同濟(jì)大學(xué)大一-高等數(shù)學(xué)期末試題-(精確答案)

僅供學(xué)習(xí)參考僅供學(xué)習(xí)參考課程名稱(chēng)：?高等數(shù)學(xué)?試卷類(lèi)別：A卷考試形式：閉卷考試時(shí)間：120分鐘閱卷須知：閱卷用紅色墨水筆書(shū)寫(xiě)，小題得分寫(xiě)在每題題號(hào)前，用正分表示，不得分那么在小題大題得分登錄在對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)框內(nèi)；考試課程應(yīng)集體閱卷，流水作業(yè)。課程名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué)A〔考試性質(zhì)：期末統(tǒng)考〔A卷〕一、單項(xiàng)選擇題〔共15分，每題3分〕.設(shè)函數(shù)f(x,y)在P(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)f(x,y),f(x,y)都存在，那么00 x00 y00( )a.f(x,y)在P連續(xù) b.f(x,y)在P可微C.limf(x,y)及l(fā)imf(x,y)都存在D.lim f(x,y)存在00xfx0 yfy0 (x,yfx0,y0).假設(shè)z=yinx，那么dz等于〔 〕.B.ylnxlnyyinxInB.ylnxlnyA. + xyylnylnxlnyC.yinxinydx+ dyxylnxlny ylnxlnxD. -dx+ dy.設(shè)Q是圓柱面x2+y2=2x及平面z=0,z=1所圍成的區(qū)域，那么,z,z)dxdydz=(〕.QTOC\o"1-5"\h\zA.J*2d0J2cos0drf1f(rcos0,rsin0,z)dz00 0B.J歹2d0J2cos0rdrJ1f(rcos0,rsin0,z)dz00 0C.J兀2d0f2cos0rdrJ1f(rcos0,rsin0,z)dz一兀2 0 0D.J*d0J2cosxrdrJ1f(rcos0,rsin0,z)dz00 04.4.假設(shè)￡a(x-1)n在x=-1處收斂，那么此級(jí)數(shù)在x=2處〔〕.nn=1A.條件收斂B.絕對(duì)收斂C.發(fā)散D.斂散性不能確定

Ix—y+z=25.曲線《 在點(diǎn)［1,1,2〕處的一個(gè)切線方向向量為〔Iz=x2+y2A.〔-A.〔-1,3,4〕B.〔3,-1,4〕C.〔-1,0,3〕D.〔3,0,-1〕二、填空題〔共15分,每題3分〕. 設(shè) x+2y一2xyz=0 , 那 么z〈1,1)=.x.交換I=Jedxfln5.函數(shù)z=x3+y3-3x2-3y2的極小值點(diǎn)是5.函數(shù)z=x3+y3-3x2-3y2的極小值點(diǎn)是三、解答題〔共54分,每題6--7分〕y dzdz1.〔本小題總分值6分〕設(shè)z=yarctan-,求—,-z. o.xOy2.〔本小題總分值6分〕求橢球面2x2+3y2+z2=9的平行于平面2x-3y+2z+1=0的切平面方程,并求切點(diǎn)處的法線方程.103.設(shè)u=2xy-z2，那么u在點(diǎn)M(2,-1,1)處的梯度為4.Ex”4.——n!”=0xe-x=.〔本小題總分值7分〕求函數(shù)z=x2+y2在點(diǎn)(1,2)處沿向量l=17+二j方向的方向?qū)?shù)。.〔本小題總分值7分〕將f(x)=-展開(kāi)成x-3的冪級(jí)數(shù)，并求收斂域。x

.〔本小題總分值7分〕求由方程2x2+2y2+z2+8"—z+8=0所確定的隱函數(shù)z=z(x,y)的極值。6.〔本小題總分值6.〔本小題總分值7分〕計(jì)算二重積分JJ(x2+y2)do,D由曲線x二一\'1一y2,y=—1,y=1及x二一2圍成..〔本小題總分值7分〕利用格林公式計(jì)算J

xy2dy-x2ydx，其中L是圓周x2+y2=a2〔按逆時(shí)針?lè)较颉?〔本小題總分值7分〕計(jì)算JJJxydxdydz,其中。是由柱面x2+y2=1及平面Qz=1,x=0,y=0所圍成且在第一卦限內(nèi)的區(qū)域.四、綜合題〔共16分，每題8分〕.〔本小題總分值8分〕設(shè)級(jí)數(shù)￡u,￡V都收斂，證明級(jí)數(shù)￡(u+V)2收斂。nnn=nnn=1n=1 n=1af八.〔本小題總分值8分〕設(shè)函數(shù)f(x,y)在R2內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且9=2x,ax證明曲線積分J2xydx+f(x,y)dy與路徑無(wú)關(guān).假設(shè)對(duì)任意的廣恒有LJ(,1)2xydx+f(x,y)dy=J&')2xydx+f(x,y)dy，求f(x,y)的表達(dá)式.(0,0) (0,0)

參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題〔共15分，每題3分〕：1.C 2D3C4B5A二、填空題〔共15分，每題3分〕.-12.I=J1dyJ?f(羽y)dx3.-2了+4~j-2k4￡(「"x"討5.(22)0 ，， ".0 "!三、解答題〔共54分，每題6--7分〕(3分)1(3分)dz yxy—=arctan—+ (6分).dy xx2+y2TOC\o"1-5"\h\z.解：記切點(diǎn)(x,y,z)那么切平面的法向量為日=2(2x,3y,z)滿(mǎn)足：000 0 002x0=%=各，切點(diǎn)為：(1,一1,2)或(-1,1,-2)(3分)，切平面：2x-3y+2z=9or-9(4—3 2x+1y-1z+2x-1y+1z—2分)，法線方程分別為：.■二?或者.■二—(6分)2 -3 2 2 -3 2.解：Vf(1,2)=(2,4)(3分)， f^=1+2<3 (7分)4.解：f(4.解：f(x)=111 二一? L3+(x-3)31+(x-3)(2分)S- 1 1 1V,11x-3、(-1)"x"= ，xe(-1,1),所以不. ==￡(-1)"-"(^—)"=1+x 3x-3、 3 3"=0 1+(―^) "=03即0<x<6.(5分)級(jí)數(shù)為￡(-1)",!發(fā)散,故工二3x"即0<x<6.(5分)級(jí)數(shù)為￡(-1)",!發(fā)散,故工二3x"=0當(dāng)x=0時(shí)，級(jí)數(shù)為￡3發(fā)散；當(dāng)x=6時(shí)，"=0￡(-1)-(|)-+1(x-3)-，xe(0,6)，(7分)"=0TOC\o"1-5"\h\z'dz 4x 八—= =0dx1-2z-8y 八5.解：由la“ ，得至1」x=0與y+2z=0,(2分)d=4(y+22)=0O1-2z-8y

一一 八八 一8再代入2%2+2y2+z2+8yz-z+8=0，得到7毅+z—8=。即z=L—7。 16由此可知隱函數(shù)z=Z（X,y）的駐點(diǎn)為（0,-2）與（0,7）。（4分）,dz 4 ,dz 4 d2z由一= , =0dc21-2z-8ydxdydz4守1-2z-8y'16可知在駐點(diǎn)（0,-2）與（0,了）有H>0。（5分）-16 8在(0,)點(diǎn)，z―--，因此7 7（7分）6.解：-16 8在(0,)點(diǎn)，z―--，因此7 7（7分）6.解：-IS'X<0,那么D-D1"「(2JJ(X2+y2)dO-JJ(X2+y2)dO-JJ(X2+y2)dO (4分)(x2+y2r3dr-2037.解：L所圍區(qū)域D：x2+y2<a2,由格林公式，可得xyL2dy-〔7分〕x2ydx=JJ(d(xy2)d(-x2y)

—)dxdy=JJ(x2+y2)dxdy=J2d0Jar20 0=5a4.(7分)“ d2z 4八 “在（0,-2）點(diǎn)，?1，因此嬴二西>0,所以（0，-2）為極小值點(diǎn),極小值為z二L（6分）d2z 4 16 8貳二-正<0，所以（0寸為極大值點(diǎn)，極大值為z二-亍0<z<1,8.解：如圖，選取柱面坐標(biāo)系計(jì)算方便，此時(shí)Q:<0<8.解：如圖，選取柱面坐標(biāo)系計(jì)算方便，此時(shí)20<r<1,JJJxydxdydz-J1dzJ；d9J1rcos0?rsin0?rdr (4分)0 0 0Qf一1.m1 /f一1.m1 /cos20=J：—sin20d0J1r3dr=(- 02 0 40四、綜合題〔共16分，每題8分〕1 1=A.(7分)80O ■ 11.證明：因?yàn)閘imu=0,limv=0,〔2分〕n nnfs nfs故存在N,當(dāng)n>故存在N,當(dāng)n>N時(shí)，(u+v)2—u2+v2+2uv<3u,

nn nn nnn因此￡(u+v)2收斂。［8nnn=1分〕— .Sf人 d(2xv)一 f2.證明：因?yàn)槠?2x，且一^上二2x，故曲線積分J2xydx+f(x,v)dy與路徑無(wú)關(guān).[4Sx Sv L分〕因此設(shè)f(x,y)=x2+g(y)，從而1(t12xydx+f(x,y)dy=1t0dx+11[12+g(y