《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)下》課件第十五章　典型習(xí)題解答與提示

第十五章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型習(xí)題解答與提示習(xí)題15-11．（1）①函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)是顯然的，②因，所以在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，③，即滿(mǎn)足特例中三個(gè)條件，所以有一點(diǎn)，有成立；（2）①函數(shù)的閉區(qū)間上連續(xù)是顯然的，②因，故在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，滿(mǎn)足拉氏定理?xiàng)l件，因，令，即，故，取有成立；（3）提示：，因?yàn)椋?，可求??；?）提示：，因，令，可得。2．（1）函數(shù)，在區(qū)間上滿(mǎn)足拉氏定理的條件，故，即；（2）函數(shù)在上滿(mǎn)足拉氏定理的條件，故，顯然有，即有；（3）因函數(shù)在區(qū)間上滿(mǎn)足拉氏定理的條件，故，注意到余弦函數(shù)在第1象限為減函數(shù)，即，所以，即，注：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取等號(hào)；（4）函數(shù)在區(qū)間上滿(mǎn)足拉氏定理?xiàng)l件，故，即。3．（1）因，故函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)；（2），則函數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上單調(diào)增，當(dāng)然在上為增函數(shù)。4．（1）函數(shù)在，上為單調(diào)增，在上為單調(diào)減；（2）函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減，在區(qū)間上為單調(diào)增；（3）函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)增，在區(qū)間為單調(diào)減；（4），令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)－2＜＜－1時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)增，在上為單調(diào)減；（5）因，令，則，當(dāng)時(shí)，，則為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，當(dāng)時(shí)，，則為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（6），則函數(shù)在上為單調(diào)增。5．（1）提示，令，則，當(dāng)時(shí)，；（2）提示，令，故；（3）設(shè)，所以，因?yàn)楫?dāng)，所以，函數(shù)在上為單調(diào)增，由，即；（4）設(shè)，則，故函數(shù)在上為單調(diào)增，所以，即。6．（1）因，所以在為單調(diào)增，但作為的函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)；（2）在上單調(diào)增，但在上不是單調(diào)函數(shù)。習(xí)題15-21．（1）極大值，極小值；（2），令，，所以，則函數(shù)在處有極大值，，即函數(shù)在，有極小值；（3）函數(shù)在處取得極小值；（4）函數(shù)在處取得極小值；（5），令，為整數(shù)，，故當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有極大值；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有極小值；（6），則，故，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在處取得極大值；（7），當(dāng)時(shí)，不存在且函數(shù)在處連續(xù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在處取得極大值；（8），因，故，即函數(shù)在上為單調(diào)增，無(wú)極值。2．，取，令，得，,故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值為。3．，由題已知條件，故即函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，即它無(wú)極值。習(xí)題15-31．（1）因，即函數(shù)在上遞增，最小值為，最大值為；（2）函數(shù)在區(qū)間上最小值為，最大值為；（3），令，考慮，，則函數(shù)在區(qū)間上最大值為，最小值為；（4），令，考慮，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為；（5），令，得，因?yàn)椋瑒t函數(shù)在區(qū)間上最大值為，最小值為。2．當(dāng)?shù)酌姘霃綖椋邽闀r(shí)，用料最省。3．當(dāng)寬為5m，長(zhǎng)為10m時(shí)，所圍長(zhǎng)方形面積最大。4．設(shè)圓的半徑為，則矩形的高為，故截面面積，故，令，m，依題意必存在極大值。即當(dāng)矩形底邊約為m，高約m時(shí)，截面面積最大。5．設(shè)C距A在輸電線(xiàn)上的垂足為km，則電線(xiàn)總長(zhǎng)為，則，令，則，依題意必存在極小值，所以當(dāng)變壓器裝置在距A垂足km處，所用電線(xiàn)最省。6．提示：設(shè)斷面的寬為，這時(shí)高滿(mǎn)足，則有函數(shù)，求并解，當(dāng)截面矩形寬為，高為時(shí)，強(qiáng)度最大。7．設(shè)圓錐底面半徑為，高為，則，則，令，即，依題意必存在極大值，所以當(dāng)炸藥包被埋在深為處，爆破體積最大。習(xí)題15-41．（1）函數(shù)曲線(xiàn)在內(nèi)呈現(xiàn)凹狀；（2）函數(shù)曲線(xiàn)在內(nèi)呈現(xiàn)凸?fàn)?；?）函數(shù)曲線(xiàn)在內(nèi)呈現(xiàn)凹狀；（4），即當(dāng)、曲線(xiàn)呈現(xiàn)凸?fàn)?，?dāng)、曲線(xiàn)呈現(xiàn)凹狀；（5），令，當(dāng)、曲線(xiàn)呈現(xiàn)凹狀，當(dāng)、曲線(xiàn)呈現(xiàn)凸?fàn)?，?dāng)、曲線(xiàn)呈現(xiàn)凹狀。2．（1）在區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)凸?fàn)?，在區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)凹狀，點(diǎn)為拐點(diǎn)；（2）在曲線(xiàn)呈現(xiàn)凸?fàn)?，曲線(xiàn)呈現(xiàn)凹狀，拐點(diǎn)；（3），令，求得，則當(dāng)時(shí)、曲線(xiàn)呈現(xiàn)凹狀，當(dāng)時(shí)、曲線(xiàn)呈現(xiàn)凸?fàn)睿窗紖^(qū)間為，凸區(qū)間為，拐點(diǎn)為；（4），當(dāng)時(shí)，不存在，但函數(shù)在處連續(xù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即區(qū)間呈現(xiàn)凸?fàn)?，區(qū)間呈現(xiàn)凹狀，（2,0）為拐點(diǎn)；（5）提示：參見(jiàn)第五節(jié)中例2。3．，取時(shí)，令及曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，有，則，這時(shí)，，當(dāng)從1的一側(cè)變化到另一側(cè)時(shí)，變號(hào)，即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。4．因，令得，因在這些點(diǎn)的左右兩側(cè)均改變符號(hào)，所以點(diǎn)，，都是拐點(diǎn)。因?yàn)?，，即這三個(gè)拐點(diǎn)位于同一條直線(xiàn)上。習(xí)題15-5略習(xí)題15-61．（1）；（2）；（3）2；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。2．（1）0；（2）；（3）0；（4）；（5）；（6）令，則，故，即，所以；（7）設(shè)，則，故則，即；（8）令，則，則，所以。3．（1），若用洛必達(dá)法則，原式不存在，所以（1）不能用洛必達(dá)法則；（2），若用洛必達(dá)法則，原式與原題相比，沒(méi)有任何改進(jìn)，再用一次洛必達(dá)法則，又變回原題，故（2）也不能用洛必達(dá)法則。*習(xí)題15-71．。2．（1）；（2）平均變化率約為；（3）。3．，因?yàn)椋浴?．，令；，所以生產(chǎn)50000單位時(shí)，利潤(rùn)最大。5．因?yàn)椋?），所以；，所以；；（2）令，所以。，所以當(dāng)時(shí)，總收益最大。6．，所以總收益，成本，所以利潤(rùn)，所以；令，所以；，所以當(dāng)時(shí)，收益最大。7．因?yàn)?，所以。?fù)習(xí)題十五1．（1）①函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)是顯然的，②因，則函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上是可導(dǎo)的，因，則，使成立；（2）①因，所以，即函數(shù)在分?jǐn)帱c(diǎn)處連續(xù)，從而函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，②，，故，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由上可知，在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，所以滿(mǎn)足拉氏定理的條件，考慮，取或取，都有成立；（3）①函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)是顯然的，②，則函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，故，滿(mǎn)足成立。2．（1）證：函數(shù)在區(qū)間上滿(mǎn)足拉氏定理?xiàng)l件，則有，故，即，推出；（2）證：令，故在時(shí)為單調(diào)增，則，即成立；（3）證：函數(shù)在閉區(qū)間上滿(mǎn)足拉氏定理?xiàng)l件，則，，故，即。故。3．（1），令；，不存在，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，，即區(qū)間和，函數(shù)為單調(diào)增；，函數(shù)為單調(diào)減；（2），則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)增；（3），則函數(shù)在上為單調(diào)增；（4），令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間和上為單調(diào)增；上為單調(diào)減。4．（1），令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在處有極小值；在處有極大值；（2），令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值；（3），令，，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，因函數(shù)在處不連續(xù)，因此函數(shù)在處取得極大值，在處不取極值，當(dāng)從1的左側(cè)變化到1的右側(cè)時(shí)，不變號(hào)，即不是極值點(diǎn)；（4），令，，，當(dāng)時(shí)，不存在；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在處有極小值；在處有極大值；在處有極小值。5．（1），令，則，即最小值為，最大值；（2）提示，，最小值，最大值。6．設(shè)所求直線(xiàn)方程為，令；令，設(shè)截距之和為，則，令，。，，即當(dāng)時(shí)，S有極小值。這時(shí)所求直線(xiàn)方程為，即。7．設(shè)在處視角為，如圖15-2所示，則，，42圖42圖15-2復(fù)習(xí)題十五中7圖示令，依題意必存在極大值，即在矩形幕底邊m處，視角最大。8．設(shè)圓柱底面半徑為，則高，總成本為，則。令，這是高。依題意必存在極小值，即當(dāng)?shù)酌姘霃綖?，高為時(shí)，造價(jià)最低。9．（1），令，因函數(shù)為奇函數(shù)，故只考慮情況，當(dāng)時(shí)，，曲線(xiàn)為凸；當(dāng)時(shí)，，曲線(xiàn)為凹；由對(duì)稱(chēng)性知和，曲線(xiàn)為凸；和，曲線(xiàn)為凹，點(diǎn)，，為拐點(diǎn)。（2），令，當(dāng)從的一側(cè)變化到另一側(cè)時(shí)，變號(hào)，容易得出，在區(qū)間和內(nèi)，，曲線(xiàn)為凹；區(qū)間上，，曲線(xiàn)為凸；（3），，令，因函數(shù)為奇函數(shù)，故只考慮情況，當(dāng)，，曲線(xiàn)為凸；當(dāng)，，曲線(xiàn)為凹；由對(duì)稱(chēng)性知，曲線(xiàn)為凸；，曲線(xiàn)為凹，拐點(diǎn)為。10．因，故有，即。[當(dāng)從1的一側(cè)變化到另一側(cè)時(shí)，變號(hào)，即確為拐點(diǎn)]。11．略。12．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）令，則，故，即當(dāng)時(shí)，，原式；