值.41．如圖，在三棱錐中，平面，，，?分別為的中點(diǎn).(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求平面與平面所成二面角的余弦值.42．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，，M為BC的中點(diǎn)．(1)證明：AM⊥平面PBD；(2)求二面角P－AM－D的正弦值．43．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為等腰梯形，且，，平面ABCD，，．(1)求證：．(2)求二面角的余弦值．44．如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且.(1)證明：平面；(2)若，，且三棱錐的體積為18，求平面與平面的夾角的余弦值.45．在如圖所示的三棱錐中，已知，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).(1)證明：平面.(2)求平面與平面所成銳角的余弦值.46．如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．47．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為