數(shù)學人教A版必修4問題導學1.2.2同角三角函數(shù)的基本關系

1.2.2同角三角函數(shù)的基本關系問題導學一、利用三角函數(shù)基本關系式求值活動與探究1已知tanα＝，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．遷移與應用已知cosα＝，α∈(π，2π)，則tanα＝()A．B．C．D．同角三角函數(shù)的基本關系式揭示了同角之間的三角函數(shù)關系，其最基本的應用是“知一求二”，要注意這個角所在的象限，由此來決定所求是一解還是兩解，同時應體會方程思想的運用．活動與探究2已知tanα＝－2，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋cos2α.遷移與應用已知α是第三象限角，4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝1，則tanα＝()A．－1或2B．C．1D．2方法一利用已知條件將sinα全部化為cosα，從而得到各式的值，可以說是運用了“減少變量”的思想．而方法二是將關于sinα，cosα的齊次式(所謂關于sinα，cosα的齊次式就是式子中的每一項都是關于sinα，cosα的式子且它們的次數(shù)之和相同，設為n次)分子分母同除以cosα的n次冪，其式子可化為關于tanα的式子，根據(jù)已知條件再解決所求問題就簡單得多．同時，要注意“1”的代換，如“1＝sin2α＋cos2α”“1＝”等．二、三角函數(shù)式的化簡活動與探究3化簡下列各式：(1)；(2)sin2αtanα＋2sinαcosα＋.遷移與應用已知tanθ＋＝3，求tan2θ＋(sinθ－cosθ)2＋的值．化簡三角函數(shù)式常用的方法有：(1)化切為弦，即把非正、余弦的函數(shù)都化成正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達到化簡的目的．(2)對于含有根號的，常把根號下的式子化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的．(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助因式分解，或構造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達到化簡的目的．三、三角恒等式的證明活動與探究4求證：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.遷移與應用求證：.證明三角恒等式的原則是由繁到簡，常用的方法有：(1)從一邊開始，證明它等于另一邊；(2)證明左右兩邊都等于同一個式子；(3)變更論證．采用左右相減、化除為乘等方法，轉化成與原結論等價的命題形式．當堂檢測1．已知α是第四象限角，cosα＝，則sinα等于()A．B．C．D．2．已知tanα＝，則的值是()A．eq\f(4,3)B．3C．－eq\f(4,3)D．－33．若角α的終邊在第二象限，則的值等于()A．2B．－2C．0D．－2或24．已知α∈，tanα＝2，則cosα＝__________.5．若sinα＝，則sin4α－cos4α＝__________.提示：用最精煉的語言把你當堂掌握的核心知識的精華部分和基本技能的要領部分寫下來并進行識記.答案：課前預習導學【預習導引】sin2α＋cos2α＝1eq\f(sinα,cosα)＝tanα(cosα≠0)預習交流提示：除了掌握兩個基本公式外，還要熟練掌握其等價形式：sin2α＋cos2α＝1sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α；tanα＝eq\f(sinα,cosα)sinα＝tanα·cosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))；(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα．課堂合作探究【問題導學】活動與探究1思路分析：解答本題可由商數(shù)關系和平方關系，構建sinα，cosα的方程組求解．解：由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3)得sinα＝eq\f(4,3)cosα．①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得eq\f(16,9)cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝eq\f(9,25)．∵α在第三象限，∴cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,3)cosα＝－eq\f(4,5)．遷移與應用1．B解析：∵cosα＝－eq\f(12,13)＜0，α∈(π，2π)，則α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，∴sinα＜0．又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝1－cos2α＝eq\f(25,169)．∴sinα＝－eq\f(5,13)．∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(5,12)．活動與探究2思路分析：解答本題可結合商數(shù)關系和平方關系，將正切化為弦函數(shù)求解或將弦函數(shù)化為正切函數(shù)求解．解：方法一：由tanα＝－2，得sinα＝－2cosα．(1)eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)＝eq\f(－8cosα－2cosα,5cosα－6cosα)＝10．(2)eq\f(1,4)sin2α＋eq\f(2,5)cos2α＝eq\f(\f(1,4)sin2α＋\f(2,5)cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(cos2α＋\f(2,5)cos2α,4cos2α＋cos2α)＝eq\f(7,25)．方法二：∵tanα＝－2，∴cosα≠0．(1)eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)＝eq\f(4tanα－2,5＋3tanα)＝eq\f(4×(－2)－2,5＋3×(－2))＝10．(2)eq\f(1,4)sin2α＋eq\f(2,5)cos2α＝eq\f(\f(1,4)sin2α＋\f(2,5)cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(1,4)tan2α＋\f(2,5),tan2α＋1)＝eq\f(7,25)．遷移與應用D解析：由4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝1可得eq\f(4sin2α－3sinαcosα－5cos2α,sin2α＋cos2α)＝1．分子，分母同時除以cos2α，得eq\f(4tan2α－3tanα－5,tan2α＋1)＝1，解得tanα＝－1或tanα＝2．又∵α是第三象限角，∴tanα＞0．∴tanα＝2．活動與探究3思路分析：(1)中含有根號，運用弦函數(shù)平方關系將被開方式化為平方形式去根號；(2)觀察式子中有正切，從而利用切化弦的思路進行變形．解：(1)原式＝eq\f(\r(sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°),sin130°＋\r(cos2130°))＝eq\f(|sin130°－cos130°|,sin130°＋|cos130°|)＝eq\f(sin130°－cos130°,sin130°－cos130°)＝1．(2)原式＝sin2α·eq\f(sinα,cosα)＋2sinαcosα＋cos2α·eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sin4α＋2sin2αcos2α＋cos4α,cosαsinα)＝eq\f((sin2α＋cos2α)2,sinαcosα)＝eq\f(1,sinαcosα)．遷移與應用解：由已知得eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝3，∴eq\f(sin2θ＋cos2θ,sinθcosθ)＝3．∴sinθcosθ＝eq\f(1,3)．∴原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanθ＋\f(1,tanθ)))2－2＋(1－2sinθcosθ)＝32－2＋1－eq\f(2,3)＝eq\f(22,3)．活動與探究4思路分析：將右邊展開，利用平方關系，提出公因式整理證明．證明：右邊＝[(1－sinα)＋cosα]2＝(1－sinα)2＋cos2α＋2cosα(1－sinα)＝1－2sinα＋sin2α＋cos2α＋2cosα(1－sinα)＝2－2sinα＋2cosα(1－sinα)＝2(1－sinα)(1＋cosα)＝左邊，所以原式成立．遷移與應用證明：左邊＝eq\f(cos22x＋sin22x－2sin2xcos2x,cos22x－sin22x)＝eq\f((cos2x－sin2x)2,(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x))＝eq\f(cos2x－sin2x,cos2x＋sin2x)＝eq\f(1－tan2x,1＋tan2x)＝右邊，所以原式成立．【當堂檢測】1．B解析：∵α是第四象限角，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝－eq\f(5,13)．2．A解析：原式＝eq\f(2tanα,tan2α－1)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2－1)＝eq\f(4,3)．3．C解析：∵α是第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0．∴eq\f(sinα,\r(1－sin2α))＋eq\f(\r(1－cos2α),cosα)＝eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝－tanα＋tanα＝0．4．－eq\f(\r(5),5)解析：∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，∴cosα＜0，eq